专题03 数列求和5种题型归类（压轴题专项训练）数学苏教版2019选择性必修第一册

专题03数列求和 目录 类型一、裂项相消法求和 类型二、错位相减法求和 类型三、倒序相加法求和 类型四、分组求和法 类型五、并项求和法 压轴专练 类型一、裂项相消法求和 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.常见的裂项技巧 1、基本步骤 2、裂项原则 一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． 3、消项规律 消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． 4、常见类型 （1）等差型 ① 特别注意 ② 如：（尤其要注意不能丢前边的） ③＝. （2）无理型 ① 如： ② ③ （3）指数型 如：① ② ③ ④ （4）通项裂项为“”型 如：① ② ③ 本类模型典型标志在通项中含有乘以一个分式 （5）对数型裂项 例1．记为各项均为正数的数列的前项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 变式1-1．已知数列的前n项和，则（   ） A． B． C． D． 变式1-2．数列的前n项和为，对一切正整数n，点在函数的图象上，（且），则数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 变式1-3．已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 变式1-4．已知数列的前项和，数列满足. （1）证明：数列是等差数列； （2）设，求数列的前项和. 变式1-5．设数列{an}的前n项和为Sn，满足：. （1）求证：数列为等比数列； （2）求Sn，并求Sn的最大值. 变式1-6.已知数列中，，，． （1）设，求数列的通项公式． （2）若，求数列的前项和. 类型二、错位相减法求和 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一 个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的. 错位相减法求数列的前n项和 （1）适用条件 若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和． （2）基本步骤 （3）注意事项 ①在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出； ②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号． 等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法． ① ② 得：． 整理得： 例2.已知数列的前项和为，其中，． (1)求的值以及数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 变式2-1．已知数列满足，． （1）证明：数列为等差数列 （2）设数列的前n项和为，求，并求数列的最大项． 变式2-2．设等差数列的前项和为，已知，，等比数列满足，． (1)求； (2)设，求证：． 变式2-3．已知等比数列的前n项和是，且是与的等差中项． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前n项和． 类型三、倒序相加法求和 （1）核心定义 倒序相加法：将数列的前n项和Sn=a1+a2+...+an-1+an按相反顺序写出（倒序和Sn=an+an-1+...+a2+a1），再将两式相加，利用“对称项之和为定值”的性质，化简后求出Sn的方法。 （2）适用题型（快速识别特征） ①等差数列（最基础） ②对称和为定值的数列（核心拓展）：非等差数列，但首尾对称项之和为固定值（例如函数型数列含f(x)+f(1-x)=C） （3）通用解题步骤（“四步走”流程） ①观察数列特征，判断是否满足“对称项和为定值” ②写出原数列的前n项和Sn（正序） ③写出倒序和（将Sn首尾颠倒） ④两式相加，化简求和 例3．已知，则（    ） A．-8088 B．-8090 C．-8092 D．-8094 变式3-1．已知函数是上奇函数，若数列的项满足：（）.则数列的通项公式为： . 变式3-2．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 变式3-3．已知函数，数列满足. (1)求证：为定值，并求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，求证：． 类型四、分组求和法 （1）核心定义 分组求和法：针对通项可表示为多个简单数列通项之和（或差）的复杂数列，将其按通项结构拆分为2个或多个独立的简单数列（如等差+等比、等差+常数、等比+等比等），分别求每个简单数列的前n项和，再通过加、减运算合并结果，得到原数列前n项和（本质是化繁为简，将不规则数列转化为规则数列的“和差运算”） （2）适用题型（快速识别特征） ①等差+等比型（最常见）：通项为“等差数列通项±等比数列通项”，如： ②同类项分组型：通项含多个不同“幂次”“分式”或“根式”，需按类型拆分，如： ③符号交替分组型：含(-1)n的数列，按n的奇偶性拆分两组 ④周期数列分组型：数列具有周期性（如周期为2、3），按周期分组求和 （3）通用解题步骤（“四步走”流程） ①分析通项结构，合理拆分数列 核心原则：拆分后每一组均为“可直接求和的简单数列”（等差、等比、常数、裂项型等）； ②分别求每个拆分后数列的前n项和 等差数列求和、等比数列求和、常数数列求和、裂项数列求和 ③合并各部分和，得到原数列的前n项和 若原数列通项为“拆分数列之和”，则Sn=Sbn+Scn+...； 若为“拆分数列之差”，则Sn=Sbn-Scn-... ④验证项数与公式适用性 确保拆分后各数列的项数均为n（无漏项、多算项）； 等比数列需重点验证公比q=1 例4．已知数列的前项和，其中. (1)求数列的通项公式； (2)求使不等式成立的的最小值； (3)设，求数列的前项和. 变式4-1．已知数列满足，点在直线上. (1)设，证明为等比数列； (2)求数列的前项和. 变式4-2．已知为等差数列，，记分别为数列的前项和，. (1)求的通项公式; (2)求. 变式4-3．记为数列的前项和，已知. (1)求，并求的通项公式； (2)求的前项和. 类型五、并项求和法 （1）核心定义： 将数列中相邻的若干项（通常是2项、3项）合并为一个新的、可直接求和的数列（如常数数列、等差数列、等比数列），再对新数列求和，最终得到原数列的前n项和Sn （2）适用题型（快速识别特征） ①符号交替型数列（最常见）：通项含(-1)n或(-1)n+1 ②相邻项和为常数等差、等比 ③含绝对值的分段数列：绝对值内的表达式符号交替，需合并同号项求和，如an=|(-1)n 2n|（实际可转化为符号交替型） ④三项并项型（特殊情况）：相邻3项合并为常数或规则数列，如an=n+(n+1)-(n+2)（可合并为(n+n+1-n-2)=n-1，但需验证项数） （3）通用解题步骤（“三步走”流程） ①观察数列特征，判断并项方式 优先尝试“两项并项”（高考90%以上题目适用）； 若两项并项无规律，再尝试“三项并项”； 符号交替型直接按 “奇偶数项分组”并项。 ②确定并项后的新数列 设新数列的通项为bk，明确bk是原数列的哪几项合并而成（如bk=a2k-1+a2k)，即第1+2项，第3+4项，…）； 推导bk的表达式，判断bk是常数数列、等差数列还是等比数列 ③根据原数列项数n，分情况讨论新数列的项数 关键：n为奇数还是偶数（这是并项求和的核心易错点）； 若n为偶数（n=2m）：新数列有m项，Sn=b1+b2+...+bm； 若n为奇数（n=2m+1）：新数列有m项，剩余最后一项a2m+1，Sn=b1+...+bm+a2m+1 例5．已知数列的前项和为，且． (1)证明：是等比数列，并求其通项公式； (2)设，求数列的前100项和． 变式5-1.知数列满足，则数列的前100项的和 . 变式5-2．设数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 变式5-3．已知数列满足，记数列的前项和为， （1）求证：数列为等比数列，并求其通项； （2）求的前项和及的前项和为． 压轴专练 一、单选题 1．若等差数列满足，则（    ） A．2025 B． C． D． 2．数列满足，，数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 3．设函数，若数列的前项和为，，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知数列的前n项和为，满足，对于恒成立，则的最小值为（    ） A． B．0 C．1 D．4 5．对于实数，用表示不超过的最大整数，如，，若，，为数列的前项和，则为（   ） A． B． C． D． 6．南宋数学家杨辉在《详解九章算法•商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍童垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，…，设第层有个球，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 7．德国大数学家高斯，被誉为数学界的王子，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律性，因此，此方法也称之为高斯算法．现有函数（），则等于（  ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系上，有一系列点，，，，每一个点均位于函数的图象上.以点为圆心的都与轴相切，且与外切.若，且，，的前项之和为，则（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 9．已知数列满足，则 ． 10．若，已知数列中，首项，则 ． 三、解答题 11．设数列的前项和为，且． (1)证明：为等比数列； (2)求数列的前项和． 12．已知数列中，，前n项和为，且为等差数列. (1)证明：数列是等差数列； (2)已知，，求数列的前n项和. 13．已知数列满足，. (1)求数列的通项公式. (2)设，记数列的前n项和为. ①求； ②若，，求m的取值范围. 14．已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)若为在区间内的项的个数. ①求，，； ②求数列的前项的和. 15．设数列的前n项和为，且. (1)求的通项公式. (2)已知，且数列的前n项和为. （ⅰ）求； （ⅱ）若集合恰有一个元素，求m的取值范围. 16．已知数列是公差为2的等差数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)设表示不大于x的最大整数，求数列的前100项和； (3)设，数列的前n项和为，证明：且. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03数列求和 目录 类型一、裂项相消法求和 类型二、错位相减法求和 类型三、倒序相加法求和 类型四、分组求和法 类型五、并项求和法 压轴专练 类型一、裂项相消法求和 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.常见的裂项技巧 1、基本步骤 2、裂项原则 一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． 3、消项规律 消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． 4、常见类型 （1）等差型 ① 特别注意 ② 如：（尤其要注意不能丢前边的） ③＝. （2）无理型 ① 如： ② ③ （3）指数型 如：① ② ③ ④ （4）通项裂项为“”型 如：① ② ③ 本类模型典型标志在通项中含有乘以一个分式 （5）对数型裂项 例1．记为各项均为正数的数列的前项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据之间的关系计算； （2）由（1）可知，然后使用裂项相消求和即可. 【详解】（1）由题可知：，当时，， 由①，当时，②； ①-②得：， 所以，即， 所以数列是以2为首项，2为公差得等差数列. 所以，即； （2）由（1）可知：， 所以， 所以， 则. 变式1-1．已知数列的前n项和，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据关系求出，再用裂项相消计算即可. 【详解】，则，则，， 而时，满足，故对，， 故. 故选：B. 变式1-2．数列的前n项和为，对一切正整数n，点在函数的图象上，（且），则数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据与的关系求得，进而求出，利用裂项相消求和法即可求解. 【详解】由题意知①， 当时，， 当时，②， ①-②，得， 若，，符合题意， 所以，则， 所以， 则 . 故选：D. 变式1-3．已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）根据等差数列的性质得出运用通项公式求解即可． （2）由（1）可得.对n分类讨论“裂项相消求和”即可得出. 【详解】（1）∵等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1、S2、S4成等比数列． ∴Sn＝na1+n（n﹣1） （2a1+2）2＝a1（4a1+12），a1＝1，∴an＝2n﹣1； （2）∵由（1）可得， 当n为偶数时，Tn＝ ． 当n为奇数时， ． ． 变式1-4．已知数列的前项和，数列满足. （1）证明：数列是等差数列； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【详解】（1）因为， 所以当时，，解得； 当时，， 则，整理得. 因为，所以. 当时，， 又，所以数列是首项和公差均为1的等差数列. （2）由（1）得，所以. 所以， 所以. 变式1-5．设数列{an}的前n项和为Sn，满足：. （Ⅰ）求证：数列为等比数列； （Ⅱ）求Sn，并求Sn的最大值. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ），. 【分析】（Ⅰ）由题得，①，， ②，两式相减得，即得数列为等比数列； （Ⅱ）求出，再利用分组求和裂项相消法求出；分析得到当时，，当时，，即得的最大值为得解. 【详解】：（Ⅰ）因为，① ，， ② 由①②可得，当时，， 所以， 所以， 所以 整理得，， 所以，又， 所以为首项公比均为的等比数列； （Ⅱ）由（Ⅰ）得， 所以， 所以， 故有， 因为， 令，则， 所以， 又，，， 所以当时，即，当时，即， 因此的最大值为. 变式1-6.已知数列中，，，． （1）设，求数列的通项公式． （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）推导出，并求出的值，然后利用累乘法可求得数列的通项公式； （2）利用两角差的正弦公式可得，然后利用裂项求和法可求得数列的前项和. 【详解】（1）由题意可得， ， ，且， ； （2）， 因此，. 类型二、错位相减法求和 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一 个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的. 错位相减法求数列的前n项和 （1）适用条件 若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和． （2）基本步骤 （3）注意事项 ①在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出； ②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号． 等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法． ① ② 得：． 整理得： 例2.已知数列的前项和为，其中，． (1)求的值以及数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由可求得的值，可得出的表达式，再利用可求得数列的通项公式； （2）求得，利用错位相减法可求得. 【详解】（1）依题意，，解得，所以． 当时，， 当时，，满足上式， 综上所述，． （2）依题意，， 故， 故， 两式相减可得， ， 则． 变式2-1．已知数列满足，． （1）证明：数列为等差数列 （2）设数列的前n项和为，求，并求数列的最大项． 【答案】（1）证明见解析；（2），274. 【解析】（1）依题意，，， 所以数列是首项为1，公差为2的等差数列． （2）由（1）知，，则， 则， 于是得， 则 ， 所以， 令，则， 当时，，当时，， 则当时，，所以数列的最大项为274 变式2-2．设等差数列的前项和为，已知，，等比数列满足，． (1)求； (2)设，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等差中项性质，计算得， （2）根据等比数列的通项公式和等比中项性质，计算得，错位相减法证明 【详解】（1）由题意得 解得，，所以， 从而， （2）由题意得，解得：，，，所以 又，令， 有 两式相减得， 整理得，得证. 变式2-3．已知等比数列的前n项和是，且是与的等差中项． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前n项和． 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）等比数列的公比设为q，，即， 是与的等差中项，可得， 所以，整理求得， 则； （2）由（1）可求得， ， ∴.① ，② ①－②得 ， 所以， 类型三、倒序相加法求和 （1）核心定义 倒序相加法：将数列的前n项和Sn=a1+a2+...+an-1+an按相反顺序写出（倒序和Sn=an+an-1+...+a2+a1），再将两式相加，利用“对称项之和为定值”的性质，化简后求出Sn的方法。 （2）适用题型（快速识别特征） ①等差数列（最基础） ②对称和为定值的数列（核心拓展）：非等差数列，但首尾对称项之和为固定值（例如函数型数列含f(x)+f(1-x)=C） （3）通用解题步骤（“四步走”流程） ①观察数列特征，判断是否满足“对称项和为定值” ②写出原数列的前n项和Sn（正序） ③写出倒序和（将Sn首尾颠倒） ④两式相加，化简求和 例3．已知，则（    ） A．-8088 B．-8090 C．-8092 D．-8094 【答案】D 【详解】， 即 设①， 则② ①+②得 ， 所以， 又， 所以.故选：D 变式3-1．已知函数是上奇函数，若数列的项满足：（）.则数列的通项公式为： . 【答案】 【分析】首先由奇函数的性质，得到，再根据结论，利用倒序相加法，即可求解. 【详解】因为函数是上奇函数，所以 ， 所以， ， 两式相加得：， 即. 故答案为： 变式3-2．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用倒序相加法，可得答案. 【详解】，， 故选：B. 变式3-3．已知函数，数列满足. (1)求证：为定值，并求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）计算为定值2，用倒序相加法求得通项公式； （2）由（1）得到，裂项相消求和得，进而结合单调性证明不等式即可. 【详解】（1）由题意得 ， 则， 得到， 两式相加得，即. （2）由题意得， 则， 而，而，可得当时，， 令，因为反比例函数在上单调递减， 所以在上单调递增，即在上单调递增，故得证. 类型四、分组求和法 （1）核心定义 分组求和法：针对通项可表示为多个简单数列通项之和（或差）的复杂数列，将其按通项结构拆分为2个或多个独立的简单数列（如等差+等比、等差+常数、等比+等比等），分别求每个简单数列的前n项和，再通过加、减运算合并结果，得到原数列前n项和（本质是化繁为简，将不规则数列转化为规则数列的“和差运算”） （2）适用题型（快速识别特征） ①等差+等比型（最常见）：通项为“等差数列通项±等比数列通项”，如： ②同类项分组型：通项含多个不同“幂次”“分式”或“根式”，需按类型拆分，如： ③符号交替分组型：含(-1)n的数列，按n的奇偶性拆分两组 ④周期数列分组型：数列具有周期性（如周期为2、3），按周期分组求和 （3）通用解题步骤（“四步走”流程） ①分析通项结构，合理拆分数列 核心原则：拆分后每一组均为“可直接求和的简单数列”（等差、等比、常数、裂项型等）； ②分别求每个拆分后数列的前n项和 等差数列求和、等比数列求和、常数数列求和、裂项数列求和 ③合并各部分和，得到原数列的前n项和 若原数列通项为“拆分数列之和”，则Sn=Sbn+Scn+...； 若为“拆分数列之差”，则Sn=Sbn-Scn-... ④验证项数与公式适用性 确保拆分后各数列的项数均为n（无漏项、多算项）； 等比数列需重点验证公比q=1 例4．已知数列的前项和，其中. (1)求数列的通项公式； (2)求使不等式成立的的最小值； (3)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2)10 (3) 【分析】（1）利用的关系式即可求得； （2）代入不等式可解得，即的最小值为10； （3）采用分组求和，利用等比和等差数列前项和公式代入计算可得结果. 【详解】（1）当时，可得， 当时，， 显然符合上式， 数列的通项公式为； （2）因为，所以等价于， 解得或（舍）， 又，所以的最小值为10； （3）由（1）可知， 所以 . 即可得. 变式4-1．已知数列满足，点在直线上. (1)设，证明为等比数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意整理可得，结合等比数列的定义分析判断； （2）由（1）可得，利用分组求和结合等比数列求和公式运算求解. 【详解】（1）因点在直线，则. 可得， 即，且， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列. （2）由（1）可知：，即 所以 变式4-2．已知为等差数列，，记分别为数列的前项和，. (1)求的通项公式; (2)求. 【答案】（1）an=4n-3 （2） 【详解】（1）设等差数列的公差为， ， ， 整理得，解得 ； （2）当n为偶数时， ； 当为奇数时，， ， 当时，上式也成立； . 变式4-3．记为数列的前项和，已知. (1)求，并求的通项公式； (2)求的前项和. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由题可得当，可得，当时可得，，再结合题意可得，即可求解； （2）由（1）求出当、时的相应式子，即可求解. 【详解】（1）当时，. 当时，，， 两式相减得， 经检验，当时，，符合上式，所以. （2）由（1）可得数列为等差数列.当时，，，.. 此时， 当时，，，.. 所以. 综上，. 类型五、并项求和法 （1）核心定义： 将数列中相邻的若干项（通常是2项、3项）合并为一个新的、可直接求和的数列（如常数数列、等差数列、等比数列），再对新数列求和，最终得到原数列的前n项和Sn （2）适用题型（快速识别特征） ①符号交替型数列（最常见）：通项含(-1)n或(-1)n+1 ②相邻项和为常数等差、等比 ③含绝对值的分段数列：绝对值内的表达式符号交替，需合并同号项求和，如an=|(-1)n 2n|（实际可转化为符号交替型） ④三项并项型（特殊情况）：相邻3项合并为常数或规则数列，如an=n+(n+1)-(n+2)（可合并为(n+n+1-n-2)=n-1，但需验证项数） （3）通用解题步骤（“三步走”流程） ①观察数列特征，判断并项方式 优先尝试“两项并项”（高考90%以上题目适用）； 若两项并项无规律，再尝试“三项并项”； 符号交替型直接按 “奇偶数项分组”并项。 ②确定并项后的新数列 设新数列的通项为bk，明确bk是原数列的哪几项合并而成（如bk=a2k-1+a2k)，即第1+2项，第3+4项，…）； 推导bk的表达式，判断bk是常数数列、等差数列还是等比数列 ③根据原数列项数n，分情况讨论新数列的项数 关键：n为奇数还是偶数（这是并项求和的核心易错点）； 若n为偶数（n=2m）：新数列有m项，Sn=b1+b2+...+bm； 若n为奇数（n=2m+1）：新数列有m项，剩余最后一项a2m+1，Sn=b1+...+bm+a2m+1 例5．已知数列的前项和为，且． (1)证明：是等比数列，并求其通项公式； (2)设，求数列的前100项和． 【答案】(1)证明见解析，；(2)100. 【解析】（1）数列中，，当时，，两式相减得， 而，解得，所以是首项为2，公比为5的等比数列， 通项公式为. （2）由（1）知，， 所以 ． 变式5-1.知数列满足，则数列的前100项的和 . 【答案】5000 【分析】当为奇数时，，可得，，进而可求得结果. 【详解】∵，∴，，，… ∴，，，…，， ∴. 故答案为：5000. 变式5-2．设数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与关系，可得是等比数列，求得答案； （2）由（1）求出，根据分组求和求得答案. 【详解】（1）因为，所以当时，， 所以，即. 当时，，解得， 则是首项为1，公比为3的等比数列， 故． （2）由（1）可知当为奇数时，； 当为偶数时，. 当为奇数时， ， 当为偶数时， . 综上，. . 变式5-3．已知数列满足，记数列的前项和为， （1）求证：数列为等比数列，并求其通项； （2）求的前项和及的前项和为． 【答案】（1）证明见解析；；（2）；． 【解析】（1）因为，，， 所以， 又， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 因此； （2）由（1）可得①， 则②， ①②得， 则； 设， 则， 所以； ； 因此. 压轴专练 一、单选题 1．若等差数列满足，则（    ） A．2025 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差中项的性质，利用倒序相加法，可得答案. 【详解】由等差数列满足，则对于，，当时，， 则， 设， 则， 两式相加可得，解得. 故选：B. 2．数列满足，，数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用累乘法求出通项公式，再由错位相减法求和即可. 【详解】由可得， 累乘可得， 即，所以，也符合该式，故. 所以，① ，② ①②可得， 因此，. 故选：D 3．设函数，若数列的前项和为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分析函数的性质，再根据已知条件求出数列的通项公式，最后利用函数的性质计算． 【详解】函数需满足，解得，即的定义域为， ， ， ． ，则，，， 当时，，则， ，即， ，． ， ，， ． 故选：B． 4．已知数列的前n项和为，满足，对于恒成立，则的最小值为（    ） A． B．0 C．1 D．4 【答案】B 【分析】由累乘法求得，再结合错位相减求和，即可求解. 【详解】由题， ， 又符合上式，所以 则，①， ，②， 由①-②，得， 所以， 若对于恒成立，即对恒成立， 所以对恒成立，所以，所以. 故选：B 5．对于实数，用表示不超过的最大整数，如，，若，，为数列的前项和，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据定义得，，，，再每四个分组相加得结果. 【详解】∵，，，， ，，， ，，， ，， ，，，， ． 故选：A 6．南宋数学家杨辉在《详解九章算法•商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍童垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，…，设第层有个球，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件找出数列的通项公式，再得出数列的通项公式，最后利用裂项相消法求和即可. 【详解】依题意，， 则， 所以． 故选：D． 7．德国大数学家高斯，被誉为数学界的王子，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律性，因此，此方法也称之为高斯算法．现有函数（），则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定，再利用倒序相加法求和即可. 【详解】由题意得，设， ， 设， 倒序得， 两式相加得到，解得，故只有A正确. 故选：A 8．如图，在平面直角坐标系上，有一系列点，，，，每一个点均位于函数的图象上.以点为圆心的都与轴相切，且与外切.若，且，，的前项之和为，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用可整理得到，知数列为等差数列；由等差数列通项公式可得，采用裂项相消法可求得结果. 【详解】 两圆半径之和为， ， 整理可得：， ，， 又，数列是以为首项，为公差的等差数列， ，， ， . 故选：A. 二、填空题 9．已知数列满足，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，得到，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】由数列满足， 则 . 故答案为：. 10．若，已知数列中，首项，则 ． 【答案】158 【分析】根据函数解析式得，应用作差法及已知得，则，最后利用对称性及倒序相加求和即可. 【详解】， ，即， ， 时，，两式相减得， 时，，故， 又时也符合上式，故， ， ． 记， 则， 两式相加得，，即，则． 故答案为：158 三、解答题 11．设数列的前项和为，且． (1)证明：为等比数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）由与间关系结合题意可得，，据此可完成证明； （2）由（1）结合错位相减法，分组求和法可得答案. 【详解】（1）由题，， 当时，， ，又， 所以， 所以是以为首项，公比为3的等比数列； （2）由（1），， 则. 设数列，且，其前n项和为， 则， ， 两式相减可得， ， 则； 再设数列，且，其前n项和为， 则， 从而. 12．已知数列中，，前n项和为，且为等差数列. (1)证明：数列是等差数列； (2)已知，，求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式得到，然后利用得到，最后根据等差数列的定义证明即可； （2）利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）证明：因为，故， 又为等差数列，所以， ， 当时，，， 又，所以数列是一个以为首项，公差为的等差数列； （2）由于，结合（1）知，， ， 所以. 13．已知数列满足，. (1)求数列的通项公式. (2)设，记数列的前n项和为. ①求； ②若，，求m的取值范围. 【答案】(1) (2)①；②. 【分析】（1）由题意可得，从而得数列是以为首项，2为公差的等差数列，利用等差数列的通项公式求解即可； （2）①化简得，利用错位相减求解即可； ②整理得，，令，求出的最大项，即可得答案. 【详解】（1）由，. 则数列是以为首项，2为公差的等差数列， 则， 所以数列的通项公式为； （2）①由（1）得， . 于是， 则 ， 所以. ②由，， 得，. 令， 所以，， 所以不是数列的最大项， 不妨设的第n项取得最大值. 由，即， 解得， 即数列的最大值为， 所以， 即m的取值范围是. 14．已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)若为在区间内的项的个数. ①求，，； ②求数列的前项的和. 【答案】(1) (2)①，，；② 【分析】（1）利用前项和可求得通项； （2）利用列举，再推导到一般情况，通过求解可得通项，再求和即可. 【详解】（1）在中，令，得，即， 当时，①， ②， ①-②得，所以， 检验当时，满足上式，所以. （2）①由已知时，为中奇数的个数，所以 时，为中奇数的个数，所以 时，为中奇数的个数，所以 ②当时，，所以 若为奇数， 若为偶数， 所以当为奇数时， 当为偶数时， 综上 15．设数列的前n项和为，且. (1)求的通项公式. (2)已知，且数列的前n项和为. （ⅰ）求； （ⅱ）若集合恰有一个元素，求m的取值范围. 【答案】(1)； (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】（1）根据给定的递推公式，利用变形，再利用等比数列定义求出通项. （2）（ⅰ）由（1）的结论，利用裂项相消法求解即得； （ⅱ）由已知可得，构造数列并利用作商法探讨数列单调性求解. 【详解】（1）数列中，，，两式相减得， 则，而，，因此是首项为1，公比为的等比数列， 所以的通项公式为. （2）（ⅰ）由（1）知，， 所以. （ⅱ）由（ⅰ）及，得，令，则， 令，则，而，解得， 于是当时，，当时，， 即当时，数列单调递减，当时，数列单调递增， 又，，，则， 由集合恰有一个元素，得， 所以m的取值范围为. 16．已知数列是公差为2的等差数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)设表示不大于x的最大整数，求数列的前100项和； (3)设，数列的前n项和为，证明：且. 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据等差数列的通项公式，即可求解； （2）根据数列的通项公式，确定，再根据等差数列求和公式，即可求解； （3）首先求数列的通项公式，写出和，利用相邻项正负相消法求和. 【详解】（1）由条件可知，， 所以数列是公差为2，首项为3的等差数列， 则，所以； （2）因为，所以，所以， 所以数列的前100项和为； （3）， ， ， ，即证. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $