2.7 弧长及扇形面积 同步练习 2025-2026学年苏科版九年级数学上册

2.7 弧长及扇形面积 同步练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.如图，的半径为，直径、互相垂直，则的长是(    ) A. B. C. D. 2.如图，将绕着点顺时针旋转后得到，若，则的长度为(    ) A. B. C. D. 3.若扇形的半径为，，则的长为  (    ) A. B. C. D. 4.如图，点，，分别是以，，为直径的半圆弧的一个三等分点，再分别以，，，为直径向外侧作个半圆，若图中阴影部分的面积为，则的长为(    ) A. B. C. D. 5.制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．试计算如图所示的管道的展直长度，即的长为(    ) A. B. C. D. 6.如图，一个边长为的等边三角形的高与的直径相等与相切于点，与相交于点，则图中阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 7.如图，将边长为的正方形绕点逆时针旋转到正方形位置，则图中阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 8.图是贵阳某游乐场的摩天轮，，表示摩天轮上其中的两个轿厢，图是其示意图，点是圆心，半径为，点，是圆上的两点，，则的长为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.若长度为的圆弧所在圆的半径为，则该圆弧所对的圆心角的度数为          ． 10.如图，正六边形的边长为，中心为点，以点为圆心，以长为半径作圆心角为的扇形，则图中阴影部分的面积为          ． 11.如图，是在上的点，，，则的长为          结果保留 12.如图，将绕顶点顺时针旋转后得到，点经过的路径为弧，若，则图中阴影部分的面积是______． 13.如图，内接于，，，若，则的长为          ． 14.如图，是的内接三角形，若的半径为，则劣弧的长为          ． 15.把一个周长为的圆剪成两个扇形，已知其中一个扇形的面积是整个圆面积的，则这个扇形的弧长为______结果保留 16.如图，在正六边形中，，连接，，以点为圆心、的长为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积是______． 三、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，四边形内接于，是四边形的一个外角，且平分． 求证：； 若，，求的长度． 18.本小题分 如图，与相切于点，弦，垂足为点，直径的延长线与的延长线相交于点． 求证：是的切线； 若，求图中阴影部分的面积． 19.本小题分 如图，是的外接圆，是直径且，的平分线交于点，连接过点的切线交的延长线于点，且． 在不添加辅助线的情况下，写出一个与相等的角：______； 求阴影部分的面积； 求线段的长度． 20.本小题分 已知：如图，四边形是的内接四边形，、是的直径，过点作的切线，交延长线于点，连接，． 求证：； 若，且，求的长． 21.本小题分 如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，，垂足为点，的延长线交的延长线于点． 求证：是的切线； 若，，求图中阴影部分的面积． 22.本小题分 如图所示的脚踏摇摇凳可以放到办公桌下，脚踩在上面能随意前后晃动，对长期伏案办公的工作人员的下肢有很好的放松作用，上面是可以脚踩的平板，平板下部左右两侧各有一段相同的圆弧支撑如图是脚踏摇摇凳侧面的截面图，其中是平板下部的圆弧支撑，已知当弦平行于地面时，弦到地面的距离是圆半径的一半，． 尺规作图：确定所在圆的圆心不写作法，保留作图痕迹； 求圆的半径； 求的长度． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：直径、互相垂直， ， 弧的长为， 故选：． 先利用直径、互相垂直，得出，再利用弧长公式计算即可． 本题考查弧长的计算，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：由旋转可知，， 又因为， 所以的长度为． 故选：． 根据弧长的计算公式进行计算即可． 本题主要考查了弧长的计算及旋转的性质，熟知旋转的性质及弧长的计算公式是解题的关键． 3.【答案】  【解析】解：由题意可得可得弧的长为：， 所以的长为． 4.【答案】  【解析】解：设， 由题意，，，， ， 、、三点共线， 点是半径为的半圆弧的一个三等分点， 对的圆心角为， ， 同法可得， ，，，，，， 四边形为直角梯形，外层个半圆无重叠． ， ， 解得负根已经舍去， ． 故选：． 根据所给的图形结合三角函数的知识可得出、、、的长度，然后根据四边形为直角梯形，外层个半圆无重叠得出，设，构建方程，可得结论． 本题考查了面积及等积变换的知识，难度较大，关键是仔细观察图形得出要求阴影部分面积的另一种表达方式，从而进行变换求解． 5.【答案】  【解析】解：的长为． 故选：． 根据弧长公式进行计算即可．弧长公式：弧长为，圆心角度数为，圆的半径为． 本题主要考查了弧长的计算公式． 6.【答案】  【解析】解：如图，过点作于，过点作于，连接、， 为等边三角形，， ，， 由勾股定理得：， 由题意：， 与相切于点， ， ， ，， ， ，， ， ， 故选：． 过点作于，过点作于，连接、，根据等边三角形的性质求出，根据切线的性质得到，求出，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可． 本题考查的是切线的性质、扇形面积计算，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 7.【答案】  【解析】解：如图，连接， 在和中， ， ≌， ， 旋转角为， ， ， ， 阴影部分的面积． 故选：． 设与的交点为，连接，利用“”证明和全等，根据全等三角形对应角相等，再根据旋转角求出，然后求出，再解直角三角形求出，然后根据阴影部分的面积正方形的面积四边形的面积，列式计算即可得解． 本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形判定与性质，解直角三角形，利用全等三角形求出，从而求出是解题的关键，也是本题的难点． 8.【答案】  【解析】解：的长为． 故选：． 直接根据弧长公式计算即可． 本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式． 9.【答案】  【解析】本题考查的是弧长的计算，熟记弧长公式：弧长为，圆心角度数为，圆的半径为是解题的关键． 设该圆弧所对的圆心角的度数为，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：设该圆弧所对的圆心角的度数为， 由题意得：， 解得：， 故答案为： 10.【答案】  【解析】解：连接、、，过点作于点，如图所示： 六边形为正六边形， ，，， 和为等边三角形，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ≌， ， ， ， ， 答案为：． 连接、、，过点作于点，根据正六边形的性质得出，，，证明和为等边三角形，求出，证明≌，得出，得出，根据，求出结果即可． 本题主要考查了正六边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，扇形面积计算，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握正六边形的性质． 11.【答案】  【解析】本题考查了圆周角定理，弧长的计算，掌握以上知识是关键． 根据圆周角定理得到的度数，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：所对的圆周角是，所对的圆心角是， ， ， 故答案为：． 12.【答案】  【解析】解：由旋转的性质可知：，， ． 故答案为：． 由旋转的性质可知阴影部分的面积即为扇形的面积，然后根据扇形面积公式可进行求解． 本题主要考查旋转的性质及扇形面积公式，熟练掌握旋转的性质及扇形面积公式是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：如图，连接、， ，， ， 由圆周角定理得：， ， 的长为：， 故答案为：． 连接、，根据三角形内角和定理求出，根据圆周角定理求出，根据等腰直角三角形的性质求出，再根据弧长公式计算即可． 本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、弧长公式是解题的关键． 14.【答案】  【解析】【分析】 连接、，根据圆周角定理求出，再根据弧长公式计算即可． 本题考查的是圆周角定理以及弧长公式，掌握圆周角定理、弧长公式是解题的关键． 【解答】 解：如图，连接、， 由圆周角定理得：， 劣弧的长为：． 故答案为：． 15.【答案】  【解析】解：一个圆剪成两个扇形，其中一个扇形的面积是整个圆面积的， 这个扇形的弧长是圆周长的， 即． 故答案为：． 根据扇形面积与圆面积之间的关系，得出扇形的弧长与圆周长的关系即可． 本题考查弧长的计算，圆的周长，扇形面积的计算，理解扇形面积与圆面积之间的关系，扇形的弧长与圆周长的关系是正确解答的关键． 16.【答案】  【解析】解：如图，连接， 六边形为正六边形， ，， ，， ， ， 则， 故答案为：． 连接，根据正六边形的性质求出、、，根据正切的定义求出，根据三角形面积公式、扇形面积公式计算，得到答案． 本题考查的是正多边形和圆、扇形面积计算，掌握正六边形的性质、扇形面积公式是解题的关键． 17.【答案】证明：平分， ， ，， ， ； 解：连结、，如图， ， 为等边三角形， ， ， 的长度  【解析】先根据角平分线的定义得到，再利用圆内接四边形的性质得到，利用圆周角定理得到，所以，从而得到结论； 连结、，如图，利用的结论得到，则为等边三角形，所以，，根据圆周角定理得到，然后根据弧长公式求解． 本题考查了弧长的计算：弧长公式：弧长为，圆心角度数为，圆的半径为也考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质． 18.【答案】证明见解答；   阴影部分的面积是．  【解析】证明：连接，则， ， 弦，垂足为点， ， 垂直平分， ， ， 与相切于点， ， ， 是的半径，且于点， 是的切线． 解：，， ， ，， ， ， 是等边三角形， 是的直径， ， ， ，， ，， ， ， ， 阴影部分的面积是． 连接，则，所以，因为弦于点，所以垂直平分，则，所以，由切线的性质得，则，即可证明是的切线； 由，，得，由，，推导出，则，可证明，则，，所以，，则，求得，由求得． 此题重点考查垂径定理、等腰三角形的性质、切线的判定、等边三角形的判定与性质、扇形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 19.【答案】答案不唯一；  ；   ．  【解析】解：如图，连接， 是的切线， ， ， 由圆周角定理得：， ， 故答案为：答案不唯一； 如图，过点作于， 则， 在中，，， 则，，， ； 如图，连接， 是的直径， ， 是的平分线， ， ． 连接，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，根据圆周角定理求出，得到答案； 过点作于，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可； 根据圆周角定理得到，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到，根据等腰直角三角形的性质计算即可． 本题考查的是切线的性质、扇形面积计算，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径、扇形面积公式是解题的关键． 20.【答案】见解析；  的长为．  【解析】证明：四边形是的内接四边形，、是的直径， ， ， ， ， ， ， 过点作的切线，交延长线于点， ， ； 解：，且， 设，则， ，， ， ， ， 四边形是的内接四边形， ， ， ， 解得， ， ， 的长． 根据等边对等角和平行线的性质，推出，求得根据切线性质知道，据此即可证明； 设，根据平行线的性质，求得，再根据三角形内角和，推出，根据圆内接四边形的性质，推出，据此列式，求得，再根据弧长公式求解即可． 本题考查了切线的性质，圆周角定理，弧长的计算，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键． 21.【答案】见解析；  ．  【解析】证明：连接． ， ． 由题意可得：， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线． 解：连接过点作于点． ， ， ， ， 又， ，． ，， ， ． ． 连接，由点是的中点，得到，根据圆周角定理得到，求得，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理得到结论； 连接过点作于点，先证明是等边三角形，，从而求得，即可由求解． 本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理，扇形的面积．正确地作出辅助线是解题的关键． 22.【答案】见解答．   圆的半径为．  ．  【解析】如图，先过点作的垂线，交于点，再以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点， 则点即为所求． 连接， 由题意得，． 由知，于点， ． 设圆的半径为， 则，， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， 圆的半径为． 连接， 可得，， 在中，， ， ， ， 的长度为． 结合题意，先过点作的垂线，交于点，再以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点，则点即为所求． 连接，由题意得，于点，则设圆的半径为，则，，在中，由勾股定理得，，代入求出的值即可． 连接，可得，，在中，，可得，则，即，再利用弧长公式计算即可． 本题考查作图应用与设计作图、勾股定理、弧长的计算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 第4页，共19页 学科网（北京）股份有限公司 $$