2025-2026学年人教版八年级数学上册期末总复习10分式（讲义）

该初中数学分式单元复习讲义通过知识框架系统梳理知识体系，涵盖从分数到分式、基本性质、乘除、加减及混合运算五大知识点，用对比表格明晰分式与分数联系，思维导图呈现运算逻辑，突出分式值为0的条件、混合运算顺序等重难点，培养抽象能力与符号意识。 讲义亮点是分层练习设计，例题从基础分式定义判断到提升假分式化带分式，结合易错点警示如多项式乘方漏展开，培养运算能力和推理意识。课后练习含净水装置过滤等实际应用，支持学生自主复习，助力教师实施分层教学。

八年级数学期末总复习讲义 第10课 分式 知识点梳理 知识点01——从分数到分式 知识点02——分式的基本性质 知识点03——分式的乘法与除法 知识点04——分数的加法与减法 知识点05——分式的混合运算 知识点01 从分数到分式 1.分式的定义及三要素 一般地，如果 A，B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 叫做分式，其中 A 是分子，B 是分母.三要素：①两个整式②B 中含有字母③形如“ ” 如： 是分式，而下列都不是分式： （1）分母中不含有字母 ；（2） =1 是方程； （3） 分母中不含有字母 ；（4） m.分母中不含有字母 2.分式有意义、无意义的条件 一般地分式有意义的条件是分母不为0，否则就是无意义. 如：有意义的条件是分母 ，即m ;无意义的条件就是m . 3.分式的值为0,为1，为正（负）数，为整数的条件 分式值为0的条件是：A=0，且B. 如若分式 的值为0，则x2-1=0,且x+1 , 所以，x=1； 分式值为-1的条件是：A=-B，且B. 如若分式 的值为1．|x-5|=-（x-5）,且|x-5| 所以，x≤5,且x5，所以，x<5； 分式值为负数的条件是：A、B异号，且B. 如若分式的值为负，则x2+1>0 所以，x为任意实数； 分式值为整数的条件是：A能被B整除，且B. 如若分式的值为整数，则整数x应当满足x2+1是4的约数，4的约数在有理数范围内有1,2,4，所以整数x可以是0，1； 所以，x为任意实数. 例题讲解 例1（24-25八年级上·甘肃武威·期末）下列各式：，，，，，，，其中分式共有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】此题考查分式的定义，掌握分式的构成特点，特别是在分母中必须含有字母，即可正确判断． 形如的式子叫分式，其中A、B表示两个整式，B中含有字母，依此判断即可． 【详解】解：，，这三个式子，分母不含字母，都不是分式； ，，，这四个式子，分母含字母，都是分式； ∴分式共有4个， 故选：B． 例2（24-25八年级上·北京·期末）已知分式的值为0，则x的值为（   ） A．1 B．0 C．1或 D． 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件．根据分式值为0的条件可得且，再解出x的值即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得：． 故选：D 课后练习 1．（25-26八年级上·山东泰安·期中）代数式，，，，，中，属于分式的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义，根据分式的定义，分母中含有字母的代数式是分式，逐一检查每个代数式即可． 【详解】解：代数式，，，，，中，属于分式的有，，，共个， 故选：B． 2．（25-26八年级上·河北唐山·期中）若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零，进行计算即可，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零． 【详解】解：∵分式在实数范围内有意义， ∴， 解得， 故选：． 3．（25-26八年级上·山东烟台·期中）在式子，，，中，分式的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的定义．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：和的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式， 和的分母中含有字母，因此是分式，共2个． 故选：B． 4．（25-26八年级上·湖南常德·期中）下列分式中，一定有意义的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分式分母不为零时，分式有意义是解题的关键．根据分式有意义的条件是分母不为零，依次需判断各选项分母是否可能为零即可． 【详解】解：选项A的分母为，当时，，分母可能为零； 选项B的分母为，当时，，分母可能为零； 选项C的分母为，因为，所以，分母恒不为零； 选项D的分母为，当时，，分母可能为零； 故选：C． 5．（25-26八年级上·山东淄博·期中）若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零得，然后求解即可，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）要使分式 有意义，x满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是分母不等于0，是解题的关键．根据分式有意义的条件是分母不为零，进行求解即可． 【详解】解：要使分式有意义，需满足分母， 解得：． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）当 时，分式的值为0． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的值为0的条件，根据分式的值为零的条件，分子为零且分母不为零求解即可． 【详解】解：由分式的值为零的条件，得 且 ． 解 ，得 ， ∴或． 由 ， 得 ． ∴． 故答案为： 8．（25-26八年级上·北京·期中）计算：当 时，分式有意义， ． 【答案】 1 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件和零指数幂，解题的关键是掌握以上知识点． 分式有意义的条件是分母不为零；零指数幂的底数不为零时，其值为1． 【详解】解：对于分式 ， 分母， 解得， 因此当时，分式有意义； 对于表达式 ，根据零指数幂的定义， 当底数，即时，， 故答案为：，1． 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）填空： （1）当 时，分式的值为正； （2）当为 时，分式的值为负； （3）当为 时，分式的值为正整数． 【答案】 任意实数 3或2 【分析】本题考查了分式的值，解一元一次不等式，解一元一次方程，掌握分式的性质是解题关键． （1）由分式的值为正，得到，解不等式即可； （2）根据平方的非负性以及分式的性质，即可求解； （3）由分式的值为正整数，得到或，即可求解． 【详解】解：（1）分式的值为正， ， ， 故答案为： （2）， ， ， 的取值为任意实数， 故答案为：任意实数； （3）分式的值为正整数， 或， 或2， 故答案为：3或2． 10．（25-26八年级上·河北沧州·月考）已知分式满足表格中的信息，其中，，均为常数． 的取值 分数的值 无意义 (1)原分式中的值是　　　； (2)求出，的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查分式的值和分式无意义的条件，解题的关键是根据分式的值求出字母的值及分式有意义的条件． （1）根据分式无意义的条件求解即可； （2）先根据时分式的值为0求出a的值，再根据分式的值为3求出x的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵时分式无意义，即， ∴， 故答案为：1． （2）解：当时，分式的值为0， ， 解得， ∴原分式为 ， 当分式的值为3时，即， 解得, 经检验，是该分式方程的解， ∴． 知识点02 分式的基本性质 1.分式的基本性质 基本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变. 用字母表示为： （C≠0），其中A、B、C是整式． 作用：将分式恒等变形. 2.将分式的分子分母的最高次项化为正数，系数化为整数 例如：(1)不改变分式的值，使下列分式的分子和分母的首项都不含“－”号: ；= (2)利用基本性质将分式的系数化为整系数 3.最简分式 分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式. 4.约分 约分就是利用分式的基本性质，分子分母同时除以分子分母的公因式，将分式化成最简分式. 约分的步骤：（1）找——公因式 （2）约——分子分母同时除以公因式 约分的类型：（1）分子分母是单项式——直接约分 （2）分子分母是多项式——先因式分解再约分 例如，利用基本性质将分式约分⑴ ⑵ 5.通分 ①根据分式的基本性质，把几个异分母分式化为与原来分式相等的同分母分式的过程，叫做分式的通分. ②这个相同的分母叫做这几个分式的公分母，其中最简的一个叫做最简公分母. ③对比辨析：通分与约分的区别（通分：异分母→同分母，分子分母同乘整式；约分：分式→最简分式，），二者依据均为分式的基本性质. 例题讲解 例3（24-25八年级下·江苏常州·阶段练习）在括号内填上适当地整式，使下列等式成立：（1）；（2）；（3）括号内应填 ； ; _________． 【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质． （1）根据分式的基本性质进行变形即可； （2）根据分式的基本性质进行变形即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：． （2）， 故答案为：． 【分析】(3)本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质，对分式的分子和分母同时乘以6，即可得出结论． 【详解】解：． 故答案为：． 例4（24-25八年级上·吉林长春·期末）阅读下列材料: 我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式，类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式）． 例如：，． (1)下列分式：①，②，③，其中属于“假分式”的是______（填序号）； (2)把分式化成带分式：______； (3)将分式化为带分式． 【答案】(1)①③ (2) (3) 【分析】（1）根据假分式的定义求解即可； （2）利用题中的方法把分式变形为，然后化成带分式即可； （3）利用题中的方法把分式变形为，然后化成带分式即可． 【详解】（1）解：①分式是假分式； ②分式是真分式； ③分式是假分式； （2）解：； （3）解： ． 【点睛】本题主要考查了分式的定义，分式化简，熟练掌握分式相关定义和题干提供的方法，是解题的关键．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式． 课后练习 1．（25-26八年级上·山东·课后作业）不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把分子与分母同时乘以即可得到答案． 【详解】解：． 故选：D 2．（25-26八年级上·重庆涪陵·期中）下列等式从左到右变形，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，关键是熟练掌握分式的基本性质． 根据分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项，且扩大（缩小）的倍数不能为0，并且分式的值不变，由此即可判定选项． 【详解】解：选项A：，分子和分母同时加1，不符合分式基本性质，故本选项错误，不符合题意； 选项B：，分子和分母同时乘以，但若，则右边分式无意义，而左边有意义（当），等式不成立，故本选项错误，不符合题意； 选项C：，左边分母为，化简为，右边为，两者不相等，故本选项错误，不符合题意； 选项D：，右边分子分母同时除以（），化简为，与左边相等，故本选项正确，符合题意； 故选：D 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）若等式成立，则x应满足的条件是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的基本性质， 根据分式的基本性质：分子和分母都乘以一个不等于0的数或整式，分式的性质不变，解答即可. 【详解】解：分式的分子和分母都乘以x（），得， 所以x应满足的条件是. 故选：C. 4．（25-26八年级上·全国·单元测试）分式，，，中最简分式的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是分式的约分，最简分式，因式分解，解题关键是熟练掌握最简分式的定义． 将每个选项的分子和分母分别进行因式分解，然后进行约分化简，如果无法继续进行化简则选项是最简分式，如果可以继续化简，则选项不是最简分式． 【详解】解：的分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式； ，即不是最简分式； ，即不是最简分式； 的分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式． 综上，最简分式的个数是个． 故选：． 5.（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）分式，的最简公分母为 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母的定义，确定最简公分母的方法是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 根据最简公分母的定义即可求解． 【详解】解：分式，的最简公分母为， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）下列有四个结论： ①把分式中的，都扩大倍，分式的值不变； ②在实数范围内，不存在，，的值，使式子的值为； ③若，则； ④若关于的方程无解，则的值为或 其中正确的结论是 （填写序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查分式的基本性质，分式方程的解法，根据分式的基本性质，利用完全平方公式求代数式的值，分式方程的解法依次分析即可作出判断．掌握相应的知识点是解题的关键． 【详解】解：：①把分式中的，都扩大倍得：，分式的值不变，故结论①正确； ②若， 则，即， ∴， 此时分式的分母为零，无意义， ∴在实数范围内，不存在，，的值，使式子的值为，故结论②正确； ③若，则， ∴，即， ∴，故结论③正确； ④方程两边同乘以，得： ， 整理得：， 当时，一元一次方程无解，此时； 当时，则， 解得：或， 综上所述，或或时，关于的方程无解，故结论④错误； ∴正确的结论有①②③． 故答案为：①②③． 7．（24-25八年级下·四川达州·阶段练习）不改变分式的值，把分式的分子与分母中各项的系数都化为整数且最简，结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，分式的值不变，可得答案．分式的分子分母都乘以12是解题关键． 【详解】解：分式的分子与分母都乘以12，得， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母中的最高次项的系数为正数． （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． （1）将分母中的负号提到分式前面即可； （2）分子和分母都乘以即可； （3）分子和分母都乘以即可． 【详解】（1） 故答案为： （2） 故答案为： （3） 故答案为： 9．（25-26八年级上·山东烟台·期中）定义：如果一个分式能化成一个整数与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“赋整分式”．例如：①；②；将“赋整分式”化为一个整数与一个分子为常数的分式的和的形式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的拆分． 根据“赋整分式”的定义，将分子化为分母的倍数与常数的和，然后进行分式拆分即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10．（2025八年级上·全国·专题练习）阅读理解“约去”指数：如你见过这样的约分吗？面对这荒谬的约分，一笑之后，再认真检验，发现其结果竟然正确！这是什么原因？ (1)仔细观察式子，我们可作如下猜想：______； (2)试证明（1）中猜想的正确性．[供参考：] 【答案】(1)（或） (2)见解析 【分析】本题考查了约分，读懂题目信息，理解立方和公式并分解因式是解题的关键． （1）通过观察给定算式的规律猜想一般性公式； （2）再利用立方和公式对分子分母进行因式分解，通过化简证明猜想的正确性． 【详解】（1）解∶依题意得（或） 故答案为：（或） （2）证明： （或）， ∴（1）中猜想是正确的． 知识点03 分式的乘法、除法 1. 分式的乘法 分式乘法法则：，即分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母. 2. 分式的除法 分式除法法则：，即除以分式等于乘其倒数，再按乘法法则计算. 3. 分式的乘方 分式乘方运算法则：(n)为正整数） 关键细节： ①符号处理：举例，总结：负号单独看，指数奇数为负，偶数为正。 ②多项式处理：举例，强调：先因式分解，再将多项式整体乘方，结果为. 4. 分式的乘除混合运算 顺序同有理数的混合运算的顺序. 例题讲解 题型1——直接乘方（含符号、多项式） 例5（25-26八年级上·山东烟台·期中）计算:（ 解：（ 题型2——乘方与乘法混合 例6（25-26八年级上·吉林·期中）计算:（1）　（2） 解：（1）原式（先乘方，再约分相乘）； （2）原式（符号先处理，再乘方、相乘）. 题型3——乘方与除法混合 例7（25-26八年级上·山东烟台·期中） 计算:（1）（2）) 解：（1）原式（先乘方，除法变乘法，再约分）；（2）原式（符号分步骤处理，先乘方再除）. 易错点警示: 错误1：（多项式乘方漏展开，正确为 错误2： 错误3：（顺序正确，但需强调“先乘方再除”不可颠倒）。 课后练习 1．（2021·安徽合肥·三模）化简的结果是（   ） A．－a－1 B．a－1 C．－a＋1 D．－ab＋b 【答案】B 【分析】将除法转换为乘法，然后约分即可． 【详解】原式=， 故选B． 【点睛】本题考查分式的化简，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． 2．（23-24九年级下·山东济宁·阶段练习）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的乘除法，先将除法转化为乘法，再根据整式乘法的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 3．（24-25八年级上·云南昆明·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的乘方及分式的乘法，先算乘方，再算乘法即可． 【详解】解：． 故选C． 4．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）下列各式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的性质，分式的乘方运算，根据分式的性质，分式的乘方运算逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 5．（21-22八年级上·天津南开·期末）计算： ． 【答案】 【分析】根据分式乘法运算法则求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 6．（24-25七年级下·安徽安庆·月考） ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，先将除法转化为乘法，然后根据分式的性质约分即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 7．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）已知，求 ． 【答案】7 【分析】本题考查了分式的运算，对已知式子进行平方运算可得，然后可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·全国·期末）计算： ． 【答案】 【分析】此题考查分式的除法，将分式的分子和分母因式分解，将除法化为乘法，计算乘法即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 9．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）（1）        （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了分式的乘法以及分式的混合运算； （1）根据分式的乘方和乘法运算进行计算即可求解； （2）先将除法转化为乘法，再约分，最后计算减法，即可求解． 【详解】解：（1）        （2） 10．（24-25八年级上·全国·期末）已知，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了分式的求值，完全平方公式，首先利用分式的乘除运算将分式进行化简，再利用完全平方公式将变形为，求出a，b的值，再代入求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴原式． 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了含乘方的分式的乘除法混合运算，分式的混合运算顺序：先算乘方、再算乘除，最后算加减，有括号的，先算括号里的．注意  ①分式的运算与分数的运算一样，一是注意符号；二是结果必须化到最简形式． （1）根据分式乘方和乘法运算法则计算即可； （2）根据分式乘方和乘除法混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 12．（24-25八年级下·江苏南京·期中）某净水装置，将杂质含量为的水用单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为．利用此净水装置，小亮进行了进一步的探究： 现有杂质含量为1的水． (1)用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为 ； (2)小亮共准备了单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案是将单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案和方案均为将单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤．三种方案的具体操作及相关数据如下表所示： 方案编号 第一次过滤用净水材料的单位量 水中杂质含量 第二次过滤用净水材料的单位量 第二次过滤后水中杂质含量 / / ①请将表格中方案的数据填写完整； ②通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？ 【答案】(1) (2)①，；②方案的最终过滤效果最好 【分析】本题主要考查了分式的应用，涉及分式的混合运算， （1）根据水中的杂质含量为计算即可； （2）①根据（1）中的方法，列式即可作答；②利用分式的简化运算比较两个分数的大小即可作答． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：① 根据题意：第一次过滤后水中杂质含量为：， 第二次过滤后水中杂质含量为：， 故答案为：，； ②=． ∵， ∴，． ∴． ∴． 同理，可得． ∴． ∴方案C的最终过滤效果最好． 知识点04 分式的加法、减法 1. 同分母分式的加法、减法 同分母分式加减法法则：同分母分式相加（减），分母不变，只把分子相加（减）.用字母表示为: 归纳关键提醒： ①分子是多项式时，相加减需加括号（避免符号错误）；如：= ②分母互为相反数时，先统一分母（如：； ③结果需约分（分子分母有公因式时）如：===x+2 2. 异分母分数的加法、减法 异分母分式相加（减），先因式分解分母→找最简公分母→通分（化为同分母分式）→按同分母法则计算→结果化简，: 如：计算时，公分母千万不能认为是（）(x-1),要先因式分解，再确定最简公分母。 例题讲解 例8（25-26八年级上·全国·课前预习）计算： 基础型——（同分母与简单异分母） （1） ； （2） ； 提升型（含符号与多分式混合） （3） ； （4） ． 【分析】本题考查的是分式的加减运算； （1）先通分化为同分母，再计算即可； （2）先通分化为同分母，再计算即可； （3）先把第一个约分，化为同分母，再计算即可； （4）先通分化为同分母，再计算即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3） ； （4） ． 故答案为：（1）；（2）；（3）；（4） 课后练习 1．（24-25八年级下·河南新乡·阶段练习）化简的结果是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的计算，解题的关键是掌握运算的顺序和相关运算的法则． 原式通分计算即可得答案． 【详解】解： ． 故选：C． 2．（2024·河北·中考真题）已知A为整式，若计算的结果为，则（    ） A．x B．y C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的通分，平方差公式，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 由题意得，对进行通分化简即可． 【详解】解：∵的结果为， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3.（24-25八年级上·河南驻马店·期末）已知实数a，b互为倒数，设，则M，N的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查分式的加减法．对M、N分别求解计算，进行异分母分式加减，然后把代入计算后直接选取答案． 【详解】解：， ∵实数a，b互为倒数， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 4．（24-25八年级下·重庆南岸·期末）下面是某同学计算的解题过程． 解：① ② ③ ④ 上述解题过程，开始出现错误的一步是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的化简．该同学在分式加减运算过程中，第二步合并分子时符号处理错误，导致后续步骤均出现错误． 【详解】步骤①：将原式通分，正确， 原式中，，而可变形为， 通分后为，此处正确， 步骤②：合并分子时错误， 正确合并应为： 但该同学误将分子写为，导致错误， 步骤③、④：因步骤②错误，后续步骤均无效， 综上，错误首次出现在步骤②． 故选：B． 5．（20-21八年级下·江苏盐城·期末）计算：＝ ． 【答案】1 【分析】先把第二个分式变形，然后根据同分母分式加减法法则计算． 【详解】解：原式= = =1． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分，变为同分母分式，再加减．分式运算的结果要化为最简分式或者整式． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的加减法，根据分式的加减法运算法则计算即可，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 7.（24-25八年级上·河南周口·期末）计算： ． 8．（24-25八年级下·江西抚州·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，分式的约分，解题关键是将已知式子适当变形，再整体代入求值． 先将，变形为，再整体代入求值． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为：． 9.（24-25八年级下·河南驻马店·期末）对于任意两个非零实数a、b，定义新运算“*”如下：，例如：．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了异分母分式的加减，已知式子的值求代数式的值，解题关键是掌握异分母分式的加减． 先利用异分母分式的加减得出，再代入求值． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）定义：若两个分式与满足：，则称与这两个分式互为“美妙分式”．若分式与互为“美妙分式”，且均为不等于0的实数，则分式 ． 【答案】或 【分析】本题考查了分式的加减法和实数的性质，绝对值的意义，熟练掌握分式加减法的法则，对新定义的理解是解题关键．根据分式与互为“美妙分式”，得到，求出①，②，分别把①②代入分式中求出结果即可． 【详解】解：与互为“美妙分式”， ， ， 或， 或， 、均为不等于的实数， ①，②， 把①代入， 把②代入， 综上：分式的值为或． 故答案为：或． 知识点05 分式的混合运算 1.不含括号的混合运算：先乘方→后乘除→再加减→结果要化简 千万要注意：同级运算从左往右依次进行 如：a()——不可以先做乘再做除 2.含括号的混合运算 从内到外，分步计算. 3.分式与整式的混合运算 整式→分母为 1 的分式 如：()——可以看成要与通分才能加减. 例题讲解 例9（24-25七年级下·安徽合肥·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键． 先根据分式的混合运算法则化简，然后将代入计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 例10（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）化简 （1）        （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据分式的减法运算法则计算即可求出答案． （2）根据分式的混合运算法则计算即可求出答案． 【详解】解：（1） = = =； （2） = = = = = 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则并正确计算是解题的关键． 课后练习 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）下列运算错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的加减乘除运算法则求解即可． 【详解】，选项A运算正确； ，选项B运算正确； ，选项C运算错误； ，选项D运算正确． 故选：C． 【点睛】本题考查的了分式的加减乘除运算，熟知分式的加减乘除运算的法则是解答此题的关键． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】括号内先通分，化为同分母分式后，根据分式的运算法则计算可得． 【详解】原式 ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式的加减乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握异分母分式加减运算法则． 3．（2025山东临沂·一模）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将括号里进行通分，再按照同分母分式加减进行计算，再算乘除，将各项进行分解因式，后约分即可． 【详解】原式 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的化简，熟练掌握异分母分式相加减、分式的乘除及因式分解是解题的关键． 4．（20-21九年级下·福建厦门·开学考试）计算： ． 【答案】 【分析】先通分计算括号里面，再算除法． 【详解】解： = = = 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，掌握分式的运算法则是解决本题的关键． 5．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知，，是三个互不相同的非零实数，设，，，．则与的大小关系是 ；与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】根据题意利用作差法进行整式与分式的加减运算，并将结果与0比较大小即可确定两数间的大小关系. 【详解】解：∵，，是三个互不相同的非零实数， ∴． ∴． 又， ∴． 故答案为：和. 【点睛】本题考查式子的大小比较，用作差法得到代数式，运用完全平方公式配成完全平方的形式，根据x，y，z是互不相等的非零实数，证明代数式大于0，得到a与b，c与d的大小关系． 6．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键． 先根据分式的混合运算法则化简，然后将代入计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 7．（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，正确化简是解答的关键．先根据分式的加减乘除运算法则，结合因式分解化简原式，然后代值求解即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 8．（24-25八年级下·福建漳州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，最后代入计算即可得到答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 当时，原式． 9.（24-25八年级上·全国·课后作业）已知，求的值． 【答案】， 【分析】先根据分式的除法法则进行计算，再根据分式的减法法则进行计算，最后整体代入求值即可. 【详解】解：原式 ． 当时，原式. 【点睛】本题主要考查分式化简求值，解决本题的关键是要熟练掌握分式的除法和减法法则. 10.（25-26八年级上·全国·课后作业）已知． 小宇和小恒在对进行化简后，小宇说不论取何值，的值都比的值大；小恒说不论取何值，的值都比的值大．请你判断谁的说法正确，并说明理由． 【答案】小宇的说法正确．理由见解析 【分析】分别对和进行化简，然后计算的值，根据其结果的正负来判断和的大小关系． 【详解】解：小宇的说法正确．理由如下： ， ， ， 要使有意义，需， 解得且； ，即； 小宇的说法正确． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握先分别化简和，再通过作差法比较大小是解题的关键． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学期末总复习讲义 第10课 分式 知识点梳理 知识点01——从分数到分式 知识点02——分式的基本性质 知识点03——分式的乘法与除法 知识点04——分数的加法与减法 知识点05——分式的混合运算 知识点01 从分数到分式 1.分式的定义及三要素 一般地，如果 A，B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 叫做分式，其中 A 是分子，B 是分母.三要素：①两个整式②B 中含有字母③形如“ ” 如： 是分式，而下列都不是分式： （1）分母中不含有字母 ；（2） =1 是方程； （3） 分母中不含有字母 ；（4） m.分母中不含有字母 2.分式有意义、无意义的条件 一般地分式有意义的条件是分母不为0，否则就是无意义. 如：有意义的条件是分母 ，即m ;无意义的条件就是m . 3.分式的值为0,为1，为正（负）数，为整数的条件 分式值为0的条件是：A=0，且B. 如若分式 的值为0，则x2-1=0,且x+1 , 所以，x=1； 分式值为-1的条件是：A=-B，且B. 如若分式 的值为1．|x-5|=-（x-5）,且|x-5| 所以，x≤5,且x5，所以，x<5； 分式值为负数的条件是：A、B异号，且B. 如若分式的值为负，则x2+1>0 所以，x为任意实数； 分式值为整数的条件是：A能被B整除，且B. 如若分式的值为整数，则整数x应当满足x2+1是4的约数，4的约数在有理数范围内有1,2,4，所以整数x可以是0，1； 所以，x为任意实数. 例题讲解 例1（24-25八年级上·甘肃武威·期末）下列各式：，，，，，，，其中分式共有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】此题考查分式的定义，掌握分式的构成特点，特别是在分母中必须含有字母，即可正确判断． 形如的式子叫分式，其中A、B表示两个整式，B中含有字母，依此判断即可． 【详解】解：，，这三个式子，分母不含字母，都不是分式； ，，，这四个式子，分母含字母，都是分式； ∴分式共有4个， 故选：B． 例2（24-25八年级上·北京·期末）已知分式的值为0，则x的值为（   ） A．1 B．0 C．1或 D． 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件．根据分式值为0的条件可得且，再解出x的值即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得：． 故选：D 课后练习 1．（25-26八年级上·山东泰安·期中）代数式，，，，，中，属于分式的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（25-26八年级上·河北唐山·期中）若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山东烟台·期中）在式子，，，中，分式的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26八年级上·湖南常德·期中）下列分式中，一定有意义的是（　　） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·山东淄博·期中）若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 6．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）要使分式 有意义，x满足的条件是 ． 7．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）当 时，分式的值为0． 8．（25-26八年级上·北京·期中）计算：当 时，分式有意义， ． 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）填空： （1）当 时，分式的值为正； （2）当为 时，分式的值为负； （3）当为 时，分式的值为正整数． 10．（25-26八年级上·河北沧州·月考）已知分式满足表格中的信息，其中，，均为常数． 的取值 分数的值 无意义 (1)原分式中的值是　　　； (2)求出，的值． 知识点02 分式的基本性质 1.分式的基本性质 基本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变. 用字母表示为： （C≠0），其中A、B、C是整式． 作用：将分式恒等变形. 2.将分式的分子分母的最高次项化为正数，系数化为整数 例如：(1)不改变分式的值，使下列分式的分子和分母的首项都不含“－”号: ；= (2)利用基本性质将分式的系数化为整系数 3.最简分式 分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式. 4.约分 约分就是利用分式的基本性质，分子分母同时除以分子分母的公因式，将分式化成最简分式. 约分的步骤：（1）找——公因式 （2）约——分子分母同时除以公因式 约分的类型：（1）分子分母是单项式——直接约分 （2）分子分母是多项式——先因式分解再约分 例如，利用基本性质将分式约分⑴ ⑵ 5.通分 ①根据分式的基本性质，把几个异分母分式化为与原来分式相等的同分母分式的过程，叫做分式的通分. ②这个相同的分母叫做这几个分式的公分母，其中最简的一个叫做最简公分母. ③对比辨析：通分与约分的区别（通分：异分母→同分母，分子分母同乘整式；约分：分式→最简分式，），二者依据均为分式的基本性质. 例题讲解 例3（24-25八年级下·江苏常州·阶段练习）在括号内填上适当地整式，使下列等式成立：（1）；（2）；（3）括号内应填 ； ; _________． 【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质． （1）根据分式的基本性质进行变形即可； （2）根据分式的基本性质进行变形即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：． （2）， 故答案为：． 【分析】(3)本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质，对分式的分子和分母同时乘以6，即可得出结论． 【详解】解：． 故答案为：． 例4（24-25八年级上·吉林长春·期末）阅读下列材料: 我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式，类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式）． 例如：，． (1)下列分式：①，②，③，其中属于“假分式”的是______（填序号）； (2)把分式化成带分式：______； (3)将分式化为带分式． 【答案】(1)①③ (2) (3) 【分析】（1）根据假分式的定义求解即可； （2）利用题中的方法把分式变形为，然后化成带分式即可； （3）利用题中的方法把分式变形为，然后化成带分式即可． 【详解】（1）解：①分式是假分式； ②分式是真分式； ③分式是假分式； （2）解：； （3）解： ． 【点睛】本题主要考查了分式的定义，分式化简，熟练掌握分式相关定义和题干提供的方法，是解题的关键．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式． 课后练习 1．（25-26八年级上·山东·课后作业）不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·重庆涪陵·期中）下列等式从左到右变形，正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）若等式成立，则x应满足的条件是（   ） A． B． C． D．或 4．（25-26八年级上·全国·单元测试）分式，，，中最简分式的个数是（   ） A． B． C． D． 5.（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）分式，的最简公分母为 ． 6．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）下列有四个结论： ①把分式中的，都扩大倍，分式的值不变； ②在实数范围内，不存在，，的值，使式子的值为； ③若，则； ④若关于的方程无解，则的值为或 其中正确的结论是 （填写序号） 7．（24-25八年级下·四川达州·阶段练习）不改变分式的值，把分式的分子与分母中各项的系数都化为整数且最简，结果为 ． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母中的最高次项的系数为正数． （1） ； （2） ； （3） ． 9．（25-26八年级上·山东烟台·期中）定义：如果一个分式能化成一个整数与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“赋整分式”．例如：①；②；将“赋整分式”化为一个整数与一个分子为常数的分式的和的形式是 ． 10．（2025八年级上·全国·专题练习）阅读理解“约去”指数：如你见过这样的约分吗？面对这荒谬的约分，一笑之后，再认真检验，发现其结果竟然正确！这是什么原因？ (1)仔细观察式子，我们可作如下猜想：______； (2)试证明（1）中猜想的正确性．[供参考：] 知识点03 分式的乘法、除法 1. 分式的乘法 分式乘法法则：，即分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母. 2. 分式的除法 分式除法法则：，即除以分式等于乘其倒数，再按乘法法则计算. 3. 分式的乘方 分式乘方运算法则：(n)为正整数） 关键细节： ①符号处理：举例，总结：负号单独看，指数奇数为负，偶数为正。 ②多项式处理：举例，强调：先因式分解，再将多项式整体乘方，结果为. 4. 分式的乘除混合运算 顺序同有理数的混合运算的顺序. 例题讲解 例5（25-26八年级上·山东烟台·期中）计算:（ 解：（ 题型2——乘方与乘法混合 例6（25-26八年级上·吉林·期中）计算:（1）　（2） 解：（1）原式（先乘方，再约分相乘）； （2）原式（符号先处理，再乘方、相乘）. 题型3——乘方与除法混合 例7（25-26八年级上·山东烟台·期中） 计算:（1）（2）) 解：（1）原式（先乘方，除法变乘法，再约分）；（2）原式（符号分步骤处理，先乘方再除）. 易错点警示: 错误1：（多项式乘方漏展开，正确为 错误2： 错误3：（顺序正确，但需强调“先乘方再除”不可颠倒）。 课后练习 1．（2021·安徽合肥·三模）化简的结果是（   ） A．－a－1 B．a－1 C．－a＋1 D．－ab＋b 2．（23-24九年级下·山东济宁·阶段练习）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·云南昆明·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）下列各式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（21-22八年级上·天津南开·期末）计算： ． 6．（24-25七年级下·安徽安庆·月考） ． 7．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）已知，求 ． 8．（24-25八年级上·全国·期末）计算： ． 9．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）（1）        （2） 10．（24-25八年级上·全国·期末）已知，求的值． 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 12．（24-25八年级下·江苏南京·期中）某净水装置，将杂质含量为的水用单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为．利用此净水装置，小亮进行了进一步的探究： 现有杂质含量为1的水． (1)用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为 ； (2)小亮共准备了单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案是将单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案和方案均为将单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤．三种方案的具体操作及相关数据如下表所示： 方案编号 第一次过滤用净水材料的单位量 水中杂质含量 第二次过滤用净水材料的单位量 第二次过滤后水中杂质含量 / / ①请将表格中方案的数据填写完整； ②通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？ 知识点04 分式的加法、减法 1. 同分母分式的加法、减法 同分母分式加减法法则：同分母分式相加（减），分母不变，只把分子相加（减）.用字母表示为: 归纳关键提醒： ①分子是多项式时，相加减需加括号（避免符号错误）；如：= ②分母互为相反数时，先统一分母（如：； ③结果需约分（分子分母有公因式时）如：===x+2 2. 异分母分数的加法、减法 异分母分式相加（减），先因式分解分母→找最简公分母→通分（化为同分母分式）→按同分母法则计算→结果化简，: 如：计算时，公分母千万不能认为是（）(x-1),要先因式分解，再确定最简公分母。 例题讲解 例8（25-26八年级上·全国·课前预习）计算： 基础型——（同分母与简单异分母） （1） ； （2） ； 提升型（含符号与多分式混合） （3） ； （4） ． 【分析】本题考查的是分式的加减运算； （1）先通分化为同分母，再计算即可； （2）先通分化为同分母，再计算即可； （3）先把第一个约分，化为同分母，再计算即可； （4）先通分化为同分母，再计算即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3） ； （4） ． 故答案为：（1）；（2）；（3）；（4） 课后练习 1．（24-25八年级下·河南新乡·阶段练习）化简的结果是（   ） A．1 B． C． D． 2．（2024·河北·中考真题）已知A为整式，若计算的结果为，则（    ） A．x B．y C． D． 3.（24-25八年级上·河南驻马店·期末）已知实数a，b互为倒数，设，则M，N的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 4．（24-25八年级下·重庆南岸·期末）下面是某同学计算的解题过程． 解：① ② ③ ④ 上述解题过程，开始出现错误的一步是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 5．（20-21八年级下·江苏盐城·期末）计算：＝ ． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）化简的结果是 ． 7.（24-25八年级上·河南周口·期末）计算： ． 8．（24-25八年级下·江西抚州·阶段练习）已知，则 ． 9.（24-25八年级下·河南驻马店·期末）对于任意两个非零实数a、b，定义新运算“*”如下：，例如：．若，则的值为 ． 10．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）定义：若两个分式与满足：，则称与这两个分式互为“美妙分式”．若分式与互为“美妙分式”，且均为不等于0的实数，则分式 ． 知识点05 分式的混合运算 1.不含括号的混合运算：先乘方→后乘除→再加减→结果要化简 千万要注意：同级运算从左往右依次进行 如：a()——不可以先做乘再做除 2.含括号的混合运算 3.分式与整式的混合运算 如：()——可以看成要与通分才能加减. 例题讲解 例9（24-25七年级下·安徽合肥·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键． 先根据分式的混合运算法则化简，然后将代入计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 例10（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）化简 （1）        （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据分式的减法运算法则计算即可求出答案． （2）根据分式的混合运算法则计算即可求出答案． 【详解】解：（1） = = =； （2） = = = = = 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则并正确计算是解题的关键． 课后练习 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）下列运算错误的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 3．（2025山东临沂·一模）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 4．（20-21九年级下·福建厦门·开学考试）计算： ． 5．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知，，是三个互不相同的非零实数，设，，，．则与的大小关系是 ；与的大小关系是 ． 【点睛】本题考查式子的大小比较，用作差法得到代数式，运用完全平方公式配成完全平方的形式，根据x，y，z是互不相等的非零实数，证明代数式大于0，得到a与b，c与d的大小关系． 6．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）先化简，再求值：，其中． 7．（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期末）先化简，再求值：，其中． 8．（24-25八年级下·福建漳州·期末）先化简，再求值：，其中． 9.（24-25八年级上·全国·课后作业）已知，求的值． 10.（25-26八年级上·全国·课后作业）已知． 小宇和小恒在对进行化简后，小宇说不论取何值，的值都比的值大；小恒说不论取何值，的值都比的值大．请你判断谁的说法正确，并说明理由． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $