6.2 生活中的概率 讲义 2025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级下册

本讲义聚焦初中数学“6.2生活中的概率”核心知识点，作为6.1的延伸，系统梳理树状图/表格法在三步及以上随机试验、多人复杂游戏中的应用，通过概率计算判断事件可能性大小并做出合理决策，构建包含方法拓展、决策应用、关键技巧及易错提醒的学习支架。 该资料特色在于结合生活实例如三人“石头剪刀布”、掷骰子选数等，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过树状图分层列结果、表格组合呈现等步骤训练发展推理意识，借助游戏公平性判断、最优方案选择等问题培养用数学语言表达与解决实际问题的能力。题型涵盖单选、填空、解答题且参考答案详细，课中辅助教师高效授课，课后助力学生回顾强化、查漏补缺。

6.2 生活中的概率 同步训练 知识梳理 核心结论：本节是6.1的延伸，核心是将树状图/表格法应用于三步及以上随机试验、多人参与的复杂游戏，重点通过概率计算判断事件发生的可能性大小，进而做出合理决策（如选择最优数字、设计公平规则）。 一、核心方法的拓展应用（适用场景延伸） 1. 树状图法：适配多步试验 · 适用场景：当试验步骤为三步及以上（如三人“石头剪刀布”、三次摸卡片、从12个数中选数后掷两次骰子），树状图能清晰逐层呈现所有结果，避免遗漏。 · 核心要点： 0. 按试验顺序分“层”（如第一步小明出拳、第二步小颖出拳、第三步小凡出拳），每层列出该步骤的所有可能结果； 0. 最终所有分支的终点即为全部等可能结果，总数为各步骤结果数的乘积（如三步各3种选择，总结果数3×3×3=27）； 0. 仍用公式 目标事件目标事件结果数总结果数 计算。 2. 表格法：聚焦两步试验的复杂组合 · 适用场景：两步试验中，每个步骤的结果数较多（如从两组各3张卡片中摸牌、掷两枚骰子），表格能直观呈现所有组合结果。 · 核心要点： 0. 行、列分别对应两步试验的所有结果（如第一列是第一枚骰子的1-6点，第一行是第二枚骰子的1-6点）； 0. 表格单元格填写组合结果（如（1,1）（1,2）…（6,6）），总结果数为每行结果数×每列结果数（如6×6=36）； 0. 筛选目标事件（如点数和为7、点数积为奇数）对应的单元格，统计数量后计算概率。 二、核心应用：概率大小与决策选择 1. 复杂游戏的公平性判断（多人/多步骤） · 示例：三人玩“石头剪刀布”，规则为“三人手势相同或互不相同则不分胜负，两人手势相同则按规则定胜负”。 · 用树状图列出所有27种等可能结果； · 分别统计“小凡胜” “小明胜” “小颖胜”的结果数，计算各自概率； · 若三人概率相等则游戏公平，否则不公平。 2. 实际决策：选择最优方案（可能性最大的事件） · 示例：两人从1-12中选数，掷两枚骰子，点数和等于所选数者获胜。 · 用表格法列出掷两枚骰子的36种等可能结果，统计每种点数和（2-12）对应的结果数； · 点数和为7时对应6种结果（概率 ），是所有和中概率最大的； · 决策：选择数字7，获胜可能性最大。 三、关键技巧：结果总数与目标事件的快速统计 1. 多步试验结果总数：若第一步有 种结果，第二步有 种，…，第n步有 种，则总结果数 （乘法原理）。 1. 目标事件筛选： · 树状图中，沿“符合目标条件”的分支筛选，终点即为目标结果； · 表格中，按“行+列”的组合条件（如和为奇数、积大于10）圈选单元格，统计数量。 四、易错提醒 1. 多步试验结果数计算错误：忽略“乘法原理”，误将各步骤结果数相加（如三步各3种选择，误算为3+3+3=9，实际为3×3×3=27）。 1. 目标事件筛选遗漏：多步试验中，未逐分支/逐单元格核对，导致漏算目标结果（如掷两枚骰子，点数和为7的结果误算为5种，实际为6种）。 1. 决策时忽视概率本质：凭主观感觉选择（如认为“12是大数，获胜概率大”），而非基于统计的概率大小。 1. 多人游戏公平性判断片面：仅计算两人概率，忽略第三方，导致判断失误（如三人游戏中，仅算两人获胜概率相等，未考虑第三人）。 一、单选题 1．一个不透明的箱子中放有1个红球、2个黄球和3个黑球，这些小球除颜色外都相同，小明、小芳、小雪三人先后去摸球，每人每次只能摸出一个球，每次摸出球后放回，摸出红球的人获得礼品（可以所有人都获得礼品）．你觉得这个游戏（    ） A．对所有人都公平 B．无法判断是否公平 C．先摸者获得礼品的可能性大 D．后摸者获得礼品的可能性大 2．五一期间，新上映的一部动漫电影深受中学生的喜爱，爸爸购得此电影票一张，姐姐、哥哥和妹妹三人都想去看，于是爸爸抛出两枚均匀的色子，将两枚色子点数相加后除以3，规定：当正好整除时姐姐去，当余数是1时哥哥去，当余数是2时妹妹去．这个游戏（   ） A．是公平的 B．有利于姐姐 C．有利于哥哥 D．有利于妹妹 3．如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形内，飞镖投中正方形内各点机会均等，则飞镖落入阴影区域内概率为（   ） A． B． C． D． 4．明明和亮亮两人用如图所示的正四面体（每个面上分别刻有数字0，1，2，）做游戏，两人各掷两次四面体，四面体与地面接触的数字之和为奇数，则明明胜；和为偶数，则亮亮胜，你对这个游戏公平性的评价是（   ） A．公平 B．对明明有利 C．对亮亮有利 D．无法判断 5．二维码成为广大民众生活中不可或缺的一部分．飞飞将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　）． A．160 B．240 C．120 D． 6．有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数．为了使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的是（ ） A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上甲获胜，所确定的点在直线上乙获胜； B．取出的两个数乘积不大于15胜，否则乙获胜； C．取出的两个数乘积大于等于20得5，否则乙得3，游戏结束后，累计得分高的人获胜； D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜． 二、填空题 7．投掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1至6六个数字．如果连续掷3600次，“掷出上面是5点”的频数约为 次． 8．已知，在“浙”篮球赛中，由大数据推送发现某地号运动员比赛中罚球投中的概率是．若他在一场比赛中，有次罚球机会，则他估计能投中的次数是 ． 9．在某实验中，已知事件A发生的概率为，那么进行1000次这种实验，事件A发生的次数约为 次． 10．如图所示，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，也是2002年在北京举办的国际数学家大会的会徽，人们称它为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲．如图，如果，那么向该图形内投掷一枚小石子，则小石子落在“黄实”部分的概率为 ． 三、解答题 11．某班在选拔人员参加年级数学竞赛过程中，有A，B两同学分数相同，由于参赛名额所限，这两人中只能一个参赛，经商议决定采取摸球方式解决，将2个红球、1个绿球放到一个不透明的袋子中，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出2个球． (1)“摸出的2个球，都是红球”是________事件；（填“随机”或“不可能”或“必然”） (2)若两同学以摸球方式决定代表参加数学竞赛，摸出的2个球，若颜色相同，则同学去参赛；若颜色不同，则同学去参赛，这游戏方案设计公平吗？说明理由． 12．小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成五个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次． (1)转动A盘，指针指向的数字大于3的概率是________，转动B盘，指针指向的数字小于5的概率是________； (2)若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜，请判断该游戏是否公平？并说明理由． 13．“七夕情人节”期间，某购物广场举办有奖销售活动，每购物满元，就获得一次转转盘的机会．转动转盘，转盘停止转动后指针对准某个区域，顾客得到相应的指示．小华购物元，获得一次转动转盘的机会，请你根据转盘（如图所示）求： (1)小华中奖的概率；（除了谢谢参与其他均是中奖） (2)小华获得元红包的概率； (3)小华享受八折优惠的概率． 14．某中学化学实验课上，李老师带来了（镁）、（铝）、（铜）三种金属材料及其元素卡片（如图，除正面信息不同外，其余均相同），将三张元素卡片背面朝上洗匀，让学生随机抽取一张，然后用抽取到的金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：可以置换出氢气，而不能置换出氢气） 抽取规则如下：3张卡片背面朝上洗匀，小明先随机抽取一张，记录下抽取的卡片不放回，小华再从中随机抽取一张．若他们抽到的金属均能置换出氢气，则小明上台实验；其他的情况，则小华上台实验．这个规则对小明和小华公平吗？请用列表或画树状图法说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】此题考查游戏公平性，三个人摸到每种球的概率均相等，所以游戏公平． 本题考查游戏公平性的判断，关键在于每次摸球后放回，使得每次摸到红球的概率相同． 【详解】解：∵小明、小芳、小雪三人每次摸到红球的概率均为， ∴游戏对所有人都公平， 故选：A． 2．A 【分析】本题主要考查了游戏公平的判断，判断游戏的公平性，就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．首先根据题意列出表格，然后根据表格求出每个事件的概率，比较大小，即可求得游戏是否公平．根据列表法解答即可． 【详解】解：同时掷两枚筛子，其点数之和的结果如下表所示： 第二枚第一枚 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 由表格可知，共有36种等可能结果，其中点数之和正好能被3整除的有12种，点数之和除以3后余数是1的有12种，点数之和除以3后余数是2的有12种，他们获得电影票的概率都是，即为，所以这个游戏是公平的， 故选：A． 3．C 【分析】本题考查了几何概率，熟练掌握概率公式求概率是解题的关键．根据题意得：图中阴影部分面积为正方形面积的，根据概率即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∴， ∴， ∴图中阴影部分面积为正方形面积的， 则飞镖落入阴影区域内概率为， 故选：C． 4．C 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图可得： 由数轴图可得，共有种等可能出现的结果，其中四面体与地面接触的数字之和为奇数的情况有种，和为偶数的情况有， ∴明明胜的概率为，亮亮胜的概率为， ∵， ∴对亮亮有利， 故选：C． 5．C 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，理解在大量反复试验下频率的稳定值即为概率值是解题的关键．根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为，即黑色阴影的面积占整个面积的，据此求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴点落在黑色阴影的概率为， ∴估计此二维码中黑色阴影的面积为， 故选：C． 6．A 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断以及树状图法求概率．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．掌握“概率=所求情况数与总情况数之比”是解题的关键． 画树状图，共有16种可能的结果，分别求出各个选项中甲、乙获胜的概率，再分别判断即可． 【详解】解：画树状图如下： A、由树状图可知，共有16可能的结果，其中在直线上的点有、、、，在直线上的点有、、， 甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 而，故选项A符合题意； B、由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中取出的两个数乘积不大于15的结果有8种，乘积大于15的结果有8种， 甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 甲获胜的概率乙获胜的概率，故选项B不符合题意； C、由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中取出的两个数乘积大于等于20时甲得5分的结果有6种，乙得3分的结果有10种，， 甲获胜的概率乙获胜的概率，故选项C不符合题意； D、由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中得到的和为奇数的结果8种，得到的和为偶数的结果8种， 甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 甲获胜的概率乙获胜的概率，故选项D不符合题意； 故选：A． 7．600 【分析】本题考查了概率的基本应用，用频率估计频数，熟练掌握基础定义是解题关键； 根据投掷一枚质地均匀的正方体骰子，掷出上面是5点的概率为，再与次数相乘即可． 【详解】解：∵投掷一枚质地均匀的正方体骰子，掷出上面是5点的概率为， ∴“掷出上面是5点”的频数约为：（次）， 故答案为：600． 8． 【分析】本题考查了已知概率求数量，掌握概率的意义是解题的关键．根据概率的意义直接计算即可. 【详解】解：该运动员比赛中罚球投中的概率是， 若有次罚球机会，则他估计能投中的次数是（次）． 故答案为：． 9． 【分析】本题考查了概率的意义，解题的关键是明确概率的意义，在大量重复试验下，事件发生的频率会趋近于某个数附近，这个数即概率． 根据概率的意义，事件发生的可能次数等于概率乘以实验次数，求解即可． 【详解】解：事件发生的概率为，进行1000次独立重复实验， 事件发生的次数约为， 故答案为：． 10． 【分析】本题考查概率问题，勾股定理的证明，对“赵爽弦图”切割、拼接，利用面积关系求出，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：设，， 根据题意，得， ∴小石子落在“黄实”部分的概率为， 故答案为： ． 11．(1)随机 (2)不公平，理由见解析 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）根据事件的分类进行判断即可； （2）游戏是否公平，关键要看是否游戏双方赢的机会相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等即可． 【详解】（1）解：∵一个不透明的袋子中放有2个红球、1个绿球， ∴摸出的2个球都是红球”是随机事件， 故答案为：随机； （2）解：不公平．理由如下： 列表如下：      球1 球2 红1 红2 绿 红1 （红2，红1） （绿，红1） 红2 （红1，红2） （绿，红2） 绿 （红1，绿） （红2，绿） ∴共有6种结果，每种结果出现的可能性相等，且摸出的2个球颜色相同的结果有2种． ∴P（摸出的2个球颜色相同）， P（摸出的2个球颜色不同）． 故该游戏方案对双方不公平． 12．(1) ， (2)该游戏不公平，理由见答案 【分析】（1）根据概率的概念进行求值即可； （2）先计算所有可能的结果，然后根据概率公式计算出小明胜的概率和小亮胜的概率，通过比较概率相等与否判断游戏是否公平即可. 【详解】（1）解：； . （2）解： 由树状图可知共有25种情况，其中为奇数的情况个数为13种，偶数的情况12种， ∴小亮胜的概率为：； 小明胜的概率为：； 两人获胜概率不相等 ∴该游戏不公平. 【点睛】本题考查了概率的计算，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键. 13．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了概率公式的知识，解题的关键是掌握概率的求法． （1）用“中奖”的圆心角的度数除以周角的度数即可求得答案； （2）用“元红包”的圆心角的度数除以周角的度数即可求得答案； （3）用“八折优惠”的圆心角除以周角的度数即可求得答案． 【详解】（1）解：； （2）小华获得元红包的概率为； （3）小华享受八折优惠的概率为． 14．不公平，理由见解析 【分析】本题主要考查了概率的计算，解题的关键是掌握树状图或列表求概率． 利用树状图求出概率，然后进行比较即可． 【详解】解：不公平，理由如下： 画树状图如下， 共有6种等可能结果， 其中均能置换出氢气的结果有2种， 所以小明上台实验的概率为， 则小华上台实验的概率为， ， ∴不公平． 学科网（北京）股份有限公司 $