2.6正多边形与圆（基础篇）讲义2025-2026学年苏科版（2012）数学九年级上册

本初中数学讲义聚焦正多边形与圆核心知识点，从正多边形定义出发，系统梳理其与圆的内接外切关系，明确中心、半径、边心距等概念，构建从基础概念到综合计算、尺规作图的学习支架。 资料融入思维导图梳理知识体系，设计分层次练习题（含综合计算、中心角应用、尺规作图），结合园林窗洞等现实情境题，培养几何直观与空间观念。课中助力教师分层教学，课后通过针对性练习帮助学生巩固概念、提升推理运算能力，有效实现提分目标。

2.6正多边形与圆 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 正多边形的定义： 各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。 正多边形与圆的关系： · 把圆分成n（n≥3）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形，这个圆叫做这个正n边形的外接圆。 · 经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形，这个圆叫做这个正n边形的内切圆。 正多边形的中心：正多边形外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心。 正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径（R）。 正多边形的边心距：正多边形内切圆的半径叫做正多边形的边心距（r）。 型 习 练 题 正多边形和圆的综合 1．如图，的半径等于6，其内接正六边形中，交于点交于点，则四边形的面积是（   ） A．36 B． C． D．24 2．如图，在正八边形中，连接，，，，与交于点O，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．“正六边形”在一些地区园林窗洞的设计中有着广泛的应用．已知半径为的正六边形的窗洞如图所示，那么它的面积是（    ） A． B． C． D． 4．若正六边形的半径是，则该正六边形的边长是（   ） A． B． C．3 D． 5．若正六边形的外接圆半径长为4，则它的边长等于（ ） A．4 B．2 C． D． 求正多边形的中心角 6．下列说法中，错误的是（    ） A．正多边形的外接圆的圆心，就是它的中心 B．正多边形的外接圆的半径，就是它的半径 C．正多边形的内切圆的半径，就是它的边心距 D．正多边形的外接圆的圆心角，就是它的中心角 7．如图，正六边形中，点，分别为边，上的动点，若正六边形的面积为，则空白部分的面积为（   ） A． B． C． D． 8．如图，正五边形内接于，点在弧上．若，则度数为（　） A． B． C． D． 9．下列说法不正确的是（    ） A．正n边形的中心角为 B．各边相等、各角相等的多边形是正多边形 C．正多边形的外角和为 D．各角相等的多边形是正多边形 10．如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形中心角的度数是（    ） A． B． C． D． 已知中心角求边数 11．如果一个正多边形的中心角为，那么这个正多边形的边数是(    ) A．3 B．4 C．5 D．6 12．如果一个正多边形的中心角等于，那么这个多边形是（   ） A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 13．如图，点A、B、C、D、E是以点O为中心的正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为（   ） A．7 B．8 C．10 D．11 14．如图，是内接正边形的一条边，点在上，，则（   ） A． B． C． D． 15．如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若是正n边形的一个中心角，则n的值为（   ） A．16 B．12 C．10 D．8 正多边形（尺规作图） 16．请用尺规作图完成以下问题，保留作图痕迹，写明结论，不写作法． (1)请在图1的正方形内，画出一个点满足； (2)请在图2的正方形内（含边），画出使的所有的点． 17．补全下面的步骤并依照下面的步骤制作八角星． 步骤1：任意画一个圆； 步骤2：以圆心为顶点，连续画 度的角，与圆相交于 个点； 步骤3：连接每隔一个点的两个点； 步骤4：擦去多余的线，就得到八角星，再把它剪下来． 请你仿照上面的方法，利用圆规、量角器、直尺画出图形．（要求：保留画图痕迹，不写画图过程） 18．如图，每个小正方形的边长均为1，线段、的端点A、C、E、F均在小正方形的顶点上． (1)在方格纸中画出以为对角线的正方形（字母顺序为逆时针顺序），点B、D在小正方形的顶点上； (2)在方格纸中画出以为顶角的等腰三角形（非等腰直角三角形），点C在小正方形的格点上，连接，并直接写出线段的长． 19．如图，已知AC为的直径．请用尺规作图法，作出的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法） 20．已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度直尺，按要求画图： (1)在图1中，画出CD的中点G； (2)在图2中，点G为CD中点以G为顶点画出一个菱形． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.6正多边形与圆 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 正多边形的定义： 各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。 正多边形与圆的关系： · 把圆分成n（n≥3）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形，这个圆叫做这个正n边形的外接圆。 · 经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形，这个圆叫做这个正n边形的内切圆。 正多边形的中心：正多边形外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心。 正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径（R）。 正多边形的边心距：正多边形内切圆的半径叫做正多边形的边心距（r）。 型 习 练 题 正多边形和圆的综合 1．如图，的半径等于6，其内接正六边形中，交于点交于点，则四边形的面积是（   ） A．36 B． C． D．24 【答案】C 【分析】本题考查了内接于圆的正六边形的性质、等边三角形的判定和性质、圆周角定理和含的直角三角形的性质，熟练运用以上知识点是解决本题的关键． 如图，连接，根据内接正六边形的性质可得，是等边三角形，则，进而根据含的直角三角形的性质可得，最后结合菱形的判定和性质进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， 六边形是正六边形， ，，， 是等边三角形， ∴， ∵是的直径， ， ， ， ， 同法可得， 四边形是菱形， 四边形的面积． 故选：C． 2．如图，在正八边形中，连接，，，，与交于点O，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多边形的内角与外角，掌握正八边形的性质以及圆周角定理是正确解答的关键． 根据正八边形的性质以及圆周角定理进行计算即可． 【详解】解：如图，由正八边形的对称性可知，点是正八边形的中心， 所以， 故选：B． 3．“正六边形”在一些地区园林窗洞的设计中有着广泛的应用．已知半径为的正六边形的窗洞如图所示，那么它的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正六边形的边长等于半径的特点，正六边形可以分解为六个全等的三角形，易得每个三角形的面积，进而可得六边形的面积． 【详解】解：如图，设正六边形的中心为点，连接、，过点作于点， ∴中心角， ∵正六边形的半径为， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即正六边形可以分解为六个全等的三角形，且每个三角形的边长都为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴这个正六边形的面积是． 故选：A． 【点睛】本题考查正多边形和圆，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，解题的关键是掌握：正六边形的边长等于半径． 4．若正六边形的半径是，则该正六边形的边长是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查正六边形定义，熟记正六边形边长与外接圆半径长度相同是解决问题的关键． 正六边形的外接圆半径与其边长相等，因此直接可得答案． 【详解】解：∵正六边形的外接圆半径等于其边长， ∴ 当外接圆半径为时，该正六边形的边长为， 故选：C． 5．若正六边形的外接圆半径长为4，则它的边长等于（ ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查正多边形与圆，熟练掌握正多边形与圆的关系是解题的关键；正六边形的外接圆半径与边长相等，因为正六边形由六个等边三角形组成，每个等边三角形的边长等于外接圆半径． 【详解】解：∵正六边形的中心角为，且外接圆半径与边长构成等边三角形， ∴正六边形的边长=外接圆半径； 故选A． 求正多边形的中心角 6．下列说法中，错误的是（    ） A．正多边形的外接圆的圆心，就是它的中心 B．正多边形的外接圆的半径，就是它的半径 C．正多边形的内切圆的半径，就是它的边心距 D．正多边形的外接圆的圆心角，就是它的中心角 【答案】D 【分析】本题考查正多边形的相关概念，包括外接圆、内切圆、半径、边心距和中心角．本题主要考查了正多边形的外接圆、内切圆、半径、边心距和中心角的概念，熟练掌握这些概念的定义是解题的关键．依据各概念的定义判断选项正误即可． 【详解】解：正多边形的中心是外接圆和内切圆的共同圆心，故A正确，不符合题意． 正多边形的半径定义为外接圆的半径，故B正确，不符合题意． 正多边形的边心距是中心到边的距离，等于内切圆的半径，故C正确，不符合题意． 外接圆的圆心角是圆中任意的圆心角，正多边形的中心角是相邻顶点与圆心形成的角（），两者不等价，故D错误，符合题意． 故选：D． 7．如图，正六边形中，点，分别为边，上的动点，若正六边形的面积为，则空白部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正六边形的性质，平行线间的距离相等．解题的关键在于正确作出辅助线确定阴影部分面积． 如图，连接，，，交点为，设与的距离为，根据正六边形的性质以及平行线间距离相等可得则，进而可求，同理可求的值，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接，，，交点为， 由正六边形可得，即，， 设与的距离为， 则， ∵， ∴， 同理可得， ∴空白部分的面积为， 故选：B． 8．如图，正五边形内接于，点在弧上．若，则度数为（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正五边形的性质，圆周角定理，三角形的内角和定理，解题的关键是正确作出辅助线． 连接，，由正五边形的性质可得的度数，根据圆周角定理可得的度数，由三角形的内角和定理计算即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 9．下列说法不正确的是（    ） A．正n边形的中心角为 B．各边相等、各角相等的多边形是正多边形 C．正多边形的外角和为 D．各角相等的多边形是正多边形 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的定义，正多边形的中心角以及外角的计算，根据正多边形的定义以及中心角的求解方法进行判断即可． 【详解】解：A、正n边形的中心角为，正确，不符合题意； B、各边相等、各角相等的多边形是正多边形，正确，不符合题意； C、正多边形的外角和为，正确，不符合题意； D、各边都相等且各角都相等的多边形是正多边形，故原说法不对，符合题意， 故选：D． 10．如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形中心角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求正多边形的中心角的度数，根据中心角的计算公式进行计算即可． 【详解】解：； 故选D． 已知中心角求边数 11．如果一个正多边形的中心角为，那么这个正多边形的边数是(    ) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形与圆；正多边形的中心角等于360°除以边数，因此已知中心角可求边数． 【详解】解：中心角，且中心角， ， ． 因此，边数为，对应选项D． 故选：D． 12．如果一个正多边形的中心角等于，那么这个多边形是（   ） A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 【答案】C 【分析】本题考查圆与正多边形，根据正n边形的中心角为计算即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为n，则 ， 解得， 经检验，是该分式方程的解． ∴这个多边形是正五边形． 故答案为：C． 13．如图，点A、B、C、D、E是以点O为中心的正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为（   ） A．7 B．8 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理．连接，根据圆周角定理得到，于是得到结论． 【详解】解：如图，连接， ， ， 该正多边形的边数为， 故选C． 14．如图，是内接正边形的一条边，点在上，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形和圆，圆周角定理，由圆周角定理得，再根据正边形的边数“中心角”，即可求出的值，求出中心角的度数是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 15．如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若是正n边形的一个中心角，则n的值为（   ） A．16 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了求正多边形的中心角，已知正多边形的中心角求边数等知识点，熟练掌握正边形的每个中心角都等于是解题的关键． 连接，由正六边形与正方形可得，，进而可得，再由“正边形的每个中心角都等于”即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 正六边形与正方形， ，， ， 是正n边形的一个中心角， ， 故选：． 正多边形（尺规作图） 16．请用尺规作图完成以下问题，保留作图痕迹，写明结论，不写作法． (1)请在图1的正方形内，画出一个点满足； (2)请在图2的正方形内（含边），画出使的所有的点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图—复杂作图，涉及正方形的性质、等边三角形的判定与性质、圆周角定理，理解相关知识是解答的关键． （1）利用正方形的对角线互相垂直可得点P为对角线的交点； （2）作等边三角形，则，作外接圆交、于点E、F，根据圆周角定理可得，弧上的所有点均为所求点P． 【详解】（1）解：如图，点P即为所求作： （2）解：如图，弧上的所有点均为所求点P． 17．补全下面的步骤并依照下面的步骤制作八角星． 步骤1：任意画一个圆； 步骤2：以圆心为顶点，连续画 度的角，与圆相交于 个点； 步骤3：连接每隔一个点的两个点； 步骤4：擦去多余的线，就得到八角星，再把它剪下来． 请你仿照上面的方法，利用圆规、量角器、直尺画出图形．（要求：保留画图痕迹，不写画图过程） 【答案】45；8，图见解析 【分析】本题主要考查了中心角，圆和正多边形，尺规作图， 先求出中心角，并作出8个点，再隔一个点依次连接，可得答案. 【详解】解：步骤1：任意画一个圆； 步骤2：以圆心为顶点，连续画的角，与圆相交于8个点； 步骤3：连接每隔一个点的两个点； 步骤4：擦去多余的线，就得到八角星，再把它剪下来． 画出图形如图所示． 答案为：45；8． 18．如图，每个小正方形的边长均为1，线段、的端点A、C、E、F均在小正方形的顶点上． (1)在方格纸中画出以为对角线的正方形（字母顺序为逆时针顺序），点B、D在小正方形的顶点上； (2)在方格纸中画出以为顶角的等腰三角形（非等腰直角三角形），点C在小正方形的格点上，连接，并直接写出线段的长． 【答案】(1)见详解； (2)见详解． 【分析】（1）利用数形结合的思想求出正方形的边长即可解决问题； （2）根据，寻找点G，利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：正方形如图所示： （2）解：以为顶角的等腰三角形如图所示： ． 【点睛】本题考查作图−应用与设计、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型． 19．如图，已知AC为的直径．请用尺规作图法，作出的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法） 【答案】见解析 【分析】作AC的垂直平分线交⊙O于B、D，则四边形ABCD就是所求作的内接正方形． 【详解】解：如图，正方形ABCD为所作． ∵BD垂直平分AC，AC为的直径， ∴BD为的直径， ∴BD⊥AC，OB＝OD，OA＝OC，BD＝AC， ∴四边形ABCD是的内接正方形． 【点睛】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆的基本性质，正方形的判定． 20．已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度直尺，按要求画图： (1)在图1中，画出CD的中点G； (2)在图2中，点G为CD中点以G为顶点画出一个菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）如图1，分别连接AD、CF交于点H，分别延长线段BC、线段ED于点I，连接HI与线段CD交于点G，点G即为所求； （2）如图2，延长线段IH与线段AF交于点J，连接BG、GE、EJ、JB，四边形BGEJ即为所求． 【详解】（1）如图1，分别连接AD、CF交于点H，分别延长线段BC、线段ED于点I，连接HI与线段CD交于点G，点G即为所求； （2）如图2，延长线段IH与线段AF交于点J，连接BG、GE、EJ、JB，四边形BGEJ即为所求． 【点睛】本题考查了无刻度直尺作图的问题，掌握正六边形的性质、中线的性质、菱形的性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $