21.1 二次函数 同步练习 2025-2026学年沪科版数学九年级上册

21.1 二次函数 同步练习 一、单选题 1．下列函数是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数是二次函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．跳伞运动员在打开降落伞之前，下落的路程（米）与所经过的时间（秒）之间的关系为．则表格中的值为（    ） （秒） 0 1 2 3 4 … （米） 0 20 … A．40 B．50 C．80 D．160 4．用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，设垂直于墙面的边长为x米，矩形的面积为y平方米，根据题意，可列式为（ ） A． B． C． D． 5．如图，若二次函数的图象经过点，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 6．二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A．2，0， B．2，，0 C．2，3，0 D．2，0，3 7．若抛物线的顶点坐标为，与轴相交于点，则该抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 8．若是关于的二次函数，则的值是（    ） A． B． C． D．或 9．二次函数的图象如图所示，则的值为（    ） A．6 B． C．3 D． 10．小梦同学观察下表数列的前五个数时，发现是n的二次函数．设，下列说法正确的是（ ） n 1 2 3 4 5 … n 数列 0 1 1 … A．S有最大值 B．当时， C．S有最小值为 D．当时， 二、填空题 11．已知是关于的二次函数，那么 ． 12．已知二次函数的图象过点，则的值为 ． 13．一个二次函数的图象开口向下，经过点，那么这个二次函数的表达式可以是 ．（写出一个即可） 14．如图所示为抛物线的图象，A，B，C为抛物线与坐标轴的交点，且，则a，b之间满足的关系式为 ． 15．如图，已知抛物线与轴交于两点，其中，与轴交于点为抛物线的顶点，在平面直角坐标系中存在一点，恰好使得，为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点坐标 ． 三、解答题 16．关于x的函数（为常数），甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”请问谁的说法正确？为什么？ 17．下表是二次函数自变量x与函数y的部分对应值： x … 0 3 … y … 0 3 0 … 根据上表的数值，解答下列问题： (1)求二次函数的表达式； (2)在上表中，求出被墨水涂黑那格的数据． 18．已知函数（m是常数）． (1)若该函数是一次函数，求的值； (2)若该函数是二次函数，求的值． 19．根据条件求二次函数的解析式： (1)已知抛物线的顶点坐标为，与轴的交点坐标为． (2)抛物线经过点，． 20．如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，，，直线l是抛物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接．求抛物线的函数表达式； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C C A B A C B D 1．C 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义形如的函数叫做二次函数，熟记二次函数的定义是解题的关键．据此即可求解． 【详解】解：A、若，则不是二次函数，故不符合题意； B、是一次函数，不符合题意； C、是二次函数，符合题意； D、，未知数的最高次是3，不是二次函数，不符合题意， 故选：C． 2．A 【分析】本题考查了二次函数的定义，函数为二次函数，则二次项系数必须不为零，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴二次项系数， ∴， 故选：A． 3．C 【分析】此题考查了二次函数解析式，掌握待定系数法是解题的关键． 根据给定关系式，利用表中时 的条件求出常数 ，再代入计算的值． 【详解】∵ ，且当 时，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 当 时，， ∴ ． 故选：C． 4．C 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，由围栏的全长及垂直于墙面的边长，可得出平行于墙面的边长为米，再利用矩形的面积公式，即可找出y关于x的函数关系式，此题得解，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式是解题的关键． 【详解】解：围栏的全长为12米，且设垂直于墙面的边长为x米， 平行于墙面的边长为米． 根据题意得：， 故选：C． 5．A 【分析】本题考查了二次函数图象上的点，解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标特征．将坐标代入二次函数表达式即可求出a的值，再由二次函数图象开口向上即可得出结果． 【详解】解：把代入函数解析式， 得： 解得， 由图象得：开口向上， ， 故． 故选：A． 6．B 【分析】本题主要考查二次函数系数的识别，注意常数项为0时不要遗漏．根据二次函数的一般形式，直接读取二次项系数、一次项系数和常数项即可． 【详解】解：∵二次函数可化为， ∴二次项系数，一次项系数，常数项． 故选：B． 7．A 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据顶点坐标设抛物线解析式为，再代入点，求出系数，问题得解． 【详解】解：∵抛物线顶点为， ∴设解析式为， 又∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴解抛物线析式为． 故选：A 8．C 【点睛】本题考查对二次函数的定义的理解，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义：形如（a，b，c为常数且）可得且，然后进行计算即可得到答案． 【详解】解：由题意得， 解得， ∵， ． 故选：C． 9．B 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，由函数图象可知，二次函数的图象经过点，据此利用待定系数法求解即可． 【详解】解：由函数图象可知，二次函数的图象经过点， ∴， 解得， 故选：B． 10．D 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式. 设二次函数的表达式为：，根据待定系数法求出，根据得到，进而作答即可. 【详解】解：设二次函数的表达式为：， 将、、代入上式得：，解得：， 则抛物线的表达式为：； 则， 当时， 故选：D. 11．2 【分析】利用二次函数定义可得：，且，再解出的值即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握二次函数的定义． 12．1 【分析】本题主要考查二次函数的解析式，掌握待定系数法是解题的关键． 将点代入函数解析式，得到关于的方程，解方程即可． 【详解】∵二次函数的图象过点， ∴代入解析式，得， 即， 移项得， 解得． 故答案为：1． 13． 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式，由抛物线开口向下得，，经过点可得，取，可得抛物线解析式为． 【详解】解：设二次函数的表达式为， 由题意可知，图象开口向下，故， ∵图象经过点，可得， ∴二次函数的表达式为（其中）， 取，可得二次函数的表达式为． 故答案为： 14． 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数（）的图象为抛物线，当，抛物线开口向上；对称轴为直线；抛物线与y轴的交点坐标为． 先确定A点坐标为，C点坐标为，然后把它们分别代入二次函数的解析式中即可得到a与b的关系式． 【详解】解：∵， ∴A点坐标为，C点坐标为， 把代入， 得， ∴． 故答案为：． 15．或或 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质，把，代入，求出抛物线的解析式为，得，根据平行四边形的性质分三种情况讨论求解即可． 【详解】解：∴抛物线与轴交于两点，其中，与轴交于点 ∴， 解得， ∴， ∵为抛物线的顶点， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线，关于对称轴对称的点为点， ∴点的横坐标为， ∴； 设 ①当为对角线时，由平行四边形对角线互相平分，中点也相同， ∴，， 解得，， ∴点的坐标为； ②当为对角线时，同理可得， ，， 解得，； ∴点的坐标为； ③当为对对角线时，同理可得： ，， 解得，， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或或， 故答案为：或或． 16．乙说法正确，理由见解析． 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义即可求解，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：乙说法正确，理由： 由题意得：， ∴关于的函数（为常数）一定是二次函数， 所以乙的说法正确． 17．(1) (2)表中被墨水涂黑的那格数据为 【分析】本题主要考查了通过列表求二次函数的解析式，通过解析式求函数值，解题的关键是利用特殊值和待定系数法求解析式． （1）利用特殊值假设出二次函数的两点式，再利用待定系数法求解析式即可； （2）通过函数解析式求函数值即可． 【详解】（1）解：由表观察可知：当或时，； 当时，， ∴设， 把代入得，，解得：， ∴； （2）解：由（1）可得， ∴把代入得． ∴表中被墨水涂黑的那格数据为． 18．(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，二次函数的定义： （1）一般地，形如的函数叫做一次函数，据此求解即可； （2）一般地，形如的函数叫做二次函数，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵是一次函数， 且， 解得． （2）解：函数（m是常数）是二次函数， ，且， 解得：，且， ． 19．(1) (2) 【分析】本题主要考查了抛物线解析式的求法，理解求抛物线解析式的方法是解答关键． （1）设抛物线的顶点式，再代入经过的点的坐标求出即可求解； （2）将，两点坐标代入函数解析式来求解． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为， 把代入上式得， 解得， 二次函数的解析式为． （2）解：将，两点坐标代入函数解析式得 ， 解得， 所以二次函数的解析式为． 20． 【分析】此题考查待定系数法求二次函数的解析式，根据题意得到点A，B的坐标，代入解析式求解即可 【详解】解： ，， ，， 将，代入，得： ， 解得：， 抛物线的函数表达式为； 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $