第四章 对数与对数函数小节 培优训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第四章 对数与对数函数小节【一周一测培优训练】 姓名：___________班级：___________学号：___________ （满分：150分，考试时间：120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】整理可得，，结合对数函数单调性分析判断. 【详解】因为，， 则，所以. 故选：A. 2．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据具体函数有意义，可得关于的不等式，解之即可得函数的定义域. 【详解】由函数有意义， 等价于，解得， 可得函数的定义域为. 故选：A. 3．已知函数，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】先求出，再将该值代入相应的解析式后可求函数值. 【详解】,故， 故选：A 4．已知定义在上的函数满足：的图象关于直线对称，且当时，，若，，，则a，b，c的大小关系是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得为偶函数，令，易得为奇函数，结合时，得到，单调递减，利用奇偶性可知时，单调递减，再根据单调性比较大小即可． 【详解】的图象关于直线对称， 的图像关于直线对称，即为偶函数， 令，则为奇函数， 又时，， ，单调递减， 又为奇函数， 所以时，单调递减， ，，， ， ． 故选：A． 5．若为奇函数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用奇函数得，即，又由的定义域得，最后利用基本不等式即可求解. 【详解】由题意有：， 所以，所以， 又，所以，又函数定义域关于原点对称， 故，即， 又因为，，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：B. 6．已知正实数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，，结合函数单调性可得，再借助反证法计算即可得解. 【详解】设，，， 则、、均在上单调递增， 又，故； 假设，则， 与题干矛盾，所以有； 假设，则， 与题干矛盾，所以有； 综上可得. 故选：B. 7．已知函数（，且）在上为单调函数，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分段函数的单调性结合二次函数的单调性、复合函数的单调性列式求出的范围，结合对数运算即可求解. 【详解】因为的对称轴为直线，且开口向上， 所以当时，必单调递增，有，可得， 又在上为单调函数，所以在时单调递增， 因为函数在时单调递减， 所以在单调递减； 所以，解得， 又由， 又由，有，有． 故选：. 8．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数的单调性结合，去求解即可. 【详解】，定义域为R， 令，则， 则， 即关于中心对称， 当时，由解析式可知单调递增， 对称性得：当时，单调递增， 所以在上是增函数， 又在上是增函数， 所以在上是增函数， ， 所以 则， 即， 由单调性可得：， 解得：， 所以不等式的解集为， 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中．有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分．有选的得0分． 9．已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．在上单调递增 C．的图象关于对称 D．的值域为 【答案】BCD 【分析】对A，根据函数解析式求出定义域判断；对B，利用复合函数的单调性判断；对C，利用函数的对称性判断；对D，求出在上的值域，再利用对数函数的单调性求解. 【详解】对于A，由题可得，解得，所以函数定义域为，故A错误； 对于B，因为，设， 因函数在定义域内为增函数，函数在上单调递增且大于零， 根据复合函数单调性可得在上单调递增，故B正确； 对于C，因为该函数的定义域关于对称， 且， 故函数的图象关于对称，故C正确； 对于D，因为在上的值域为， 所以的值域为，即，故D正确. 故选：BCD. 10．已知函数，若有四个不同的实数解，且满足，则下列命题正确的是（    ） A． B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ABD 【分析】A选项：将方程的解转化为函数与图象交点的横坐标，然后结合图象即可得到的范围；BCD选项：由题意可得，整理得，利用二次函数的对称性得到，然后利用对勾函数的单调性求范围即可. 【详解】作函数的图象如下， 有四个解，即与的图象有4个交点，， 可得，可知选项A正确； 由图象可得，则，即， 且， 令，根据“对勾”函数单调性可得在上单调递减， 故，可知选项B正确； ， 令，根据“对勾”函数单调性可得， 又，可知选项C错误； 令，根据“对勾”函数单调性可得在上单调递减， 在上单调递增，故，可知选项D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是画出函数的图象，二是对数的运算，三是数形结合思想的运用. 11．已知函数的最小值为0，e是自然对数的底数，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】由已知得当时，，对于AC，当时，为上的减函数，则，代入解不等式得解；对于BD，当时，由对勾函数在上单调递减，在上单调递增，判断的单调性，求出最小值即可判断. 【详解】由函数的最小值为0， 当时，，即， 故当时，的值域为的子集，即 对于AC，当时，为上的减函数， 又，则，即，故A正确，C错误； 当时，对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 对于B，当时，对勾函数在上单调递增， 则函数在上单调递减，由A知，，故B错误； 对于D，当时，对勾函数在上单调递减， 则函数在上单调递增，又，则，即，故D正确； 故选：AD 【点睛】思路点睛：本题考查已知函数的最值求参数，解题时需先求出由函数在时的值域为，进而将问题转化为当时，函数的值域为的子集，即，分类讨论研究函数的单调性求出最值，考查学生的分析转化能力，属于难题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，且，函数在上单调递减，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据分段函数单调性列式求解，注意端点值的大小. 【详解】因为函数在上单调递减， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 13．已知函数，且满足，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】化简函数，可得，进而可得，又函数为增函数，所以可得，解不等式即可. 【详解】由题意，函数，化简得， 又，即， 又，即， 又，所以， 所以， 令，则 ， 因为，所以，，， 所以，所以， 所以， , 所以，所以函数单调递增， 则有，解得. 所以实数的取值范围为. 故答案为： 14．已知定义在上的奇函数满足，且当时，.函数与函数的图象的所有交点的横坐标之和为 . 【答案】 【分析】根据条件先得出函数的周期性与对称性，函数的对称性，然后再利用函数与函数的图像交点研究问题即可. 【详解】因为定义在上的奇函数满足， 所以， 所以，即函数是以为周期的函数， 当时，，所以函数的图象是以为圆心，为半径的圆的一部分， 由函数的图象可知函数关于直线对称， 因为， 所以函数关于直线对称， 因为，，， 所以函数与函数在有一个交点， 因为，，，，，    所以函数与函数在上有两个交点， 当时，，，此时函数与函数无交点， 因为，所以时，函数与函数无交点， 综上，当时，函数与函数有三个交点， 根据对称性可知，函数与函数的交点关于直线对称， 作出函数与函数的图象如下图所示： 所以函数与函数的图象的所有交点的横坐标之和为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若在上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合对数函数性质运算求解即可，注意对数型函数的定义域； （2）分析可知在上单调递增，且对恒成立，分和两种情况运算求解即可. 【详解】（1）若，则， 对于不等式，即， 则，解得或， 所以不等式的解集为. （2）若在上单调递增， 则在上单调递增，且对恒成立， 若，则在上单调递减，不合题意； 若，则，解得， 所以实数的取值范围为. 16．已知函数 (1)若将的图象向下平移（）个单位长度，所得函数图象经过点，求的值； (2)若，解关于的方程 (3)若，且，解关于的不等式 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）确定平移后解析式，代入求解即可； （2）由指对数的运算性质将原方程化为关于的一元二次方程，结合定义域求解即可； （3）由对数的运算性质及对数函数的单调性得到且．再通过讨论和求解即可. 【详解】（1）将的图象向下平移（）个单位长度所得图象对应的函数为， 将点代入上式，得 解得 （2）当时，， 所以原方程为， 由，得，又，所以， 所以， 即， 所以，考虑到， 解得， 所以． （3）由， 得， 所以且， 所以且． 当时，， 由得， 由，得， 所以； 当时，，， 由得， 由，得， 所以． 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 17．已知指数函数的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)解关于的不等式：； (3)试讨论关于的方程的解的个数. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】本题主要考查指数函数的解析式、单调性以及方程解的个数问题，解题的关键在于先根据已知条件求出指数函数的解析式，再利用指数函数的单调性求解不等式，最后通过换元法讨论二次方程解的个数. 【详解】（1）设，且， 因为指数函数过点，所以，得：，即：. （2）由（1）知函数在上单调递增，则由 可得：，即：，解得：. （3）由已知，得：，即：或， 方程可化为，该方程的解为， （ⅰ）当时，方程可化为，方程的解为； （ⅱ）当且时，方程有1个解，解为，且； （ⅲ）当时，方程有0个解； 综上所述，当或时，方程有1个解；当且时，方程有2个解. 18．已知函数． (1)若，求的定义域； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)设，若对任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据基本初等函数定义域，列出一元二次不等式，求出解集即可； （2）根据复合函数单调性，判断二次函数在区间上的单调性和值域，列出不等式，求出参数范围即可； （3）根据双变量恒成立的问题，判断函数最值之间的关系，根据复合函数单调性求出函数最值，进而列出不等式，求出参数范围. 【详解】（1）由题意得，因式分解得，解得或， 即函数定义域为. （2）因为在上单调递增，所以当 在上单调递增时，函数在单调递增且， 因为是对称轴为直线，开口向上的二次函数， 则，解得， 所以的取值范围为. （3）对任意，存在，使得不等式成立，即任意，恒成立， 由， 当时，，则，所以， 可得任意，恒成立，即恒成立， 等价于恒成立； 因为在上单调递增，即在恒成立即可， 即在恒成立， 由对勾函数可知在上单调递减，所以； 可得时在恒成立； 所以的取值范围为. 19．若函数在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”. (1)试判断是否为“局部奇函数”； (2)已知，对于任意的，函数都是定义域为上的“局部奇函数”，求实数的取值范围. 【答案】(1)是 (2) 【分析】（1）化简，利用换元法，结合一元二次方程的解求得正确答案. （2）将问题转化为在上有解，利用换元法，结合函数的单调性来求得的取值范围. 【详解】（1）假设为“局部奇函数”， 则有解，即在上有解， 令，，则在上有解， 整理得：在上有解，解得：， 故假设成立，为“局部奇函数”； （2），在上恒成立， 对于任意的，函数都是定义域为上的“局部奇函数”， 对于任意的，在上有解， 即在上有解， 整理得：在上有解， 的值域是的值域的子集， ，的值域是， 令，，则， 在上单调递减， 当时，，当时，， ，解得：. 【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 对数与对数函数小节【一周一测培优训练】 姓名：___________班级：___________学号：___________ （满分：150分，考试时间：120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 4．已知定义在上的函数满足：的图象关于直线对称，且当时，，若，，，则a，b，c的大小关系是（   ）． A． B． C． D． 5．若为奇函数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．已知正实数满足，则（   ） A． B． C． D． 7．已知函数（，且）在上为单调函数，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中．有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分．有选的得0分． 9．已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．在上单调递增 C．的图象关于对称 D．的值域为 10．已知函数，若有四个不同的实数解，且满足，则下列命题正确的是（    ） A． B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 11．已知函数的最小值为0，e是自然对数的底数，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，且，函数在上单调递减，则实数的取值范围为 . 13．已知函数，且满足，则实数的取值范围为 . 14．已知定义在上的奇函数满足，且当时，.函数与函数的图象的所有交点的横坐标之和为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若在上单调递增，求实数的取值范围. 16．已知函数 (1)若将的图象向下平移（）个单位长度，所得函数图象经过点，求的值； (2)若，解关于的方程 (3)若，且，解关于的不等式 17．已知指数函数的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)解关于的不等式：； (3)试讨论关于的方程的解的个数. 18．已知函数． (1)若，求的定义域； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)设，若对任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 19．若函数在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”. (1)试判断是否为“局部奇函数”； (2)已知，对于任意的，函数都是定义域为上的“局部奇函数”，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $