湖北省襄阳市第四中学2025-2026学年高一上学期11月期中数学试题

襄阳四中2025级高一上学期期中考试 数 学 试 题 一、单选题（每题5分，共40分） 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．若命题“任意，”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知，函数与的图象如图所示，则（    ） A． B．且 C．且 D． 4．单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（    ） A．135 B．149 C．165 D．195 5．已知幂函数在上是增函数，.若，则实数的取值范围为（   ）. A． B． C． D． 6．若函数的图象上存在关于原点对称的点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．我们把定义域为且同时满足以下两个条件的函数称为“函数”： ①对任意的，总有； ②若，则有成立，给出下列三个结论：其中正确结论的个数是（    ） （1）若为“函数”，则； （2）函数在上是“函数”； （3）函数在上是“函数”（为有理数集）． A．0 B．1 C．2 D．3 8．若函数在区间与区间上的最大值与最小值均相等，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题（每题6分，共18分） 9．设正实数满足，则下列结论正确的是（   ） A．的取值范围是(1,+∞) B． C．的最小值为 D．的最小值为2 10．下列说法正确的是（    ） A．若的定义域为，则的定义域为 B．对数log2()恒有意义，则实数的取值范围是 C．函数的值域为 D．函数在区间上单调递增，则实数的取值范围 11．已知函数，．，用表示，中的较大者，记为，则（   ） A．的解集为 B．当时，的值域为 C．若在上单调递增，则 D．当时，不等式有4个整数解 三、填空题（每题5分，共15分） 12. = 13．设函数则满足的的取值范围是 . 14．若，，对，均有恒成立，则的取值范围为 . 四、解答题（13+15+15+17+17=77分） 15．（13分）已知函数满足，函数． (1)求的解析式； (2)用单调性的定义证明在上单调递减； (3)求在上的值域． 16．（15分）已知函数，为常数. (1)若，证明：的图象关于点（2,3）对称； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 17．（15分）（1）若方程的两根分别为、，求的值. （2）教材中有对一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）的证明： 类比以上思路，推导一元三次方程（）的根与系数关系； （3）根据你的发现，解决以下问题：已知关于的方程有三个实数根、、满足，求实数的值. 18．（17分）已知函数，其中为实数. (1)若函数的定义域为，求的取值范围； (2)若函数在上单调递增，求的取值范围； (3)当时，是否存在实数满足对任意，都存在，使得成立？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 19．（17分）定义区间（m，n）、[m，n]、（m，n]、[m，n）的长度均为，其中. (1)设，，若区间的长度为4，求实数t的取值范围； (2)不等式组解集构成的各区间的长度和等于6，求实数t的范围； (3)已知（）函数的定义域为区间[m，n]，其中，，若的值域为，求函数的定义域区间的长度的取值范围. 襄阳四中2025级高一上学期期中考试数学试题参考答案 1-5 CBBBC 6-8 DCD ABC ABD BD 12．2 13． 14． 14.【详解】设，可得， 1.若，则，可得对恒成立， 则，解得，所以成立； 2.若，设，则，可得对恒成立， 构建，则， （1）若，则二次函数的图象开口向上，可得，消去解得； （2）若，则二次函数的图象开口向下，对称轴， ①当时，则在内单调递增，可得，且， 则，解得； ②当时，则在内单调递减，可得，且， 则，解得； ③当时，则， 整理可得，即存在，使得， 可得，解得； 综上所述：的取值范围为. 15. 【详解】（1）由题可得， 所以的解析式为. （2）证明：由（1）函数， 任取， 则， 因为，所以， 所以即， 所以在上单调递减； （3）由（2）可知在上单调递减， 所以， 所以在上的值域为. 16．【详解】（1）当时，， 所以， 所以f(x)的图象关于点（2,3）对称； （2），不等式恒成立，即，不等式恒成立，即，不等式恒成立，即，即，令，则， 由对勾函数函数性质可知，在上单调递增， 所以在上单调递增，所以， 所以，故的取值范围是 17．【详解】（1）由题意， 所以. （2）设有三个不相等的实数根， 则可分解因式为， 打开括号得， 所以有恒成立， 所以等式两边对应系数相等， 所以有. （3）由（2）可知，， 易知， 因为，， 所以有，解得. 18．【详解】（1）实数的取值范围为． （2）函数在区间上单调递增， 由函数在定义域内单调递增， 则函数在上单调递增，且在上恒成立， 当时，在上单调递减，且，显然不符合题意； 当时，开口向下，对称轴为， 在上单调递减，显然不符合题意； 当时，开口向上，对称轴为， 由题意得，解得．综上a的取值范围是. （3）当时，． 所以当时，； 令，显然在上递增，则． 则. 令，, 若存在实数满足对任意，都存在， 使得成立，则只需. ①当即时，函数在上单调递增． 则．解得，与矛盾； ②当即时，函数在上单调递减， 在上单调递增．则，解得； ③当即时，函数在上单调递减． 则．解得，与矛盾． 综上，存在实数满足条件，其取值范围为． 19．【详解】（1）由（等号不能同时成立），解得（等号不能同时成立）， 所以（等号不能同时成立）.又，所以， 因为的区间的长度为4，则，得， 所以，解得，即实数的取值范围为. （2），解不等式得， 解不等式得，所以不等式的解集为. ∵不等式组的解集构成的各区间的长度和等于6， ∴不等式在上恒成立， 令，， 则，解得， ∴实数t的范围为． （3）二次函数，图象为开口向上的抛物线，且对称轴为，顶点坐标为. 要使最大，则应尽量大，尽量小，即， 此时在上单调递减，在上单调递增， 则，解得， 所以，且，即为方程的两根， 得，所以，得， 即的最大值为； 要使最小，则应在对称轴的同侧，不放设m，n在抛物线对称轴右侧， 即，此时，得， 由，解得， 由，解得， 所以， 当且仅当即时，等号成立，又，故等号取不到， 所以. 同理当时，可得. 综上，函数的定义域区间的长度的取值范围为. 答案第16页，共16页 第5页 学科网（北京）股份有限公司 $