微专题04 二次函数中线段、周长、面积最值问题四大题型（专项训练）数学华东师大版九年级下册

微专题04 二次函数中线段、周长、面积最值问题四大题型 题型一 二次函数中求线段最值的问题 知识点：1.平面直角坐标系中线段长度计算，如平行于坐标轴的线段用坐标差的绝对值表示，一般线段用两点间距离公式。2.二次函数的最值性质：开口方向决定顶点是最大值或最小值点，可通过配方法或顶点公式求最值。 解题技巧：1.转化线段长度为二次函数表达式，如将动点坐标代入长度公式，整理成关于自变量的二次函数。2.结合函数开口方向和自变量取值范围（由动点位置限制确定），求二次函数的最值，即线段的最值。 1.（25-26九年级上·安徽·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于，两点，点P是直线上方抛物线上一点，设点P的横坐标为m，过点P作垂直于于点E． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当的长最大时，求线段的最大值及此时点P的坐标； 【答案】(1) (2)点P的坐标为：，PE的最大值为 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、一次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）把和代入到进行求解即可； （2）过点P作轴于点，交于点N，设直线的表达式为，再把和代入求解一次函数，进而可得为等腰直角三角形，则，设点P的坐标为和点为，表达出，即可得到解答． 【详解】（1）解：∵和在抛物线上， ∴， 解得， 故抛物线的表达式为； （2）解：过点P作轴于点，交于点N， 设直线的表达式为， ∵和在直线上， ∴， 解得， ∴直线的表达式为：， 当时，则， ∴直线与y轴交于点， 又∵点为， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴直线和x轴的正半轴的夹角为， ∴， ∴， 设点P的坐标为，点， ∴ ， ∵，且， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴点P的坐标为， 又∵， ∴的最大值为． 2．（25-26九年级上·全国·期中）如图，抛物线（，为常数，）的顶点坐标为，与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点． (1)求点和点的坐标； (2)点是直线上方该抛物线上一点，过点作轴，与直线相交于点，求线段的最大值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与线段综合，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据抛物线的顶点坐标为，进行列方程，再解出方程，得，理解题意，得，解得，，即可作答． （2）理解题意，得，再求出直线的解析式，整理得，然后化为顶点式，得，运用二次函数的图象性质，进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为， ， 解得， ∴， 当时，， ∴， 解得，． 点的坐标为，点的坐标为． （2）解：依题意，如图所示： 点在抛物线上， ， 当时，， 点的坐标为．， 又， 设直线的解析式为， ， 解得， 可得直线的解析式为， 轴， 点的坐标为， 点在直线的上方， ， 则， ∵， 当时，的最大值，最大值为． 3．（25-26九年级上·天津蓟州·阶段练习）已知：如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点，点P是直线下方的抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)过P点作y轴的平行线交直线于点E，求线段的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，正确理解题意求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）将两点坐标代入解析式即可求得抛物线解析式； （2）根据坐标求出所在直线解析式为，设，，进而求得，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点和点， ∴， ∴， ∴这个二次函数的表达式为． （2）解：∵点P是直线下方的抛物线上一动点， ∴设，， 设直线的解析式为， 将点和点代入得， ∴， ∴直线的解析式为． ∵过P点作y轴的平行线交直线于点E， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值为， ∴线段的最大值为． 4.（25-26九年级上·天津滨海新·阶段练习）如图，对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，）与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为，且点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)点C为抛物线与y轴的交点； ①点P在抛物线上，且，求点P点坐标； ②设点Q是线段上的动点，作轴交抛物线于点D，求线段长度的最大值． 【答案】(1)抛物线的解析式为，顶点坐标为． (2)①点P的坐标为或；②最大值为 【分析】（1）因为抛物线的对称轴为，点与在抛物线上，代入抛物线的解析式，即可解答； （2）①先由二次函数的解析式得到点C坐标，然后设点P坐标为，根据列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；②先运用待定系数法求出直线的解析式，再设点Q坐标为，则点D坐标为，然后用含x的代数式表示，根据二次函数的性质即可求出线段长度的最大值． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为，点A坐标为，与在抛物线上， ∴． 解得． ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴顶点坐标为． （2）解：①∵抛物线的解析式为， 令，则， ∴抛物线与y轴交点坐标为． ∴． 设点P坐标为， ∵， ． ∴． 当时， ， 当时， ． ∴点P的坐标为或． ②设直线的解析式为， 将代入， 得． 解得． ∴直线的解析式为． 设点Q坐标为， 则点D坐标为． ∴． 当时，有最大值． 题型二 二次函数中求线段和最值的问题 知识点：1.两点间距离公式及平面几何中线段和的性质，如对称点到两点距离相等。2.二次函数图象上点的坐标特征，动点坐标可表示为含自变量的代数式，便于转化线段和为函数表达式。 解题技巧：1.利用对称转化，将折线和化为直线距离（如作某点关于对称轴或坐标轴的对称点，转化为两点间线段最短）。2.建立函数模型，用动点坐标表示线段和，结合二次函数最值性质（顶点或端点）求解，注意自变量取值范围对结果的限制。 1.（25-26九年级上·重庆长寿·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在线段上． (1)求出点的坐标； (2)求的最小值． 【答案】(1)，，， (2)5 【分析】（1）令，分别求出，，； （2）过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两线交于点T，连接，证明四边形是正方形，且，即有点O与点T关于直线对称，则有，当A、P、T三点共线时最小，即最小，最小值为，问题随之得解． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， 当时，， 解得：，， ∴，， （2）由（1）知，，； 过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两线交于点T，连接，如图， ∴，， ∵，， ∴四边形是正方形，且， ∴点O与点T关于直线对称， ∴， ∴， ∴当A、P、T三点共线时最小，即最小，最小值为， ∵，， ∴的最小值． 2．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，过点的抛物线顶点为，与轴交于、两点 (1)求抛物线的解析式； (2)若点是轴上一点，则当取得最小值时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数解析式的求解，最短路径问题，线段垂直平分线的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将代入抛物线中，得出的值，解析式即可得出； （2）利用轴是抛物线的对称轴得到关于轴的对称点是，连接，与轴的交点就是点，此时能取得最小值． 【详解】（1）解：把，代入，得 ，解得， ． （2）解：当时，， ，． 如图，连接，设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为． 点是轴上一点，点，两点关于轴对称， ． ． 当点在直线上时，取得最小值． 当时，， ． 3．（25-26九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，抛物线经过，两点． (1)求此抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上有一点P，使得值最小，求最小值以及此时点P的坐标； 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合． （1）把，两点代入求出、的值即可； （2）因为点关于对称轴对称的点的坐标为，连接交对称轴直线于点，求出点坐标即可． 【详解】（1）解：抛物线经过，两点， ， 解得：，， 此拋物线的解析式为； （2）解：如图，连接，交对称轴于点， 则， 此时最小，，   拋物线的解析式为， 其对称轴为直线， 当时，， ， 又， 设的解析式为， ， 解得：， 的解析式为， 当时，， ， . 4.（25-26九年级上·山东滨州·阶段练习）如图，已知拋物线的顶点为，拋物线与轴交于点，与轴交于C、D两点（点在点D的左侧），点P是抛物线对称轴上的一个动点． (1)求此抛物线的解析式； (2)当时，的取值范围是 ； (3)是抛物线上轴上方的一个动点，当的面积为7时，求点F的坐标； (4)当的值最小时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求可得离对称轴越远，函数值越小，推出时的函数值小于时的函数值，即可得到答案； （3）先求出点D的坐标，进而根据三角形面积计算公式推出点F的纵坐标，进而可求出点F的坐标； （4）连接，由对称性可得，则当P、B、D三点共线时，有最小值，即此时有最小值；求出直线解析式即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 把点B的坐标代入中得，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越小； 在中，当时，， ∵， ∴时的函数值小于时的函数值， ∴当时，的取值范围是； （3）解：在中，当时，解得或， ∴， ∴； ∵的面积为7，且点F在x轴上方， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，解得或， ∴点F的坐标为或； （4）解：如图所示，连接， 由对称性可得， ∴， ∴当P、B、D三点共线时，有最小值，即此时有最小值； 在中，当时，， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴点P的坐标为． 题型三 二次函数中求周长最值的问题 知识点：1.平面图形周长的构成，由多条线段长度之和组成，需明确各边与二次函数图象上点的坐标关系。2.二次函数的最值性质及坐标与线段长度的转化，如平行坐标轴线段用坐标差，一般线段用距离公式。 解题技巧：1.分解周长为已知固定线段与可变线段之和，转化为求可变线段和的最值。2.利用对称或几何模型（如两点之间线段最短）转化可变线段和，结合二次函数表达式求最值，注意动点坐标的取值范围限制。 1.（2025·甘肃武威·一模）如图，抛物线与轴交于两点， (1)求该抛物线的解析式； (2)求（1）中抛物线的对称轴及顶点坐标； (3)设（1）中的抛物线交轴与点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)对称轴是直线，顶点坐标为 (3)存在， 【分析】本题考查了二次函数的图形及性质、待定系数法求解析式以及利用对称轴性质解决最短路径： （1）用待定系数法求解析式即可； （2）将解析式化为顶点式，根据顶点式求出对称轴及顶点坐标； （3）利用轴对称的性质，将求周长最小值问题转化为求两点之间线段最短的问题，点在对称轴上，而点和点关于对称轴对称，因此，的周长，当三点共线时，最小，其值为线段的长度，因此，点是直线与对称轴的交点． 【详解】（1）解：将代入抛物线中，得： ， 解得：， 该抛物线的解析式为：． （2）， 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为． （3）存在． 解：连接交对称轴于点，连接， 两点关于抛物线的对称轴对称， 直线与的交点即为点，此时的周长最小， ，抛物线交轴于点， 当时，，即， 设直线的解析式为：， 将代入可得： ， 解得：， 的解析式为：， 在对称轴上， 当时，，即． 2.（25-26九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点在抛物线对称轴上，是否存在一点，使的周长最小？若存在求出周长的最小值；若不存在说明理由． (3)如图，设点是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)存在，的周长最小值为 (3) 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求解析式，周长与线段的最值问题； （1）把点、的坐标分别代入函数解析式，解方程组即可得到结论； （2）根据轴对称的性质，，则当在上时，的周长最小，求得直线的解析式，代入，即可求解； （3）先求出直线的解析式为，再设点坐标为，则点坐标为，然后用含的代数式表示，根据二次函数的性质即可求出线段长度的最大值． 【详解】（1）把，代入，得：， 解得：， 故该抛物线的解析式为：； （2）存在，理由如下， ∵，对称轴为直线， ∵点在抛物线对称轴上，关于对称， ∴， ∴ 当在直线上时，的周长最小 ∵设直线的解析式为， 将，代入，得：， 解得：， 即直线的解析式为． ∴当时， ∴ 当时， 解得： ∴ ∴的周长最小值为： （3）∵直线的解析式为． 设点坐标为，则点坐标为， ， ∴当时，有最大值． 3．（25-26九年级上·重庆潼南·阶段练习）已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C． (1)求a的值和点B的坐标； (2)如图1，点P为直线上方抛物线上的一点，过点P作轴交AC于点Q，再过点P作于点H，求最大值时点P的坐标以及此时周长的最大值． 【答案】(1)， (2)的周长有最大值，此时 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，利用二次函数求最值，特殊角的三角函数值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）设，则，可得，分别求得，，则的周长都可以表示为的二次函数， 对此利用二次函数求最值即可，并可求出此时的坐标． 【详解】（1）解：将代入抛物线得： ， ， ∴二次函数解析式为， 令即， ， ； （2）解：二次函数解析式为， 当时，， ， ， ， 设直线的解析式为，代入，， ， 解得， 直线的解析式为， ，轴， ， ，， 的周长， 设，则， ， 当时，有最大值， 把代入， 此时， 的周长， 当时，的周长有最大值． 4．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点．点为第一象限内抛物线上的动点，于点，轴交于点，交轴于点． (1)求直线的解析式； (2)设点的横坐标为，试用含的式子表示线段的长； (3)求的周长的最大值． 【答案】(1)直线的解析式为； (2)； (3)的周长最大值为． 【分析】本题考查了利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，二次函数图象的性质以及解直角三角形． （1）先求得，，，再利用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）设点的坐标为，点的坐标为，列式计算求得线段的长； （3）判断是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，求得的周长，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：令，则， 令，则， 解得或， ∴，，， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：， 设点的坐标为， ∵轴交于点， ∴点的坐标为， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的周长 ， ∵， ∴当时，的周长有最大值， 最大值． 题型四 二次函数中求面积最值的问题 知识点：1.平面图形面积计算公式（如三角形底乘高除以2、梯形上下底和乘高除以2），及坐标法求面积（割补法转化为规则图形）。2.二次函数动点坐标特征，可表示为含自变量的代数式，将面积转化为二次函数表达式。 解题技巧：1.用动点坐标表示图形的底和高，结合面积公式列出关于自变量的二次函数。2.确定自变量取值范围，根据二次函数开口方向，求顶点或端点处的最值，注意利用割补法简化面积计算。 1.（24-25九年级上·甘肃武威·期末）已知二次函数的图象过点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图，二次函数的图象与y轴交于点B，二次函数图象的对称轴与直线交于点P，求P点的坐标； (3)在第一象限内的抛物线上有一点Q，当的面积最大时，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求函数解析式、二次函数的性质、二次函数与面积的综合等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）将A、C的坐标代入函数解析式，解方程组求出b、c的值即可得到函数的解析式； （2）先求得二次函数的对称轴，令求出B点坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式，再在直线解析式中令即可求得点P坐标； （3）设，的面积为S，连接，则，用含m的代数式表示S，然后利用二次函数的最值即可求出点Q的坐标即可． 【详解】（1）解：把点代入中， 得，解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为， 在中，当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． （3）解：∵，， ∴， 设，的面积为S，连接， 则， ， ， ∴当时S最大，此时， ∴． 2.（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于两点，其中点的坐标为，且点（2，5）在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线与轴的交点； ①点在抛物线上，且，求点点坐标； ②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求的最大值和此时点坐标． 【答案】(1)． (2)①或；②，． 【分析】本题考查了二次函数—几何综合，解题关键是熟练掌握二次函数的图象及性质． （1）因为抛物线的对称轴为点坐标为与在为抛物线上，代入为物线的解析式，即可解答； （2）①先由二次函数的解析式为，得到点坐标，然后设点坐标为，根据列出关于的方程，解方程求出的值，进而得到点的坐标； ②先运用待定系数法求出直线的解析式为，再设点坐标为，则点坐标为，然后用含的代数式表示，根据二次函数的性质即可求出线段长度的最大值，进一步求出的最大值和点坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为点坐标为与在抛物线上，则∶ 解得∶． ∴抛物线的解析式为． （2）①抛物线的解析式为， 抛物线与y轴交点坐标为， ， 设点坐标为， ∵ ， ． 当时，， 当时，． 点的坐标或， ②设直线的解析式为，将代入， 得， 解得∶． 即直线的解析式为． 如图， 设点坐标为，则点坐标为，， 当时，有最大值． 此时的最大值为， 当时，， ∴点坐标为． 3．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，，且交轴于另一点． (1)求点，的坐标及抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上有一点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； 【答案】(1)，； (2)最大值为18， 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，求函数的最大值，三角形的面积公式，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）令，由，得A点坐标，令，由得C点坐标，将A、C的坐标代入抛物线的解析式便可求得抛物线的解析式，进而由二次函数解析式； （2）连接，设，得到，再根据二次函数的性质求得最大值，便可得M点的坐标 【详解】（1）解：令，得， ∴， 令，由得， ∴； 把、两点代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； 令，得， 解得：或， ∴； （2）解：连接，如图， 设， 则 ， ∴当时，四边形面积最大，其最大值为18， 此时M的坐标为 4．（25-26九年级上·重庆綦江·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于两点，交轴于点，其中点，其对称轴． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)若为第一象限内抛物线上一点，连接、，求面积的最大值，及此时点的坐标． (3)在（2）的条件下，在对称轴上是否存在一点M，使得的周长最小，若存在，请直接写出M点坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)最大值；点P的坐标为 (3)M 【分析】本题考查了二次函数综合，待定系数法求抛物线解析式，一次函数解析式等知识，解题的关键是： （1）由二次函数的对称轴公式以及过点，待定系数法即可求解； （2）先求出直线的解析式，过点作轴，交于点，则，设点为，则点为，求出的长度，利用三角形面积列出函数解析式，利用二次函数的性质，即可得到面积的最大值，进一步即可求出点的坐标； （3）可求抛物线对称轴为直线，连接，，，根据对称性得出，则，故当A、M、P三点共线时，最小，则的周长最小，根据待定系数法求出直线的解析式为，然后把代入求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过，其对称轴为， ∴， 解得：， ∴； （2）解：由， 当时，， 则， 设直线的解析式为，则把点、代入，得 ， 解得：， ∴直线的解析式为； 过点作轴，交于点，如图： 设点P 为，则点D为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，取最大值； ∴， ∴点P的坐标为； （3）解：∵， ∴对称轴为直线， 连接，，， ∵A、B关于直线对称， ∴， ∴， ∴当A、M、P三点共线时，最小，则的周长最小， 当时，， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴， 当时，， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题04二次函数中线段、周长、面积最值问题四大题型 题型一二次函数中求线段最值的问题 题型二二次函数中求线段和最值的问题 二次函数中线段、周长、面 积最值问题四大题型 题型三二次函数中求周长最值的问题 题型四二次函数中求面积最值的问题 00 点烫璃 题型一二次函数中求线段最值的问题 ©啸方法 知识点：1.平面直角坐标系中线段长度计算，如平行于坐标轴的线段用坐标差的绝对值表示，一般线段用 两点间距离公式。2.二次函数的最值性质：开口方向决定顶点是最大值或最小值点，可通过配方法或顶点 公式求最值。 解题技巧：1.转化线段长度为二次函数表达式，如将动点坐标代入长度公式，整理成关于自变量的二次函数。 2.结合函数开口方向和自变量取值范围（由动点位置限制确定），求二次函数的最值，即线段的最值。 1.(25-26九年级上·安微阶段练习)如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C, 直线1与抛物线交于A-6,0),D(-1,5)两点，点P是直线AD上方抛物线上一点，设点P的横坐标为m, 过点P作PE垂直于AD于点E. (1)求抛物线的函数表达式： (②)当PE的长最大时，求线段PE的最大值及此时点P的坐标； 2.(25-26九年级上全国·期中)如图，抛物线y=ax2+bx+3(a,b为常数，a≠0)的顶点坐标为1,4)， 1/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 与x轴相交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C. AO (I)求点A和点B的坐标； (2)点P(m,n)是直线BC上方该抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴，与直线BC相交于点Q,求线段PO的最 大值. 3.(25-26九年级上·天津蓟州阶段练习)已知：如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图 象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为3,0)，与y轴交于C(0,-3)点，点P是直线 BC下方的抛物线上一动点. (①)求这个二次函数的表达式： (②)过P点作y轴的平行线交直线BC于点E,求线段PE的最大值， 4.(25-26九年级上·天津滨海新·阶段练习)如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c 为常数，a≠0)与x轴相交于A,B两点，其中点A的坐标为-3,0)，且点(2,5)在抛物线y=ax2+bx+c上. x=-1i ()求抛物线的解析式及顶点坐标： (2)点C为抛物线与y轴的交点； ①点P在抛物线上，且S.Poc=4SBoc,求点P点坐标； ②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D,求线段QD长度的最大值， 2/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型二二次函数中求线段和最值的问题 嫦方法 知识点：1.两点间距离公式及平面几何中线段和的性质，如对称点到两点距离相等。2.二次函数图象上点 的坐标特征，动点坐标可表示为含自变量的代数式，便于转化线段和为函数表达式。 解题技巧：1.利用对称转化，将折线和化为直线距离（如作某点关于对称轴或坐标轴的对称点，转化为两 点间线段最短)。2.建立函数模型，用动点坐标表示线段和，结合二次函数最值性质（顶点或端点）求解， 注意自变量取值范围对结果的限制。 1.(25-26九年级上·重庆长寿阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+2x+3的图象与x轴 交于点A,B,与y轴交于点C,点P在线段BC上 A B衣 (I)求出点A,B,C的坐标； (2)求PA+P0的最小值， 2.(25-26九年级上山东济南期中)如图，过点D1,3)的抛物线y=-x2+k顶点为A,与x轴交于B、C两 点 B o C (1)求抛物线的解析式： (2)若点P是y轴上一点，则当PC+PD取得最小值时，求点P的坐标 3.（25.26九年级上江西南昌阶段练习)如图，抛物线y=r2+bx-经过A-1,0),B5,0)两点. 3/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B B 图1 图2 (1)求此抛物线的解析式； (②)在抛物线的对称轴上有一点P,使得PA+PC值最小，求最小值以及此时点P的坐标： 4.(25-26九年级上山东滨州阶段练习)如图，已知拋物线的顶点为A1,4),抛物线与y轴交于点B(0,3), 与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧），点P是抛物线对称轴上的一个动点. B D (①)求此抛物线的解析式： (2)当-2<x<3时，y的取值范围是_： (3)F是抛物线上x轴上方的一个动点，当△FCD的面积为7时，求点F的坐标： (4)当PC+PB的值最小时，求点P的坐标. 题型三二次函数中求周长最值的问题 嫦方法 知识点：1平面图形周长的构成，由多条线段长度之和组成，需明确各边与二次函数图象上点的坐标关系。 2.二次函数的最值性质及坐标与线段长度的转化，如平行坐标轴线段用坐标差，一般线段用距离公式。 解题技巧：1.分解周长为已知固定线段与可变线段之和，转化为求可变线段和的最值。2.利用对称或几何模 型（如两点之间线段最短）转化可变线段和，结合二次函数表达式求最值，注意动点坐标的取值范围限制。 1.(2025甘肃武威一模)如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B-3,0)两点， 4/8 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求该抛物线的解析式： (2)求(1)中抛物线的对称轴及顶点坐标： (3)设(1)中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小？若存 在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由. 2.(25-26九年级上·黑龙江绥化阶段练习)如图a,抛物线y=-x2+bx+c交x轴于点A(-3,0)和点B,交y 轴于点C(0,3). D B B 图a 图b (1)求抛物线的函数表达式； (②)若点P在抛物线对称轴上，是否存在一点P,使△PCB的周长最小？若存在求出周长的最小值；若不存在 说明理由， (3)如图b,设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D,求线段DQ长度的最大值. 3.(25-26九年级上·重庆潼南阶段练习)已知抛物线y=ax2-2x+4与x轴交于点A-4,0)和点B,与y轴 交于点C. B (I)求a的值和点B的坐标； 5/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (②)如图1，点P为直线AC上方抛物线上的一点，过点P作PQ∥y轴交AC于点Q,再过点P作PH⊥AC 于点H,求PQ最大值时点P的坐标以及此时△PQH周长的最大值， 4（25,26九年级上江苏苏州阶段练习)如阁，在平面直角坐标系巾，指物线y=x-+?与交 于点A,B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.点P为第一象限内抛物线上的动点，PG⊥BC于点G ,PH∥y轴交BC于点H,交x轴于点M. M B (I)求直线BC的解析式： (2)设点P的横坐标为t,试用含t的式子表示线段PH的长； (3)求△PGH的周长的最大值 题型四 二次函数中求面积最值的问题 嫦方法 知识点：1.平面图形面积计算公式（如三角形底乘高除以2、梯形上下底和乘高除以2），及坐标法求面积（割 补法转化为规则图形)。2.二次函数动点坐标特征，可表示为含自变量的代数式，将面积转化为二次函数表 达式。 解题技巧：1.用动点坐标表示图形的底和高，结合面积公式列出关于自变量的二次函数。2.确定自变量取 值范围，根据二次函数开口方向，求顶点或端点处的最值，注意利用割补法简化面积计算。 1.(24-25九年级上·甘肃武威期末)己知二次函数y=-x2+bx+c的图象过点A(3,0、C(-1,0). (1)求二次函数的解析式： (2)如图，二次函数的图象与y轴交于点B,二次函数图象的对称轴与直线AB交于点P,求P点的坐标： CO■ (3)在第一象限内的抛物线上有一点Q,当△QAB的面积最大时，求点Q的坐标. 6/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.(25-26九年级上福建福州阶段练习)如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴 相交于A,B两点，其中点A的坐标为-3,0)，且点(2,5)在抛物线y=ax2+bx+c上. x=-1y个 B (1)求抛物线的解析式： (2)点C为抛物线与y轴的交点； ①点P在抛物线上，且S.Poc=4SBoc,求点P点坐标； ②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D,求S4CD的最大值和此时点D坐标. 3.(2025九年级上全国专题练习)如图，直线y=一2+3交y轴于点A,交x轴于点C,抛物线 y=-x2+bx+c经过点A,C,且交X轴于另一点B. 6 y外 B C 备用图 (I)求点B,C的坐标及抛物线的解析式： (2)在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标； 九年级上重庆素江期中)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y产+x+ 3 AB两点，交y轴于点C,其中点B(4,0),其对称轴为x= 2 7/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求该抛物线的函数解析式； (②)若P为第一象限内抛物线上一点，连接PB、PC,求△PBC面积的最大值，及此时点P的坐标. (3)在(2)的条件下，在对称轴上是否存在一点M,使得aPBM的周长最小，若存在，请直接写出M点坐 标，若不存在，说明理由. 8/8