专题02 一元二次函数、方程和不等式13考点（期末真题汇编，贵州专用）高一数学上学期人教A版必修第一册

专题02 一元二次函数、方程和不等式 13大高频考点概览 考点01 由已知条件判断所给不等式是否正确 考点02 利用不等式的性质求范围 考点03 配凑法求最值 考点04 常数代换法求最值 考点05二次与一次商式的最值 考点06 消元法求最值 考点07 整体化求最值 考点08 基本不等式的恒成立问题 考点09 基本不等式的实际应用 考点10 解不含参的一元二次不等式 考点11 解含参数的一元二次不等式 考点12 根据一元二次不等式的解集求参数 考点13 一元二次不等式的恒成立与有解问题 地 城 考点01 由已知条件判断所给不等式是否正确 1．（2024秋•遵义期末）下列命题是真命题的为　　 A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 【解析】当，时，显然错误； 当，，，时，显然错误； 当时，显然错误； 若，，则，正确． 故选：． 2．（2024秋•安顺期末）下列命题中正确的是　　 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【解析】对于，若，，则， 由， 即，故正确； 对于，因为，又，，则，故，即错误； 对于，当时，，故错误； 对于，当时，，故错误． 故选：． （多选）3．（2025春•六盘水期末）下列选项为真命题的是　　 A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【解析】取，，，满足，，但，故错误； 若，则，，所以， 又，故，故正确； 因为，所以，故正确； 因为，所以，又，则，故正确． 故选：． （多选）4．（2023春•清镇市期末）下列说法正确的是　　 A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 【解析】对于选项，由不等式的同向可加性可知，该不等式成立，所以正确； 对于选项，例如：，，但是，所以错误； 对于选项，当时，，所以错误； 对于选项，因为，所以，又，所以，所以正确． 故选：． （多选）5．（2024秋•贵阳期末）下列命题正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【解析】当，时，显然错误； 当时，，则，正确； 若，则， 所以， 所以，正确； 若，，则， 所以，错误． 故选：． 6．（2024秋•贵州期末）已知，，则　　 A． B． C． D． 【解析】对：取，，，，显然错误； 对：由，则，又，故，故正确； 对：取，，，，此时，故错误； 对：取，，，，此时，故错误． 故选：． 地 城 考点02 利用不等式的性质求范围 7．（2024秋•贵州校级期末）已知，则的取值范围为 　　． 【解析】因为，即， 所以． 故答案为：，． 8．（2024秋•织金县期末）已知，，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意，，则，则有， 又由，则，即的取值范围为． 故选：． 地 城 考点03 配凑法求最值 9．（2024秋•赫章县校级期末）已知，则的最小值是　　 A．3 B．4 C．6 D．7 【解析】因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是6． 故选：． 10．（2023秋•普定县校级期末）（1）已知，求的最小值． （2）求的最大值． （3）已知正数，满足，求的最小值． 【解析】（1）因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，的最小值3． （2）由可得， 当或时，， 当时，由基本不等式可得，，当且仅当，即时等号成立， 综上的最大值为5． （3）因为正数，满足， 由基本不等式可得，， 当且仅当且，即，时等号成立． 即的最小值为． 地 城 考点04 常数代换法求最值 11．（2024秋•安顺校级期末）设，且，则的最小值为　　 A．9 B． C．4 D． 【解析】因为，且， 则， 当且仅当，即，时取等号． 故选：． 12．（2024秋•安顺期末）已知，为正实数且，则的最小值为　　 A． B． C． D．3 【解析】因为，为正实数且， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为3． 故选：． 13．（2025春•水城区校级期末）已知正数，满足，则的最小值为　　 A．8 B．7 C．6 D．5 【解析】因为，所以，当且仅当，即时，取得等号， 故的最小值为8． 故选：． 14．（2024秋•六盘水校级期末）已知，则的最小值为　　 A．6 B．12 C．18 D．24 【解析】由题意得， 当且仅当取等号，故的最小值为12． 故选：． 15．（2024秋•金沙县期末）已知，，且，则的最小值是 　　． 【解析】； 当且仅当，即时，等号成立． 故答案为：12． 16．（2022秋•太康县期末）若正数，满足，则的最小值是　　 A．1 B． C．9 D．16 【解析】正数，满足， 当且仅当即且时取等号． 故选：． 17．（2024秋•贵阳期末）已知函数且无论取何值时，的图象恒过定点，且在直线上，则的最小值为 　　． 【解析】函数且，当时， 可得，可得的图象恒过定点， 而在直线上，所以， 所以，当且仅当，即，即，时2取等号， 所以的最小值为9． 故答案为：9． 地 城 考点05 二次与一次商式的最值 18．（2023秋•贵州校级期末）函数的最小值为　　． 【解析】， 由于， 则：， 所以：， 故函数的最小值为5． 故答案为：5 19．（2023秋•铜仁市期末）函数的最大值为 　　． 【解析】当时，，当且仅当，即时取等号， ． 故答案为：． 地 城 考点06 消元法求最值 20．（2023秋•贵州校级期末）已知实数，满足，且，则的最小值为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【解析】因为且， 所以，即， 故， 当且仅当，即，时取等号． 故选：． 21．（2023春•遵义期末）已知正实数，满足，则的最小值为　　 A． B． C．1 D． 【解析】因为，，， 所以，则， 由，得，令，则，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 则的最小值为． 故选：． （多选）22．（2024秋•黔东南州期末）已知正实数，，满足，则　　 A．的最大值为1 B．的最小值为4 C．的最小值为1 D．的最小值为18 【解析】因为，， 可得，所以， 解得，当且仅当时，取等号，即的最大值为1，故正确； 因为， 所以，解得， 当且仅当时，取等号，即的最小值为4，故正确； 由可解得，所以， 当且仅当，取等号，即，，故错误； ， 当且仅当，取等号，即，，故错误； 故选：． 地 城 考点07 整体化求最值 23．（2024秋•赫章县期末）已知实数，，且，则的最小值为　　 A．16 B．18 C．22 D．26 【解析】因为，，且， 所以， 则，当且仅当，即，时取等号． 故选：． （多选）24．（2024秋•贵州校级期末）若实数，满足，则　　 A． B． C． D． 【解析】因为，所以，所以正确，错误； 因为，又，所以， 所以，所以，所以正确，错误． 故选：． 地 城 考点08 基本不等式的恒成立问题 25．（2022秋•六盘水期末）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 　　． 【解析】当时，， 可知当时，的最小值等于3， 若不等式恒成立，则，解得， 即实数的取值范围是，． 故答案为：，． 26．（2023秋•安顺期末）若不等式恒成立，则实数的最大值为　　 A．2 B．3 C．4 D．9 【解析】解：由题意恒成立，即恒成立． 又，当且仅当时取等号． 故实数的最大值为9． 故选：． 地 城 考点09 基本不等式的实际应用 27．（2024秋•织金县期末）2023年8月29日，华为在官方网站发布了系列手机，全系搭载麒麟芯片强势回归，技术更是遥遥领先，正所谓“轻舟已过万重山”．发布后的第一周销量约达80万台，第二周的增长率为，第三周的增长率为，这两周的平均增长率为，，均大于零），则　　 A． B． C． D． 【解析】依题意，，而，，， 因此，当且仅当时取等号， 所以． 故选：． 地 城 考点10 解不含参的一元二次不等式 28．（2021春•铜仁市期末）不等式的解集为　　 A．或 B． C．或 D． 【解析】不等式， 解得， 不等式的解集是． 故选：． 29．（2023秋•铜仁市校级期末）不等式的解集是　　 A． B．或 C．或 D． 【解析】不等式，即，即，解得或， 故不等式的解集是或． 故选：． 30．（2024秋•铜仁市校级期末）设集合，，则　　 A．， B．， C．， D．，1， 【解析】不等式可变形为， 解得， 所以集合，1，， 又因为， 所以，1，． 故选：． 31．（2024春•毕节市期末）集合，，则　　 A．， B．，2， C．， D． 【解析】，0，1，，， 则，． 故选：． 32．（2023秋•金沙县期末）已知集合，． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围． 【解析】集合，． （1）根据题意，可得， 当时，， 所以． （2）由，可得， 可得以下两种情况： 当时，，解得； 当时，则，解得； 综上所述，，即实数的取值范围是，． 地 城 考点11 解含参数的一元二次不等式 33．（2024秋•兴义市校级期末）当时，关于的不等式的解集为　　 A． B． C． D． 【解析】时，，不等式可化为， 因为， 所以， 解原不等式，得， 所以原不等式的解集为． 故选：． 34．（2021春•黔西南州期末）已知函数． （1）若，求不等式的解集； （2）记不等式的解集为，若，求的取值范围． 【解析】（1）当时，即， 整理得，解得或， 所以的解集为或． （2）因为，所以，即． 所以， 解得； 即的取值范围是． 地 城 考点12 根据一元二次不等式的解集求参数 35．（2024秋•安顺校级期末）一元二次不等式的解集是，，则的值是 　　． 【解析】一元二次不等式的解集是，， 所以和是对应方程的实数根，且； 由根与系数的关系知，， 解得，， 所以． 故答案为：． 36．（2024秋•铜仁市校级期末）已知关于的一元二次不等式的解集为，则的值为　　 A． B． C． D． 【解析】因为的解集为， 所以关于的一元二次方程的两个根分别为，2， 由根与系数的关系可得，， 解得，， 所以． 故选：． 37．（2024秋•六盘水期末）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为　　 A． B． C． D． 【解析】不等式的解集为， 则，和2是方程的两根， 由韦达定理得，所以，即， 所以等价于， 因为，所以，即， 所以关于的不等式的解集为． 故选：． 38．（2024春•贵州校级期末）设，，为实数，不等式的解集是或，则的最大值为　　 A． B． C． D． 【解析】因为不等式的解集是或， 所以的根为1，3且， 则，， 即，，， 则，当且仅当，即时取等号． 故选：． （多选）39．（2023秋•贵州校级期末）已知关于的不等式的解集为，则　　 A． B． C．不等式的解集为 D．的最小值为6 【解析】根据题意，依次分析选项： 对于，不等式的解集为，对应二次函数开口向下， 则，故正确； 对于，若和4是的两个根，则， 整理得，，则有，故错误； 对于，不等式为， 又由，则，解得， 不等式的解集为，故正确； 对于，， 当且仅当时，等号成立，即的最小值为6，正确． 故选：． （多选）40．（2024秋•遵义校级期末）已知不等式的解集为，则以下选项正确的有　　 A． B． C．函数有两个零点2和3 D．的解集为或 【解析】不等式的解集为， 所以根据一元二次不等式解法可知， 且，，，，则，正确； 由二次函数的图象知当时，，故，错误； 方程的根为2和3，显然正确； 由，可知：，， 代入，得， 由可得，解得或， 故的解集为或，正确． 故选：． 41．（2023秋•贵州校级期末）关于的不等式的解集中恰有3个正整数解，则的取值范围为　　 A． B． C． D．， 【解析】当时，不等式化为，则解集中有无数个整数，不满足题意， 当时，不等式即为不等式， 当时，不等式的解集中有无数个正整数，不满足题意， 当时，，所以，所以不等式的解集为， 由解集知0一定属于此集合，则由不等式的解集中恰有3个正整数，则这3个正整数一定为1，2，3， 则． 故选：． 地 城 考点13 一元二次不等式的恒成立与有解问题 42．（2024秋•安顺校级期末）关于的不等式的解集为，则的取值范围是　　 A． B．， C．， D．， 【解析】若，则不等式为，符合题意， 若，则有，得， 综上，的取值范围为，． 故选：． 43．（2024秋•兴义市校级期末）已知函数，若对任意的，，不等式恒成立，则的最大值为　　 A．8 B．9 C．32 D．36 【解析】由函数，若对任意的，，不等式恒成立， 作出两个二次函数图象和动直线， 利用数形结合分析： 二次函数与直线交于点，与直线交于点， 二次函数与直线交于点，与直线交于点， 要使得取得最大值，则斜率取最小，轴截距取最大， 此时直线过点作函数的切线， 不妨设切点为， 则求导可得， 所以过切点的切线方程为：， 当切线过点时，有， 解得或， 因为，，所以此时满足题意， 故切线方程为：， 此时，， 故． 故选：． 44．（2024秋•安顺校级期末）已知关于的不等式的解集为，集合． （1）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围； （2）当时，，，恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）因为关于的不等式的解集为， 所以，且1和是方程的两个根， 所以， 解得， 所以， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以， 所以，解得， 所以的取值范围，； （2）因为，， 所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 解得， 即的取值范围为，． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 13大高频考点概览 考点01 由已知条件判断所给不等式是否正确 考点02 利用不等式的性质求范围 考点03 配凑法求最值 考点04 常数代换法求最值 考点05二次与一次商式的最值 考点06 消元法求最值 考点07 整体化求最值 考点08 基本不等式的恒成立问题 考点09 基本不等式的实际应用 考点10 解不含参的一元二次不等式 考点11 解含参数的一元二次不等式 考点12 根据一元二次不等式的解集求参数 考点13 一元二次不等式的恒成立与有解问题 地 城 考点01 由已知条件判断所给不等式是否正确 1．（2024秋•遵义期末）下列命题是真命题的为　　 A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 2．（2024秋•安顺期末）下列命题中正确的是　　 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 （多选）3．（2025春•六盘水期末）下列选项为真命题的是　　 A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 （多选）4．（2023春•清镇市期末）下列说法正确的是　　 A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 （多选）5．（2024秋•贵阳期末）下列命题正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 6．（2024秋•贵州期末）已知，，则　　 A． B． C． D． 地 城 考点02 利用不等式的性质求范围 7．（2024秋•贵州校级期末）已知，则的取值范围为 　　． 8．（2024秋•织金县期末）已知，，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 地 城 考点03 配凑法求最值 9．（2024秋•赫章县校级期末）已知，则的最小值是　　 A．3 B．4 C．6 D．7 10．（2023秋•普定县校级期末）（1）已知，求的最小值． （2）求的最大值． （3）已知正数，满足，求的最小值． 地 城 考点04 常数代换法求最值 11．（2024秋•安顺校级期末）设，且，则的最小值为　　 A．9 B． C．4 D． 12．（2024秋•安顺期末）已知，为正实数且，则的最小值为　　 A． B． C． D．3 13．（2025春•水城区校级期末）已知正数，满足，则的最小值为　　 A．8 B．7 C．6 D．5 14．（2024秋•六盘水校级期末）已知，则的最小值为　　 A．6 B．12 C．18 D．24 15．（2024秋•金沙县期末）已知，，且，则的最小值是 　　． 16．（2022秋•太康县期末）若正数，满足，则的最小值是　　 A．1 B． C．9 D．16 17．（2024秋•贵阳期末）已知函数且无论取何值时，的图象恒过定点，且在直线上，则的最小值为 　　． 地 城 考点05 二次与一次商式的最值 18．（2023秋•贵州校级期末）函数的最小值为　　． 19．（2023秋•铜仁市期末）函数的最大值为 　　． 地 城 考点06 消元法求最值 20．（2023秋•贵州校级期末）已知实数，满足，且，则的最小值为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 21．（2023春•遵义期末）已知正实数，满足，则的最小值为　　 A． B． C．1 D． （多选）22．（2024秋•黔东南州期末）已知正实数，，满足，则　　 A．的最大值为1 B．的最小值为4 C．的最小值为1 D．的最小值为18 地 城 考点07 整体化求最值 23．（2024秋•赫章县期末）已知实数，，且，则的最小值为　　 A．16 B．18 C．22 D．26 （多选）24．（2024秋•贵州校级期末）若实数，满足，则　　 A． B． C． D． 地 城 考点08 基本不等式的恒成立问题 25．（2022秋•六盘水期末）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 　　． 26．（2023秋•安顺期末）若不等式恒成立，则实数的最大值为　　 A．2 B．3 C．4 D．9 地 城 考点09 基本不等式的实际应用 27．（2024秋•织金县期末）2023年8月29日，华为在官方网站发布了系列手机，全系搭载麒麟芯片强势回归，技术更是遥遥领先，正所谓“轻舟已过万重山”．发布后的第一周销量约达80万台，第二周的增长率为，第三周的增长率为，这两周的平均增长率为，，均大于零），则　　 A． B． C． D． 地 城 考点10 解不含参的一元二次不等式 28．（2021春•铜仁市期末）不等式的解集为　　 A．或 B． C．或 D． 29．（2023秋•铜仁市校级期末）不等式的解集是　　 A． B．或 C．或 D． 30．（2024秋•铜仁市校级期末）设集合，，则　　 A．， B．， C．， D．，1， 31．（2024春•毕节市期末）集合，，则　　 A．， B．，2， C．， D． 32．（2023秋•金沙县期末）已知集合，． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围． 地 城 考点11 解含参数的一元二次不等式 33．（2024秋•兴义市校级期末）当时，关于的不等式的解集为　　 A． B． C． D． 34．（2021春•黔西南州期末）已知函数． （1）若，求不等式的解集； （2）记不等式的解集为，若，求的取值范围． 地 城 考点12 根据一元二次不等式的解集求参数 35．（2024秋•安顺校级期末）一元二次不等式的解集是，，则的值是 　　． 36．（2024秋•铜仁市校级期末）已知关于的一元二次不等式的解集为，则的值为　　 A． B． C． D． 37．（2024秋•六盘水期末）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为　　 A． B． C． D． 38．（2024春•贵州校级期末）设，，为实数，不等式的解集是或，则的最大值为　　 A． B． C． D． （多选）39．（2023秋•贵州校级期末）已知关于的不等式的解集为，则　　 A． B． C．不等式的解集为 D．的最小值为6 （多选）40．（2024秋•遵义校级期末）已知不等式的解集为，则以下选项正确的有　　 A． B． C．函数有两个零点2和3 D．的解集为或 41．（2023秋•贵州校级期末）关于的不等式的解集中恰有3个正整数解，则的取值范围为　　 A． B． C． D．， 地 城 考点13 一元二次不等式的恒成立与有解问题 42．（2024秋•安顺校级期末）关于的不等式的解集为，则的取值范围是　　 A． B．， C．， D．， 43．（2024秋•兴义市校级期末）已知函数，若对任意的，，不等式恒成立，则的最大值为　　 A．8 B．9 C．32 D．36 44．（2024秋•安顺校级期末）已知关于的不等式的解集为，集合． （1）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围； （2）当时，，，恒成立，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $