期末总复习02三角形的内角和外角 2025-2026学年人教版八年级数学上册

八年级数学期末总复习讲义 ——第2课 三角形的内角与外角 知识点梳理 知识点01——三角形的内角 知识点02——三角形的外角 知识点03——三角形折叠求角模型 知识点04——基本导角模型 知识点05——双角平分线导角模型 知识点01 三角形的内角 1. 三角形的内角和定理：三角形三个内角的和等于180o. 2. 直角三角形的性质:两锐角互余； 3. 等腰三角形的性质： 例题讲解 例1（24-25七年级下·四川达州·期中）如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点，分别落在点，的位置，与交于点，如图，再将三角形沿折叠，点落在点的位置．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，先根据，求出的度数, 进而可得出和的度数，根据和三角形的内角和可得的度数，再由折叠的性质可得，掌握知识点的应用是解题关键. 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由折叠可得:， ∴， 故答案为：. 变式训练1.（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，点在上，且，的垂直平分线分别与，相交于点，，若的三个内角都不相等，则在，，，中，相等的角为 用“”连接． 【答案】 【分析】由垂直平分线的性质可得，即有，再根据三角形外角的定义得到，，进而得到，再得到，，得到． 【详解】解：，的垂直平分线分别与，相交于点，， ， ， ，， ， ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等边对等角，三角形的内角和定理等知识，熟练掌握垂直平分线的性质和等边对等角是关键． 变式训练2：（24-25七年级上·安徽淮北·开学考试）如图：等于 度． 【答案】 【分析】此题考查了三角形内角和定理．根据三角形内角和为得到，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为： 知识点02 三角形的外角 1. 三角形外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫三角形的外角. 2. 三角形外角性质:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和. 3. 三角形的外角和：360o 例题讲解 例2（24-25七年级下·山东青岛·期末）把纸片沿折叠，使点A落在图中的处，若，则的度数为 °． 【答案】60 【分析】本题考查了翻折变换，三角形内角和定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 根据三角形内角和定理求出的度数，再根据翻折的性质得出，根据已知得出的度数，继而求出的度数，分别求出和的度数，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， 由翻折的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， , ∴， ∴， 故答案为：60． 变式训练1：（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，中，，沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形折叠中的角度问题，三角形的外角的定义及性质，直角三角形的两个锐角互余，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用直角三角形的两个锐角互余求得，再利用折叠的性质求得，然后利用三角形的外角的性质求得． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处， ∴， 又， ∴， 解得：， 故选：A． 变式训练2：（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，的外角分别记为，，．若，则 ． 【答案】 【分析】这道题主要考查三角形外角的性质与三角形内角和定理，题目中给出，设未知数表示外角，，，利用“外角和为”列方程求出，进而得到每个外角的度数；再根据“外角与相邻内角互补”，算出每个内角的度数，最后求出内角的比例． 【详解】设，，， 则由三角形外角和定理得： 解得：， 即，，， ∴， ， ， ∴， 故答案为：． 知识点03 三角形折叠求角模型 1. 不压边求角 2. 压一边求角 3. 压两边求角 例题讲解 例3（25-26八年级上·浙江台州·期中）如图，将纸片沿折叠，则、和这三个角有什么数量关系（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形中的折叠问题，熟练掌握折痕是角平分线以及三角形的内角和定理，外角的性质，是解题的关键． 根据折叠和平角的定义，求出，根据外角的性质和三角形的内角和定理推出，进行求解即可． 【详解】解：如图， ∵折叠， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 故选：C． 变式训练1：（18-19八年级上·全国·单元测试）如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角的性质，连接．首先求出，再证明即可解决问题． 【详解】解：连接． ∵平分，平分，， ∴， ∴， ∴， 由折叠可得，， ∴，， ∵，， ∴， 故答案为：． 变式训练2：（25-26八年级上·全国·课后作业）下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”） 【答案】减少 【分析】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法． 先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到与，，之间的关系，进行计算即可判断． 【详解】解：连接，并延长至M，如图所示： 依题意，， ∴， ∴， ∴，， ∴ ， 要使，则减少了， 若只调整的大小， 则 ， 因此应将减少度； 故答案为：减少 知识点04 五大基本导角模型 例题讲解 例4（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在△ABC中，，D为线段BC上的一动点（不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E，以下三个结论：①；②若，则；③当时，．其中正确的是 （填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理和外角性质．①根据三角形外角的性质即可得到；②证明，即可判断；③结合三角形内角和定理、等腰三角形的判定求出，利用证明，根据全等三角形的性质求出． 【详解】解：①， ， ，， ， ，故①正确； ②， ， 由①知， ， ， ，故②正确； ③∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； 综上正确符合题意的有①②③， 故答案为：①②③． 例5 （25-26八年级上·浙江台州·期中）如图，中，于点D，于点E，若，则 °． 【答案】32 【分析】本题考查垂线的性质、三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 根据、证得，通过三角形内角和进行计算求解即可． 【详解】解：于点D 在中， 故答案为：32． 变式训练1：（24-25七年级下·吉林长春·期末）将一个三角板和圆规按如图方式摆放在同一水平桌面上，圆规的两脚恰好接触三角板的一组邻直角边．已知，，则 度． 【答案】43 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，掌握三角形的内角和为180度是解题的关键． 如图：连接，由三角形内角和定理可得出，根据角的和差关系即可得出，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图：连接， 由题意可知，， 在中，， ∴， 又∵，， ∴，即， 在中，， ∴． 故答案为：43． 变式训练2.（24-25七年级下·河北石家庄·期末）如图，在中，是边上的高，是边上的高，点F是两条高线的交点，若，，则 ° 【答案】55 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、三角形的高等知识点，灵活运用三角形的内角和定理成为解题的关键．先根据三角形内角和定理求得，根据求解即可． 【详解】解：∵是边上的高，是边上的高， ， ， ， ， 故答案为：55． 知识点05 三大双角平分线夹角模型 例题讲解 例6（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，点是内部的平分线上一点，连接，点是，平分线的交点，若，则的度数为 ． 【答案】40 【分析】本题考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 根据三角形内角和定理、由角平分线的性质可证得，,据此求解的值即可． 【详解】解：点是，平分线的交点， ， 是的平分线 ． 故答案为：． 例7（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图：三角形中，两个外角的平分线交于点D，度，则的度数 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，外角的性质，掌握外角的性质是解题的关键；根据三角形的内角和定理、根据角平分线的定义可得即可求解． 【详解】解：， ， 两个外角的平分线交于点D， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 变式训练1.（24-25八年级上·全国·期末）如图，直角坐标系中，分别平分的内外角交于点，则 度． 【答案】 【分析】先由外角性质、角平分线定义得到,即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 是的一个外角， ， 平分， ， 平分， ， ， ，， ， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形中求角度，涉及外角性质、角平分线定义、邻补角定义、直角三角形两锐角互余、平面直角坐标系定义等知识，数形结合，准确表示出相关角度关系求解是解决问题的关键． 变式训练2.（24-25七年级下·山东东营·期末）如图，点是的内角和的平分线的交点，点是的内角和的角平分线的交点，同样点是的内角和的角平分线的交点，若，那么 ． 【答案】 【分析】本题是找规律的题目，主要考查了三角形的外角性质及三角形的内角和定理，平分线的定义等知识，根据角平分线的定义，三角形的外角性质及三角形的内角和定理可知，，…，依此类推可知的度数，即可求解． 【详解】解：∵和的平分线交于点， ∴， ∵， ∴ ； 同理可得，， …， ∴， ∴ 故答案为：． 课后练习 一、单选题 1．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，一张三角形纸片被不小心撕掉了一个角，则撕掉的角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：根据三角形的内角和定理可得，撕掉的角的度数为． 故选：A 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）在中，三个内角的度数如图所示，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，熟知三角形三个内角和是180°是解题的关键. 根据三角形内角和定理列出，求解即可. 【详解】解：在中， 的度数为55°， 故选：B ． 3．（24-25七年级下·福建泉州·期中）如图，从纸片中剪去，得到四边形．如果，那么度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理， 根据平角的定义得出，再根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 4．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，在中，于点，则下列不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同角的余角相等，三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理结合同角的余角相等，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴选项A，C，D正确，符合题意，无法得到，故选项B错误； 故选：B． 5．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）如图，若，，，下列结论：①；②；③；④与互补；⑤．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知垂直的定义及平行线的判定定理是解答此题的关键． 根据得出，故③正确；再由可得出，故，，故①正确；由可知，，故可得出②正确；由可知与互余，故④错误；根据，而，故⑤错误． 【详解】∵， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∴，， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴与互余，故④错误； ∵，而， ∴，故⑤错误． 故选B． 6．（24-25七年级下·安徽亳州·期末）如图，若，且，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据平行线的性质求角的度数，三角形内角和定理，由三角形内角和定理得出，结合已知条件得出，再根据平行线的性质即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 7．（24-25七年级下·山东泰安·期末）在三角形纸片中，，点为边上靠近点处一定点，点为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点落在点处． ①如图1，当点落在边上时，； ②如图2，当点落在内部时，； ③如图3，当点落在上方时，； ④当时，或，以上结论正确的个数是（  ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】该题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，综合运用相关知识是解题的关键． ①如图1，当点落在边上时，根据折叠性质和三角形外角的性质求解即可；②如图2，当点落在内部时，根据折叠性质以及平角的定义即可求解；③如图3，当点落在上方时，根据折叠性质可得，根据 即可求解；④当时，分别画出图形根据折叠性质和平行线性质求解即可； 【详解】解：①如图1，当点落在边上时， 根据折叠性质可得， ∴，故①正确； ②如图2，当点落在内部时， 根据折叠性质可得 ∴ ，故②正确； ③如图3，当点落在上方时，； 根据折叠性质可得 ∴ ，故③正确； ④当时，    ∵， ∴， ∵， ∴， 根据折叠性质可得， ∴， ∴； 当时，      ∵， ∴ ∵， ∴， 根据折叠性质可得，， ∴， ∴， ∴； 综上或；故④错误； 故选：C． 8．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，，将一副三角板如下图摆放，其中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角板的角度计算、平行线的性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图：延长交于I， 由直角三角板可得：，则；由平行线的性质可得，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图：延长交于I， 由直角三角板可得：，则， ∵， ∴， ∴． 故选B． 9．（24-25九年级上·辽宁本溪·期末）一木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力G方向的夹角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质得到，根据三角形的内角和定理得到，求得，根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：如图， ∵支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行， ∴， ∵重力G的方向竖直向下， ∴， ∴， ∵摩擦力的方向与斜面平行， ∴， ∴， 故选：C． 10．（13-14八年级上·甘肃嘉峪关·期末）在下列条件中：①；②；③；④，能确定是直角三角形的条件有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是，根据这个定理结合已知条件，列出方程或者等式，求出三角形中最大的角是解决本题的关键． 根据三角形内角和为，求出三角形中角的度数，再根据直角三角形的定义判断从而得到答案． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故①正确； ②∵， ∴最大角， 故②正确 ③∵， ∴， ∴， 故③正确 ④∵， ∴， ∴， 故④正确 综上所述，是直角三角形的是①②③④共4个． 故选：D． 二、填空题 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，是的一个外角，，平分，，则： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查三角形外角性质，角平分线的定义，掌握三角形外角性质是解题的关键． 根据三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴， 故答案为：； （2）∵平分， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（22-23八年级上·湖北黄冈·期中）如图，是中的平分线与外角的平分线的交点．若，则的大小为 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．先根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的外角性质可得，然后根据三角形的外角性质求解即可得． 【详解】解：∵是中的平分线与外角的平分线的交点， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴ ， 故答案为：． 13．（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，已知，，点P是上一点，平分交直线于点N，若，则的度数为 ． 【答案】30 【分析】由得到，由平分得到，由知，△BMP中三个内角均相等，进而由内角和定理求出，最后在△MPN中，结合由内角和定理即可求出=30°． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又已知， ∴， ∵， ∴， 在△MPN中，由三角形内角和定理可知：， 故答案为：30． 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理等知识点，属于基础题，本题的关键是得到． 14．（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图，中，分别是高和角平分线，点在的延长线上，，交于点，交于点．下列结论：①；②；③；其中正确的是 ．    【答案】①② 【分析】由，为的高线，根据同角的余角相等可得①正确；根据三角形外角的性质和角平分线的性质变形得到，进而可得②正确；根据且，变形可得，故③错误． 【详解】解：①∵， ∴， ∵为的高， ∴，即， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∴，故②正确； ③∵，， ∴，即， ∵，， ∴， 即， ∴， ∴，故③错误， ∴正确的结论有①②， 故答案为：①②． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，三角形的高线、角平分线的概念以及三角形外角的性质等知识，灵活运用是解题的关键． 15．（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，，垂足为，与相交于点，，，则的度数为 ． 【答案】/100度 【分析】本题考查了垂直定义，三角形的内角和定理，三角形外角性质，由，则，再通过三角形内角和定理可得，最后由三角形外角性质即可求解，熟记性质并准确识图是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16.（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，在中，，，，垂足为．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，含的直角三角形，先求出，，通过通过含的直角三角形性质得，，最后通过线段和差即可求解，熟练掌握三角形内角和定理，含的直角三角形性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17.（24-25八年级上·广东江门·期中）已知等边中，点分别在边上，把沿直线翻折，使点落在点处，分别交边于点，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了折叠的性质、等边三角形的性质、三角形的内角和定理等知识点，掌握折叠的性质及三角形内角和定理是解题关键．由题意可得，由折叠可知，又，所以，得出，进而根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴． 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 18．（21-22八年级上·江苏苏州·期中）如图，四边形中，，，，在、上分别找一点M、N，当周长最小时，的度数是 ． 【答案】128° 【分析】分别作点A关于BC、DC的对称点E、F，连接EF、DF、BE ，则当M、N在线段EF上时△AMN的周长最小，此时由对称的性质及三角形内角和定理、三角形外角的性质即可求得结果． 【详解】分别作点A关于BC、DC的对称点E、F，连接EF、DF、BE，如图 由对称的性质得：AN=FN，AM=EM ∴∠F=∠NAD，∠E=∠MAB ∵AM+AN+MN=EM+FN+MN≥EF ∴当M、N在线段EF上时，△AMN的周长最小 ∵∠AMN+∠ANM=∠E+∠MAB+∠F+∠NAD=2∠E+2∠F=2(∠E+∠F)=2(180°−∠BAD)=2×(180°−116°)=128° 故答案为：128° 【点睛】本题考查了对称的性质，两点间线段最短，三角形内角和定理与三角形外角的性质等知识，作点A关于BC、DC的对称点是本题的关键． 三、解答题 19．（24-25七年级下·陕西西安·期末）在中，，，求的度数． 【答案】 【分析】在中，由各角度数间的关系，结合三角形内角和是，可列出求出的度数． 本题考查了三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是”是解题的关键 【详解】解：在中，，， ， ． 20．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，与相交于点O，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，先根据平行线的性质推出，再利用三角形外角的性质结合，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的外角，， ∴， ∴． 21．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，，，于，试探究与之间的数量关系． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理以及三角形外角性质的运用，解题时注意：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．依据，，即可得到，再根据三角形外角性质，即可得到与之间的数量关系． 【详解】解：，， ， 中，， ， ， 又是的外角， ． 22．（24-25七年级下·四川眉山·期末）如图，是的高，是的角平分线，点是的中点，，． (1)求的度数； (2)若与的周长差为5，，求的长． 【答案】(1)79° (2)12 【分析】本题考查了直角三角形的性质、角平分线的定义、三角形的外角的性质和三角形的周长的计算，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质、角平分线的定义和三角形的外角的性质即可得到结论； （2）根据三角形的周长公式和已知条件即可得到结论． 【详解】（1）解：∵是的高， ∴， ， ． 平分， ． ； （2）解：点为的中点， ． 与的周长差为5， ， ， ， ． 23．（24-25七年级下·四川遂宁·阶段练习）如图所示的图形，像我们常见的符号−−箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”． (1)探究：观察“箭头四角形”，试探究图中与，，之间的关系，并说明理由； (2)应用：请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： 如图，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则______； 如图，，的三等分线，相交于点，若，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析； (2)；． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据三角形的内角和定理即可求解； （）根据（）中结论即可求解； 设，，根据（）中结论即可求解． 【详解】（1）解：，理由： 连接， 在中， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：由（）得， ∵，， ∴， 故答案为：； 如图，设，， 由（）可知，， ∴， ∵， ∴． 24．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）如图，与相交于点，，点，分别在和上，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，平角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据平行线的性质，可知，，从而得证； （2）先根据，推出，然后利用，求得，接着利用平角，求得，根据（1）可得，最后利用三角形内角和定理求得． 【详解】（1）证明：，， ，， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 由（1）可知，， ， ， ． 25．（24-25七年级下·四川遂宁·期中）（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明； 【简单应用】 （2）如图2，、分别平分．，若，，求的度数； 【问题探究】 （3）如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，，请猜想的度数，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查三角形内角和，三角形的外角的性质，解题的关键是学会用方程组的思想思考问题． （1）根据三角形内角和定理即可证明； （2）如图2，根据角平分线的性质得到，，列方程组即可得到结论； （3）由平分的外角，平分的外角，推出，，推出，，由，，推出，即可解决问题. 【详解】（1）证明：在中，， 在中，， ， ； （2）解：如图2， 、分别平分，， ，， 由（1）的结论得： ， ①②，得， ； （3）解：如图3， 平分的外角，平分的外角， ，， ，， ， ， ， ． 26.（25-26八年级上·湖北黄石·月考）综合与实践 问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动． 独立思考：（1）如图①，将三角形纸片沿折叠，使点A落在四边形内点的位置，则与之间的数量关系为______，请说明理由； 深入探究：（2）如图②，若点落在四边形的边下方时，试猜想此时与，之间的数量关系，并说明理由； 结论运用：（3）如图③，在四边形中，，E，F分别是，边上的一点，沿将四边形折叠，点A的对应点G恰好落在边上，且．的度数为______； 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，三角形外角的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）连接，由折叠的性质得出．由三角形外角的性质可得出结论； （2）由三角形外角的性质得出，则可得出结论； （3）①延长交的延长线于L，由（2）中结论可知，求出．则可得出答案． 【详解】解：（1），理由如下： 如图①，连接， 将三角形纸片沿折叠，点A落在四边形内点的位置， ． ， ， 即； 故答案为：； （2），理由如下： 如图②，设与交于点F， ， ， ； （3）如图③，延长交的延长线于L，由（2）中结论可知， ， ． ， ． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学期末总复习讲义 ——第2课 三角形的内角与外角 知识点梳理 知识点01——三角形的内角 知识点02——三角形的外角 知识点03——三角形折叠求角模型 知识点04——基本导角模型 知识点05——双角平分线导角模型 知识点01 三角形的内角 1. 三角形的内角和定理：三角形三个内角的和等于180o. 2. 直角三角形的性质:两锐角互余； 3. 等腰三角形的性质： 例题讲解 例1（24-25七年级下·四川达州·期中）如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点，分别落在点，的位置，与交于点，如图，再将三角形沿折叠，点落在点的位置．若，则 ． 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，先根据，求出的度数, 进而可得出和的度数，根据和三角形的内角和可得的度数，再由折叠的性质可得，掌握知识点的应用是解题关键. 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由折叠可得:， ∴， 故答案为：. 变式训练1.（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，点在上，且，的垂直平分线分别与，相交于点，，若的三个内角都不相等，则在，，，中，相等的角为 用“”连接． 变式训练2：（24-25七年级上·安徽淮北·开学考试）如图：等于 度． 知识点02 三角形的外角 1. 三角形外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫三角形的外角. 2. 三角形外角性质:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和. 3. 三角形的外角和：360o 例题讲解 例2（24-25七年级下·山东青岛·期末）把纸片沿折叠，使点A落在图中的处，若，则的度数为 °． 【分析】本题考查了翻折变换，三角形内角和定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 根据三角形内角和定理求出的度数，再根据翻折的性质得出，根据已知得出的度数，继而求出的度数，分别求出和的度数，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， 由翻折的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， , ∴， ∴， 故答案为：60． 变式训练1：（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，中，，沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处．若，则等于（   ） A． B． C． D． 变式训练2：（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，的外角分别记为，，．若，则 ． 知识点03 三角形折叠求角模型 1. 不压边求角 2. 压一边求角 3. 压两边求角 例题讲解 例3（25-26八年级上·浙江台州·期中）如图，将纸片沿折叠，则、和这三个角有什么数量关系（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查三角形中的折叠问题，熟练掌握折痕是角平分线以及三角形的内角和定理，外角的性质，是解题的关键． 根据折叠和平角的定义，求出，根据外角的性质和三角形的内角和定理推出，进行求解即可． 【详解】解：如图， ∵折叠， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 故选：C． 变式训练1：（18-19八年级上·全国·单元测试）如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，则 ． 变式训练2：（25-26八年级上·全国·课后作业）下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”） 知识点04 五大基本导角模型 例题讲解 例4（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在△ABC中，，D为线段BC上的一动点（不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E，以下三个结论：①；②若，则；③当时，．其中正确的是 （填序号） 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理和外角性质．①根据三角形外角的性质即可得到；②证明，即可判断；③结合三角形内角和定理、等腰三角形的判定求出，利用证明，根据全等三角形的性质求出． 【详解】解：①， ， ，， ， ，故①正确； ②， ， 由①知， ， ， ，故②正确； ③∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； 综上正确符合题意的有①②③， 故答案为：①②③． 例5 （25-26八年级上·浙江台州·期中）如图，中，于点D，于点E，若，则 °． 【分析】本题考查垂线的性质、三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 根据、证得，通过三角形内角和进行计算求解即可． 【详解】解：于点D 在中， 故答案为：32． 变式训练1：（24-25七年级下·吉林长春·期末）将一个三角板和圆规按如图方式摆放在同一水平桌面上，圆规的两脚恰好接触三角板的一组邻直角边．已知，，则 度． 变式训练2.（24-25七年级下·河北石家庄·期末）如图，在中，是边上的高，是边上的高，点F是两条高线的交点，若，，则 ° 知识点05 三大双角平分线夹角模型 例题讲解 例6（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，点是内部的平分线上一点，连接，点是，平分线的交点，若，则的度数为 ． 【分析】本题考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 根据三角形内角和定理、由角平分线的性质可证得，,据此求解的值即可． 【详解】解：点是，平分线的交点， ， 是的平分线 ． 故答案为：． 例7（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图：三角形中，两个外角的平分线交于点D，度，则的度数 ． 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，外角的性质，掌握外角的性质是解题的关键；根据三角形的内角和定理、根据角平分线的定义可得即可求解． 【详解】解：， ， 两个外角的平分线交于点D， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 变式训练1.（24-25八年级上·全国·期末）如图，直角坐标系中，分别平分的内外角交于点，则 度． 变式训练2.（24-25七年级下·山东东营·期末）如图，点是的内角和的平分线的交点，点是的内角和的角平分线的交点，同样点是的内角和的角平分线的交点，若，那么 ． 课后练习 一、单选题 1．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，一张三角形纸片被不小心撕掉了一个角，则撕掉的角的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）在中，三个内角的度数如图所示，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·福建泉州·期中）如图，从纸片中剪去，得到四边形．如果，那么度数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，在中，于点，则下列不正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）如图，若，，，下列结论：①；②；③；④与互补；⑤．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．（24-25七年级下·安徽亳州·期末）如图，若，且，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·山东泰安·期末）在三角形纸片中，，点为边上靠近点处一定点，点为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点落在点处． ①如图1，当点落在边上时，； ②如图2，当点落在内部时，； ③如图3，当点落在上方时，； ④当时，或，以上结论正确的个数是（  ）    A．1 B．2 C．3 D．4 8．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，，将一副三角板如下图摆放，其中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·辽宁本溪·期末）一木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力G方向的夹角度数为（    ） A． B． C． D． 10．（13-14八年级上·甘肃嘉峪关·期末）在下列条件中：①；②；③；④，能确定是直角三角形的条件有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，是的一个外角，，平分，，则： （1） ； （2） ． 12．（22-23八年级上·湖北黄冈·期中）如图，是中的平分线与外角的平分线的交点．若，则的大小为 ． 13．（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，已知，，点P是上一点，平分交直线于点N，若，则的度数为 ． 14．（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图，中，分别是高和角平分线，点在的延长线上，，交于点，交于点．下列结论：①；②；③；其中正确的是 ．    15．（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，，垂足为，与相交于点，，，则的度数为 ． 16.（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，在中，，，，垂足为．若，则的长为 ． 17.（24-25八年级上·广东江门·期中）已知等边中，点分别在边上，把沿直线翻折，使点落在点处，分别交边于点，若，则的度数为 ． 18．（21-22八年级上·江苏苏州·期中）如图，四边形中，，，，在、上分别找一点M、N，当周长最小时，的度数是 ． 三、解答题 20．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，与相交于点O，．求的度数． 21．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，，，于，试探究与之间的数量关系． 22．（24-25七年级下·四川眉山·期末）如图，是的高，是的角平分线，点是的中点，，． (1)求的度数； (2)若与的周长差为5，，求的长． 23．（24-25七年级下·四川遂宁·阶段练习）如图所示的图形，像我们常见的符号−−箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”． (1)探究：观察“箭头四角形”，试探究图中与，，之间的关系，并说明理由； (2)应用：请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： 如图，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则______； 如图，，的三等分线，相交于点，若，，求的度数． 24．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）如图，与相交于点，，点，分别在和上，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 25．（24-25七年级下·四川遂宁·期中）（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明； 【简单应用】 （2）如图2，、分别平分．，若，，求的度数； 【问题探究】 （3）如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，，请猜想的度数，并说明理由． 26.（25-26八年级上·湖北黄石·月考）综合与实践 问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动． 独立思考：（1）如图①，将三角形纸片沿折叠，使点A落在四边形内点的位置，则与之间的数量关系为______，请说明理由； 深入探究：（2）如图②，若点落在四边形的边下方时，试猜想此时与，之间的数量关系，并说明理由； 结论运用：（3）如图③，在四边形中，，E，F分别是，边上的一点，沿将四边形折叠，点A的对应点G恰好落在边上，且．的度数为______； 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $