5.3 导数在研究函数中的应用 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

本讲义聚焦导数在研究函数中的应用核心知识点，梳理函数单调性（导数关系、几何意义、单调区间求法、图像趋势）和极值与最值（概念、求法、区别）。从导数与单调性基础关系入手，通过几何意义建立直观，过渡到极值最值探究，构建完整学习支架。 资料以题型分层设计（基础应用到含参数问题）为主线，结合示例与跟踪训练，培养数学思维（逻辑推理）和数学眼光（几何直观）。步骤化解题方法（如列表法求单调区间）助学生规范数学语言表达，课中提升教师授课效率，课后便于学生自查练习弥补知识盲点。

5.3 导数在研究函数中的应用 知识点一、函数的单调性 1.函数的单调性与导函数的关系 设函数在某个区间(a，b)内有导数，则： （1）在区间(a，b)上，如果，那么函数在区间(a，b)上单调递增； （2）在区间(a，b)上，如果，那么函数在区间(a，b)上单调递减； （3）在区间(a，b)上，如果，那么函数在区间(a，b)上为常函数. 2.函数的单调性与导函数的关系的几何意义 （1）当时，切线的斜率为正，切线的倾斜角小于90°，切线时“左下右上”的上升式，函数的图像也是上升的； （2）当时，切线的斜率为负，切线的倾斜角大于90°，切线时“左上右下”的下降式，函数的图像也是下降的； （3）若在某个区间内恒有，则函数的图像是与x轴平行的线段. 3.求可导函数的单调区间的方法 （1）解不等式法（求较简单的函数的单调区间） ①求定义域：确定函数的定义域. ②求导：求. ③解不等式：令，可解得函数的单调递增区间；令，可解得函数的单调递减区间. （2）列表法（求较复杂的函数的单调区间） ①求定义域：确定函数的定义域. ②求导：求. ③求零点：令，求定义域范围内的的零点. ④列表：把各零点按由小到大的顺序排列起来，把定义域分成若干个区间，列表判断在各区间上的符号. ⑤确定单调区间：通过符号确定单调区间. 4.函数图像的变化趋势与导数的关系 （1）且||越来越大，函数值增加的越来越快； （2）且||越来越小，函数值增加的越来越慢； （3）且||越来越大，函数值减小的越来越快； （4）且||越来越小，函数值减小的越来越慢. 知识点二、函数的极值与最大（小）值 1.函数极值的概念 （1）极小值与极小值点：若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． （2）极大值点与极大值：若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． （3）极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值． 2.求函数y＝f(x)的极值的一般步骤： （1）确定函数的定义域； （2）求导数f′(x)； （3）解出方程f′(x)＝0的根（可能不止一个）； （4）确定极值点，用函数的导数值为0的点，顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格，检验f′(x)在方程根左右两侧的值的符号. ①如果在x0的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值． ③如果在x0的两侧f′(x)符号相同，则x0不是极值点. 3.函数的最大值与最小值 （1）一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必 有最大值与最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得. 当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得. （2）函数的极值与最值的区别 ①极值是对某一点附近(即局部) 而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的. ②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个. ③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点. （3）求函数的最大值与最小值的步骤 ①求函数f(x)在区间(a，b)上的极值； ②将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 题型一：函数的单调性 1.利用导数研究函数图像和导数图像间的关系 例1.f′(x)是函数y＝f(x)的导数，若的图像如图所示，则函数y＝f(x)的图像可能是（ ） 例2.已知函数求f（x）的单调区间； 例3.已知函数f（x）＝3x3﹣9x+5，求函数f（x）的单调区间； 跟踪训练： 1.函数y＝f(x)的导数的图像如图所示，则函数y＝f(x)的图像可能是（ ） 2.函数f（x）＝x﹣5lnx的单调递增区间为（　　） A．（﹣∞，5） B．（5，+∞） C．（0，5） D．（0，+∞） 3.设函数f（x）＝exlnx，则f（x）在区间（0，+∞）上（　　） A．单调递减 B．单调递增 C．先单调递减后单调递增 D．先单调递增后单调递减 4.函数f（x）＝lnx﹣2x． （1）求y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程． （2）求f（x）的单调区间． 题型二、函数的极值与最大（小）值 例1.已知函数f（x）＝xex（e为自然对数的底），求函数f（x）的极值； 例2.已知函数． （1）求f（x）的单调区间； （2）求f（x）在区间[﹣2，4]上的最大值和最小值． 跟踪训练： 1.已知函数． （1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （2）求函数f（x）的极值． 2.已知f（x）＝x2﹣3x+lnx，求f（x）的极值点以及极值、最值点以及最值． 3.求函数f（x）3lnx的极值． 题型三：含有参数相关题型 例1.已知函数f（x）＝x2﹣2x+alnx（a∈R）． （1）当a＝1时，求函数f（x）在（2，f（2））处的切线方程； （2）求函数f（x）的单调区间． 跟踪训练： 1.已知函数f（x）＝x2﹣alnx， （1）若函数f（x）在点（3，f（3））处切线的斜率为4，求实数a的值； （2）求函数f（x）的单调区间． 2.已知函数f（x）（a∈R，a≠0）． （1）当a＝1时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处切线的方程； （2）求函数f（x）的单调区间． 1.已知函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．函数y＝f（x）在（1，2）上单调递减 B．x＝﹣1是函数y＝f（x）的极小值点 C．x＝1是函数y＝f（x）的极大值点 D．f（2）是函数y＝f（x）的极大值 2.已知函数f（x）＝lnx﹣3x+a（a∈R），则f（x）的单调递增区间为（　　） A． B． C．（0，3） D．（3，+∞） 3.已知可导函数f（x）的导函数为f′（x），若对任意的x∈R，都有f（x）＞f′（x）+1且 f（0）＝2，则不等式f（x）﹣ex＜1的解集为（　　） A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，e） C．（e，+∞） D．（0，+∞） 4.函数f（x）＝2x3﹣6x+3的极小值为（　　） A．﹣33 B．﹣7 C．﹣1 D．7 5.函数在R上单调递增，则a的取值范围是　 　． 6.已知函数f（x）x3﹣4x+4，a∈R，求函数f（x）的单调递增区间. 1.如图所示是y＝f（x）的导数的图象，下列结论中不正确的是（　　） A．f（x）在区间（﹣3，1）上是增函数 B．f（x）在区间（2，4）上是减函数，在区间（﹣1，2）上是增函数 C．x＝2是f（x）的极大值点 D．x＝﹣1是f（x）的极小值点 2.函数f（x）＝x﹣lnx的单调递减区间为（　　） A．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（0，1） D．（0，+∞） 3.函数ylnx+2的单调递减区间为（　　） A．（﹣1，1） B．（0，1） C．[1，+∞） D．（0，+∞） 4.已知函数f（x）＝（x﹣1）lnx，则下列说法不正确（　　） A．f（x）在（0，1）上单调递减 B．x＝1是f（x）的零点 C．f（x）的极小值为0 D．f（x）的极大值点为x＝1 5.已知函数f（x）的导函数为f′（x），函数g（x）＝（x﹣1）f′（x）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．f（x）的极大值为f（﹣2），极小值为f（2） B．f（x）在（﹣2，1），（2，+∞）上单调递增 C．f（x）的极小值为f（﹣2），极大值为f（2） D．f（x）在（﹣∞，﹣2），（1，2）上单调递减 6.已知函数f（x）＝ex﹣x，则函数f（x）的最小值为（　　） A． B．1 C．e﹣1 D．e 7.函数f（x）＝xe1﹣x的极大值为　 　． 8.函数f（x）＝x3﹣2x2+x﹣6的极小值是　 　． 9.已知函数f（x）＝2x2+lnx﹣ax在区间（0，2]上单调递增，则实数a的取值范围为　 　． 10.已知函数f（x）＝ex（x+1）+e的极值点为x0，则x0＝　 　． 11.已知x＝0是函数f（x）＝aex﹣ln（x+1）的一个极值点，则f（3）＝　 ． 12.已知函数f（x）＝x3﹣3x2﹣9x+a． （1）求函数f（x）的单调区间； （2）若f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为8，求它在该区间上的最小值． 13.已知函数f（x）＝x3﹣ax2﹣9x+1，且f'（1）＝﹣12． （1）求函数f（x）的解析式； （2）求曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程； （3）求函数f（x）的单调区间和极值． 14.函数f（x）＝xlnx﹣ax+1在点A（1，f（1））处的切线斜率为﹣2． （1）求实数a的值； （2）求f（x）的单调区间和极值． 15.已知函数f（x）＝lnx﹣ax+3，a∈R． （1）当a＝1时，求函数f（x）的极值； （2）当a＞0时，若对任意x∈（0，+∞），不等式f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3 导数在研究函数中的应用 知识点一、函数的单调性 1.函数的单调性与导函数的关系 设函数在某个区间(a，b)内有导数，则： （1）在区间(a，b)上，如果，那么函数在区间(a，b)上单调递增； （2）在区间(a，b)上，如果，那么函数在区间(a，b)上单调递减； （3）在区间(a，b)上，如果，那么函数在区间(a，b)上为常函数. 2.函数的单调性与导函数的关系的几何意义 （1）当时，切线的斜率为正，切线的倾斜角小于90°，切线时“左下右上”的上升式，函数的图像也是上升的； （2）当时，切线的斜率为负，切线的倾斜角大于90°，切线时“左上右下”的下降式，函数的图像也是下降的； （3）若在某个区间内恒有，则函数的图像是与x轴平行的线段. 3.求可导函数的单调区间的方法 （1）解不等式法（求较简单的函数的单调区间） ①求定义域：确定函数的定义域. ②求导：求. ③解不等式：令，可解得函数的单调递增区间；令，可解得函数的单调递减区间. （2）列表法（求较复杂的函数的单调区间） ①求定义域：确定函数的定义域. ②求导：求. ③求零点：令，求定义域范围内的的零点. ④列表：把各零点按由小到大的顺序排列起来，把定义域分成若干个区间，列表判断在各区间上的符号. ⑤确定单调区间：通过符号确定单调区间. 4.函数图像的变化趋势与导数的关系 （1）且||越来越大，函数值增加的越来越快； （2）且||越来越小，函数值增加的越来越慢； （3）且||越来越大，函数值减小的越来越快； （4）且||越来越小，函数值减小的越来越慢. 知识点二、函数的极值与最大（小）值 1.函数极值的概念 （1）极小值与极小值点：若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． （2）极大值点与极大值：若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． （3）极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值． 2.求函数y＝f(x)的极值的一般步骤： （1）确定函数的定义域； （2）求导数f′(x)； （3）解出方程f′(x)＝0的根（可能不止一个）； （4）确定极值点，用函数的导数值为0的点，顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格，检验f′(x)在方程根左右两侧的值的符号. ①如果在x0的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值． ③如果在x0的两侧f′(x)符号相同，则x0不是极值点. 3.函数的最大值与最小值 （1）一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必 有最大值与最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得. 当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得. （2）函数的极值与最值的区别 ①极值是对某一点附近(即局部) 而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的. ②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个. ③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点. （3）求函数的最大值与最小值的步骤 ①求函数f(x)在区间(a，b)上的极值； ②将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 题型一：函数的单调性 1.利用导数研究函数图像和导数图像间的关系 例1.f′(x)是函数y＝f(x)的导数，若的图像如图所示，则函数y＝f(x)的图像可能是（ ） 解：由图像可知f(x)的增减变化情况为： x (-∞，0) (0，2) (2，+∞) f′(x) + — + f(x) 增 减 增 故选：D 例2.已知函数求f（x）的单调区间； 解：由题意：f'（x）＝（2﹣x）e﹣x， 当x∈（﹣∞，2）时，f′（x）＞0； 当x∈（2，+∞）时，f′（x）＜0， 故f（x）的单调递增区间为 （﹣∞，2），单调递减区间为 （2，+∞）； 例3.已知函数f（x）＝3x3﹣9x+5，求函数f（x）的单调区间； 解：∵f（x）的定义域为R，且f'（x）＝9x2﹣9＝9（x+1）（x﹣1）， 令f'（x）＞0，可得x＜﹣1或x＞1；令f'（x）＜0，可得﹣1＜x＜1， ∴递增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），递减区间（﹣1，1）； 跟踪训练： 1.函数y＝f(x)的导数的图像如图所示，则函数y＝f(x)的图像可能是（ ） 解：由导函数图像可知，在（-∞，0）上先正后负，所以原图像先增后减； 导函数在（0，+∞）上先负后正再负，所以原图像先减后增再减， 所以原函数图像为先增后减再增再减．故选：C． 2.函数f（x）＝x﹣5lnx的单调递增区间为（　　） A．（﹣∞，5） B．（5，+∞） C．（0，5） D．（0，+∞） 解：根据题意可知f（x）的定义域为（0，+∞），导函数， 令导函数f′（x）＞0，那么可得，因为x∈（0，+∞），解得x＞5， 因此函数f（x）＝x﹣5lnx的单调递增区间为（5，+∞）．故选：B． 3.设函数f（x）＝exlnx，则f（x）在区间（0，+∞）上（　　） A．单调递减 B．单调递增 C．先单调递减后单调递增 D．先单调递增后单调递减 解：函数f（x）＝exlnx，则， 令，则， 当0＜x＜1时，g′（x）＜0，当x＞1时，g′（x）＞0， 所以g（x）在（0，1）上单调递减，g（x）在（1，+∞）上单调递增，g（x）min＝g（1）＝1＞0． 所以g（x）＞0即f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增．故选：B． 4.函数f（x）＝lnx﹣2x． （1）求y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程． （2）求f（x）的单调区间． 解：（1） k＝ f′（1）＝﹣1，f（1）＝﹣2，切点（1，﹣2）， 所以y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+2＝﹣（x﹣1），即x+y+1＝0； （2）f（x）的定义域为（0，+∞）， 令f′（x）＞0，得 ，令f′（x）＜0，得 所以f（x）的单调递增区间是（0，），单调递减区间是（，+∞）． 题型二、函数的极值与最大（小）值 例1.已知函数f（x）＝xex（e为自然对数的底），求函数f（x）的极值； 解：函数f（x）的定义域为R，f′（x）＝ex+xex＝（x+1）ex． 令f′（x）＞0，得x＞﹣1；令f′（x）＜0，得x＜﹣1． ∴函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，在（﹣∞，﹣1）上单调递减， ∴当x＝﹣1时，函数f（x）有极小值，极小值，没有极大值． 例2.已知函数． （1）求f（x）的单调区间； （2）求f（x）在区间[﹣2，4]上的最大值和最小值． 解：（1）对求导，得f′（x）＝3x2﹣3x﹣6， 因式分解f′（x），有f′（x）＝3（x﹣2）（x+1）， 令f′（x）＞0，即3（x﹣2）（x+1）＞0， 因为3＞0，所以（x﹣2）（x+1）＞0，解得x＞2或x＜﹣1， 则f（x）在（﹣∞，﹣1），（2，+∞）上单调递增， 令f′（x）＜0，即3（x﹣2）（x+1）＜0， 因为3＞0，所以（x﹣2）（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜2， 则f（x）在（﹣1，2）上单调递减． 所以单调递增区间是（﹣∞，﹣1）和（2，+∞），单调递减区间是（﹣1，2）； （2）由（I）知f（x）在[﹣2，﹣1）递增，（﹣1，2）递减，（2，4]递增． 计算区间端点与极值点的函数值： ， ， ， ， 比较得， 所以最大值是17，最小值是﹣9． 跟踪训练： 1.已知函数． （1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （2）求函数f（x）的极值． 解：（1）由函数的解析式可得f（0）＝1，f′（x）＝x2﹣4，∴f′（0）＝﹣4， 则切线方程为y﹣1＝﹣4x，即4x+y﹣1＝0． （2）令f′（x）＝0可得x1＝﹣2，x2＝2， 在区间（﹣∞，﹣2）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增， 在区间（﹣2，2）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减， 在区间（2，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增， 则函数的极大值为， 函数的极小值为． 2.已知f（x）＝x2﹣3x+lnx，求f（x）的极值点以及极值、最值点以及最值． 解：已知f（x）＝x2﹣3x+lnx，函数定义域为（0，+∞）， 可得f′（x）＝2x﹣3， 当0＜x时，f′（x）＞0，f（x）单调递增； 当x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减； 当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， 所以当x时，函数f（x）取得极大值，极大值f（）ln2， 当x＝1时，函数f（x）取得极小值，极小值f（1）＝﹣2， 当x→0时，f（x）→﹣∞；当x→+∞时，f（x）→+∞， 综上，f（x）的极小值点为1，极小值为﹣2；极大值点为，极大值为ln2； 无最值点和最值． 3.求函数f（x）3lnx的极值． 解：∵f（x）3lnx，∴x＞0，， 由f′（x）＝0，得x＝1，x∈（0，1）时，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0， ∴f（x）的减区间是（0，1），f（x）的增区间是（1，+∞）， ∴x＝1时，f（x）取得极小值f（1）＝3． ∴函数f（x）3lnx的极小值为3，无极大值． 题型三：含有参数相关题型 例1.已知函数f（x）＝x2﹣2x+alnx（a∈R）． （1）当a＝1时，求函数f（x）在（2，f（2））处的切线方程； （2）求函数f（x）的单调区间． 解：（1）a＝1时，f（x）＝x2﹣2x+lnx，f′（x）＝2x﹣2， f（2）＝ln2，f′（2），故切线方程是y﹣ln2（x﹣2）， 故切线方程是：yx+ln2﹣5； （2）f′（x），（x＞0），令f′（x）＝0，解得：x， 当1﹣2a≤0即a时，f′（x）≥0恒成立，函数f（x）在（0，+∞）递增， 当1﹣2a＞0时，①0＜a时，0， x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）递增， x∈（，）时，f′（x）＜0，f（x）递减， x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增， ②a≤0时，0，由函数的定义域x舍， 由f′（x）＞0，解得：x， 由f′（x）＜0，解得：0＜x， 故f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增． 跟踪训练： 1.已知函数f（x）＝x2﹣alnx， （1）若函数f（x）在点（3，f（3））处切线的斜率为4，求实数a的值； （2）求函数f（x）的单调区间． 解：（1）由已知可得，，即，解之得，a＝6． （2）f（x）＝x2﹣alnx（x＞0），得， 当a≤0时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增； 当a＞0时，令f′（x）＝0，得， ∴当时，f′（x）＜0，f（x）为减函数； 当时，f′（x）＜0，f（x）为增函数． 2.已知函数f（x）（a∈R，a≠0）． （1）当a＝1时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处切线的方程； （2）求函数f（x）的单调区间． 解：（1）当a＝1时，f′（x）＝ex•；故f（1）＝e，f′（1）＝0； 故曲线f（x）在点（1，f（1））处切线的方程为y﹣e＝0； （2）f′（x）＝a•ex•； 故当x＜1且x≠0时，ex•0， 当x＞1时，ex•0； 故当a＜0时，当x＜1且x≠0时，f′（x）＞0， 当x＞1时，f′（x）＜0； 当a＞0时，当x＜1且x≠0时，f′（x）＜0， 当x＞1时，f′（x）＞0； 故当a＜0时， f（x）的单调增区间为（﹣∞，0），（0，1）；单调减区间为（1，+∞）； 当a＞0时， f（x）的单调减区间为（﹣∞，0），（0，1）；单调增区间为（1，+∞）． 1.已知函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．函数y＝f（x）在（1，2）上单调递减 B．x＝﹣1是函数y＝f（x）的极小值点 C．x＝1是函数y＝f（x）的极大值点 D．f（2）是函数y＝f（x）的极大值 解：由图可知 x∈（1，2）时，f'（x）＞0，所以函数 y＝f（x）在（1，2）上单调递增，故A错误； 由图可知 x∈（﹣∞，2）时，f′（x）≥0，所以函数y＝f（x）在（﹣∞，2）上单调递增，x＝﹣1不是函数y＝f（x）的极小值点，故B错误； 由B选项可知函数y＝f（x）在（﹣∞，2）上单调递增， 由图可知x∈（2，+∞）时，f′（x）＜0，所以函数y＝f（x）在（2，+∞）上单调递减， 故x＝2是函数y＝f（x）的极大值点，f（2）是函数y＝f（x）的极大值，故D正确，C错误． 故选：D． 2.已知函数f（x）＝lnx﹣3x+a（a∈R），则f（x）的单调递增区间为（　　） A． B． C．（0，3） D．（3，+∞） 解：由题意函数f（x）＝lnx﹣3x+a（a∈R）， 可得定义域为（0，+∞）， 则， 因为x＞0，由，可得， 故函数f（x）的单调递增区间为． 故选：A． 3.已知可导函数f（x）的导函数为f′（x），若对任意的x∈R，都有f（x）＞f′（x）+1且 f（0）＝2，则不等式f（x）﹣ex＜1的解集为（　　） A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，e） C．（e，+∞） D．（0，+∞） 解：令，则， ∴函数g（x）在R上单调递减， ∵f（0）＝2，∴g（0）＝1， 由f（x）﹣ex＜1得，即g（x）＜g（0）， ∵函数g（x）在R上单调递减， ∴x＞0，即不等式f（x）﹣ex＜1的解集为（0，+∞）． 故选：D． 4.函数f（x）＝2x3﹣6x+3的极小值为（　　） A．﹣33 B．﹣7 C．﹣1 D．7 解：函数f（x）＝2x3﹣6x+3，求导得f′（x）＝6x2﹣6＝6（x﹣1）（x+1），x∈R， 令f′（x）＝0，解得x＝﹣1或1， 当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， 当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， 当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， 所以f（x）的极小值为f（1）＝﹣1． 故选：C． 5.函数在R上单调递增，则a的取值范围是　（﹣∞，﹣1]　 ． 解：易知导函数f′（x）＝x2+2x﹣a，根据题意可得f′（x）≥0在R上恒成立； 跟的判别式Δ＝22+4a≤0，解得a≤﹣1， 即a∈（﹣∞，﹣1]． 故答案为：（﹣∞，﹣1]． 6.已知函数f（x）x3﹣4x+4，a∈R，求函数f（x）的单调递增区间. 解：函数f（x）x3﹣4x+4，可得f′（x）＝x2﹣4， 由x2﹣4＞0，解得x＞2或x＜﹣2， 函数f（x）的单调递增区间：（﹣∞，﹣2），（2，+∞）． 1.如图所示是y＝f（x）的导数的图象，下列结论中不正确的是（　　） A．f（x）在区间（﹣3，1）上是增函数 B．f（x）在区间（2，4）上是减函数，在区间（﹣1，2）上是增函数 C．x＝2是f（x）的极大值点 D．x＝﹣1是f（x）的极小值点 解：已知y＝f（x）的导数的图象如图所示， 则有：当x∈（﹣1，2），（4，+∞）时，f′（x）＞0，函数单调递增； 当x∈（﹣3，﹣1），（2，4）时，f′（x）＜0，函数单调递减，故A错误，故B正确； 当x＝2时，f（x）取得极大值，x＝2是f（x）的极大值点，故C正确； 当x＝﹣1时，f（x）取得极小值，x＝﹣1是f（x）的极小值点，故D正确．故选：A． 2.函数f（x）＝x﹣lnx的单调递减区间为（　　） A．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（0，1） D．（0，+∞） 解：∵f′（x）＝1，（x＞0），令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1， ∴f（x）在（0，1）递减，故选：C． 3.函数ylnx+2的单调递减区间为（　　） A．（﹣1，1） B．（0，1） C．[1，+∞） D．（0，+∞） 解：由题意得函数定义域为（0，+∞），y'＝x， 由y'＝0得x＝1，由y'＞0得x＞1，由y'＜0得0＜x＜1， ∴函数ylnx+2的单调递减区间为（0，1）．故选：B． 4.已知函数f（x）＝（x﹣1）lnx，则下列说法不正确（　　） A．f（x）在（0，1）上单调递减 B．x＝1是f（x）的零点 C．f（x）的极小值为0 D．f（x）的极大值点为x＝1 解：因为f（x）＝（x﹣1）lnx（x＞0）， 所以f（1）＝0，x＝1是f（x）的零点，B正确； 又（x＞0）， 当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）在（0，1）上单调递减，A正确； x＞1时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上单调递增， 故x＝1是f（x）的极小值点，即f（x）极小值＝f（1）＝0，C正确，D错误． 故选：D． 5.已知函数f（x）的导函数为f′（x），函数g（x）＝（x﹣1）f′（x）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．f（x）的极大值为f（﹣2），极小值为f（2） B．f（x）在（﹣2，1），（2，+∞）上单调递增 C．f（x）的极小值为f（﹣2），极大值为f（2） D．f（x）在（﹣∞，﹣2），（1，2）上单调递减 解：当x∈（﹣∞，﹣2）时，x﹣1＜0，由图象可得g（x）＝（x﹣1）f'（x）＜0， 则f′（x）＞0，f（x）为增函数，D选项错误； 当x∈（﹣2，1）时，x﹣1＜0，由图象可得g（x）＝（x﹣1）f'（x）＞0 则f′（x）＜0，f（x）为减函数，B选项错误； 当x∈（1，2）时，x﹣1＞0由图象可得g（x）＝（x﹣1）f'（x）＜0， 则f′（x）＜0，f（x）为减函数； 当x∈（2，+∞）时，x﹣1＞0，由图象可得g（x）＝（x﹣1）f'（x）＞0 则f′（x）＞0，f（x）为增函数， 所以f（x）的极大值为f（﹣2），极小值为f（2），选项A正确，C选项错误． 故选：A． 6.已知函数f（x）＝ex﹣x，则函数f（x）的最小值为（　　） A． B．1 C．e﹣1 D．e 解：函数f（x）的定义域为R，且f'（x）＝ex﹣1，令f'（x）＝0，可得x＝0． 当x＜0时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减； 当x＞0时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增．故．故选：B． 7.函数f（x）＝xe1﹣x的极大值为　1　． 解：函数f（x）＝xe1﹣x，则f′（x）＝（1﹣x）e1﹣x， 因为e1﹣x＞0恒成立，所以当x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0， 所以f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， 所以x＝1是f（x）的极大值点，且f（x）的极大值为f（1）＝1．故答案为：1． 8.函数f（x）＝x3﹣2x2+x﹣6的极小值是　﹣6　． 解：由题意可得f′（x）＝3x2﹣4x+1＝（x﹣1）（3x﹣1）， 当时，f′（x）＜0，则f（x）在上单调递减， 当或x＞1时，f′（x）＞0，则f（x）在和（1，+∞）上单调递增， 故f（x）极小值＝f（1）＝﹣6．故答案为：﹣6． 9.已知函数f（x）＝2x2+lnx﹣ax在区间（0，2]上单调递增，则实数a的取值范围为　（﹣∞，4]　． 解：因为函数f（x）＝2x2+lnx﹣ax在区间（0，2]上单调递增， 所以在（0，2]上恒成立，即在（0，2]上恒成立， 因为函数， 当且仅当，即时，等号成立， 所以a⩽4，即实数a的取值范围为（﹣∞，4]．故答案为：（﹣∞，4]． 10.已知函数f（x）＝ex（x+1）+e的极值点为x0，则x0＝　﹣2　． 解：函数f（x）＝ex（x+1）+e，可得f′（x）＝ex+ex（x+1）＝ex（x+2），x∈R， 令f′（x）＝0，可得x＝﹣2， 令f′（x）＞0，得x＞﹣2，令f′（x）＜0，得x＜﹣2， 所以f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增， 所以f（x）的极小值点为﹣2，即x0＝﹣2．故答案为：﹣2． 11.已知x＝0是函数f（x）＝aex﹣ln（x+1）的一个极值点，则f（3）＝e3﹣ln4　． 解：由题意x＝0是函数f（x）＝aex﹣ln（x+1）的一个极值点， 可得函数f（x）＝aex﹣ln（x+1）的定义域为（﹣1，+∞），对函数求导可得， 由x＝0是函数f（x）的一个极值点， 得f′（0）＝a﹣1＝0，解得a＝1，此时， 因为函数在（﹣1，+∞）上都单调递增， 所以函数f′（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，而f'（0）＝0， 当﹣1＜x＜0时，f′（x）＜0； 当x＞0时，f′（x）＞0，则函数f（x）在x＝0处取得极小值，符合题意， 所以a＝1．所以f（x）＝ex﹣ln（x+1），f（3）＝e3﹣ln（3+1）＝e3﹣ln4． 故答案为：e3﹣ln4． 12.已知函数f（x）＝x3﹣3x2﹣9x+a． （1）求函数f（x）的单调区间； （2）若f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为8，求它在该区间上的最小值． 解：（1）由题知：f'（x）＝3x2﹣6x﹣9＝3（x﹣3）•（x+1）， 令f'（x）＞0，则x＜﹣1或x＞3； 令f'（x）〈0，则﹣1＜x＜3； 所以减区间为（﹣1，3），增区间（﹣∞，﹣1），（3，+∞）． （2）由（1）知f（x）在[﹣2，﹣1]上为增函数，在[﹣1，2]上为减函数． 所以f（x）max＝f（﹣1）＝﹣1﹣3+9+a＝8，解得a＝3， 则f（﹣2）＝1，f（2）＝﹣19， 所以f（x）在[﹣2，2]上的最小值为﹣19． 13.已知函数f（x）＝x3﹣ax2﹣9x+1，且f'（1）＝﹣12． （1）求函数f（x）的解析式； （2）求曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程； （3）求函数f（x）的单调区间和极值． 解：（1）已知f（x）＝x3﹣ax2﹣9x+1，函数定义域为R， 可得f'（x）＝3x2﹣2ax﹣9，又f'（1）＝﹣12， 即3﹣2a﹣9＝﹣12， 解得a＝3， 所以f（x）＝x3﹣3x2﹣9x+1； （2）由（1）知，f'（x）＝3x2﹣6x﹣9， 此时f'（0）＝﹣9， 又f（0）＝1， 所以曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程为y﹣1＝﹣9（x﹣0）， 即y＝﹣9x+1； （3）因为f'（x）＝3x2﹣6x﹣9＝3（x﹣3）（x+1）， 当x＜﹣1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增； 当﹣1＜x＜3时，f'（x）＜0，f（x）单调递减； 当x＞3时，f'（x）＞0，f（x）单调递增， 则当x＝﹣1时，函数f（x）取得极大值，极大值f（﹣1）＝6， 当x＝3时，函数f（x）取得极小值，极小值f（3）＝﹣26． 14.函数f（x）＝xlnx﹣ax+1在点A（1，f（1））处的切线斜率为﹣2． （1）求实数a的值； （2）求f（x）的单调区间和极值． 解：（1）f′（x）＝lnx+1﹣a， ∵在点A（1，f（1））处的切线斜率为k＝1﹣a＝﹣2， ∴a＝3； （2）由（1）得，f′（x）＝lnx﹣2，x＞0， 令f′（x）＞0，解得x＞e2，令f′（x）＜0，解得0＜x＜e2， ∴f（x）的单调递减区间为（0，e2），单调递增区间为（e2，+∞），在x＝e2处取得极小值1﹣e2，无极大值． 15.已知函数f（x）＝lnx﹣ax+3，a∈R． （1）当a＝1时，求函数f（x）的极值； （2）当a＞0时，若对任意x∈（0，+∞），不等式f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围． 【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝lnx﹣x+3（x＞0），则，列表 x （0，1） 1 （1，+∞） f′（x） + 0 ﹣ f（x） ↗ 2 ↘ ∴函数f（x）的极大值为f（1）＝2，无极小值； （2）首先讨论函数y＝f（x）的单调性，， 当a＞0时，对，f（x）是增函数， 对，f（x）是减函数， 即：当a＞0时，f（x）在是增函数，在是减函数． 因为f（x）＝lnx﹣ax+3≤0恒成立，则f（x）的最大值为， ∴，即lna≥2，故a≥e2． ∴实数a的取值范围为[e2，+∞）． 学科网（北京）股份有限公司 $