4.2等可能条件下的概率(基础篇）讲义 2025-2026学年苏科版（2012）数学九年级上册

本讲义聚焦等可能条件下的概率这一核心知识点，从概率的定义出发，系统梳理直接列举法、列表法、树状图法三种求概率的方法，由结果较少的简单情境逐步过渡到多因素复杂情境，最终延伸至游戏公平性判断与实际问题决策的应用，构建分层提升的学习支架。 资料包含思维导图辅助知识结构化，练习题分层设计，从基础概率大小判断到结合“四大发明”“村超”等情境的综合应用，培养学生抽象能力（数学眼光）、推理意识（数学思维）与模型意识（数学语言）。课中助力教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺，提升概率应用能力。

4.2等可能条件下的概率 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 概率的定义 概率的意义：表示一个随机事件发生的可能性大小的数值，称为该事件的概率，记为P(A)。 列举法求概率 1. 直接列举法：将所有可能的结果一一列出，再数出事件A包含的结果数和总结果数，利用古典概型公式计算概率。适用于结果较少的情况。 2. 列表法：当一次试验涉及两个因素（或两个步骤），且可能出现的结果较多时，为不重复、不遗漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法 3. 树状图法：当一次试验涉及两个或更多因素（或步骤）时，可通过画树状图的方法列出所有可能的结果。例如，从两个装有不同颜色球的袋子中依次摸球（不放回），求摸出特定颜色组合的概率，树状图能清晰展示每个步骤的可能结果及组合情况。 概率的简单应用 1. 游戏公平性判断：判断一个游戏是否公平，关键是看游戏双方获胜的概率是否相等。若相等，则游戏公平；否则不公平。例如，用一个质地均匀的骰子设计游戏，规定掷出奇数甲胜，掷出偶数乙胜，由于双方获胜概率均为1/2，游戏公平。 2. 实际问题决策：根据事件发生的概率大小，对实际问题做出合理决策。例如，通过估计某产品的合格率（概率），决定是否批量生产。 型 习 练 题 判断几个事件概率的大小关系 1．事件：买体育彩票中一等奖；事件：抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数小于7；事件：在标准大气压下，温度低于时冰融化．3个事件的概率分别记为、、，则、、的大小关系正确的是（　　） A． B． C． D． 2．投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子，有下列事件：①掷得的点数是6；②掷得的点数不大于4；③掷得的点数是奇数．这些事件发生的可能性由大到小排列是（    ） A．②①③ B．③①② C．②③① D．③②① 3．随机事件的概率是（   ） A．1 B．0 C．大于0且小于1 D．大于1 4．一个布袋里装有2个红球，4个黑球，3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则下列事件中，发生可能性最大的是（    ） A．摸出的是绿球 B．摸出的是黑球 C．摸出的是红球 D．摸出的是白球 5．一只不透明的袋子有1个白球，3个红球，4个黄球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，在下列事件发生概率最高的是（    ） A．摸到黄球 B．摸到红球 C．摸到白球 D．摸到黑球 根据概率公式计算概率 6．造纸术、印刷术、指南针和火药是中国古代四大发明．这些发明对人类文明发展产生了深远的影响．小乐收集了以“四大发明”为主题的四张纪念卡片，四张卡片除内容外其余均相同．若小乐从这四张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片中有“指南针”的概率是（    ） A． B． C． D． 7．一个布袋里放有红色、黄色、黑色三种球，它们除颜色外其余都相同．红球、黄球、黑球的个数之比为．从布袋里任意摸出1个球为红球的概率是（    ） A． B． C． D． 8．如图，转盘的白色扇形和黑色扇形的圆心角分别为和，让转盘自由转动1次，则指针落在白色区域的概率为（   ） A． B． C． D． 9．一个不透明的袋子中装有若干个红球和3个白球（除颜色外都相同），现从袋中任意摸出一个球是红球的概率为，则袋中红球个数是（） A．8 B．9 C．7 D．10 10．书架上有1本数学书、1本物理书．从中任取1本书是数学书的概率为（    ） A． B． C． D． 列表法或树状图法求概率 11．某中学在参加“创文明城，点赞泉城”书画比赛中，杨老师从全校个班中随机抽取了个班（用表示），对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了两幅不完整的统计图．请根据以上信息，回答下列问题： (1)杨老师采用的调查方式是______（填“普查”或“抽样调查”）； (2)请补充完整条形统计图，并计算扇形统计图中班作品数量所对应的圆心角度数______； (3)如果全班征集的作品中有件获得一等奖，其中有名作者是男生，名作者是女生，现要在获得一等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或树状图的方法，求恰好选取的两名学生性别不同的概率． 12．如图，有4张分别印有2023年杭州亚运会吉祥物和会徽图案的卡片：A宸宸、B琮琮、C莲莲、D潮涌．现将这4张卡片（卡片的形状，大小，质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回，搅匀，再从中任意取出1张卡片． (1)求第一次取出的卡片图案为“D潮涌”的概率． (2)用列表或画树状图的方法，求两次取出的2张卡片中至少有1张卡片图案为“A宸宸”的概率． 13．为传承中华优秀文化，丰富居民文娱活动，某社区在元宵节举办了猜灯谜活动.猜中灯谜者，可获得一次抽奖机会，奖品有四类，设有四个抽签，分别记为，每次抽奖都出示四个抽签． (1)小明获得一次抽奖机会，则他抽到类奖品的概率为_____； (2)小军获得两次抽奖机会，请用列表或画树状图的方法，求他两次抽到的是不同类奖品的概率． 14．一个不透明的袋子中装有4个球，将它们分别标为1，2，3，4，这些球除标号外都相同． (1)将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是______； (2)将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录标号后不放回，再从袋子中任意摸出1个球，记录标号．求两次摸到的球标号数字的乘积小于4的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 15．晋中市位于山西省中部，东依太行山，西临汾河，地势独特，气候适宜，孕育了丰富的特产．在一次数学活动课上，老师将分别印有“A．平遥牛肉，B．太谷饼，C．榆次灌肠，D．寿阳豆干”这四种特产的四张卡片（除特产不同外其余完全相同）背面朝上放在桌子上，让每位学生从这四张卡片中随机抽取一张，并放回，然后对所抽取卡片上的特产进行介绍．请你用列表或画树状图的方法，求该班的小军和小明两名同学介绍的特产不同的概率． 游戏的公平性 16．小丽和小芳玩游戏，规则是：将三张分别写有数字，，的卡片（除数字外卡片完全相同）放在一个不透明的盒子里，随机抽取两张，若抽到两张卡片上的数字之和为偶数则小丽获胜；若为奇数，则小芳获胜． (1)抽到两张卡片数字之和为的概率为______． (2)请用列表法或画树状图分析这个游戏是否公平． 17．小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券．于是，老师就设计了这样的一个游戏：一口袋装有除颜色外均相同的2个白球1个红球和1个蓝球，通过摸球来决定谁去观看演出．方案如下：第一次随机从口袋中摸出一球（不放回）；第二次再任意摸出一球，两人胜负规则如下：摸到“一白一红”，则小颖去观看；摸到“一红一蓝”，则小亮去观看． (1)这个方案公平吗?请用列表或画树状图的方法说明理由； (2)你若认为这个方案不公平，那么请你改变两人胜负规则，设计一个公平的方案． 18．某班在选拔人员参加年级数学竞赛过程中，有A，B两同学分数相同，由于参赛名额所限，这两人中只能一个参赛，经商议决定采取摸球方式解决，将2个红球、1个绿球放到一个不透明的袋子中，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出2个球． (1)“摸出的2个球，都是红球”是________事件；（填“随机”或“不可能”或“必然”） (2)若两同学以摸球方式决定代表参加数学竞赛，摸出的2个球，若颜色相同，则同学去参赛；若颜色不同，则同学去参赛，这游戏方案设计公平吗？说明理由． 19．电影《志愿军：浴血和平》于2025年9月30日上映，小明和小刚都想去看，但只有一张电影票，两人决定一起做游戏，谁获胜谁就去看电影．游戏规则如下： 将四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中，一个人先从袋中随机摸出一个球，记下数字后放回，另一人再从袋中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的数字之和大于5，则小明获胜；否则小刚获胜． (1)请利用画树状图或列表的方法，求小明获胜的概率； (2)这个游戏规则是否公平？请说明理由． 20．小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成五个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次． (1)转动A盘，指针指向的数字大于3的概率是________，转动B盘，指针指向的数字小于5的概率是________； (2)若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜，请判断该游戏是否公平？并说明理由． 概率的应用 21．“七夕情人节”期间，某购物广场举办有奖销售活动，每购物满元，就获得一次转转盘的机会．转动转盘，转盘停止转动后指针对准某个区域，顾客得到相应的指示．小华购物元，获得一次转动转盘的机会，请你根据转盘（如图所示）求： (1)小华中奖的概率；（除了谢谢参与其他均是中奖） (2)小华获得元红包的概率； (3)小华享受八折优惠的概率． 22．某商场举办有奖促销活动，凡购买一定金额的商品，即可参与转盘抽奖．如图，转盘分为，，，四个区域，自由转动转盘，指针对准，，，区域时，分别对应“谢谢惠顾”“一等奖”“二等奖”“三等奖”，转到指针对准公共线位置时重转． (1)若某顾客转动一次转盘，求其获得“一等奖”的概率． (2)若某顾客转动一次转盘，求其中奖的概率． 23．小丽和小亮用10张写有的卡片做游戏，这10张卡片除数字外完全相同，将它们背面朝上混合均匀后，从中任意抽出一张． (1)抽出卡片上的数字是3的倍数的概率是________； (2)小丽和小亮规定：小丽从中任意抽出一张卡片，小亮从剩余的卡片中任意抽出一张，谁抽到卡片上的数字大谁就获胜，现在小丽抽到数字6的卡片，然后小亮抽出卡片，那么谁获胜的概率大？ 24．贵州“村超”火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”．“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐．甲乙丙三人模仿“村超”进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判． (1)求第4局甲当裁判的概率； (2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率． 25．某密码锁由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的两个不同数字组成． (1)共有多少种可能密码？ (2)小明随机输入一次，解锁成功的概率是多少？ (3)若他尝试随机输入100次仍未成功，是否说明这把锁的密码根本不存在？说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2等可能条件下的概率 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 概率的定义 概率的意义：表示一个随机事件发生的可能性大小的数值，称为该事件的概率，记为P(A)。 列举法求概率 1. 直接列举法：将所有可能的结果一一列出，再数出事件A包含的结果数和总结果数，利用古典概型公式计算概率。适用于结果较少的情况。 2. 列表法：当一次试验涉及两个因素（或两个步骤），且可能出现的结果较多时，为不重复、不遗漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法 3. 树状图法：当一次试验涉及两个或更多因素（或步骤）时，可通过画树状图的方法列出所有可能的结果。例如，从两个装有不同颜色球的袋子中依次摸球（不放回），求摸出特定颜色组合的概率，树状图能清晰展示每个步骤的可能结果及组合情况。 概率的简单应用 1. 游戏公平性判断：判断一个游戏是否公平，关键是看游戏双方获胜的概率是否相等。若相等，则游戏公平；否则不公平。例如，用一个质地均匀的骰子设计游戏，规定掷出奇数甲胜，掷出偶数乙胜，由于双方获胜概率均为1/2，游戏公平。 2. 实际问题决策：根据事件发生的概率大小，对实际问题做出合理决策。例如，通过估计某产品的合格率（概率），决定是否批量生产。 型 习 练 题 判断几个事件概率的大小关系 1．事件：买体育彩票中一等奖；事件：抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数小于7；事件：在标准大气压下，温度低于时冰融化．3个事件的概率分别记为、、，则、、的大小关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了概率的分类（不可能事件、随机事件、必然事件）及概率大小的判断，解题关键是判断每个事件属于不可能事件、随机事件还是必然事件，再根据各类事件的概率范围比较大小． 根据事件类型判断概率：事件A是随机事件，事件B是必然事件，事件C是不可能事件，再比较概率大小即可． 【详解】∵ 事件A：买体育彩票中一等奖，是随机事件， ∴ ． ∵ 事件B：抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数小于7（骰子点数最大为6，均小于7），是必然事件， ∴ ． ∵ 事件C：在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化，是不可能事件， ∴ ． ∴． 故选B． 2．投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子，有下列事件：①掷得的点数是6；②掷得的点数不大于4；③掷得的点数是奇数．这些事件发生的可能性由大到小排列是（    ） A．②①③ B．③①② C．②③① D．③②① 【答案】C 【分析】此题考查了事件的可能性，比较各事件包含的可能结果数，数量越多可能性越大． 【详解】投掷一枚均匀骰子共有6种等可能结果． ①点数为6：仅1种结果，概率为； ②点数不大于4：包括1、2、3、4，共4种结果，概率为； ③点数为奇数：包括1、3、5，共3种结果，概率为． 可能性由大到小为． 故选：C． 3．随机事件的概率是（   ） A．1 B．0 C．大于0且小于1 D．大于1 【答案】C 【分析】本题主要考查了事件的可能性，随机事件是在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件，故随机事件的概率是大于0且小于1． 【详解】解：随机事件是在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件，故随机事件的概率是大于0且小于1， 故选：C． 4．一个布袋里装有2个红球，4个黑球，3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则下列事件中，发生可能性最大的是（    ） A．摸出的是绿球 B．摸出的是黑球 C．摸出的是红球 D．摸出的是白球 【答案】B 【分析】本题考查等可能事件发生的概率，如果一件事有n种可能，而这些事件的可能性相同，其中事件A出现了m种情况，则事件A发生的概率为：． 【详解】解：解：任意摸出一个球，为红球的概率是：， 任意摸出一个球，为黑球的概率是：， 任意摸出一个球，为白球的概率是：， 故可能性最大的为：摸出的是黑球， 故答案为：B． 5．一只不透明的袋子有1个白球，3个红球，4个黄球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，在下列事件发生概率最高的是（    ） A．摸到黄球 B．摸到红球 C．摸到白球 D．摸到黑球 【答案】A 【分析】分别求出摸到各种颜色的求的概率，再比较大小即可. 【详解】袋子中一共有个球，有1个白球，3个红球，4个黄球，没有黑球. ∴摸到白球的概率= 摸到黄球的概率= 摸到红球的概率= 摸到黑球的概率=0 ∴摸到黄球的概率最高. 故选：A 【点睛】本题主要考查了概率的计算，事件A发生的概率=.掌握概率的计算方法是解题的关键. 根据概率公式计算概率 6．造纸术、印刷术、指南针和火药是中国古代四大发明．这些发明对人类文明发展产生了深远的影响．小乐收集了以“四大发明”为主题的四张纪念卡片，四张卡片除内容外其余均相同．若小乐从这四张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片中有“指南针”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了概率的基本概念及列举法求概率，先列出从四张卡片中随机抽取两张的所有可能结果，再数出其中包含“指南针”卡片的结果数，最后用包含“指南针”的结果数除以总结果数得到概率． 【详解】解：将造纸术、印刷术、指南针和火药四张卡片分别记为A，B，C，D， 列表如下： A B C D A B C D 共有12种等可能的结果，其中这两张卡片中有“指南针”的结果有：，，，，，，共6种， ∴这两张卡片中有“指南针”的概率为． 故选：A． 7．一个布袋里放有红色、黄色、黑色三种球，它们除颜色外其余都相同．红球、黄球、黑球的个数之比为．从布袋里任意摸出1个球为红球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查概率公式，根据题意假设球数是解题的关键． 根据概率公式，红球概率等于红球数量与总球数之比，给定比例，总份数为9，红球占2份即可求解． 【详解】设红球、黄球、黑球的数量分别为（k为正整数），则总球数为，． 故选：C． 8．如图，转盘的白色扇形和黑色扇形的圆心角分别为和，让转盘自由转动1次，则指针落在白色区域的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何概率的求法，正确求出转动一次指针指向某一区域的概率是解题关键． 根据概率的求法，求出指针指向白色区域的概率，进而即可得出答案． 【详解】解：由图得：白色扇形的圆心角为， 故转动一次，指针落在白色区域的概率为． 故选：B． 9．一个不透明的袋子中装有若干个红球和3个白球（除颜色外都相同），现从袋中任意摸出一个球是红球的概率为，则袋中红球个数是（） A．8 B．9 C．7 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了简单的概率公式，利用互斥概率可简化计算，根据摸出红球的概率为，可得摸出白球的概率为，再结合白球个数求出总球数，进而求出红球个数，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵摸出红球的概率为， ∴摸出白球的概率为， ∵白球有3个， ∴总球数为：， ∴红球个数为：， 故选：B． 10．书架上有1本数学书、1本物理书．从中任取1本书是数学书的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了概率公式，理解题意，运用概率公式进行求解，即可作答． 【详解】解：∵书架上有1本数学书、1本物理书． ∴从中任取1本书是数学书的概率为， 故选：C 列表法或树状图法求概率 11．某中学在参加“创文明城，点赞泉城”书画比赛中，杨老师从全校个班中随机抽取了个班（用表示），对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了两幅不完整的统计图．请根据以上信息，回答下列问题： (1)杨老师采用的调查方式是______（填“普查”或“抽样调查”）； (2)请补充完整条形统计图，并计算扇形统计图中班作品数量所对应的圆心角度数______； (3)如果全班征集的作品中有件获得一等奖，其中有名作者是男生，名作者是女生，现要在获得一等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或树状图的方法，求恰好选取的两名学生性别不同的概率． 【答案】(1)抽样调查 (2)补图见解析， (3) 【分析】（）根据题意即可求解； （）利用班的作品数及百分比求出总的作品数，进而求出班的作品数，可补充完整条形统计图，再用乘以班的作品数的占比可求出班作品数量所对应的圆心角度数； （）画出树状图，根据树状图解答即可求解； 本题考查了条形统计图和扇形统计图，数据的收集，用树状图或列表法求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键． 【详解】（1）解：杨老师采用的调查方式是抽样调查， 故答案为：抽样调查； （2）解：∵， ∴班的作品数为， ∴补充完整条形统计图如下： 班作品数量所对应的圆心角度数为， 故答案为：； （3）解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中恰好选取的两名学生性别不同的结果有种， ∴恰好选取的两名学生性别不同的概率为． 12．如图，有4张分别印有2023年杭州亚运会吉祥物和会徽图案的卡片：A宸宸、B琮琮、C莲莲、D潮涌．现将这4张卡片（卡片的形状，大小，质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回，搅匀，再从中任意取出1张卡片． (1)求第一次取出的卡片图案为“D潮涌”的概率． (2)用列表或画树状图的方法，求两次取出的2张卡片中至少有1张卡片图案为“A宸宸”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法求概率，熟练掌握列表法是解题的关键： （1）利用概率公式进行计算即可； （2）列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：第一次取出的卡片图案为“D潮涌”的概率为； （2）解：由题意，列表如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共16种等可能的结果，其中两次取出的2张卡片中至少有1张卡片图案为“A宸宸”的结果为7种， 故． 13．为传承中华优秀文化，丰富居民文娱活动，某社区在元宵节举办了猜灯谜活动.猜中灯谜者，可获得一次抽奖机会，奖品有四类，设有四个抽签，分别记为，每次抽奖都出示四个抽签． (1)小明获得一次抽奖机会，则他抽到类奖品的概率为_____； (2)小军获得两次抽奖机会，请用列表或画树状图的方法，求他两次抽到的是不同类奖品的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到B类奖品的结果有1种，利用概率公式可得答案； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两次抽到的是不同类奖品的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：∵共有4类，抽取1类， ∴抽到B类的概率是． （2）解：画树状图： 可能的结果有16种，其中抽到不同类奖品的情况有12种， 两次抽到的是不同类奖品的概率是． 14．一个不透明的袋子中装有4个球，将它们分别标为1，2，3，4，这些球除标号外都相同． (1)将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是______； (2)将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录标号后不放回，再从袋子中任意摸出1个球，记录标号．求两次摸到的球标号数字的乘积小于4的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求解概率、概率公式等知识点，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）直接由概率公式求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一个不透明的袋子中装有标号分别为1，2，3，4的4个球，这些球除标号外都相同， ∴将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是． 故答案为：． （2）解：根据题意画树状图如下： 共有12种等可能结果，其中乘积小于4的结果有4种， ． 15．晋中市位于山西省中部，东依太行山，西临汾河，地势独特，气候适宜，孕育了丰富的特产．在一次数学活动课上，老师将分别印有“A．平遥牛肉，B．太谷饼，C．榆次灌肠，D．寿阳豆干”这四种特产的四张卡片（除特产不同外其余完全相同）背面朝上放在桌子上，让每位学生从这四张卡片中随机抽取一张，并放回，然后对所抽取卡片上的特产进行介绍．请你用列表或画树状图的方法，求该班的小军和小明两名同学介绍的特产不同的概率． 【答案】 【分析】本题考查列表法与树状图法求概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．画树状图得出所有等可能的结果数以及该班的小军和小明两名同学介绍的特产不同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图知，总共有16种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中该班的小军和小明两名同学所抽取的特产不同的结果有12种， 所以P（该班的小军和小明两名同学介绍的特产不同）． 游戏的公平性 16．小丽和小芳玩游戏，规则是：将三张分别写有数字，，的卡片（除数字外卡片完全相同）放在一个不透明的盒子里，随机抽取两张，若抽到两张卡片上的数字之和为偶数则小丽获胜；若为奇数，则小芳获胜． (1)抽到两张卡片数字之和为的概率为______． (2)请用列表法或画树状图分析这个游戏是否公平． 【答案】(1) (2)这个游戏不公平 【分析】本题考查用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．解题的关键是掌握：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）通过画树状图法表示所有可能出现的结果情况，然后根据概率公式求出“抽到两张卡片数字之和为”的概率即可； （2）通过画树状图法表示所有可能出现的结果情况，求出“和为偶数”“和为奇数”的概率，然后进行比较即可得出答案． 【详解】（1）解：画树状图如图： 共有个等可能的结果，抽取的两张卡片上的数字之和为的结果数有种， ∴（抽到两张卡片数字之和为）， 故答案为：； （2）画树状图如图： 共有个等可能的结果，抽取的两张卡片上的数字之和为偶数的结果数有种，和为奇数的结果数有种， ∴（抽取的两张卡片上的数字之和为偶数）， （抽取的两张卡片上的数字之和为奇数）， ∵， ∴这个游戏不公平． 17．小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券．于是，老师就设计了这样的一个游戏：一口袋装有除颜色外均相同的2个白球1个红球和1个蓝球，通过摸球来决定谁去观看演出．方案如下：第一次随机从口袋中摸出一球（不放回）；第二次再任意摸出一球，两人胜负规则如下：摸到“一白一红”，则小颖去观看；摸到“一红一蓝”，则小亮去观看． (1)这个方案公平吗?请用列表或画树状图的方法说明理由； (2)你若认为这个方案不公平，那么请你改变两人胜负规则，设计一个公平的方案． 【答案】(1)这个游戏不公平，详见解析 (2)拿出一个白球或放进一个蓝球，其他不变．游戏就公平了． 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．画出树状图，求出他们各自获胜的概率是解答本题的关键． （1）画出树状图，根据概率公式即可求出概率，比较概率即可得出结论； （2）让二者的概率相同即可． 【详解】（1）解：游戏方案不公平，理由如下： 由树状图可以看出：共有12种可能，摸到“一白一红”有4种，摸到“一红一蓝”的情况有2种， 故小颖获胜的概率为 ，小亮获胜的概率为，所以这个游戏不公平． （2）解：当拿出一个白球时，其他不变，同理可求摸到“一白一红”和摸到“一红一蓝”的概率均是； 或放进一个蓝球，其他不变，则同理可求摸到“一白一红”和摸到“一红一蓝”的概率均是； ∴游戏就公平了． 18．某班在选拔人员参加年级数学竞赛过程中，有A，B两同学分数相同，由于参赛名额所限，这两人中只能一个参赛，经商议决定采取摸球方式解决，将2个红球、1个绿球放到一个不透明的袋子中，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出2个球． (1)“摸出的2个球，都是红球”是________事件；（填“随机”或“不可能”或“必然”） (2)若两同学以摸球方式决定代表参加数学竞赛，摸出的2个球，若颜色相同，则同学去参赛；若颜色不同，则同学去参赛，这游戏方案设计公平吗？说明理由． 【答案】(1)随机 (2)不公平，理由见解析 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）根据事件的分类进行判断即可； （2）游戏是否公平，关键要看是否游戏双方赢的机会相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等即可． 【详解】（1）解：∵一个不透明的袋子中放有2个红球、1个绿球， ∴摸出的2个球都是红球”是随机事件， 故答案为：随机； （2）解：不公平．理由如下： 列表如下：      球1 球2 红1 红2 绿 红1 （红2，红1） （绿，红1） 红2 （红1，红2） （绿，红2） 绿 （红1，绿） （红2，绿） ∴共有6种结果，每种结果出现的可能性相等，且摸出的2个球颜色相同的结果有2种． ∴P（摸出的2个球颜色相同）， P（摸出的2个球颜色不同）． 故该游戏方案对双方不公平． 19．电影《志愿军：浴血和平》于2025年9月30日上映，小明和小刚都想去看，但只有一张电影票，两人决定一起做游戏，谁获胜谁就去看电影．游戏规则如下： 将四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中，一个人先从袋中随机摸出一个球，记下数字后放回，另一人再从袋中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的数字之和大于5，则小明获胜；否则小刚获胜． (1)请利用画树状图或列表的方法，求小明获胜的概率； (2)这个游戏规则是否公平？请说明理由． 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，游戏的公平性，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）画树状图，共有16种等可能的结果，其中两次数字之和大于5的结果有6种，再由概率公式求解即可； （2）根据（1）求出小刚获胜的概率，再比较两人获胜的概率即可得到答案． 【详解】（1）解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有16种等可能性的结果数，其中摸出的两个球上的数字之和大于5的结果数有6种， ∴小明获胜的概率为； （2）解：这个游戏规则不公平，理由如下： 由（1）可得摸出的两个球上的数字之和不大于5的结果数有10种， ∴小刚获胜的概率为， ∵， ∴小刚获胜的概率比小明的大， ∴这个游戏规则不公平． 20．小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成五个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次． (1)转动A盘，指针指向的数字大于3的概率是________，转动B盘，指针指向的数字小于5的概率是________； (2)若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜，请判断该游戏是否公平？并说明理由． 【答案】(1) ， (2)该游戏不公平，理由见答案 【分析】（1）根据概率的概念进行求值即可； （2）先计算所有可能的结果，然后根据概率公式计算出小明胜的概率和小亮胜的概率，通过比较概率相等与否判断游戏是否公平即可. 【详解】（1）解：； . （2）解： 由树状图可知共有25种情况，其中为奇数的情况个数为13种，偶数的情况12种， ∴小亮胜的概率为：； 小明胜的概率为：； 两人获胜概率不相等 ∴该游戏不公平. 【点睛】本题考查了概率的计算，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键. 概率的应用 21．“七夕情人节”期间，某购物广场举办有奖销售活动，每购物满元，就获得一次转转盘的机会．转动转盘，转盘停止转动后指针对准某个区域，顾客得到相应的指示．小华购物元，获得一次转动转盘的机会，请你根据转盘（如图所示）求： (1)小华中奖的概率；（除了谢谢参与其他均是中奖） (2)小华获得元红包的概率； (3)小华享受八折优惠的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了概率公式的知识，解题的关键是掌握概率的求法． （1）用“中奖”的圆心角的度数除以周角的度数即可求得答案； （2）用“元红包”的圆心角的度数除以周角的度数即可求得答案； （3）用“八折优惠”的圆心角除以周角的度数即可求得答案． 【详解】（1）解：； （2）小华获得元红包的概率为； （3）小华享受八折优惠的概率为． 22．某商场举办有奖促销活动，凡购买一定金额的商品，即可参与转盘抽奖．如图，转盘分为，，，四个区域，自由转动转盘，指针对准，，，区域时，分别对应“谢谢惠顾”“一等奖”“二等奖”“三等奖”，转到指针对准公共线位置时重转． (1)若某顾客转动一次转盘，求其获得“一等奖”的概率． (2)若某顾客转动一次转盘，求其中奖的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．掌握几何概率的求法是解本题的关键． （1）求出字母所在的区域的圆心角度数，再根据概率公式即可求解． （2）求出中奖区域的圆心角度数，再根据概率公式即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得：区域对应“一等奖”， 设顾客转动一次转盘，其获得“一等奖”为事件， 由图知字母所在的区域的圆心角度数为， 则， 答：顾客转动一次转盘，其获得“一等奖”的概率为． （2）解：设顾客转动一次转盘，中奖为事件， 则， 答：顾客转动一次转盘，其中奖的概率为． 23．小丽和小亮用10张写有的卡片做游戏，这10张卡片除数字外完全相同，将它们背面朝上混合均匀后，从中任意抽出一张． (1)抽出卡片上的数字是3的倍数的概率是________； (2)小丽和小亮规定：小丽从中任意抽出一张卡片，小亮从剩余的卡片中任意抽出一张，谁抽到卡片上的数字大谁就获胜，现在小丽抽到数字6的卡片，然后小亮抽出卡片，那么谁获胜的概率大？ 【答案】(1) (2)小丽获胜的概率大 【分析】本题考查简单的概率计算，掌握概率的计算公式是解答本题的关键． （1）先确定中3的倍数的个数，再依据概率公式计算即可． （2）确定小丽抽到6后剩余卡片情况，共9张，数字为、、、、、、、、； 分别找出小亮获胜（抽到、、、 ）和小丽获胜（抽到、、、、 ）对应的数字个数； 依据概率公式分别计算小亮和小丽获胜的概率，比较大小得出谁获胜概率大． 【详解】（1）解：在1到10这10个数字中，3的倍数有3、6、9，共3个． 所以抽出卡片上的数字是3的倍数的概率， 故答案为：； （2）在数字1到10中，比6小的数字有1，2，3，4，5， 所以小丽获胜的概率是．           比6大的数字有7，8，9，10， 所以小亮获胜的概率是．           因为， 所以小丽获胜的概率大． 24．贵州“村超”火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”．“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐．甲乙丙三人模仿“村超”进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判． (1)求第4局甲当裁判的概率； (2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查了概率的计算，逐局分析胜负计算概率即可解题． （2）本题考查了用列举法求概率，考虑前4局中乙恰好当1次裁判出现的局数，逐一计算概率，即可解题． 【详解】（1）解：要第4局甲当裁判，则第3局甲输， 第1局甲当裁判， 第2局甲为选手， 每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判， 第2局甲获胜， 第4局甲当裁判的概率； （2）解：第1局甲当裁判， 乙恰好当1次裁判出现在第2、3、4局， 当在第2局时的概率， 当在第3局时的概率， 当在第4局时的概率， 乙恰好当1次裁判的概率． 25．某密码锁由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的两个不同数字组成． (1)共有多少种可能密码？ (2)小明随机输入一次，解锁成功的概率是多少？ (3)若他尝试随机输入100次仍未成功，是否说明这把锁的密码根本不存在？说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不是．理由见解析 【分析】本题主要考查了概率的计算，正确理解题意求出概率是解题的关键． (1) 根据每个数位上的数字的可能取值计算出所有可能出现的结果； (2)用输入一次除以所有可能出现的结果数即可； (3)用概率解释． 【详解】（1）解：这密码锁由两个不同数字组成，每个数位上的数字的可能性分别是10种、9种， 密码的可能性有：（种）； （2）； （3）不是． 理由：每次尝试解锁是独立的随机事件，且成功概率较小，只有，随机尝试100次仍未成功在概率上是可能的，他可能多次尝试了相同的错误密码，未覆盖到正确的密码． 学科网（北京）股份有限公司 $