精品解析：江苏省无锡市滨湖区2025-2026学年上学期八年级期中考试数学试题

2025年秋学期初中期中质量监测卷 初二数学 注意事项： 1.考试时间为100分钟．试卷满分130分． 2.本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 4的平方根是（　　） A. ±2 B. 2 C. ﹣2 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的一个平方根． 【详解】∵（±2 ）2=4， ∴4的平方根是±2， 故选A． 【点睛】本题主要考查平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解题的关键. 2. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，掌握无理数的常见形式：“①最终结果含有开方开不尽的数，②最终结果含有的数，③形如（每两个增加一个）．”是解题的关键． 【详解】解：A.是开方开不尽的数，是无理数，故符合题意； B.是有理数，故不符合题意； C.是有理数，故不符合题意； D.是有理数，故不符合题意； 故选：A． 3. 下列图形不一定是轴对称图形的是（ ） A. 线段 B. 角 C. 等腰三角形 D. 直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，正确理解轴对称的含义是解题的关键．根据轴对称图形的定义，判断各选项是否一定具有对称轴． 【详解】解：A.线段是轴对称图形，其垂直平分线为对称轴，此选项不符合题意； B. 角是轴对称图形，其角平分线所在直线为对称轴，此选项不符合题意； C. 等腰三角形是轴对称图形，其底边上的高所在直线为对称轴，此选项不符合题意； D. 直角三角形不一定是轴对称图形，只有等腰直角三角形是轴对称图形，此选项符合题意； 故选：D． 4. 若等腰三角形的两边长分别为4和8，则该等腰三角形的周长为（ ） A. 16或20 B. 20 C. 16 D. 16和22 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，解答此题的关键是要进行分类讨论，并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．分情况讨论腰和底，并验证是否能组成三角形即可． 【详解】解：∵等腰三角形的两边长为4和8， ∴有两种情况：腰为4，底为8或腰为8，底为4， 当腰为4，底为8时，三边为4、4、8， ，不满足三角形任意两边之和大于第三边， ∴以4、4、8为边不能组成三角形； 当腰为8底为4时，三边为8、8、4， ，满足三角形任意两边之和大于第三边， ∴以8、8、4为边能组成三角形，周长， ∴该等腰三角形的周长为20． 故选：B． 5. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】考查算术平方根的性质（被开方数越大，算术平方根越大）．解题关键是将有理数转化为算术平方根形式，统一比较标准；易错点是忽略“将有理数化为相同形式”的步骤，直接凭直觉比较． 把转化为算术平方根形式（），结合、，比较被开方数：因为，根据算术平方根的性质，得，即． 【详解】解：∵，，，且， ∴，即． 6. 下列各组数，不能作为直角三角形三边长的是（） A. 3，4，5 B. ，， C. 4，5，6 D. 7，24，25 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，灵活运用勾股定理判断三角形是否为直角三角形是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，若三角形两边的平方和等于第三边的平方（第三边为最长边），则该三角形为直角三角形，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．最长边为5，，即，故能作为直角三角形三边长，不符合题意； B．最长边为，，即，故能作为直角三角形三边长，不符合题意； C．最长边为6，，即，不能作为直角三角形三边长，符合题意； D．最长边为25，，即，能作为直角三角形三边长，不符合题意． 故选C． 7. 下列命题中一定正确的是（ ） A. 9的立方根是3 B. 是25的平方根 C. 带根号的数都是无理数 D. 两个无理数的和仍是一个无理数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平方根、立方根和无理数的概念，举反例；根据定义及举反例逐一判断各选项的正确性，即可求解． 【详解】解：A. 9的立方根是，原说法错误，故不符合题意； B.是25的平方根，原说法正确，故符合题意； C.，是有理数，原说法错误，故不符合题意； D.，两个无理数的和有可能是有理数，原说法错误，故不符合题意； 故选：B． 8. 如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ） A. ∠A=∠D B. AB=DC C. ∠ACB=∠DBC D. AC=BD 【答案】D 【解析】 【详解】A．添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； B．添加AB=DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； C．添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； D．添加AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意． 故选D． 9. 如图，，连接，取的中点，连接．若，，则的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等，过点作于点，由直角三角形的性质得，即得，再根据勾股定理求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，是的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 10. 如图，在和中，，，，分别是，上的点，，分别交于点，，．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】①将绕点逆时针旋转得对应三角形为，结合等腰三角形的性质及旋转的性质，由判定，由全等三角形的性质，即可判断；②将绕点顺时针旋转得对应三角形为，结合等腰三角形的性质及旋转的性质，由判定，由全等三角形的性质，即可判断； ③由全等三角形的性质得，即可判断；④过点作交于，作交于，结合等腰三角形的性质，由判定，由全等三角形的性质及角平分线的判定定理，即可判断． 【详解】解：①，， 将绕点逆时针旋转得对应三角形为， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， （）， ， ， 故①正确； ②，， 将绕点顺时针旋转得对应三角形为， 由①同理可证：，（）， ， ， ， 故②正确； ③：由②得， ， 平分， 故③正确； ④过点作交于，作交于， ， ， ， ， ， ， ， ， （）， ， 平分， 故④正确； ①②③④都正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，角平分线的判定定理；能利用旋转的性质构建全等三角形是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 的立方根是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了立方根，利用立方根的意义求解是解题的关键． 利用立方根的意义，求得的立方根，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴的立方根是 ， 故答案为：． 12. 的相反数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】该题主要考查实数的相反数，解答的关键是掌握数a的相反数是． 根据无理数求解相反数的方法求解即可； 【详解】解：的相反数是， 故答案为：． 13. 等腰三角形的顶角是，则它的底角度数为______． 【答案】 48 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，解决本题的关键是利用等边对等角求解． 等腰三角形两底角相等，三角形内角和为，由此可解． 【详解】解：∵顶角为， 根据三角形内角和定理，得底角为． 故答案为：48． 14. 把5.03086按四舍五入法精确到0.001的近似值是______． 【答案】5.031 【解析】 【分析】本题考查了近似数，精确到0.001即保留三位小数，需根据第四位小数进行四舍五入． 【详解】解：数字5.03086精确到0.001时，需看第四位小数（万分位）上的数字8，，故第三位小数（千分位）上的0进位1，得到5.031， 故答案为5.031． 15. 若与互为相反数，则的值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 根据非负数的性质，若两个非负式互为相反数，则每个非负式都等于零，由此列出方程组求解． 【详解】解：与互为相反数， ． ，， 且． 即解得 ． 故答案为：9． 16. 如图，一棵垂直于地面且高为的大树被台风刮断，，则折断处与地面的距离的长为______m． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解决本题的关键是设出未知数，利用勾股定理建立方程求解． 根据大树垂直于地面被刮断这一条件，构建直角三角形，然后利用勾股定理来求解折断处与地面的距离即可． 【详解】解：设折断处与地面的距离的长为米， ∴米， ∵大树高米，米， 由于大树垂直于地面，被刮断后是直角三角形，其中， 由勾股定理公式可得：， 即，解得． 故答案为：． 17. 如图，在中，，于点．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形性质、勾股定理、三角形面积公式．解题关键是利用角的性质求直角边长度，再通过面积法（同一三角形两种面积表示）求高；易错点是混淆角对的直角边（误将当作短边），或面积公式应用时漏乘． 首先由中、，得；其次用勾股定理求出的长度；最后利用“”的面积等式，代入数值计算． 【详解】在中，，，故； 由勾股定理得； ， 解得． 故答案为：． 18. 定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在中，，，点为边上一点，若为“反直角三角形”，则的长为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】题考查了等腰三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质等知识，理解“反直角三角形”的定义，利用分类讨论的思想解决问题是关键．分情况讨论：①当时，过点作于点，由等腰三角形的性质得到，证明，得到，即可求出的长；②当时，过点作交于点，由等角对等边得到，再证明，设，进而得出，，根据求出的值，即可求出的长；③当时，利用锐角三角函数，得出，，即此种情况不存在；④当时，同③理可证，此种情况不存在；即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ， 若为“反直角三角形”， ①当时，过点作于点， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； ②当时，过点作交于点， ， ， ， ，， ， ， ， 设，则， ， ，， ， ， ； ③当时， ，，且， ， ， 若，则，即， 此种情况不存在； ④当时， 当点与点重合时，最小，此时， 同③理可证，此种情况不存在； 综上可知，的长为或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共9小题，共76分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2） 【答案】（1）29 （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，熟知运算法则是解题的关键． （1）根据算术平方根、零指数幂、乘方的性质计算即可； （2）根据负指数幂、立方根、绝对值的性质计算即可． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：． 20. 求下列式子的的值． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了平方根和立方根的求解，解决本题的关键是熟练掌握平方根与立方根的求解． （1）通过移项和开平方解一元二次方程； （2）利用立方根的性质直接求解即可． 【小问1详解】 解：由，得， ∴， 即． 【小问2详解】 解：由， 又， 所以， 解得． 21. 如图，点，在上，， ，． （1）求证：； （2）若，，试比较与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：由，得； 在和中， ， ， ． （2） ，理由如下： 由（1）知， ，，， ， 大角对大边，在中， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了考查平行线性质、全等三角形判定（）、三角形内角和与大角对大边．解题关键是结合已知条件证全等；易错点是混淆全等判定条件，或忽略“大角对大边”的应用条件． （1）由得，结合、，用证，得； （2）先由全等得对应角相等，再用三角形内角和求，通过“大角对大边”比较边长，得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 已知和是某个正数的两个平方根，的立方根是2，是的整数部分． （1）求和的值； （2）求的算术平方根． 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根、立方根、无理数的估算、代数式求值等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据平方根的概念求解即可； （2）根据立方根的概念求出，根据无理数的估算求出，把代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵和是某个正数的两个平方根， ，解得：， ∴， ． 【小问2详解】 解：∵的立方根是2， ，即， ∵是的整数部分，， ∴， ， ∴的算术平方根是10． 23. 如图，为锐角三角形． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在边右上方确定点，使，且；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，，则四边形的面积为______．（如需画草图，请使用图2） 【答案】（1） 如图所示： （2）28 【解析】 【分析】考查角平分线作图、角平分线性质、三角形面积．关键是用角平分线性质转化高，易错点是忽略点D到的距离等于． （1）作平分线，作，交点为D； （2）拆分四边形面积为：用算面积，利用角平分线性质算面积，相加得结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ． ， ； 又是的平分线，点D到、的距离相等且，故 ； 因此，四边形的面积． 故答案为：28． 24. （）填空：______；______； （）当时，______（用“”填空）； （）当时，求证：． 【答案】 （）； （） （）证明：∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（）根据二次根式的性质解答即可求解； （）根据二次根式的性质解答即可； （）根据二次根式的性质证明即可； 本题考查了二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】（）解：；， 故答案为：；； （）解：当时，， ∴， 故答案为：； （）略 25. 如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，． （1）若，，求的长； （2）延长，与直线相交于点，连接．若，试说明是等边三角形． 【答案】（1） （2） 解：如图所示． 的垂直平分线分别交，于点，， ． ， ． ，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质和判定，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）连接，由的垂直平分线分别交，于点，，可得，已知，，，利用勾股求得，设，则，利用勾股定理求得即可． （2）由的垂直平分线分别交，于点，，可得，由，可得，根据等角的余角相等，可得，进一步证得，所以，即可得出结论． 【小问1详解】 解：连接，如图所示． 在中，，，， ． 的垂直平分线分别交，于点，， ． 设，则， ， ， ， ． 【小问2详解】 略 26. 已知：和都是等腰直角三角形，，，． （1）如图1，连接，，相交于点，求证：； （2）如图2，连接，，分别是，的中点，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：交于I， 和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，即， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） ，理由如下： 连接，， ∵是等腰直角三角形，G是的中点， ∴，， 由(1)可知， ∴， ∵ G是的中点， ∴， ∴， ∵H是的中点， ∴． 【解析】 【分析】考查等腰直角三角形性质、全等三角形判定（）、直角三角形斜边中线性质、等腰三角形三线合一．解题关键是通过角的和差证角相等，结合已知条件证全等；利用直角三角形斜边中线性质得线段相等，再用三线合一证垂直．易错点是忽略角的和差转化，或混淆直角三角形斜边中线的应用条件． （1）由等腰直角三角形得，结合、，用证，得；通过对顶角相等，将转化为，证． （2）连接、，由等腰直角三角形斜边中线性质得，由得，故；结合H是中点，用等腰三角形三线合一证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 27. 如图1，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，且平分． （1）求的度数； （2）如图2，将绕点逆时针旋转得到，旋转角为（）．连接，． ①若，求面积的最大值及此时旋转角的度数； ②当是直角三角形时，请直接写出旋转角的度数． 【答案】（1） （2）①，．②或 【解析】 【分析】本题属于几何变换综合题，主要考查了含有30°的直角三角形、旋转的性质、几何动点问题等知识点，掌握相关基础知识是解题的关键． （1）证明，再利用直角三角形两锐角互余求解； （2）的底是定长，所以只要找到高的最大值就可求出面积最值，当N、H重合时取最大值，此时最大值为，即可求解∶ ②首先由条件可知只有可能是，由特殊三角形和旋转的性质大胆猜测当点与A重合时和当与C重合时满足，进而求旋转角即可． 【小问1详解】 解∶垂直平分， ，． 平分， ． ， ． ． 【小问2详解】 解：，， ，． ． ． 垂直平分， ，． 如图，作于点H，于点N，连接． 在旋转的过程中，对应边，对应高， 在中，． 在中．． ． 如图，当N、H重合时取最大值， 此时最大值为． ． 即面积最大值是． 此时M、O、N三点共线，． ②在旋转的过程中，等腰三角形的形状、大小不变， ． ，同理， 中只有可能． 垂直平分， ，． 如图，当点与A重合时，恰好在的延长线上，满足，此时； 如图，当与C重合时，点恰好在的延长线上，满足，此时． 综上，当是直角三角形时，为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋学期初中期中质量监测卷 初二数学 注意事项： 1.考试时间为100分钟．试卷满分130分． 2.本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 4的平方根是（　　） A. ±2 B. 2 C. ﹣2 D. 16 2. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形不一定是轴对称图形的是（ ） A. 线段 B. 角 C. 等腰三角形 D. 直角三角形 4. 若等腰三角形的两边长分别为4和8，则该等腰三角形的周长为（ ） A. 16或20 B. 20 C. 16 D. 16和22 5. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 下列各组数，不能作为直角三角形三边长的是（） A. 3，4，5 B. ，， C. 4，5，6 D. 7，24，25 7. 下列命题中一定正确的是（ ） A. 9的立方根是3 B. 是25的平方根 C. 带根号的数都是无理数 D. 两个无理数的和仍是一个无理数 8. 如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ） A. ∠A=∠D B. AB=DC C. ∠ACB=∠DBC D. AC=BD 9. 如图，，连接，取的中点，连接．若，，则的面积为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在和中，，，，分别是，上的点，，分别交于点，，．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 的立方根是_______． 12. 的相反数是__________． 13. 等腰三角形的顶角是，则它的底角度数为______． 14. 把5.03086按四舍五入法精确到0.001的近似值是______． 15. 若与互为相反数，则的值为______． 16. 如图，一棵垂直于地面且高为的大树被台风刮断，，则折断处与地面的距离的长为______m． 17. 如图，在中，，于点．若，，则的长为______． 18. 定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在中，，，点为边上一点，若为“反直角三角形”，则的长为___________． 三、解答题（本大题共9小题，共76分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2） 20. 求下列式子的的值． （1）； （2）． 21. 如图，点，在上，， ，． （1）求证：； （2）若，，试比较与的大小关系，并说明理由． 22. 已知和是某个正数的两个平方根，的立方根是2，是的整数部分． （1）求和的值； （2）求的算术平方根． 23. 如图，为锐角三角形． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在边右上方确定点，使，且；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，，则四边形的面积为______．（如需画草图，请使用图2） 24. （）填空：______；______； （）当时，______（用“”填空）； （）当时，求证：． 25. 如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，． （1）若，，求的长； （2）延长，与直线相交于点，连接．若，试说明是等边三角形． 26. 已知：和都是等腰直角三角形，，，． （1）如图1，连接，，相交于点，求证：； （2）如图2，连接，，分别是，的中点，判断与的位置关系，并说明理由． 27. 如图1，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，且平分． （1）求的度数； （2）如图2，将绕点逆时针旋转得到，旋转角为（）．连接，． ①若，求面积的最大值及此时旋转角的度数； ②当是直角三角形时，请直接写出旋转角的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $