2.7弧长及扇形面积（基础篇）练习2025-2026学年苏科版数学九年级上册

2.7弧长及扇形面积 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、弧长公式 1. 定义：在圆中，任意一条弧的长度称为弧长。 2. 公式推导： 设圆的半径为 ( r )，圆心角为（角度制），整个圆的周长为，对应的圆心角为。因此，圆心角所对的弧长占圆周长的比例为，故弧长公式为： 若圆心角用弧度制（，单位：弧度，弧度）表示，则，代入上式化简可得： 3. 适用条件： · 角度制公式中，( n ) 为圆心角的度数（不带单位），( r ) 为半径； · 弧度制公式中，为圆心角的弧度数（不带单位），( r ) 为半径； · 公式仅适用于同圆或等圆中，弧长与圆心角、半径成正比。 二、扇形面积公式 1. 定义：由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形称为扇形，其面积为扇形面积。 2. 公式推导： 设圆的半径为 ( r )，圆心角为（角度制），整个圆的面积为，对应的圆心角为。因此，圆心角所对的扇形面积占圆面积的比例为，故扇形面积公式（角度制）为： 结合弧长公式，可将扇形面积公式变形为： 若圆心角用弧度制（）表示，因，代入角度制面积公式化简可得： 3. 适用条件： · 角度制公式中，( n ) 为圆心角的度数，( r ) 为半径； · 弧度制公式中，为圆心角的弧度数，( r ) 为半径； · 公式适用于已知弧长 ( l ) 和半径 ( r ) 的场景，无需计算圆心角，应用更灵活。 三、关键关系与拓展 1. 弧长与扇形面积的联系： 对于同一扇形，已知半径 ( r )、圆心角（或弧度）、弧长 ( l ) 中的任意两个量，可通过弧长公式和扇形面积公式互推第三个量。核心桥梁为公式，例如： · 已知 ( l ) 和 ( r )，则； · 已知 ( S ) 和 ( r )，则。 2. 与圆的周长、面积的关系： · 当圆心角（或弧度）时，扇形即为整个圆，此时弧长（圆周长），面积（圆面积），符合公式特例。 · 当圆心角（或弧度）时，扇形为半圆，弧长，面积。 3. 单位统一： · 计算时需确保半径单位统一（如厘米、米等），圆心角单位与公式匹配（角度制用度数，弧度制用弧度，不可混用）。 四、常见应用场景 1. 几何计算：直接利用公式求解扇形的弧长、面积，或结合勾股定理、三角函数解决与扇形相关的组合图形（如扇形与三角形、矩形的组合）面积问题。 2. 实际问题：如钟面指针扫过的弧长与面积、扇形统计图中各部分的圆心角与面积占比、扇形零件的尺寸计算等。 3. 动态变化问题：当半径或圆心角变化时，分析弧长、面积的变化规律（如半径扩大2倍，弧长扩大2倍，面积扩大4倍）。 五、易错点提示 1. 圆心角单位混淆：误用角度制公式计算弧度制圆心角，或反之（如将直接代入，需先转换为弧度）。 2. 公式记忆错误：混淆扇形面积公式与三角形面积公式，需注意扇形中“底”为弧长 ( l )，“高”为半径 ( r )。 3. 忽略隐含条件：在组合图形中，未明确扇形的半径或圆心角（如“以直角三角形斜边为半径的扇形”，需先求斜边长度作为半径）。 型 习 练 题 求弧长 1．若一个扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键；根据弧长公式直接计算即可． 【详解】解：由题意得：； 故选B． 2．如图，中，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是弧长公式．直接利用弧长公式计算即可． 【详解】解：由题意得，的长是． 故选：B． 3．如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的性质、弧长公式，根据等边三角形的性质得到，利用弧弦的关系和弧长公式求得的长，进而可求解． 【详解】解：如图， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴该“莱洛三角形”的周长是． 故选：D． 4．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将绕点顺时针旋转得到，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求弧长，解题的关键是掌握弧长公式． 根据网格得出半径长度，利用弧长公式求解即可． 【详解】解：根据网格图可知，， ∴的长为， 故选：D． 5．如图，在中，，，以为直径的交于点D，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，解题的关键是正确添加辅助线，并熟知一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半．连接，，根据是的直径，可得，再根据，，可得的值，然后求得，从而求出，再结合弧长公式进行列式，即可作答． 【详解】解：连接，，如图所示： ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 求扇形半径 6．的圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径是（    ） A．3 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长公式（为圆心角，为半径），根据弧长公式即可求解． 【详解】解：设此弧所在圆的半径为，依题意， ． 解得． 故选：D． 7．在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查弧长公式，根据圆心角对应的弧长公式，代入已知条件求解半径即可． 【详解】解：根据弧长公式：，其中， 代入得： 解得： 故选：A． 8．如图，以正六边形的顶点为圆心，的长为半径画弧，得到，连接AC，AE，若的长为，则正六边形的边长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】设正六边形的边长为x，则，，进而求出，，过B作于H，由等腰三角形的性质和含直角三角形的性质得到，，在中，由勾股定理求得，得到，再根据弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：设正六边形的边长为x， ∴，， ∵， ∴， 过B作于H， ∴，， 在中，， ∴， 同理可证，， ∴， ∵的长为， ∴， 解得， 正六边形的边长为． 故选：D． 【点睛】本题考查的是正六边形的性质和弧长公式，等腰三角形的性质，勾股定理，一元一次方程的应用． 9．已知某个扇形的弧长为，圆心角为，则这个扇形的面积为（    ） A．16 B．32 C．64 D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形面积，弧长的计算，掌握其计算公式是解题的关键． 根据弧长和圆心角得到圆的半径（是扇形半径，是扇形弧长，是扇形圆心角），再根据扇形面积计算公式即可求解． 【详解】解：扇形的弧长为，圆心角为， ∴由得到， ∴， 故选：A ． 10．传统服饰日益受到关注，如图①为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图②马面裙可以近似地看作扇形的一部分，其中的长度为米，裙长米，圆心角，则的长为（    ） A．1米 B．米 C．2米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式．由题意知，，求得，得到米即可． 【详解】解：由题意知，， 解得， ∵裙长为米， ∴米， 故选：B． 求圆心角 11．在半径为6的圆中，长度为的弧所对的圆周角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求弧长所对的圆心角度数，圆周角定理，根据弧长公式求出圆心角，再根据圆周角定理求出圆周角的度数即可． 【详解】解：设圆心角度数为， ∵ 弧长，其中，， 解得， ∴ 圆周角的度数； 故选B 12．如图，在半径为的中，劣弧的长为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是弧长的计算、圆周角定理的应用，掌握弧长公式和圆周角定理是解题的关键． 连接、，根据弧长公式求出的度数，根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：连接、， 设的度数为， 则， 解得，， ， 故选：C． 13．一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的直径是，当重物上升时，问滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度为（ ）（假设绳索与滑轮之间没有摩擦，取） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】重物上升，说明点转过的路径长为，然后根据弧长公式计算即可． 本题考查了弧长的计算和生活中的旋转现象，关键是熟练掌握弧长公式． 【详解】解：设旋转的角度为， 根据题意得，， 解得， 所以半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度为． 故选：D． 14．如图，为的直径，，劣弧的长，则弦的长为（　　） A．2 B．4 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了弧长公式，勾股定理； 先利用弧长公式求出，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：连接， 设的度数为， ∵， ∴半径， 则， ∴， ∴弦， 故选：C． 15．如图，某公园计划修建一条以点为圆心，半径米，圆心角为的弧形观景步道即．施工过程中，因场地条件限制，需在保持圆心和半径长度不变的前提下，将弧形步道的弧长减少米，则调整后该弧形观景步道的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长，圆心角的计算，掌握弧长公式的计算是关键． 根据弧长公式（是弧长所对的圆心角）代入计算即可． 【详解】解：半径米，圆心角为的弧形观景步道即， ∴（米）， ∵将弧形步道的弧长减少米， ∴调整后的弧长为（米）， 设此时的圆心角的度数为， ∴， 解得，， 故选：C ． 求扇形面积 16．半径为3、圆心角为的扇形的面积为（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查求扇形的面积，根据扇形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，该扇形面积为：. 故选：B． 17．如图，以点为圆心的两个同心圆中，点，在大圆上，点，在小圆上， 和的长度分别是．若，则扇形的面积与扇形的面积的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了扇形的面积，根据扇形面积等于弧长与半径乘积的一半即可判断求解，掌握扇形的面积计算方法是解题的关键． 【详解】解：设大圆半径为，小圆半径为，则，， ∵，， ∴， 故选：． 18．已知一个扇形的面积是，半径是24，则这个扇形的弧长是（    ） A． B． C．20 D． 【答案】D 【分析】本题考查了扇形的面积公式，熟记扇形的面积计算公式是解决本题的关键． 根据扇形面积计算公式“”可直接列出方程求出弧长． 【详解】解：由题意可得， 解得， 故选：D． 19．如图所示，边长为1的正方形网格中，、、、、是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点，那么阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，求扇形的面积，等腰直角三角形的性质， 根据阴影部分的面积解答即可. 【详解】解：∵， ∴， 同理：. 根据勾股定理，得. 阴影部分的面积 . 故选：C. 20．《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，如某一问题：有一扇形田地，下周长（弧长）为米，径长（两段半径的和）为米，则该扇形田地的面积为（  ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是扇形的面积计算，解题关键是熟练掌握扇形的面积计算公式． 首先求得半径的长，然后利用扇形面积公式即可求解． 【详解】解：径长（两段半径的和）为米， 半径长为米， 又下周长（弧长）为米， 该扇形田地的面积． 故选：． 求图形旋转后扫过的面积 21．如图，在中，，将绕点顺时针旋转后得到，则边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，掌握扇形的面积公式是解题的关键； 本题根据扇形的面积公式，进行计算，即可求解； 【详解】解：由题意可得：，边旋转了， ∴边在旋转过程中所扫过的图形的面积为：， 故选：B； 22．如图，已知，，，半径为的从点A出发，沿方向滚动到点时停止．则在此运动过程中，扫过的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查组合图形的面积，解题的关键是掌握圆面积、扇形面积以及矩形面积的计算方法． 【详解】根据圆面积、扇形面积以及矩形面积的计算方法进行计算即可． 【点睛】解：如图，扫过的面积为， ∵，，，半径为， ∴，，，， ∴， 故选：． 23．如图，在等腰直角三角形中，直角边长是2，若将此三角形绕直角顶点C顺时针旋转，那么斜边扫过的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了扇形的面积公式，根据题意画出图形，边在旋转时所扫过的面积为所围成的图形面积，据此进行求解即可． 【详解】解：如图所示，由题意可得，都是等腰直角三角形，则， 边在旋转时所扫过的面积为所围成的图形面积， 故选：B 24．如图，将直角三角板绕直角顶点顺时针旋转角度得到，点在斜边上，若，，则点运动路径长度及边扫过的面积分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据旋转的性质得到，得出，根据三角形内角和定理求出，根据弧长公式，扇形面积公式求出点运动路径长度及边扫过的面积即可． 【详解】解：直角三角板绕直角顶点顺时针旋转角度得到，点在斜边上， ， ， ， ， 点运动路径长度为， 边扫过的面积为， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，弧长公式，扇形面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 25．如图，矩形中，，，将矩形按如图所示的方式在直线上进行旋转，则线段在旋转过程中扫过的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了扇形的面积、旋转的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．如图（见解析），设旋转后，点的对应点分别为点，则图中阴影部分的面积即为线段在旋转过程中扫过的面积，连接，先利用勾股定理可得，再根据旋转的性质可得，然后根据线段在旋转过程中扫过的面积等于求解即可得． 【详解】解：如图，设旋转后，点的对应点分别为点， 则图中阴影部分的面积即为线段在旋转过程中扫过的面积， 连接， ∵矩形中，，， ∴， ∴， 由旋转的性质得：，，， ∴线段在旋转过程中扫过的面积为 ， 故选：A． 求弓形面积 26．如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了扇形的面积（，其中为圆心角的度数、为半径），熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．根据阴影部分的面积等于扇形的面积减去扇形的面积即可得． 【详解】解：∵圆心角，，， ∴阴影部分的面积等于 ， 故选：D． 27．如图，已知的半径为，点和点在上，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形面积公式，弓形面积；直接根据即可得出结论，熟记扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：． 28．《九章算术》是我国古代数学经典著作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式：弧田面积（弦矢矢）．弧田（如图所示）由圆弧和其所对弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦，“矢”指半径长与圆心O到弦的距离（d）之差．若“弦”为24，d为5，根据上述经验公式计算，该弧田的面积为（    ） A．80 B．100 C．104 D．128 【答案】D 【分析】本题考查了弧田面积计算问题，也考查了理解与运算能力．根据题意画出图形，结合图形利用直角三角形的边角关系求出矢和弦的值，代入公式计算求值即可． 【详解】解：如图，过点O作于点C， 由题意可知， ∴， 在中， ， ∴矢， ∴该弧田的面积为， 故选：D． 29．如图，是的直径，是的弦，连接，，若直径，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，根据，计算即可． 【详解】解：连接，，如图， ∵是直径，， ∴， ∵， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查扇形的面积，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 30．如图，直径为的圆内有一个圆心角为的扇形，则与弦围成的弓形面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，再根据即可得到解答． 【详解】解：∵扇形， ∴， 又∵， ∴为大圆的直径， ∴， ∴， ∴ ， 故选C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质和扇形面积公式，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 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实际问题：如钟面指针扫过的弧长与面积、扇形统计图中各部分的圆心角与面积占比、扇形零件的尺寸计算等。 3. 动态变化问题：当半径或圆心角变化时，分析弧长、面积的变化规律（如半径扩大2倍，弧长扩大2倍，面积扩大4倍）。 五、易错点提示 1. 圆心角单位混淆：误用角度制公式计算弧度制圆心角，或反之（如将直接代入，需先转换为弧度）。 2. 公式记忆错误：混淆扇形面积公式与三角形面积公式，需注意扇形中“底”为弧长 ( l )，“高”为半径 ( r )。 3. 忽略隐含条件：在组合图形中，未明确扇形的半径或圆心角（如“以直角三角形斜边为半径的扇形”，需先求斜边长度作为半径）。 型 习 练 题 求弧长 1．若一个扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，中，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 3．如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将绕点顺时针旋转得到，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，以为直径的交于点D，则的长为（   ） A． B． C． D． 求扇形半径 6．的圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径是（    ） A．3 B．8 C．9 D．10 7．在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（    ） A． B． C． D． 8．如图，以正六边形的顶点为圆心，的长为半径画弧，得到，连接AC，AE，若的长为，则正六边形的边长为（   ） A．2 B． C． D． 9．已知某个扇形的弧长为，圆心角为，则这个扇形的面积为（    ） A．16 B．32 C．64 D． 10．传统服饰日益受到关注，如图①为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图②马面裙可以近似地看作扇形的一部分，其中的长度为米，裙长米，圆心角，则的长为（    ） A．1米 B．米 C．2米 D．米 求圆心角 11．在半径为6的圆中，长度为的弧所对的圆周角的度数为（   ） A． B． C． D． 12．如图，在半径为的中，劣弧的长为，则（    ） A． B． C． D． 13．一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的直径是，当重物上升时，问滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度为（ ）（假设绳索与滑轮之间没有摩擦，取） A． B． C． D． 14．如图，为的直径，，劣弧的长，则弦的长为（　　） A．2 B．4 C．4 D．6 15．如图，某公园计划修建一条以点为圆心，半径米，圆心角为的弧形观景步道即．施工过程中，因场地条件限制，需在保持圆心和半径长度不变的前提下，将弧形步道的弧长减少米，则调整后该弧形观景步道的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 求扇形面积 16．半径为3、圆心角为的扇形的面积为（   ） A． B． C． D．3 17．如图，以点为圆心的两个同心圆中，点，在大圆上，点，在小圆上， 和的长度分别是．若，则扇形的面积与扇形的面积的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 18．已知一个扇形的面积是，半径是24，则这个扇形的弧长是（    ） A． B． C．20 D． 19．如图所示，边长为1的正方形网格中，、、、、是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点，那么阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 20．《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，如某一问题：有一扇形田地，下周长（弧长）为米，径长（两段半径的和）为米，则该扇形田地的面积为（  ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 求图形旋转后扫过的面积 21．如图，在中，，将绕点顺时针旋转后得到，则边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（   ） A． B． C． D． 22．如图，已知，，，半径为的从点A出发，沿方向滚动到点时停止．则在此运动过程中，扫过的面积是（　　） A． B． C． D． 23．如图，在等腰直角三角形中，直角边长是2，若将此三角形绕直角顶点C顺时针旋转，那么斜边扫过的面积为（   ） A． B． C． D． 24．如图，将直角三角板绕直角顶点顺时针旋转角度得到，点在斜边上，若，，则点运动路径长度及边扫过的面积分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 25．如图，矩形中，，，将矩形按如图所示的方式在直线上进行旋转，则线段在旋转过程中扫过的面积是（    ） A． B． C． D． 求弓形面积 26．如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 27．如图，已知的半径为，点和点在上，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 28．《九章算术》是我国古代数学经典著作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式：弧田面积（弦矢矢）．弧田（如图所示）由圆弧和其所对弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦，“矢”指半径长与圆心O到弦的距离（d）之差．若“弦”为24，d为5，根据上述经验公式计算，该弧田的面积为（    ） A．80 B．100 C．104 D．128 29．如图，是的直径，是的弦，连接，，若直径，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 30．如图，直径为的圆内有一个圆心角为的扇形，则与弦围成的弓形面积为（    ）． A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $