学易金卷：八年级数学上学期第三次月考（新教材华东师大版，范围八上第10～13章）

2025-2026学年八年级数学上学期第三次月考卷 参考答案 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C C D D D A D D D 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．） 11．【答案】 12．【答案】19 13．【答案】24 14．【答案】10 15．【答案】7 16．【答案】8104 17.【答案】或 18．【答案】 三、解答题（本题共8小题，共78分．其中：19-20题9分，21-22题8分，23-24题每题10分，25-26题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（9分） 【答案】(1)；(2)； (3)． 【解析】（1）解： （2分） ；（3分） （2）解： （5分） ；（6分） （3）解：， 移项得：， 两边直接开立方得：，（8分） 解得：．（9分） 20．（9分） 【答案】（1）；（2） （3），14 【解析】（1）解：原式 （1分） ．（2分） （2） （3分） （4分） ．（5分） （3）解： （6分） ，（7分） 代入 ， 原式．（9分） 21．（8分） 【答案】(1)垂直；相等(2)相等，证明见解析 【解析】（1）解：根题意，在四边形中，， 即，，即， 平分，， 在和中，，，， 故答案为：垂直；相等；（2分） （2）解：，证明如下：过作交于，（3分） ，平分，，（4分） ，，，（5分） ，，即，（6分） 在和中，，，．（8分） 22．（8分） 【答案】(1)，(2) 【解析】（1），即， 的整数部分为，小数部分为，故答案为：，．（2分） （2）∵，即，（3分） ∴的整数部分为，小数部分为，即（5分） ∵，即， ∴的整数部分为，即，（7分） ∴．（8分） 23．（10分） 【答案】(1)D(2)(3)证明见详解 【解析】（1）解：A、设的三边长分别为，，则由勾股定理可得，不满足“加倍三角形”定义，不符合题意； B、设等腰三边长分别为，则三边平方分别为，他们不一定满足两边的平方和等于第三边平方的2倍，比如某一等腰三角形三边长分别，则就不满足“加倍三角形”定义，不符合题意； C、设等腰的三边长分别为，，则由勾股定理可得，不满足“加倍三角形”定义，不符合题意； D、设等边的边长为，则，满足“加倍三角形”定义，符合题意；故选：D；（2分） （2）解：∵正方形和正方形的面积分别是8和24，，（3分） ∵是“神圣三角形”，且，，（4分） ∴，∴，故答案为：；（6分） （3）解：连接，如图所示： ，∴和均为直角三角形，（7分） 在中，由勾股定理可得； 在中，由勾股定理可得，（9分） ，，∴是“加倍三角形”．（10分） 24．（10分） 【答案】(1)5(2)(3)见解析 【解析】（1）解：根据题意得，5可以表示为， 19不能表示为两个整数的平方和，33也不能表示为两个整数的平方和， ∴平方和数是5，故答案为：5；（2分） （2）解：由题意得，，， ∴ ，（4分） ∵，∴， 又∵，∴，∵，∴，（6分） （3）证明：设两个平方和数分别为和（a，b，c，d均为整数）， ∴ ，（8分） ∵和均为整数，∴可以表示为两个整数的平方和，∴是平方和数．（10分） 25．（12分） 【答案】(1)；(2)，见解析；(3)． 【解析】（1）解：由旋转可知，，∵， ∴，∴，（1分） 在和中，，∴，（2分） ，故答案为：；（3分） （2）解：，理由如下：（4分） 由（1）得，，，，（5分） ，，（6分） 在中，，，；（7分） （3）解：如图，过点A作，使得，连接，（8分） ，， ，，，，（10分） ，，， ，， ，∴在中，，，（11分） ，为直角三角形，且， ，，，．（12分） 26．（12分） 【答案】(1)①见解析；②；(2) 【解析】（1）解：①∵是等边三角形， ∴，，（1分） ∵，∴，即，（2分） 在和中，，∴（），（3分） ②过点作交于， ∵是等边三角形，，∴， ∴是等边三角形，∴， ∵，∴，又，（4分） ∴是等边三角形，∴，， ∵点为中点，∴， ∵，，∴，（5分） ∵，∴，即，∴， ∵，，， ∴，∴，（6分） 在和中，，∴（）， ∴，，∵，∴， ∴；（7分） （2）解：过作交于，过作交于， 连接，，过作于，（8分） ∵是等边三角形，，， ∴，，∴、是等边三角形， ∴，，，（9分） ∴， ∴， ∵，∴， ∵点为中点，∴， ∵，，， ∴，，（10分） 在和中，， ∴（），∴，， ∵，∴， ∴，∵，， ∴∴， ∵，∴，（11分） 在和中，， ∴（），∴， 在中，，∴，， 又∵，，∴，∴．（12分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年八年级数学上学期第三次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4[AJ[B]IC][D] 8.[A][B1[CI[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题4分，共32分） 11. 12 13 15 6 17. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.(9分) 20.(9分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) A M C ○ EB 图2 22.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) E A D 图2 24.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(12分) 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(12分) A G BL BL D E E 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年八年级数学上学期第三次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材华东师大版八年级上册第10章~第13章。 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A．原式计算错误，故选项不符合题意； B．原式计算错误，故选项不符合题意； C．原式计算错误，故选项不符合题意； D．原式计算正确，故选项符合题意； 故选：D． 2．下列说法不正确的是（    ） A． B．是9的一个平方根 C．0.4的算术平方根是0.2 D． 【答案】C 【解析】解：∵平方根、算术平方根和立方根的定义： 正数有两个平方根，互为相反数；算术平方根是非负的；负数没有平方根，但有立方根；立方根与被开方数同号；∴A、，正确，不符合题意； B、是9的一个平方根，正确，不符合题意； C、0.4的算术平方根是，原说法错误，符合题意； D、，正确，不符合题意；故选：C． 3．下列命题中，是假命题的是（   ） A．等腰三角形的两个底角相等 B．有一个角等于的等腰三角形是等边三角形 C．两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等 D．到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【答案】C 【解析】解：A选项：等腰三角形的两个底角相等，是真命题，故A选项不符合题意； B选项：有一个角等于的等腰三角形，其余两角也必为，因此是等边三角形，是真命题，故B选项不符合题意； C选项：两边及其中一边的对角相等（）不能判定三角形全等，是假命题，故C选项符合题意； D选项：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，是真命题，故D选项不符合题意．故选：C． 4．计算的结果不含项，那么m的值为（    ） A． B．4 C． D．12 【答案】D 【解析】 ， ∵的结果不含项，∴，即．故选：D． 5．数学服务于生活，灵活运用数学知识解决生活中的问题是需要倡导的重要理念．在日常生活中如取款上网等都需要有密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理：如多项式因式分解的结果为，当，时，各因式的值是，，，于是密码就可以为018162，也可以是180162，对于多项式，取，时，密码不可能为（   ） A．124824 B．241248 C．122448 D．482124 【答案】D 【解析】解：∵ ，且，， ∴ ，，，∴ 因式值为 12、24、48， 可能密码有：122448、124824、241248、244812、481224、482412 选项A（124824）、B（241248）、C（122448）均符合， 选项D（482124）无法拆分为12、24、48的任意排列，∴ 密码不可能为D．故选：D． 6．如图，一棵大树在离地面两处折断成了三段，中间一段恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部处，则大树折断前的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：过点B作于点E，则， ，， 四边形是矩形，， ，， 在中，，， 大树折断前的高度为．故选：D． 7．如图，已知，分别以，为边作等腰和等腰，，连接，点H为的中点，连接并延长交于点G，若，，则的面积为（    ）． A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】A 【解析】解：延长至点，使，连接，则， ∵为的中点，∴，， 又∵，∴，∴，，， ∴，即， ，即； ∵等腰和等腰，， ∴，， ∴，∴， ∴，，， ∴， ∴，即，∴， ∴，∴；故选：A． 8．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（    ）．（杯壁厚度不计） A． B．10 C．15 D．17 【答案】D 【解析】解：如图，将圆柱形玻璃杯的侧面展开，延长到点E，使，连接交于点F，连接，∵垂直平分，∴，∴， ， ∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为线段的长，作于点G，则， ∵，∴四边形是矩形，∴，， ∵，∴，∴， ∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为，故选：D． 9．如图，在中，按下列步骤作图：（1）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，交于点两弧相交于两点，和交于点；（2）以点为圆心，长为半径画弧，交于点；（3）分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，交于点，且和交于点，连接并延长至点，使，连接．给出下列结论，①；②且；③垂直平分；④．其中正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】D 【解析】解：根据作图可知，平分，垂直平分线线段， ①根据条件，无法得出，故①错误，不符合题意； ②∵平分，∴， 又∵，∴，∴； ∵垂直平分线线段，∴， 又∵，∴， ∴，，∴，且；故②正确，符合题意； ③由②得，，∴，， ∴垂直平分，故③正确，符合题意； ④∵平分，∴点到和的距离相等， ∴，故④正确，符合题意；综上，正确选项为②③④，故选：D． 10．如图，中，，，，垂足为．点、分别在、边上，连接、、，若，以下结论：①；②；③四边形；④的最小值为．其中正确的是（   ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【解析】解：∵，，是的角平分线， ∴，，， ∴，∴，， 在和中，∴，故①正确； ∴，∴，∵，∴，即，故②正确； ∵，∴， ∴，故③正确． ④设，则， ∵，∴， 当时，的最小值为，故④正确．综上：①②③④都正确，故选：D． 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．） 11．如果，那么 ．． 【答案】 【解析】解：∵，∴， ∴，∴，∴，故答案为：． 12．利用表格中的数据计算的近似值是 （结果保留整数）． a a2 17 289 4.12 18 324 4.36 【答案】19 【解析】解：由表格可知，当时，所以 又因为，所以因此．故答案为：19． 13．如图，在中，点在上，平分．若，则 ． 【答案】24 【解析】解：如图1所示，在线段上截取，∴， ∵，∴，∵平分，∴， 又∵，∴，∴，， ∴，∴， ∴，故答案为：24． 14．如图，中，，为的平分线．若点A到直线的距离为5，则长为 ． 【答案】10 【解析】解：延长、交于点F， 平分，，，，， ，，，则. ∵，，又∵∴，， 又∵，，，．故答案为：． 15．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则的值是 ． 【答案】7 【解析】解：图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，， ，，， ，， ， 的值是：．故答案为：． 16．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，8是一个“智慧优数”，若将“智慧优数”从小到大排列，第2025个智慧优数是 ． 【答案】8104 【解析】解：∵，∴，∴， 即智慧优数为，，所以，第2025个智慧优数为．故答案为：8104． 17．如图，长方形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，若恰好为直角三角形，则的长为 ． 【答案】或 【解析】解：当时，如图：， 长方形沿折叠，使点落在点处， ，，∴，    当时，如图：在中，，，， 长方形沿折叠，使点落在点处，，，， 点、、共线，即点在上，， 设，则，，在中，， 即：，解得，∴，∴，故答案为：或． 18．如图，在中，，点分别是边和上的动点，始终保持，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】解：如图，过点作，使得，连接， ∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， 当三点共线时，取得最小值， ∵，∴， ∵，∴， 即的最小值为．故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共78分．其中：19-20题9分，21-22题8分，23-24题每题10分，25-26题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（9分）计算与解方程： (1)； (2)； (3) 。 【答案】(1)；(2)； (3)． 【解析】（1）解： （2分） ；（3分） （2）解： （5分） ；（6分） （3）解：， 移项得：， 两边直接开立方得：，（8分） 解得：．（9分） 20．（9分）因式分解与化简求值 （1）因式分解：． （2）化简：． （3）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）；（2） （3），14 【解析】（1）解：原式 （1分） ．（2分） （2） （3分） （4分） ．（5分） （3）解： （6分） ，（7分） 代入 ， 原式．（9分） 21．（8分）已知，平分，为上一定点（点与点不重合），过点作，分别与直线，相交于点，． (1)如图1，当绕点旋转，满足时，与的位置关系是________，与的数量关系是________； (2)如图2，当绕点旋转到与的反向延长线相交时，猜想与的数量关系，并证明． 【答案】(1)垂直；相等(2)相等，证明见解析 【解析】（1）解：根题意，在四边形中，， 即，，即， 平分，， 在和中，，，， 故答案为：垂直；相等；（2分） （2）解：，证明如下：过作交于，（3分） ，平分，，（4分） ，，，（5分） ，，即，（6分） 在和中，，，．（8分） 22．（8分）先阅读下面的文字，再回答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的．因为的整数部分是1，所以将减去其整数部分，所得的差就是的小数部分．例如：，即．的整数部分为2，小数部分为． (1)的整数部分是______，小数部分是______． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； 【答案】(1)，(2) 【解析】（1），即， 的整数部分为，小数部分为，故答案为：，．（2分） （2）∵，即，（3分） ∴的整数部分为，小数部分为，即（5分） ∵，即， ∴的整数部分为，即，（7分） ∴．（8分） 23．（10分）定义：如果三角形中，两边的平方和等于第三边平方的2倍，那么这个三角形叫“加倍三角形”． (1)下列三角形一定是“加倍三角形”的是_____； A．直角三角形        B．等腰三角形        C．等腰直角三角形        D．等边三角形 (2)如图1，是“加倍三角形”，且．若正方形和正方形的面积分别是8和24，求正方形的面积； (3)如图2，在四边形中，，．E是四边形外一点，且，．求证：是“加倍三角形”． 【答案】(1)D(2)(3)证明见详解 【解析】（1）解：A、设的三边长分别为，，则由勾股定理可得，不满足“加倍三角形”定义，不符合题意； B、设等腰三边长分别为，则三边平方分别为，他们不一定满足两边的平方和等于第三边平方的2倍，比如某一等腰三角形三边长分别，则就不满足“加倍三角形”定义，不符合题意； C、设等腰的三边长分别为，，则由勾股定理可得，不满足“加倍三角形”定义，不符合题意； D、设等边的边长为，则，满足“加倍三角形”定义，符合题意；故选：D；（2分） （2）解：∵正方形和正方形的面积分别是8和24，，（3分） ∵是“神圣三角形”，且，，（4分） ∴，∴，故答案为：；（6分） （3）解：连接，如图所示： ，∴和均为直角三角形，（7分） 在中，由勾股定理可得； 在中，由勾股定理可得，（9分） ，，∴是“加倍三角形”．（10分） 24．（10分）如果一个整数可以表示为两个整数平方和的形式，那么我们称这个整数为“平方和数”．例如：．完成下列练习题： (1)在5，19，33三个数中，平方和数是_______； (2)“平方和数”53可表示为2和7的平方和，即．整数x也是“平方和数”．设（a，b为正整数）．发现53与x的积也是“平方和数”．即．若，若，求n（用含a，b的式子表示）； (3)证明：两个“平方和数”的积也是“平方和数”． 【答案】(1)5(2)(3)见解析 【解析】（1）解：根据题意得，5可以表示为， 19不能表示为两个整数的平方和，33也不能表示为两个整数的平方和， ∴平方和数是5，故答案为：5；（2分） （2）解：由题意得，，， ∴ ，（4分） ∵，∴， 又∵，∴，∵，∴，（6分） （3）证明：设两个平方和数分别为和（a，b，c，d均为整数）， ∴ ，（8分） ∵和均为整数，∴可以表示为两个整数的平方和，∴是平方和数．（10分） 25．（12分）如图，中，． (1)问题：如图1，点D是边上一点（不与B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，试探索线段之间满足的数量关系． (2)探索：如图2，是等腰直角三角形，且，将绕点A旋转，使点D落在边上，试探索线段之间满足的数量关系，并证明你的结论； (3)应用：如图3，在四边形中，若，求的度数． 【答案】(1)；(2)，见解析；(3)． 【解析】（1）解：由旋转可知，，∵， ∴，∴，（1分） 在和中，，∴，（2分） ，故答案为：；（3分） （2）解：，理由如下：（4分） 由（1）得，，，，（5分） ，，（6分） 在中，，，；（7分） （3）解：如图，过点A作，使得，连接，（8分） ，， ，，，，（10分） ，，， ，， ，∴在中，，，（11分） ，为直角三角形，且， ，，，．（12分） 26．（12分）如图，是等边三角形，点为射线上一点． (1)当点在线段上时： ①如图，点，分别为，上的点，若，求证：； ②如图，点为中点，点为上的点，且满足，过点作交于点，连接，，求的度数； (2)如图，当点在的延长线上时，点为上一点，且满足，连接交于点．若点为中点，，，求的长度． 【答案】(1)①见解析；②；(2) 【解析】（1）解：①∵是等边三角形， ∴，，（1分） ∵，∴，即，（2分） 在和中，，∴（），（3分） ②过点作交于， ∵是等边三角形，，∴， ∴是等边三角形，∴， ∵，∴，又，（4分） ∴是等边三角形，∴，， ∵点为中点，∴， ∵，，∴，（5分） ∵，∴，即，∴， ∵，，， ∴，∴，（6分） 在和中，，∴（）， ∴，，∵，∴， ∴；（7分） （2）解：过作交于，过作交于， 连接，，过作于，（8分） ∵是等边三角形，，， ∴，，∴、是等边三角形， ∴，，，（9分） ∴， ∴， ∵，∴， ∵点为中点，∴， ∵，，， ∴，，（10分） 在和中，， ∴（），∴，， ∵，∴， ∴，∵，， ∴∴， ∵，∴，（11分） 在和中，， ∴（），∴， 在中，，∴，， 又∵，，∴，∴．（12分） / 学科网（北京）股份有限公司 $null ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年八年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材华东师大版八年级上册第10章~第13章。 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列说法不正确的是（    ） A． B．是9的一个平方根 C．0.4的算术平方根是0.2 D． 3．下列命题中，是假命题的是（   ） A．等腰三角形的两个底角相等 B．有一个角等于的等腰三角形是等边三角形 C．两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等 D．到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 4．计算的结果不含项，那么m的值为（    ） A． B．4 C． D．12 5．数学服务于生活，灵活运用数学知识解决生活中的问题是需要倡导的重要理念．在日常生活中如取款上网等都需要有密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理：如多项式因式分解的结果为，当，时，各因式的值是，，，于是密码就可以为018162，也可以是180162，对于多项式，取，时，密码不可能为（   ） A．124824 B．241248 C．122448 D．482124 6．如图，一棵大树在离地面两处折断成了三段，中间一段恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部处，则大树折断前的高度是（   ） A． B． C． D． 7．如图，已知，分别以，为边作等腰和等腰，，连接，点H为的中点，连接并延长交于点G，若，，则的面积为（    ）． A．5 B．10 C．15 D．20 8．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（    ）．（杯壁厚度不计） A． B．10 C．15 D．17 9．如图，在中，按下列步骤作图：（1）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，交于点两弧相交于两点，和交于点；（2）以点为圆心，长为半径画弧，交于点；（3）分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，交于点，且和交于点，连接并延长至点，使，连接．给出下列结论，①；②且；③垂直平分；④．其中正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．②③ C．③④ D．②③④ 10．如图，中，，，，垂足为．点、分别在、边上，连接、、，若，以下结论：①；②；③四边形；④的最小值为．其中正确的是（   ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．） 11．如果，那么 ．． 12．利用表格中的数据计算的近似值是 （结果保留整数）． a a2 17 289 4.12 18 324 4.36 13．如图，在中，点在上，平分．若，则 ． 14．如图，中，，为的平分线．若点A到直线的距离为5，则长为 ． 15．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则的值是 ． 16．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，8是一个“智慧优数”，若将“智慧优数”从小到大排列，第2025个智慧优数是 ． 17．如图，长方形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，若恰好为直角三角形，则的长为 ． 18．如图，在中，，点分别是边和上的动点，始终保持，连接，则的最小值为 ． 三、解答题（本题共8小题，共78分．其中：19-20题9分，21-22题8分，23-24题每题10分，25-26题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（9分）计算与解方程： (1)； (2)； (3) 。 20．（9分）因式分解与化简求值 （1）因式分解：． （2）化简：． （3）先化简，再求值：，其中，． 21．（8分）已知，平分，为上一定点（点与点不重合），过点作，分别与直线，相交于点，． (1)如图1，当绕点旋转，满足时，与的位置关系是________，与的数量关系是________； (2)如图2，当绕点旋转到与的反向延长线相交时，猜想与的数量关系，并证明． 22．（8分）先阅读下面的文字，再回答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的．因为的整数部分是1，所以将减去其整数部分，所得的差就是的小数部分．例如：，即．的整数部分为2，小数部分为． (1)的整数部分是______，小数部分是______． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； 23．（10分）定义：如果三角形中，两边的平方和等于第三边平方的2倍，那么这个三角形叫“加倍三角形”． (1)下列三角形一定是“加倍三角形”的是_____； A．直角三角形        B．等腰三角形        C．等腰直角三角形        D．等边三角形 (2)如图1，是“加倍三角形”，且．若正方形和正方形的面积分别是8和24，求正方形的面积； (3)如图2，在四边形中，，．E是四边形外一点，且，．求证：是“加倍三角形”． 24．（10分）如果一个整数可以表示为两个整数平方和的形式，那么我们称这个整数为“平方和数”．例如：．完成下列练习题： (1)在5，19，33三个数中，平方和数是_______； (2)“平方和数”53可表示为2和7的平方和，即．整数x也是“平方和数”．设（a，b为正整数）．发现53与x的积也是“平方和数”．即．若，若，求n（用含a，b的式子表示）； (3)证明：两个“平方和数”的积也是“平方和数”． 25．（12分）如图，中，． (1)问题：如图1，点D是边上一点（不与B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，试探索线段之间满足的数量关系． (2)探索：如图2，是等腰直角三角形，且，将绕点A旋转，使点D落在边上，试探索线段之间满足的数量关系，并证明你的结论； (3)应用：如图3，在四边形中，若，求的度数． 26．（12分）如图，是等边三角形，点为射线上一点． (1)当点在线段上时： ①如图，点，分别为，上的点，若，求证：； ②如图，点为中点，点为上的点，且满足，过点作交于点，连接，，求的度数； (2)如图，当点在的延长线上时，点为上一点，且满足，连接交于点．若点为中点，，，求的长度． 第3页（共6页） 第4页（共6页） 第5页（共6页） 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材华东师大版八年级上册第10章~第13章。 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列说法不正确的是（    ） A． B．是9的一个平方根 C．0.4的算术平方根是0.2 D． 3．下列命题中，是假命题的是（   ） A．等腰三角形的两个底角相等 B．有一个角等于的等腰三角形是等边三角形 C．两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等 D．到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 4．计算的结果不含项，那么m的值为（    ） A． B．4 C． D．12 5．数学服务于生活，灵活运用数学知识解决生活中的问题是需要倡导的重要理念．在日常生活中如取款上网等都需要有密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理：如多项式因式分解的结果为，当，时，各因式的值是，，，于是密码就可以为018162，也可以是180162，对于多项式，取，时，密码不可能为（   ） A．124824 B．241248 C．122448 D．482124 6．如图，一棵大树在离地面两处折断成了三段，中间一段恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部处，则大树折断前的高度是（   ） A． B． C． D． 7．如图，已知，分别以，为边作等腰和等腰，，连接，点H为的中点，连接并延长交于点G，若，，则的面积为（    ）． A．5 B．10 C．15 D．20 8．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（    ）．（杯壁厚度不计） A． B．10 C．15 D．17 9．如图，在中，按下列步骤作图：（1）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，交于点两弧相交于两点，和交于点；（2）以点为圆心，长为半径画弧，交于点；（3）分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，交于点，且和交于点，连接并延长至点，使，连接．给出下列结论，①；②且；③垂直平分；④．其中正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．②③ C．③④ D．②③④ 10．如图，中，，，，垂足为．点、分别在、边上，连接、、，若，以下结论：①；②；③四边形；④的最小值为．其中正确的是（   ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．） 11．如果，那么 ．． 12．利用表格中的数据计算的近似值是 （结果保留整数）． a a2 17 289 4.12 18 324 4.36 13．如图，在中，点在上，平分．若，则 ． 14．如图，中，，为的平分线．若点A到直线的距离为5，则长为 ． 15．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则的值是 ． 16．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，8是一个“智慧优数”，若将“智慧优数”从小到大排列，第2025个智慧优数是 ． 17．如图，长方形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，若恰好为直角三角形，则的长为 ． 18．如图，在中，，点分别是边和上的动点，始终保持，连接，则的最小值为 ． 三、解答题（本题共8小题，共78分．其中：19-20题9分，21-22题8分，23-24题每题10分，25-26题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（9分）计算与解方程： (1)； (2)； (3) 。 20．（9分）因式分解与化简求值 （1）因式分解：． （2）化简：． （3）先化简，再求值：，其中，． 21．（8分）已知，平分，为上一定点（点与点不重合），过点作，分别与直线，相交于点，． (1)如图1，当绕点旋转，满足时，与的位置关系是________，与的数量关系是________； (2)如图2，当绕点旋转到与的反向延长线相交时，猜想与的数量关系，并证明． 22．（8分）先阅读下面的文字，再回答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的．因为的整数部分是1，所以将减去其整数部分，所得的差就是的小数部分．例如：，即．的整数部分为2，小数部分为． (1)的整数部分是______，小数部分是______． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； 23．（10分）定义：如果三角形中，两边的平方和等于第三边平方的2倍，那么这个三角形叫“加倍三角形”． (1)下列三角形一定是“加倍三角形”的是_____； A．直角三角形        B．等腰三角形        C．等腰直角三角形        D．等边三角形 (2)如图1，是“加倍三角形”，且．若正方形和正方形的面积分别是8和24，求正方形的面积； (3)如图2，在四边形中，，．E是四边形外一点，且，．求证：是“加倍三角形”． 24．（10分）如果一个整数可以表示为两个整数平方和的形式，那么我们称这个整数为“平方和数”．例如：．完成下列练习题： (1)在5，19，33三个数中，平方和数是_______； (2)“平方和数”53可表示为2和7的平方和，即．整数x也是“平方和数”．设（a，b为正整数）．发现53与x的积也是“平方和数”．即．若，若，求n（用含a，b的式子表示）； (3)证明：两个“平方和数”的积也是“平方和数”． 25．（12分）如图，中，． (1)问题：如图1，点D是边上一点（不与B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，试探索线段之间满足的数量关系． (2)探索：如图2，是等腰直角三角形，且，将绕点A旋转，使点D落在边上，试探索线段之间满足的数量关系，并证明你的结论； (3)应用：如图3，在四边形中，若，求的度数． 26．（12分）如图，是等边三角形，点为射线上一点． (1)当点在线段上时： ①如图，点，分别为，上的点，若，求证：； ②如图，点为中点，点为上的点，且满足，过点作交于点，连接，，求的度数； (2)如图，当点在的延长线上时，点为上一点，且满足，连接交于点．若点为中点，，，求的长度． / 学科网（北京）股份有限公司 $