7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义（教学课件）-【上好课】高一数学必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

第 7 章 复数 高一数学必修第二册同步高效课堂（人教A版2019） 7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 学习目标 1.利用复数的三角形式解决实际问题； 2.通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力； 3.掌握复数的三角形式； 4. 能够正确运用复数三角形式计算复数的乘法、除法； 目录 CATALOG 01. 复数三角形式的乘法 03.题型强化训练 02.复数三角形式的除法 04.小结及随堂练习 01 复数三角形式的乘法 7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 复习旧知——复数的乘、除运算 (a + bi) (c + di )=ac + bci+adi+ bdi2 =(ac－bd) + (bc+ad) i 类似多项式展开 把i2换成－1，合并实部与虚部 分子分母同乘以分母的共轭复数，从而使分母“实数化” 分子，分母运用乘法进行化简 化为复数的代数形式 复习旧知——复数的几何意义 复数z＝a＋bi 复平面内的点Z（a，b） 一一对应 一一对应 平面向量OZ 一一对应 a b z=a＋bi 学习新知——复数的三角形式 其中 r 是复数z的模； θ 是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线为终边的角，叫做z的辐角； 在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值．通常记作arg z． 两个复数相等 ⟺ 两个复数的模相等且辐角主值相等 a b z=a＋bi r θ 学习新知 【思考】 如果把复数z1，z2分别写成三角形式 ， 你能计算z1z2并将结果分别表示成三角形式吗？ 这就是说，两个复数相乘,积的模等于各复数的模的积,积的辐角等于各复数的辐角的和. 学习新知 【探究】 由复数乘法运算的三角表示，你能得到复数乘法的几何意义吗？ 两个复数z1，z2相乘时，可以像图7.3-6那样，先分别画出与z1，z2对应的向量OZ1，OZ2，然后把向量OZ1绕点O按逆时针方向旋转角θ2（如果θ2<0，就要把OZ1绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|），再把它的模变为原来的r2倍，得到向量OZ，OZ表示的复数就是积z1z2． 这是复数乘法的几何意义． 图7.3-6 学习新知 你能解释 i 2 和(－1)2=1的几何意义吗？ 02 复数三角形式的除法 7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 学习新知 例3： 学习新知 当不要求把计算结果化为代数形式时， 也可以用三角形式表示． O Z Z2 Z1 x y 图7.3-7 学习新知 【点睛】本题考查复数三角形式的除法法则，属基础题，本题中需要将代 数形式的复数，以及非标准三角形式的复数化为标准三角形式. 【变式】 学习新知 例4： O Z x y 1 1 图7.3-8 学习新知 【变式】 学习新知 学习新知 复数三角形式乘、除运算的几何意义 学习新知 【探究】 类比复数乘法的几何意义，由复数除法运算的三角表示，你能得出复数除法的几何意义吗？ 学习新知 例5： 学习新知 【变式】 学习新知 【探究】 复数除法运算是乘法运算的逆运算.根据复数乘法运算的三角表示，你能得出复数除法运算的三角表示吗？ 这就是说，两个复数相除,商的模等于被除数模除以除数的模所得的商, 商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 03 题型强化训练 7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 能力提升 题型一、 复数三角形式的乘法运算 【练习1】 【点睛】本题考查复数的三角形式的乘法，属基础题. 能力提升 题型一、 复数三角形式的乘法运算 【感悟提升】 乘法运算的求解策略 (1)积的模等于模的积，积的辐角等于辐角之和． (2)做复数三角形式的乘法运算时，要注意向量旋转的方向． (3)做复数乘法运算时，三角形式和代数形式可以交替使用，但是结果一般保留代数形式． 能力提升 题型二、 复数三角形式的除法运算 【练习2】 【点睛】本题考查复数三角形式的除法法则，属基础题，注意本题中将 实数转化为三角形式的细节. 能力提升 题型二、 复数三角形式的除法运算 【感悟提升】 能力提升 题型三、复数乘、除运算几何意义的应用 【练习3】 【感悟提升】复数乘、除运算的几何意义是数形结合的体现，利用复数的 几何意义解题要充分挖掘题目中的已知条件． 04 小结及随堂练习 7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 课堂总结1 知识清单： 1.复数三角形式的乘法． 2.复数三角形式的除法． 3.复数乘、除运算的几何意义． 4.复数乘法运算和除法运算的三角表示公式及其几何意义分别是什么? 它们是如何推导出来的，试简述研究思路和方法． 5.简述复数的代数形式和三角形式的区别与联系，它们在运算上各有 什么优势?分别适合哪些运算? 课堂总结2 复数乘法运算的三角表示： 即两个复数相乘, 积的模等于各复数的模的积, 积的辐角等于各复数的辐角的和. 复数除法运算的三角表示： 即两个复数相除, 商的模等于被除数模除以除数的模所得的商, 商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 课堂总结3 作业 7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 教科书习题7.3第3，4，5，6，8题. 练习（第89页） 练习（第89页） 习题7.3（第89页） 1．画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式： 习题7.3（第89页） 1．画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式： O x y A B C O y x 1 1 2 3 1 2 3 A B C O y x 1 1 2 3 1 2 3 A B C 1 2 3 A O B C D 复习参考题7 A 复习参考题7 B D D 人教A版2019必修第一册 THANKS 感谢您的聆听 . 【详解】 = EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 . 故答案为： . 把复数 与 对应的向量 分别按逆时针方向旋转 和 后， 重合于向量 且模相等，已知 ，则复数 的代数形式和 它的辐角分别是（     ） A． B． C． D． 【详解】由题意可知 ，又 ， 则 ，可知 对应的坐标为 ，则它的辐角主值为 ， 故可以作为复数 的辐角的是 ， ，当 时， . 故选：BD. 两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量eq \o(OZ1,\s\up17(―→))，eq \o(OZ2,\s\up17(―→))，然后把向量eq \o(OZ1,\s\up17(―→))绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把eq \o(OZ1,\s\up17(―→))绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量eq \o(OZ,\s\up17(―→))，eq \o(OZ,\s\up17(―→))表示的复数就是积z1z2. 计算下列各式，并作出几何解释： 【详解】原式 EMBED Equation.DSMT4 .几何解释：设 ， 作与 对应的向量 ，然后把向量 绕原点 按顺时针 方向旋转 ，再将其长度缩短为原来的 ，得到一个长度为 ，辐角为 的向 量 ，则 即为 所对应的向量. （     ） A．1 B．-1 C． D． 【答案】C 【知识点】复数的三角表示 【解析】根据复数的乘法法则，进行整理化简即可. 【详解】 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 故选：C. （    ） A． B． C． D． 【详解】 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 . 故选：B. 除法运算的求解策略 (1)商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角． (2)结果一般保留代数形式． (3)商的辐角主值不一定等于被除数的辐角主值减去除数的辐角主值所得的差．实际上，arg eq \f(z1,z2)与arg z1，arg z2的关系是arg eq \f(z1,z2)＝arg z1－arg z2＋2kπ(k∈Z)． 已知复数 在复平面内对应的点为 ，则 （    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【知识点】复数的坐标表示、求复数的模、复数代数形式的乘法运算、复数的乘方 【分析】利用复数的几何意义，复数的乘法运算及模的求法即得. 【详解】复数 在复平面内对应的点为 ， 则 . 故选：D. $$