精品解析：浙江省宁波市镇海中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

镇海中学2025学年第一学期期中考试高一年级数学试卷 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义分析选项即可. 【详解】由可知，不满足充分性， 由可知，满足必要性， 即“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定可得解. 【详解】由全称命题的否定可得， “，”的否定是“，”， 故选：C. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定函数定义域和值域确定集合，再由交集运算即可求解. 【详解】由， ， 所以， 故选：C 4. 函数的图象如图，则的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象的平移与翻折得解. 【详解】的图象可以由向右平移2个单位，再把轴下方的图象翻折到轴上方即可，所以C选项正确. 故选：C 5. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数及幂函数的性质判断即可. 【详解】因为，，， 又， 因为在上单调递增，且， 所以，即， 综上可得. 故选：A 6. 已知函数，若，则整数a的值为（ ） A. 0 B. 1 C. -1 D. -1或0 【答案】D 【解析】 【分析】由题验证各选项可得答案. 【详解】当时，，故满足题意； 当时，，，故不满足题意； 当时，，，故满足题意. 综上，可得整数a的值为或. 故选：D 7. 若均为大于1的实数，且，则的最小值为（ ） A. 6 B. 9 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用配凑法结合基本不等式计算即可. 【详解】由题意可知：， 则， 当且仅当，即时取得等号. 故选：D 8. 已知表示不超过的最大整数，若，记，且，有恒成立，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用取整函数的含义，设，化简函数为，分类讨论的范围，化简函数式，结合函数的单调性计算最值即可. 【详解】设其中，， （1）当时， ①当，； ②当，； ③当，； 当时，，； 当时，，； 当时，， （2）当时， ①当，； ②当，； ③当，； 以上三种情况中，所以当时， 综上. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 已知实数满足，则下列不等关系中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用不等式的性质、反比例函数的性质结合反例分析选项即可. 【详解】对于A，若，则，即A不一定成立； 对于B，由可知， 根据反比例函数的单调性可知，即B一定成立； 对于C，若，则，即C不一定成立； 对于D，若，则，即D不一定成立. 故选：ACD 10. 存在函数满足：对任意都有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的定义，对于任意自变量有唯一的与之对应，判断ABD,对取特殊值，通过举反例排除C即可. 【详解】对于A选项，令，则，所以任意，都有唯一，使得都有唯一值，故合乎要求； 对于B选项，令，则，； 所以对任意，都有唯一，使得有唯一值，故合乎要求； 对于C选项，当时，则有，当时，则有，与函数的定义矛盾，不合乎题意； 对于D选项，令，则，对任意，都有唯一，使得有唯一值，合乎题意. 故选：ABD 11. 已知定义在上的函数满足： ①对任意都有；②当，. 则下列说法中正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 是减函数 C. 若，则 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由赋值法令结合奇函数定义可判断选项正误；对于B，由单调函数定义可判断单调性；对于CD，赋值法结合是奇函数，可判断选项正误. 【详解】对于A，令，有，所以， 再令，则，所以，所以为奇函数，故A正确； 对于B，设，. ，，，所以， 即，在上是增函数，故B错误； 对于C，令，注意到，有. 由A分析可得，，. 所以，故C正确； 对于D，注意到.由C分析， ，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 集合的子集个数为________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据子集定义，用列举法列出所有子集，或是利用子集个数的计算公式可计算子集个数． 【详解】方法一、列举法 ，共8个．方法二、一个集合中元素个数为n时，其子集个数为 ，所以集合的子集个数为8． 【点睛】本题考查了集合子集个数的计算方法，属于基础题． 13. 若在函数（且）的图象上，则函数的单调递减区间是____. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数解析式，利用指数函数单调性求解. 【详解】因为在函数（且）的图象上， 所以，解得， 所以， 故的单调递减区间是， 故答案为： 14. 黎曼函数是由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出的，其在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在上，其解析式为. 若定义在上的函数满足，且为偶函数，当时，，则______. 【答案】##. 【解析】 【分析】由题可得关于对称，又关于对称，可得的一个周期为4，然后由黎曼函数的定义可得答案. 【详解】由可得，可知关于点对称， 由为偶函数，可得,可知关于直线对称， 由， 所以4为函数的一个周期.注意到， 则，，， , ，从而. 注意到，则 . 故答案为：. 四、答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求值 （1）； （2）. 【答案】（1）18； （2） 【解析】 【分析】（1）利用无理数指数幂的运算法则计算即可； （2）利用分数指数幂的运算法则计算即可. 【小问1详解】 由； 【小问2详解】 由 . 16. 已知集合，. （1）求A； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）先化简分式，再应用一元二次不等式计算求解； （2）由得，再根据集合间关系列式计算求实数t的取值范围. 【小问1详解】 因为，化简得， 所以，所以或， 所以； 【小问2详解】 因为，，所以， 因为， 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，又因为，所以，所以， 所以，所以， 综上，实数的取值范围为. 17. 某商店每次订购商品的手续费W（万元）主要由管理费和运输费组成，其中管理费固定为a（万元），运输费的基础值为b（万元），随订购数量x（万件）的增加按确定的比率k减少，故可通过函数模型来描述订购手续费W与订购数量x的变化关系.现已知变化过程中部分数据如下表所示： x（万件） 1 2 3 4 W 80 73 66.7 61.03 （1）求出商品订购手续费W（万元）关于订购数量x（万件）的函数解析式； （2）考虑到店铺良性发展和资金情况，若要求本次订购产生的手续费不超过40万元，则至少需要订购多少万件商品?（参考数据：，） 【答案】（1）； （2）9万件 【解析】 【分析】（1）由题目数据可得，据此可得解析式； （2）由（1）解析式结合题意与对数运算知识可得答案. 【小问1详解】 由题可得，由随订购数量x（万件）的增加按确定的比率k减少，可得，则，则，则解析式为： 【小问2详解】 由（1）可得 . 则至少需要订购9万件商品. 18. 已知函数，. （1）判断函数的奇偶性，并证明； （2）已知正实数a，b满足. ①求的值； ②若存在满足条件的a，b，使得成立，求实数t的取值范围. 【答案】（1）奇函数；证明如下： 因为函数的定义域为R， 又 ， 所以函数为奇函数. （2）①3； ②. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数定义判断证明； （2）①先利用函数单调性定义证明为R上的减函数，结合函数奇偶性化简，得解；②利用基本不等式求出的最小值，得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①任取，且， ， ，， 则，，即， ，即在上单调递减， 又为R上的奇函数，所以为R上的减函数. 由，即， ，即. ②，， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为， 若存在满足条件的，使得成立，所以， 所以实数的取值范围为. 19. 已知函数，.（注：e=2.71828…是自然对数的底数） （1）若，求不等式的解集； （2）若，且实数，满足，， ①证明：； ②若，满足，求的最小值. 【答案】（1） （2）①由题意可得，，，. . 当时，，，矛盾， 当时，，，矛盾， 所以； ②. 【解析】 【分析】（1）由对数函数的单调性求解不等式即可； （2）①由，，得到，，结合对数的运算性质得到，通过，等式不成立，即可求证；②由 ，得到，构造函数由其单调性即可求解. 【小问1详解】 当时，即为， 化简得， 解得； 【小问2详解】 ①略 ② ， 所以， 令 因为在时，， 且，由解析式可知其在单调递增， 又在时，，且单调递增， 所以在上单调递增，且，所以， 即的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 镇海中学2025学年第一学期期中考试高一年级数学试卷 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象如图，则的图象是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若，则整数a的值为（ ） A. 0 B. 1 C. -1 D. -1或0 7. 若均为大于1的实数，且，则的最小值为（ ） A. 6 B. 9 C. D. 8. 已知表示不超过的最大整数，若，记，且，有恒成立，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 已知实数满足，则下列不等关系中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 存在函数满足：对任意都有（ ） A. B. C. D. 11. 已知定义在上的函数满足： ①对任意都有；②当，. 则下列说法中正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 是减函数 C. 若，则 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 集合的子集个数为________． 13. 若在函数（且）的图象上，则函数的单调递减区间是____. 14. 黎曼函数是由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出的，其在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在上，其解析式为. 若定义在上的函数满足，且为偶函数，当时，，则______. 四、答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求值 （1）； （2）. 16. 已知集合，. （1）求A； （2）若，求实数的取值范围. 17. 某商店每次订购商品的手续费W（万元）主要由管理费和运输费组成，其中管理费固定为a（万元），运输费的基础值为b（万元），随订购数量x（万件）的增加按确定的比率k减少，故可通过函数模型来描述订购手续费W与订购数量x的变化关系.现已知变化过程中部分数据如下表所示： x（万件） 1 2 3 4 W 80 73 66.7 61.03 （1）求出商品订购手续费W（万元）关于订购数量x（万件）的函数解析式； （2）考虑到店铺良性发展和资金情况，若要求本次订购产生的手续费不超过40万元，则至少需要订购多少万件商品?（参考数据：，） 18. 已知函数，. （1）判断函数的奇偶性，并证明； （2）已知正实数a，b满足. ①求的值； ②若存在满足条件的a，b，使得成立，求实数t的取值范围. 19. 已知函数，.（注：e=2.71828…是自然对数的底数） （1）若，求不等式的解集； （2）若，且实数，满足，， ①证明：； ②若，满足，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $