期末总复习01三角形 讲义 2025-2026学年人教版八年级数学上册

该初中数学讲义以“三角形”为核心，通过考点分类系统梳理知识体系，将三角形的概念、中线、高线、角平分线及三边关系等要点，用分类框架图呈现按角与按边的分类逻辑，结合定义与性质构建知识脉络，突出重心、等积法等重难点的内在联系。 讲义亮点在于“知识点-例题-变式”的递进式练习设计，如变式训练1结合空调支架实例考查三角形稳定性，培养数学眼光，例4通过角平分线与平行线构造全等，渗透推理意识。课后练习分层设置选择、填空及综合解答题，基础学生可掌握定义应用，优秀学生能突破辅助线技巧，助力教师实施精准教学，提升学生自主复习效率。

八年级数学期末总复习讲义 第1课 三角形 知识点梳理 考点01三角形的有关概念 考点02三角形的中线 考点03三角形的高线 考点04三角形的角平分线 考点05三角形的三边关系 知识点01 三角形的有关概念 1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2.三角形的分类 按角分 按边分 例题讲解 例1（24-25八年级上·安徽安庆·月考）用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了三角形的分类．根据三角形的分类，进行判定作答即可． 【详解】解：由题意知，三角形包括等腰三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，A、C正确，故不符合要求； 三角形按照角度分类包括锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，B正确，D错误， 故选：D． 变式训练1.（25-26八年级上·广西南宁·期中）空调外机安装固定在三角形支架上，这样做的原理是（　　） A．两点确定一条直线 B．角平分线上的点到角的两边的距离相等 C．三角形具有稳定性 D．两点之间线段最短 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性．正确掌握三角形的这一性质是解题的关键．用三角形支架把空调外机固定在墙壁上，是应用了三角形的稳定性． 【详解】由图可知，这种方法蕴含的数学原理是：三角形的稳定性． 故选：C． 变式训练2：（25-26八年级上·甘肃陇南·期中）平面内的四个点最多可以组成不同的三角形个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】本题考查三角形的个数，根据三角形的定义，得到当四个点中任意三点都不共线，组成的三角形的个数最多，进行判断即可． 【详解】解：设四个点分别为， 当四个点中任意三点都不共线，组成的三角形的个数最多，分别为，共4个； 故选B． 知识点02 三角形的中线 1. 三角形的中线：三角形的一个顶点和对边中点的连线. AD为中线 2. 重心：三角形三条中线的交点 3. 求三角形的面积之比 AD为中线BD=DC= 4. 倍长中线 例题讲解 例2（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，点D，E，F分别在三边上，E是的中点，交于一点G，，，，则的面积是 ． 【答案】60 【分析】本题主要考查了三角形的中线的特征，解答此题的关键是要明确：①三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；②两个三角形的高相同时，面积的比等于它们的底边之比． 首先根据三角形的中线的特征，以及两个三角形的高相同时，面积的比等于它们的底边的比，求出，的大小，进而求出的大小；然后根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，即可求出△ABC的面积． 【详解】解： E是的中点，， ，， ，， ， ， 的面积； 故答案为：． 变式训练1：（25-26八年级上·广东江门·期中）如图，、分别是、的中点，若的面积是，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形中线的性质，解题的关键是掌握：三角形的中线平分三角形的面积．据此解答即可． 【详解】解：∵点是的中点，的面积是， ∴是的中线， ∴， ∵点是的中点， ∴是的中线， ∴， 即的面积是． 变式训练2：（25-26八年级上·河南许昌·期中）下列说法错误的是（） A．三角形的重心是三条中线的交点 B．钝角三角形有两条高线在三角形外部 C．直角三角形只有一条高线 D．任意三角形都有三条高线、三条中线、三条角平分线 【答案】C 【分析】本题考查三角形的重心、高线、中线、角平分线的基本概念，根据三角形各线段的定义判断各选项正误即可． 【详解】解：A．三角形的重心是三条中线的交点，正确； B．钝角三角形有两条高线在三角形外部，正确； C．直角三角形有三条高线（两条直角边上的高和斜边上的高），并非只有一条，错误； D．任意三角形都有三条高线、三条中线、三条角平分线，正确； 故选：C． 知识点03 三角形的高线 1. 不同三角形高的位置探究 锐角三角形的高都在三角形的内部； 直角三角形由两条高与两条直角边重合； 钝角三角形由两条高在三角形外部。 2. 根据高的位置分类讨论求角的度数 3. 利用等积法计算 4. 双高图形中的相等角 例题讲解 例3（25-26八年级上·广东东莞·期中）如图，，分别是的边，的高线，，，，则的长为 ． 【分析】本题考查三角形中求线段长，熟记三角形面积公式是解决问题的关键． 根据题意，由等面积法列等式，代值求解即可得到答案． 【详解】解：，分别是的边，的高线， ， ，，， ， 解得， 故答案为：． 变式训练1：（25-26八年级上·湖北宜昌·期中）如图，中边上的高画法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形高的定义和画法，明确三角形高的定义是关键； 根据三角形的高的定义进行判断即可. 【详解】解：中边上的高为： 故选：B. 变式训练2：（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，是的两条高线，若，，则与的比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形面积公式，理解题意是解决本题的关键． 根据是的两条高线可得，则，将，代入进而即可求解． 【详解】解：根据题意得，， ∴， ∴ ， ∴与的比为， 故答案为：． 知识点04 三角形的角平分线 1.三角形的角平分线 2.常见的辅助线 例题讲解 例4（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，是的角平分线，，交于点E，，交于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的内错角相等是解题的关键．通过分析图形中的平行线和角平分线，利用平行线的内错角相等，以及角平分线将一个角分成两个相等的角的定义，逐步推导出结论． 【详解】证明：是的角平分线， ． ， ． ， ， ． 变式训练1：（25-26八年级上·全国·期中）如图， (1)∵是的中线（即点是的中点）， ∴有＝ ，＝ ． (2)∵如图是的角平分线， ∴ ______________ ． (3)∵是的高（）， ∴_____________ ． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了三角形的中线、角平分线和高的定义，关键是知识点的熟练应用． （1）根据三角形的中线的定义即可得到答案； （2）根据三角形的角平分线的定义即可得到答案； （3）根据三角形的高的定义即可得到答案． 【详解】（1）∵是的中线（即点是的中点）， ∴有，． 故答案为：，． （2）∵如图是的角平分线， ∴． 故答案为：． （3）∵是的高（）， ∴． 故答案为：． 变式训练2：（25-26八年级上·广东东莞·期中）【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围； 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是________． 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （2）王老师又提出新的问题：是的中线，且，，试说明：． 第二小组经过合作交流，给出如下解决思路： ①如图，延长到F，使；②连接，证明． 接着王老师提示同学们：已得，下面只需说明，就能证得． 请根据以上提示完成“”的证明． 【问题拓展】 （3）如图3，，，与互补，连接、，E是的中点，求证：． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，构造三角形全等是解题的关键． （1）延长到E，使得，连接，通过三角形全等把、、转化在中，利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围； （2）延长到F，使，连接，证明，得，，再证明，得，就能证得； （3）延长到F，使，连接，证明，再证明，得，从而结论成立． 【详解】解：（1）延长到E，使得，连接， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴， 故答案为：； （2）如图，延长到F，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图，延长到F，使，连接， ∵E是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∵与互补， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 知识点05 三角形三边的关系 1.三角形的三边关系 2.已知两边求第三边的取值范围：三角形任何一边大于另外两边只差，小于另外两边之和. BC-AB<AC<AB+BC 3.三角形具有稳定性 例题讲解 例5（25-26八年级上·浙江温州·期中）下列各组数分别是三根小木棒的长度，将它们首尾相连能摆成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了三角形三边的关系，根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边”，判断各组线段是否能组成三角形即可． 【详解】解 A．，∴ 不能组成三角形； B．，∴ 不能组成三角形； C．，∴ 不能组成三角形； D．，∴ 能组成三角形， 故选：D ． 例6（25-26八年级上·云南曲靖·期中）已知三角形的三边长分别为． (1)若，，，求的取值范围； (2)若满足，，试求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了三角形三边关系和解不等式组等知识，根据三角形三边关系列出不等式组是关键． （1）根据题意得到，解不等式组即可； （2）根据题意得到，，再列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：由三角形三边关系得到， 解得 （2）解：由得到，， 由题意可得，，即 解得 变式训练1：（25-26七年级上·山东济宁·期中）如图是折叠凳及其侧面示意图．若，则折叠凳的宽可能（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 根据三角形的三边关系即可得到结论． 【详解】解：， ， 折叠凳的宽可能， 故选：A． 变式训练2：18．（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）已知的三边长分别为，，，且，，都是整数． (1)若，，且为偶数，求的周长； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，绝对值的化简，整式的加减混合运算，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边之差小于第三边是解题的关键． （1）先根据三角形的三边关系得出的取值范围，再由为偶数即可得出的值，进而可得出答案； （2）根据三角形的三边关系得出，，再去绝对值符号，合并同类项即可． 【详解】（1）解：，， ，即． 又为偶数， ． ． （2）解：，， ，． ． 变式训练3．（25-26八年级上·广东汕头·期中）已知a，b，c是的三边长，，，设的周长是x．若x是小于18的偶数，试判断的形状． 【答案】 等腰三角形 【分析】此题主要考查了等腰三角形的定义和三角形三边关系，得出c的取值范围是解题关键． 先利用三角形三边关系得出c的取值范围，进而得出x的范围，结合x是小于18的偶数确定c的值，从而得到结论． 【详解】解：因为，， 所以． 故周长x的范围为． 因为周长为小于18的偶数， 所以或． 当x为16时，； 当x为14时，． 当时，，为等腰三角形； 当时，，为等腰三角形． 综上，是等腰三角形． 课后练习 一、单选题 1．（24-25七年级下·山西运城·期末）下列物品中，主要利用三角形稳定性设计的是（    ） A．伸缩式雨棚 B．可折叠的购物车 C．照相机的三脚 D．校门口的自动伸缩门 【答案】C 【分析】本题考查三角形的稳定性，由三角形具有稳定性，即可得到答案． 【详解】解：A、选项中的物品是应用了四边形的不稳定性，不是应用三角形的稳定性，故A不符合题意； B、选项中的物品是应用了四边形的不稳定性，不是应用三角形的稳定性，故B不符合题意； C、选项中的物品是应用了三角形的稳定性，故C符合题意； D、选项中的物品是应用了四边形的不稳定性，不是应用三角形的稳定性，故D不符合题意． 故选：C． 2．（22-23七年级下·吉林长春·期末）如图，数轴上A、B两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边长可能是（    ）    A．1 B．4 C．7 D．8 【答案】B 【分析】直接利用数轴得出三角形的两边长，进而得出第三边取值范围，进而得出答案． 【详解】解：由数轴可得：A到原点距离为3，B到原点距离为4， ∵数轴上A、B两点到原点的距离是三角形两边的长， ∴设该三角形第三边长为x,则x的取值范围是：， ∴该三角形第三边长可能是4． 故选：B． 【点睛】此题考查了三角形的三边关系，注意要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 3．（14-15七年级下·全国·课后作业）如果点是的重心，连接并延长，交对边于点，那么是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的重心，熟记三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍是解题的关键． 根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍可得，那么，代入即可求得的值． 【详解】解：如图， 点是的重心， ， ， ． 故选：． 4．（21-22八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，运用尺规作图的方法在BC边上取一点P，使，下列作法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，PA＝PC，由此判断即可． 【详解】解：由作图可知，选项C中，∠C＝∠PAC， ∴PA＝PC， ∴PA＋PB＝PC＋PB＝BC， 故选：C． 【点睛】本题考查作图−复杂作图，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 5．（21-22七年级下·河南南阳·期末）一个三角形的两条边的长为5和7，若三角形周长为偶数，那么第三边的长可能是（    ） A．2 B．4 C．7 D．14 【答案】B 【分析】利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，进而就可以求出第三边的长． 【详解】设第三边为a，根据三角形的三边关系知，2＜a＜12． 由于这个三角形的周长为a+12，而且周长是偶数， ∴a为偶数，可以为4、6、8、10． 故选：B． 【点睛】本题从边的方面考查三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，当题目指代不明时，一定要分情况讨论，把符合条件的保留下来，不符合的舍去． 6．（24-25七年级下·湖南·阶段练习）设的三边分别为其中满足，则最长边c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了非负数的性质，解二元一次方程组，三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．根据绝对值和平方的非负性，得到关于、的方程组，再根据三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：， ，， ，， 又∵c为最长边 ， 故选：C． 7．（17-18八年级上·全国·课后作业）下列图形中具有稳定性的是（    ） A．A B．B C．C D．D 【答案】A 【详解】给出的四个图形中，A中虽有四边形，但中间一条线将它分成两个三角形，具有稳定性．B中有多个四边形，C中有两个四边形，D中有一个四边形，因此，B，C，D都是不稳定图形． 8．（24-25七年级上·山东淄博·期中）若一个三角形的两边长分别为3和5，则该三角形第三边的中线可以取的值为（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系和全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据题意画出图形，设，证明，根据，即可求出答案． 【详解】解：如图所示，取的中点为，连接，， 设， 延长至，使， 在与中， ， 为的中线， ， ， ， 在中， ， 即， ， 故选B． 9．（2018·山东济南·一模）如图，的面积为，垂直的平分线于，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（）是解题的关键．通过延长 交 于点 ，利用角平分线和垂直的条件证明三角形全等，进而得出线段和面积的关系来求解． 【详解】解：延长 交 于点 平分， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， 和 等底等高， ， ， ， ， 故选： 10．（24-25八年级上·四川广元·期中）如图，已知，点、分别在、上且，连接，，交于点，连接，过点分别作，垂足分别为，下列结论：①；②；③平分；④若点是的中点，则；⑤如果，则是的中点；其中正确结论的个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形判断与性质，四边形的内角和，以及三角形的面积等知识点，熟知以上知识点的性质定理是解本题的关键． 根据可证明，根据可证明；通过证明可证明，即乘平分；根据，四边形内角和以及平角的性质可求得；延长至N，使,连接，证明，得到，在中，利用三角形三边关系进一步判断即可；若，在中，和的高相等，即可得． 【详解】， ， 故①正确； ， 在和中 平分 故③正确； ， 在四边形中 又 故②正确； 延长至N，使,连接， ∵E是的中点， ∴ 在和中， 由①可知： 在中， 故④正确； 若 则 在中，和的高相等， ∴为的中点， 故⑤正确；综上正确的有：①②③④⑤， 故选：D． 二、填空题 11．（12-13七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在中，于，那么图中以为高的三角形共有 个． 【答案】6 【分析】此题主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，也可以在三角形内，所以确定三角形的高比较灵活． 由于于，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线上，由此即可确定以为高的三角形的个数． 【详解】解：于， 而图中有一边在直线上，且以为顶点的三角形有6个， 以为高的三角形有6个． 故答案为：6． 12．（22-23八年级上·新疆吐鲁番·阶段练习）如图，在中，D是的中点，，则 ． 【答案】2 【分析】此题考查了三角形的中线的性质，即三角形的中线把三角形的面积等分成相等的两部分．根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分进行计算即可． 【详解】解：∵D是的中点，， ， 故答案为：2． 13．（2017·贵州黔西·中考真题）已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系，分腰长为和两种情况，依据三角形三边关系，分类讨论即可得到答案． 【详解】解：当腰长为时，，三角形不存在； 当腰长为时，符合三角形两边之和大于第三边，所以这个三角形的周长为； 故答案为： ． 14．（18-19八年级上·河北唐山·期中）下列图①、②、③中，具有稳定性的是图 ． 【答案】①② 【分析】根据三角形具有稳定性即可判断. 【详解】∵三角形具有稳定性， ∴①②具有稳定性， 故答案为：①②． 【点睛】本题考查三角形的稳定性，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 15．（17-18七年级下·全国·课后作业）已知的三条边长分别为5、7和x，则x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形的三边关系，已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知两边的差，而小于两边的和．根据三角形的三边关系：三角形第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围． 【详解】解：， 则． 故答案为：． 16．（25-26八年级上·天津河北·期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形顶角的度数为 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理及三角形外角性质的运用；分类讨论的应用是正确解答本题的关键． 分顶角为锐角和钝角两种情况讨论，利用直角三角形两锐角互余及互补关系求解。 【详解】解：当高在内部时，顶角；当高在外部时，得到顶角的外角，则顶角． 故答案为：或． 17．（12-13七年级下·河北邯郸·期末）观察以下图形，回答问题： （1）图②有 个三角形；图③有 个三角形；图④有 个三角形；…猜测第七个图形中共有 个三角形． （2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有 个三角形（用含n的代数式表示结论）． 【答案】 3 5 7 13 / 【分析】本题主要考查了图形的变化类规律型、三角形个数问题等知识点，通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是解题的关键． （1）根据观察可得：图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；由此可以猜测第七个图形中共有13个三角形即可； （2）按照（1）中规律如此画下去，三角形的个数等于图形序号的2倍减去1，据此求得第n个图形中的三角形的个数即可． 【详解】解：（1）∵图②有3个三角形，； 图③有5个三角形，； 图④有7个三角形，； ∴图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；…猜测第七个图形中共有13个三角形． （2）由（1）可知，第n个图形中有个三角形． 故答案为：3，5，7，13，． 18．（21-22八年级上·安徽马鞍山·期中）我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，已知三角形的任一条中位线都平行于第三边，并且等于第三边的一半．如图，在中，，将平移5个单位长度得到，点P、Q分别是AB、的中点，PQ的最小值等于 ． 【答案】 【分析】取AC的中点M，的中点N，连接PM，MQ，NQ，PN，先求出BC=3，PN=5，再利用平移的性质及三角形三边的关系得出结果． 【详解】解：取AC的中点M，的中点N，连接PM，MQ，NQ，PN， ∵将ΔABC平移5个单位长度得到， ∴=BC=3，PN=5， ∵点P、Q分别是的中点， ∴NQ是的中位线，NQ==， ∴5-≤PQ≤5+即≤PQ≤， ∴PQ的最小值等于． 故答案为． 【点睛】本题考查了平移的性质及三角形三边的关系，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 三、解答题 19．（24-25八年级上·广东河源·期末）如图，已知的三个顶点的坐标分别为，， (1)的面积是______； (2)作出关于x轴对称的图形，并直接写出点的坐标； (3)作出关于y轴对称的图形． 【答案】(1)6； (2)点的坐标为，见解析； (3)见解析． 【分析】本题考查作图轴对称变换，三角形的面积，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据网格即可求出的面积； （2）根据轴对称的性质即可作出关于x轴对称的图形，进而写出点的坐标； （3）根据轴对称的性质即可作出关于y轴对称的图形 【详解】（1）解：的面积， 故答案为：6； （2）解：如图，即为所求，点的坐标为； ； （3）解：如图，即为所求． 20．（2025七年级下·全国·专题练习）在中，，边上的中线把的周长分为和的两部分，求的长． 【答案】的长为或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的中线，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 由三角形的中线得到，分两种情况讨论，①当时；②当时，进行求解即可． 【详解】解：因为为边上的中线，所以， 又因为， 所以． 分两种情况：①当时，， 解得， 所以． 因为， 所以； ②当时，， 解得， 所以． 因为， 所以． 所以的长为或． 21．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，是的高线，是中点，连接交于点． (1)若的周长为．求的周长； (2)在（1）的情况下，若，求点到的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的中线和高线． （1）根据中线的定义可知，结合已知求出，由此即可求解； （2）根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：是的中点 ． （2）解：过作于，如图： 点到的距离为． 22．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，是的两条高，且交于点O． (1)求和大小关系； (2)若，求和的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查垂直的定义，三角形的内角和，三角形的外角，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，则有，得到，即可解答； （2）先求出，再推导出，可得到 ， ，即可解答． 【详解】（1）解：是的两条高， ， ， ． （2） ， ， ， ， ， 答：的度数，的度数． 23．（20-21八年级上·河北承德·期末）如图，在直角三角形纸片中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD (1)求△AED的周长； (2)过点C作△ABC的高，并求出这个高长． 【答案】(1)8 (2)画图见解析， 【分析】（1）根据翻折变换的性质可得BE＝BC，DE＝CD，然后求出AE，再求出△ADE的周长＝AC+AE； 【详解】（1）解：∵折叠这个三角形点C落在AB边上的点E处，折痕为BD， ∴BE＝BC＝8，DE＝CD， ∴AE＝AB﹣BE＝AB﹣BC＝10﹣8＝2， ∴△ADE的周长＝AD+DE+AE， ＝AD+CD+AE， ＝AC+AE， ＝6+2， ＝8， 故△ADE的周长为8； （2）解：如图所示，CF就是△ABC的高， ， ， ， 【点睛】本题考查了轴对称的性质和等积法求高，解题关键是熟练运用轴对称的性质和等积法解题． 24．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图，在中，，分别为的中线和高，为的角平分线． (1)若，，求的大小； (2)若的面积为，，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，三角形面积公式，三角形的角平分线、高和中线的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先利用三角形的外角性质计算出，再利用角平分线定义得到，然后根据高的定义和互余可求出的度数； （）先根据中线定义得到，然后利用三角形面积公式求的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵为高， ∴， ∴； （2）解：∵为中线， ∴， ∴， ∵， ∴． 25．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）已知：、、为的三边长，且、满足． (1)求的取值范围； (2)在（1）的条件下，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查绝对值的非负性、平方的非负性和三角形三边关系，解一元一次不等式，解题的关键是利用非负性求出，的值． （1）利用非负性求出，的值，再利用三角形三边关系，即可求解； （2）根据第题意，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， 解得，， ，， ∴． （2）解：∵， ． 26．（25-26八年级上·重庆·期中）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【方法探索】 （1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点E，使，连接．根据可以判定，得出．这样就能把线段集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是 ； 【方法感悟】 当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”—把中线延长一倍，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“倍长中线”法． 【问题解决】 （2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，D是边上的一点，是的中线，，，试说明：； 【问题拓展】 （3）如图3，中，，，是的中线，，，且，请直接写出的长． 【答案】（1） （2）见解析（3）8 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题． （1）延长到点E，使，根据定理证明，可得结论； （2）延长到点F，使得，连接．证明，得出，，得出，得出，即可证明结论． （3）延长，交于F，证明，则，，所以，根据线段垂直平分线的性质可得的长． 【详解】解：（1）如图1，延长到点E，使，连接， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）如图2，延长至点F，使得，连接，则， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）如图3，延长，交于F， ∵， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学期末总复习讲义 第1课 三角形 知识点梳理 考点01三角形的有关概念 考点02三角形的中线 考点03三角形的高线 考点04三角形的角平分线 考点05三角形的三边关系 知识点01 三角形的有关概念 1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2.三角形的分类 按角分 按边分 例题讲解 例1（24-25八年级上·安徽安庆·月考）用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了三角形的分类．根据三角形的分类，进行判定作答即可． 【详解】解：由题意知，三角形包括等腰三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，A、C正确，故不符合要求； 三角形按照角度分类包括锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，B正确，D错误， 故选：D． 变式训练1.（25-26八年级上·广西南宁·期中）空调外机安装固定在三角形支架上，这样做的原理是（　　） A．两点确定一条直线 B．角平分线上的点到角的两边的距离相等 C．三角形具有稳定性 D．两点之间线段最短 变式训练2：（25-26八年级上·甘肃陇南·期中）平面内的四个点最多可以组成不同的三角形个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 知识点02 三角形的中线 1. 三角形的中线：三角形的一个顶点和对边中点的连线. AD为中线 2. 重心：三角形三条中线的交点 3. 求三角形的面积之比 4. 倍长中线 例题讲解 例2（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，点D，E，F分别在三边上，E是的中点，交于一点G，，，，则的面积是 ． 【分析】本题主要考查了三角形的中线的特征，解答此题的关键是要明确：①三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；②两个三角形的高相同时，面积的比等于它们的底边之比． 首先根据三角形的中线的特征，以及两个三角形的高相同时，面积的比等于它们的底边的比，求出，的大小，进而求出的大小；然后根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，即可求出△ABC的面积． 【详解】解： E是的中点，， ，， ，， ， ， 的面积； 故答案为：． 变式训练1：（25-26八年级上·广东江门·期中）如图，、分别是、的中点，若的面积是，则的面积是（   ） A． B． C． D． 变式训练2：（25-26八年级上·河南许昌·期中）下列说法错误的是（） A．三角形的重心是三条中线的交点 B．钝角三角形有两条高线在三角形外部 C．直角三角形只有一条高线 D．任意三角形都有三条高线、三条中线、三条角平分线 知识点03 三角形的高线 1. 不同三角形高的位置探究 锐角三角形的高都在三角形的内部； 直角三角形由两条高与两条直角边重合； 钝角三角形由两条高在三角形外部。 2. 根据高的位置分类讨论求角的度数 3. 利用等积法计算 4. 双高图形中的相等角 例题讲解 例3（25-26八年级上·广东东莞·期中）如图，，分别是的边，的高线，，，，则的长为 ． 【分析】本题考查三角形中求线段长，熟记三角形面积公式是解决问题的关键． 根据题意，由等面积法列等式，代值求解即可得到答案． 【详解】解：，分别是的边，的高线， ， ，，， ， 解得， 故答案为：． 变式训练1：（25-26八年级上·湖北宜昌·期中）如图，中边上的高画法正确的是（   ） A． B． C． D． 变式训练2：（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，是的两条高线，若，，则与的比为 ． 知识点04 三角形的角平分线 1.三角形的角平分线 2.常见的辅助线 例题讲解 例4（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，是的角平分线，，交于点E，，交于点F．求证：． 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的内错角相等是解题的关键．通过分析图形中的平行线和角平分线，利用平行线的内错角相等，以及角平分线将一个角分成两个相等的角的定义，逐步推导出结论． 【详解】证明：是的角平分线， ． ， ． ， ， ． 变式训练1：（25-26八年级上·全国·期中）如图， (1)∵是的中线（即点是的中点）， ∴有＝ ，＝ ． (2)∵如图是的角平分线， ∴ ______________ ． (3)∵是的高（）， ∴_____________ ． 变式训练2：（25-26八年级上·广东东莞·期中）【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围； 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是________． 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （2）王老师又提出新的问题：是的中线，且，，试说明：． 第二小组经过合作交流，给出如下解决思路： ①如图，延长到F，使；②连接，证明． 接着王老师提示同学们：已得，下面只需说明，就能证得． 请根据以上提示完成“”的证明． 【问题拓展】 （3）如图3，，，与互补，连接、，E是的中点，求证：． 知识点05 三角形三边的关系 1.三角形的三边关系 2.已知两边求第三边的取值范围：三角形任何一边大于另外两边只差，小于另外两边之和. 3.三角形具有稳定性 例题讲解 例5（25-26八年级上·浙江温州·期中）下列各组数分别是三根小木棒的长度，将它们首尾相连能摆成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【分析】本题考查了三角形三边的关系，根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边”，判断各组线段是否能组成三角形即可． 【详解】解 A．，∴ 不能组成三角形； B．，∴ 不能组成三角形； C．，∴ 不能组成三角形； D．，∴ 能组成三角形， 故选：D ． 例6（25-26八年级上·云南曲靖·期中）已知三角形的三边长分别为． (1)若，，，求的取值范围； (2)若满足，，试求的取值范围． 【分析】此题考查了三角形三边关系和解不等式组等知识，根据三角形三边关系列出不等式组是关键． （1）根据题意得到，解不等式组即可； （2）根据题意得到，，再列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：由三角形三边关系得到， 解得 （2）解：由得到，， 由题意可得，，即 解得 变式训练1：（25-26七年级上·山东济宁·期中）如图是折叠凳及其侧面示意图．若，则折叠凳的宽可能（　　） A． B． C． D． 变式训练2：18．（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）已知的三边长分别为，，，且，，都是整数． (1)若，，且为偶数，求的周长； (2)化简：． 变式训练3．（25-26八年级上·广东汕头·期中）已知a，b，c是的三边长，，，设的周长是x．若x是小于18的偶数，试判断的形状． 课后练习 一、单选题 1．（24-25七年级下·山西运城·期末）下列物品中，主要利用三角形稳定性设计的是（    ） A．伸缩式雨棚 B．可折叠的购物车 C．照相机的三脚 D．校门口的自动伸缩门 2．（22-23七年级下·吉林长春·期末）如图，数轴上A、B两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边长可能是（    ）    A．1 B．4 C．7 D．8 3．（14-15七年级下·全国·课后作业）如果点是的重心，连接并延长，交对边于点，那么是（    ） A． B． C． D． 4．（21-22八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，运用尺规作图的方法在BC边上取一点P，使，下列作法正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（21-22七年级下·河南南阳·期末）一个三角形的两条边的长为5和7，若三角形周长为偶数，那么第三边的长可能是（    ） A．2 B．4 C．7 D．14 6．（24-25七年级下·湖南·阶段练习）设的三边分别为其中满足，则最长边c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列图形中具有稳定性的是（    ） A．A B．B C．C D．D 8．（24-25七年级上·山东淄博·期中）若一个三角形的两边长分别为3和5，则该三角形第三边的中线可以取的值为（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 9．（2018·山东济南·一模）如图，的面积为，垂直的平分线于，则的面积为（　　） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·四川广元·期中）如图，已知，点、分别在、上且，连接，，交于点，连接，过点分别作，垂足分别为，下列结论：①；②；③平分；④若点是的中点，则；⑤如果，则是的中点；其中正确结论的个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 11．（12-13七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在中，于，那么图中以为高的三角形共有 个． 12．（22-23八年级上·新疆吐鲁番·阶段练习）如图，在中，D是的中点，，则 ． 13．（2017·贵州黔西·中考真题）已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是 ． 14．（18-19八年级上·河北唐山·期中）下列图①、②、③中，具有稳定性的是图 ． 15．（17-18七年级下·全国·课后作业）已知的三条边长分别为5、7和x，则x的取值范围是 ． 16．（25-26八年级上·天津河北·期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形顶角的度数为 ． 17．（12-13七年级下·河北邯郸·期末）观察以下图形，回答问题： （1）图②有 个三角形；图③有 个三角形；图④有 个三角形；…猜测第七个图形中共有 个三角形． （2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有 个三角形（用含n的代数式表示结论）． 18．（21-22八年级上·安徽马鞍山·期中）我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，已知三角形的任一条中位线都平行于第三边，并且等于第三边的一半．如图，在中，，将平移5个单位长度得到，点P、Q分别是AB、的中点，PQ的最小值等于 ． 三、解答题 19．（24-25八年级上·广东河源·期末）如图，已知的三个顶点的坐标分别为，， (1)的面积是______； (2)作出关于x轴对称的图形，并直接写出点的坐标； (3)作出关于y轴对称的图形． 20．（2025七年级下·全国·专题练习）在中，，边上的中线把的周长分为和的两部分，求的长． 21．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，是的高线，是中点，连接交于点． (1)若的周长为．求的周长； (2)在（1）的情况下，若，求点到的距离． 22．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，是的两条高，且交于点O． (1)求和大小关系； (2)若，求和的度数． 23．（20-21八年级上·河北承德·期末）如图，在直角三角形纸片中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD (1)求△AED的周长； (2)过点C作△ABC的高，并求出这个高长． 24．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图，在中，，分别为的中线和高，为的角平分线． (1)若，，求的大小； (2)若的面积为，，求的长． 25．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）已知：、、为的三边长，且、满足． (1)求的取值范围； (2)在（1）的条件下，若，求的取值范围． 26．（25-26八年级上·重庆·期中）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【方法探索】 （1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点E，使，连接．根据可以判定，得出．这样就能把线段集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是 ； 【方法感悟】 当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”—把中线延长一倍，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“倍长中线”法． 【问题解决】 （2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，D是边上的一点，是的中线，，，试说明：； 【问题拓展】 （3）如图3，中，，，是的中线，，，且，请直接写出的长． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $