2.5直线与圆的位置关系（基础篇）讲义 2025-2026学年苏科版（2012）数学九年级上册

本讲义聚焦“直线与圆的位置关系”核心知识点，系统梳理相离（d>r）、相交（d<r）、相切（d=r）的定义及数量关系，前承点与圆位置关系，后接切线性质判定，通过思维导图构建概念框架，分层设计判断位置关系、平移距离计算、切线应用等题型，形成从基础到综合的学习支架。 资料亮点在于分层递进设计，结合思维导图强化几何直观（数学眼光），坐标系中位置关系计算培养模型意识（数学语言），尺规作图与证明题提升推理能力（数学思维）。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，有效帮助中等生巩固基础并提升综合应用能力。

2.5直线与圆的位置关系 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 直线和圆无公共点，称相离。 AB与圆O相离，d>r。 直线和圆有两个公共点，称相交，这条直线叫做圆的割线。AB与⊙O相交，d 直线和圆有且只有一公共点，称相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。AB与⊙O相切，d=r。(d为圆心到直线的距离) 型 习 练 题 判断直线和圆的位置关系 1．已知的半径为5，圆心到一直线上的一点距离等于5，则直线与关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交或相离 D．相交或相切 【答案】D 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，根据垂线段最短，圆心到直线上一点的距离为5，则圆心到直线的距离，结合半径，判断直线与圆的位置关系为相交或相切. 【详解】解：∵ 圆心O到直线上一点P的距离， 且圆心到直线的距离d为垂线段的长， ∴（垂线段最短）。 ∴ , ∵ 圆的半径， ∴ 当时，直线与圆相交；当时，直线与圆相切, ∴ 直线与圆相交或相切, 故选D. 2．在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为4的圆一定（   ） A．与x轴相切，与y轴相切 B．与x轴相切，与y轴相交 C．与x轴相交，与y轴相切 D．与x轴相交，与y轴相交 【答案】B 【分析】本题考查圆与坐标轴的位置关系，熟练掌握圆心到坐标轴的距离等于半径则相切，距离小于半径则相交是解题的关键． 通过计算圆心到x轴和y轴的距离，与半径比较，判断圆与坐标轴的位置关系即可． 【详解】解：圆心到x轴的距离为，等于半径4， 则圆与x轴相切； 圆心到y轴的距离为，小于半径4， 则圆与y轴相交， 故选：B． 3．在平面直角坐标系中，的半径为3，直线l的解析式为，那么直线l与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，一次函数的性质，关键是由三角形面积公式求出的长． 求出，由勾股定理得到，由三角形面积公式求出，而的半径，即可判断直线与的位置关系． 【详解】解：如图，直线分别与 轴交于， 过作于， 当时，， ， 当时，， ， ， ， 的面积， ， ， 到直线的距离， 的半径， ， 直线与的位置关系是相交． 故选：C． 4．如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作圆，则与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 【答案】C 【分析】本题考查了直线与圆的关系，30度角的直角三角形的性质，先点C作，根据30度角的直角三角形的性质，得，再结合以点为圆心，以的长为半径作圆，进行分析，即可作答． 【详解】解：过点C作，如图所示： ∵，， ∴在中，， ∵以点为圆心，以的长为半径作圆，且， ∴与的位置关系是相交， 故选：C． 5．如图，，为上一点，且．以点为圆心，2为半径的与的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，掌握通过作垂线求圆心到直线的距离，结合半径判断位置关系是解题的关键． 作点到的垂线，求出垂线段的长度，再与圆的半径比较，判断圆与直线的位置关系． 【详解】解：过点作于点． 在中，，则， 的半径为2，且等于半径， 与相切． 故选：C． 求圆平移到直线相切时圆心经过的距离 6．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1 B．1或5 C．3 D．3或5 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．分两种情况讨论：位于轴左侧和位于轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的性质分别求解，即可得到答案． 【详解】解：的圆心P的坐标为， ， 的半径为2， ， ，， 当位于轴左侧且与轴相切时，平移的距离为1， 当位于轴右侧且与轴相切时，平移的距离为5， 平移的距离为或， 故选：B． 7．如图，在平面直角坐标系xOy中，的半径为2，点P的坐标为，若将沿y轴向下平移，使得与x轴相切，则向下平移的距离为（    ） A．1 B．5 C．3 D．1或5 【答案】D 【分析】分圆P在轴的上方与轴相切和圆P在轴的下方与轴相切两种情况分别求解即可． 【详解】解：当圆P在轴的上方与轴相切时，平移的距离为， 当圆P在轴的下方与轴相切时，平移的距离为， 综上所述，向下平移的距离为1或5． 故选：D． 【点睛】本题考查了相切的定义、平移变换等知识点，注意分类讨论是解答本题的关键． 8．如图，⊙O1的直径AB长度为12，⊙O2的直径为8，∠AO1O2＝30°，⊙O2沿直线O1O2平移，当⊙O2平移到与⊙O1和AB所在直线都有公共点时，令圆心距O1O2＝x，则x的取值范围是（　　） A．2≤x≤10 B．4≤x≤16 C．4≤x≤4 D．2≤x≤8 【答案】D 【分析】由题意得出点O2在点O1的右侧，⊙O2与⊙O1和AB所在直线都有公共点时，O1O2的最大值和最小值，分别画出图形求解得出x的取值范围，根据对称性可得点O2在点O1的左侧时的结论． 【详解】解：当点O2在点O1的右侧时， 当⊙O2向左移动到与直线AB相切时，如图1所示，设切点为M， 则O2M=4， 又∵∠AO2O1=30°， ∴O1O2=2•O2M=8， 当⊙O2继续向左移动到与⊙O1内切时，如图2所示，此时O1O2=6-4=2， 所以当⊙O2平移到与⊙O1和AB所在直线都有公共点时，2≤x≤8； 故选：D． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、平移的性质，求出符合条件的x的最大值和最小值是解决问题的关键． 9．如图，半径的⊙M在轴上平移，且圆心M在x轴上，当⊙M与直线相切时，圆心M的坐标为（  ） A．(0，0) B．(2，0) C．（-6，0） D．(2，0) 或（-6，0） 【答案】D 【分析】根据题意，进行分情况讨论，分别为圆位于直线右侧并与直线相切和位于直线左侧并于直线相切两种情况，进而根据相切的性质及等腰直角三角形的相关性质进行求解即可得解． 【详解】①当圆位于直线右侧并与直线相切时，连接MA，如下图所示： ∵ ∴，，是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴⊙M与直线AB相切于点A ∵ ∴ ∴圆心M的坐标为； ②当圆位于直线左侧并与直线相切时，过点M作于点C，如下图所示： ∵⊙M与直线AB相切， ∴ 根据直线AB的解析式：可知 ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴圆心M的坐标为， 综上所述：圆心M的坐标为或， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，等腰直角三角形的性质及动圆问题，熟练掌握相关几何求解方法并进行分类讨论是解决本题的关键． 10．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=30°，半径为2cm的P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm，如果P以1cm/s的速度沿直线AB由A向B的方向移动，那么P与直线CD相切时☉P运动的时间是（    ）    A．3秒或10秒 B．3秒或8秒 C．2秒或8秒 D．2秒或10秒 【答案】D 【分析】作PH⊥CD于H，根据直角三角形的性质得到OP＝2PH，分点P在OA上、点P在AO的延长线上两种情况可，根据切线的性质解答． 【详解】解：作PH⊥CD于H， 在Rt△OPH中，∠AOC＝30°， ∴OP＝2PH， 当点P在OA上，⊙P与直线CD相切时，OP＝2PH＝4cm， ∴点P运动的距离为6﹣4＝2， ∴⊙P运动的时间是2秒， 当点P在AO的延长线上，⊙P与直线CD相切时，OP＝2PH＝4cm， ∴点P运动的距离为6+4＝10， ∴⊙P运动的时间是10秒， 故选：D．    【点睛】本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 切线的应用 11．如图，正五边形的两条边，与相切，切点为点，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角定理、切线的定义、三角形外角的性质，首先根据多边形的内角定理求出正五边形每个内角的度数为，根据切线的定义可知，从而可得，再根据三角形外角的性质求出的度数． 【详解】解：如下图所示，连接并延长到点， 五边形是正五边形， ， 又、是的切线， ， ， ，， ． 故选：D． 12．如图，为等边三角形的高，点O 在的延长线上，且，的半径为1，若将绕点 C 按顺时针方向旋转，在旋转的过程中，与等边三角形的边只有一个公共点的情况一共出现（　　） A．3 次 B．4 次 C．5 次 D．6 次 【答案】C 【分析】本题考查直线与圆的位置关系．延长交于点，根据线段的和差关系求出，根据等边三角形的性质，得到，再根据直线和圆的位置关系进行判断即可． 【详解】解：如图，延长交于点， ， ； ； 是等边三角形，为等边三角形的高， ， 又∵的 半径为1， ∴在旋转过程中，与边只有一个公共点的情况有 2次，与边有2次，与边有1次，即交点为点，共5次．如图： 故选 C． 13．如图中的数轴可以度量直径，则圆形图片的直径是（　　） A．5﹣1 B．5﹣(﹣1) C．﹣5﹣1 D．﹣5﹣(﹣1) 【答案】B 【分析】根据图形，过和垂直于数轴的直线与圆相切，结合圆的切线性质，两个切点间的距离就是圆形图片的直径，根据数轴上两点之间的距离直接求解即可． 【详解】解：结合数轴，圆形图片的直径是5﹣（﹣1）， 故选：B． 【点睛】本题考查圆的概念、切线性质及数轴上两点之间的距离求法，掌握数轴的基本性质是解决问题的关键． 14．如图，⊙O的半径为2，弦AB平移得到CD（AB与CD位于点O两侧），且CD与⊙O相切于点E．若的度数为120°，则AD的长为（    ） A．4 B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】连接OE，OE的反向延长线交AB于F，连接OA，OB，BD，由切线的性质得EF⊥CD，则EF⊥AB，得AF＝BF，求出OF＝OA＝1，则EF＝3，再由勾股定理得AF＝，则AB＝2，求出BD＝EF＝3，再由勾股定理求出AD即可． 【详解】解：∵的度数为120°， ∴∠AOB＝120°， 连接OE，OE的反向延长线交AB于F，连接OA，OB，如图， ∵CD与⊙O相切于点E， ∴EF⊥CD， 由平移的性质得：CD∥AB，CD＝AB， ∴EF⊥AB， ∵OA＝OB， ∴∠AOF＝∠BOF＝∠AOB＝60°，AF＝BF＝AB＝DE， ∴∠OAF＝30°，四边形BDEF是矩形， ∴OF＝OA＝×2＝1，BD＝EF， ∴EF＝2+1＝3， ∴BD＝3， 在Rt△AOF中，OA＝2，OF＝1， ∴AF＝， ∴AB＝2， ∴AD＝， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，矩形判定和性质，切线等知识点，构造出矩形BDEF是解题关键． 15．如图，在中，，的半径为1，点是边上的动点，过点作的一条切线（点为切点），则切线的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先连接OP、OQ，根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，可得当OP⊥AB时，即线段PQ最短，然后由勾股定理即可求得答案． 【详解】解：连接OP、OQ． ∵PQ是⊙O的切线， ∴OQ⊥PQ； 根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2， ∴当PO⊥AB时，线段PQ最短， ∵在Rt△AOB中，OA=OB=， ∴AB=OA=6， ∴OP=， ∴PQ=． 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当PO⊥AB时，线段PQ最短是关键． 证明某直线是圆的切线 16．如图，点，，，点为线段的中点，以点为圆心，为半径作⊙，则下列结论中正确的是（  ） A．与⊙相切 B．点在⊙上 C．点在⊙上 D．点在⊙上 【答案】A 【分析】本题考查点、直线与圆的位置关系，熟练掌握点、直线与圆的位置关系的判断方法是解题的关键． 根据两点间距离公式计算出、、的距离，分别与半径相比较，得出点是否在圆上；根据圆心到直线的距离等于半径，判断直线与相切即可． 【详解】解：由于点，，点为线段的中点， 那么点的坐标为，直线方程为：， 选项A、过点作于点，由题意得，，设，则， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 则，解得， ，即长等于半径， 则与相切，故结论正确； 选项B、，则点在外，故结论错误； 选项C、，则点在外，故结论错误； 选项D、，则点在外，故结论错误； 故选：A． 17．如图，过外一点P画的切线，图中画法的根据是（   ）    A．直径所对的圆周角是直角 B．切线长定理 C．切线的性质定理 D．切线的判定定理 【答案】D 【分析】根据切线的判定定理解答即可． 本题考查了切线的判定定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由为直径， 故， 根据切线的判定定理，可知为的切线， 故选：D．    18．如图，点为的外心，连接，作正方形．下列说法不一定正确的是（   ） A．点在边的垂直平分线上 B．点为的外心 C．平分 D．直线与的外接圆相切 【答案】C 【分析】此题考查了三角形外接圆与外心，正方形的性质、线段垂直平分线的性质、切线的判定等知识，根据相关知识逐项进行分析即可． 【详解】解：∵点为的外心， ∴， ∴点在边的垂直平分线上，故选项A正确，不符合题意， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴点为的外心， 故选项B正确，不符合题意， ∵， ∴点在的外接圆上，即是的外接圆的半径， ∵， ∴直线与的外接圆相切， 故选项D正确，不符合题意， 不一定平分，故选项C错误，符合题意， 故选：C． 19．下列说法正确的有（         ） A．如果两个角是对顶角，那么它们一定相等 B．长度相等的两段弧是等弧 C．经过半径一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 D．过一点有且仅有一条直线与已知直线平行． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角相等，等弧，切线的判定，平行公理，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、如果两个角是对顶角，那么它们一定相等，故该选项符合题意； B、完全重合的弧是等弧，长度相等的两段弧不是等弧，故该选项不符合题意； C、经过半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线，故该选项不符合题意； D、在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项不符合题意； 故选：A 20．如图是某校数学课外活动上，小明同学的尺规作图作业，观察作图痕迹，下列说法不一定成立的是（   ） A．是线段的垂直平分线 B．，都是的切线 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，垂直平分线的作图，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由作图痕迹得出是线段的垂直平分线，再结合圆周角定理得，因为都是的半径，得证，都是的切线，运用垂径定理得，即得，进行解答即可． 【详解】解：由作图痕迹得出是线段的垂直平分线，故A选项不符合题意； 由作图痕迹得出是的直径， ∴， ∵都是的半径， ∴，都是的切线， 故B选项不符合题意； 则， ∴， ∴， 故D选项不符合题意； 无法证明， 故C选项符合题意； 故选：C 切线的性质和判定综合 21．如图，在中，E是半径上一点，射线，交圆于B，P为上任一点，射线交圆于C，D为射线上一点，且，下列结论：①为的切线；②；③，其中正确的结论有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题主要考查切线的性质与判定，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键；根据已知及切线的判定等对各个结论进行分析，从而得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴为的切线，①正确； ②由图可知不一定； ∵为的切线， ∴． ∵， 又∵， ∴， ∴，③正确． 故选：B． 22．以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，若的周长为12，则正方形周长为（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【分析】此题重点考查正方形的性质、圆的切线的判定与性质、切线长定理等知识，根据切线长定理及正方形的性质求出正方形的边长是解题的关键． 设正方形的边长为，，则，证明是的切线，因为与相切于点，所以，，即可由的周长为12列方程，得，即可求得正方形周长为16． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ， 设正方形的边长为，，则， ∵经过的半径的外端，且， ∴是的切线， ∵与相切于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴正方形周长为16， 故选：C． 23．如图，是的直径，与相切于点A，，的延长线交于点P，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】本题主要考查了圆相关．熟练掌握圆切线判定和性质，等腰三角形性质，三角形外角性质，是解决问题的关键． 由等腰三角形的性质得到，由三角形外角的性质求出的度数，由切线的性质得到，由直角三角形的性质即可求出的度数． 【解答】解： ∵， ∴， ∴， ∵与相切于点A， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，，的半径为2（为坐标原点），点是直线上的一动点，过点作的一条切线，为切点，则切线长的最小值为（　　）    A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查切线的判定和性质，勾股定理．根据题意连结、OQ，当时，线段最短，即线段最短，再根据勾股定理求解即可． 【详解】如答图，连结、OQ．   是的切线， ， ， 当时，， 线段最短，即线段最短． ，， ， ， ， ， ． 故选：D． 25．过点作圆的切线只有一条，那么点与圆的位置关系是（  ） A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．以上都有可能 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系、切线的判定等知识，熟练掌握圆的切线的判定是解题关键．根据点与的位置，分别进行分析即可得． 【详解】解：如果点在外，则过点作的切线有两条； 如果点在内，则过点的直线与相交； 如果点在上，则过点作的切线只有一条； 如图，连接，过点作的切线，则， 是唯一的， 过点作的切线只有一条， 故选：B． 过圆外一点做圆的切线（尺规作图） 26．已知是的弦．    (1)如图①，只用无刻度的直尺作弦，使； (2)如图②，点Q是圆外一点，用无刻度的直尺和圆规过Q点作弦． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接并延长，分别交于点C、D，连接，即为所求； （2）先过点O作的垂线交于点，以点为圆心，的长为半径作圆，连接，作的垂直平分线交于点，再以点为圆心，的长为直径作圆，交以点为圆心，的长为半径的圆于点，作射线交于点，再过点作的垂线交于点，作射线交于点，交于点，即线段为所求． 【详解】（1）解：所作图形如下：   ∵是的直径， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； （2）解：所作图形如下：连接，    由作图依据得，， ∴，， ∴， ∴， 同理得， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查作线段的垂线、圆外一点作圆的切线、圆周角定理、矩形的性质与判定、垂径定理、切线的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握圆周角定理、矩形的性质与判定、垂径定理是解题的关键． 27．如图，已知，用不含刻度的直尺和圆规作图．要求：不写作图步骤，写出必要的文字说明． (1)作出所在圆的圆心O； (2)过点P作圆O的一条切线． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】本题考查的是尺规作图，作线段的垂直平分线，圆周角定理的应用，切线的判定． （1）如图，在上取点，连接，，再作线段的垂直平分线上，交点为，可得为所在圆的圆心． （2）如图，连接，作线段的垂直平分线，垂足为，以为圆心，为半径画圆交于，则直线为的切线． 【详解】（1）解：如图，在上取点，连接，，再作线段的垂直平分线上，交点为，则为所在圆的圆心． （2）解：如图，连接，作线段的垂直平分线，垂足为，以为圆心，为半径画圆交于，则直线为的切线． 理由如下： ∵为直径， ∴， ∵为半径， ∴为的切线． 28．（1）如图，点B在上，过点B作的切线； （2）如图，点D在外，过点D作的切线． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查尺规作图，（1）连接并延长，以点B为圆心，的长为半径画弧，交射线于点C，再分别以点A、C为圆心，大于线段的长度为半径作弧，交于点D，再作直线即可； （2）连接，分别以点C、D为圆心，大于的长度为半径作弧，分别交于点E、F，连接交于点G，再以点G为半径，的长度为半径作弧，交于点M，作直线即可． 【详解】解：（1）如图，射线即为所求； （2）如图，连接，分别以点C、D为圆心，大于的长度为半径作弧，分别交于点E、F，连接交于点G，再以点G为半径，的长度为半径作弧，交于点M，作直线，直线即为所求，理由如下： ∵垂直平分， ∴， ∴点在以为直径的圆上， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线． 29．已知：和外一点． 尺规作图：在图中，过点作的两条切线、，、为切点（要求：两种方法保留作图痕迹，写出简单作法）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图，过圆外一点作圆的切线，合理利用圆周角定理，构造全等三角形，辅助圆解决问题是解决本题的关键．作法通过过点作辅助圆，、为新作圆的圆周角，根据直径所对的圆周角等于即可得证直线、为的切线；作法通过构造等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一，底边上的中线即为高线，即可得证直线、为的切线． 【详解】解：作法： 连接，作的垂直平分线交于点； 以点为圆心，长为半径作圆交于点，， 作直线，，则直线，即为所求． 连接、， 根据作法可知，为的直径， ，即，， 、为的半径， 、为的切线； 作法： 作射线，与交于点和点； 以点为圆心，以为半径作； 以点为圆心，以为半径作圆，与交于点和点，连接和，分别与交于点和点； 作直线和直线，则直线，即为所求． 连接、， 根据作法可知，，，， 点是的中点，点是的中点， 根据等腰三角形三线合一可知，，， 、为的半径， 、为的切线． 30．如图，线段长为8，O是上一点，且，以O为圆心，为半径作圆在的上方求作点P使得相切于． 【答案】见解析 【分析】本题考查了过圆外一点作圆的切线．以为直径作圆，与在上方的交点即为所求点P． 【详解】解：如图，点P即为所作． 圆内知识综合 31．如图，在等腰中，，以为直径的分别与边，交于，两点，交于点．连接交于点G． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，可得结论； （2）连接，．设．利用勾股定理，构建方程求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：证明：如图，， ， ，是直径， ， ， ， ； （2）连接，．设． ， ， 是直径， ， ， ，， ， ， ， 或（舍去）， ， 半径为． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 32．已知为的直径，，为上一点，连接，． (1)如图①，若为的中点，求的大小和的长； (2)如图②，若，为的半径，且，垂足为，过点作的切线，与的延长线相交于点，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据圆周角定理得到，，进而求出，根据勾股定理求出； （2）根据切线的性质得到，证明四边形为矩形，根据矩形的性质得到，根据勾股定理求出，根据垂径定理解答即可． 【详解】（1）解：为的直径， ， 为的中点， ， ， ； （2）是的切线， ， ，， 四边形为矩形， ， 在中，，，， 则， ， ， ． 【点睛】本题考查的切线的性质、垂径定理、矩形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键． 33．如图，的两条弦互相垂直，垂足为E，且． (1)求证：． (2)若于F，于G，问，四边形是何特殊四边形？并说明理由． (3)若，求的半径． 【答案】(1)，证明见解析 (2)四边形是正方形，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据圆心角、弧、弦的关系先由判断，进而得到，从而得出； （2）先证明四边形是矩形．连接OA，OD．根据垂径定理得出CF=DF，AG=BG．则利用CD=AB，得到AG=DF．再由勾股定理可计算出OG=OF，即证明四边形是正方形； （3）先计算出CD=4，从而得到CF=DF=2，EF=1，再利用正方形的性质得出OF=EF=1，最后由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：四边形是正方形. 理由如下：∵，，， ∴， ∴四边形是矩形． 如图，连接OA，OD． ∵，， ∴CF=DF，AG=BG． ∵CD=AB， ∴AG=DF． ∵，，OA=OD， ∴OG=OF， ∴四边形是正方形； （3）解：∵CE=1，DE=3， ∴CD=4， ∴CF=DF=2， ∴EF=CF-CE=2-1=1． ∵四边形是正方形， ∴OF=EF=1． 在Rt中，， ∴的半径为． 【点睛】本题为圆的综合题，考查圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，正方形的判定和性质，勾股定理．正确的连接辅助线并利用数形结合的思想是解题关键． 34．如图，已知直线交于A、B两点，是的直径，点C为上一点，且平分，过C作，垂足为D． (1)求证：是的切线； (2)若，的直径为20，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接OC，根据题意可证得∠CAD+∠DCA=90°，再根据角平分线的性质，得∠DCO=90°，则CD为 O的切线； （2）过O作OF⊥AB，则∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，得四边形DCOF为矩形，设AD=x，在Rt△AOF中，由勾股定理得，从而求得x的值，由勾股定理求出AF的长，再求AB的长． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵为半径 ∴是的切线． （2）解：过O作，垂足为F， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 设，∵， 则， ∵的直径为20， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， 解得：（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴， ∵，由垂径定理知，F为的中点， ∴． 【点睛】本题考查了切线的证明，矩形的判定和性质以及勾股定理，掌握切线的定义和证明方法是解题的关键． 35．如图1，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，BD和过点C的切线互相垂直，垂足为E． (1)求证：BC平分∠DBA； (2)如图2，连接AC，当BD＝3，AC＝时，求⊙O的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明，得，由，得，则，即平分； （2）连接交于点，由得，则垂直平分，是的中位线，则，而，根据勾股定理列方程求出的值即可． 【详解】（1）解：证明：如图1，连接， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， 平分． （2）如图2，连接交于点， ， ， ，， ， ，，， ， 设的半径为，则， ， ，， ， ， 解得，（不符合题意，舍去）， 的半径为． 【点睛】此题考查圆的切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、垂径定理、勾股定理、三角形的中位线定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 圆与三角形综合 36．如图，在中，，是的平分线，是上一点，以为半径的经过点，与，分别交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了圆的切线判定以及利用勾股定理求圆的半径，解题的关键是通过角的关系证明直线与圆相切，借助矩形性质和勾股定理构建方程求解半径． （1）连接，利用角平分线性质和等腰三角形性质推出，进而得到，根据切线判定定理证明是的切线． （2）过作，证明四边形是矩形得，再由垂径定理得的长度，最后在中用勾股定理求出半径． 【详解】（1）证明：连接 是的平分线， ， ， ， ， ， ， ， 又是的半径， 是的切线； （2）解：过点作，垂足为点 ，， 四边形是矩形 ， 在中， 的半径为5． 37．如图，已知AB是的直径，点C，D在上，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用弧相等得出圆心角相等，再结合圆的半径相等，通过证明三角形全等． （2）先利用等腰三角形性质求出的度数，再结合弧的关系求出的度数，最后根据圆周角定理求出的度数． 【详解】（1）证明：， ． ，， 在和中： ； （2）解：， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查圆的性质与三角形全等的判定，掌握弧相等则对应圆心角相等，圆周角定理及等腰三角形的性质是解题的关键． 38．如图，A、C在以为直径的上，为弧的中点，连接与交于点，若． (1)求证：； (2)求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由等弧可知，，再结合等腰三角形三线合一的性质证明即可； （2）由等腰三角形三线合一的性质可得，进而得到，再结合直径所对的圆周角是直角，易证，得到，根据三角形中位线定理可得，则，设的半径为，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 为弧的中点， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ，， ， ， 是的直径， ， 在和中， ， ， 是的中点，是的中点， 是的中位线， ， ， 设的半径为，则，， 在中，， ， 解得：（负值舍去）， 的半径为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，掌握圆的相关性质是解题关键． 39．如图，，是中相等的两条弦，过点O分别作于点F，于点G． (1)求证：； (2)延长交于点D，连接交的延长线于点E．若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)13 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质；掌握垂径定理，添加恰当的辅助线是解题的关键. （1）连接，证明，即可求证； （2）连接，根据垂径定理可得，可证明，可得，设，则，，．在中，根据勾股定理可得x的值，即可求解． 【详解】（1）证明：连接． ∵，， ∴，，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：连接． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 设，则， ，． 由（1）得 在中，， ∴ ∴或（舍去）， ∴，即⊙O的半径为13． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5直线与圆的位置关系 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 直线和圆无公共点，称相离。 AB与圆O相离，d>r。 直线和圆有两个公共点，称相交，这条直线叫做圆的割线。AB与⊙O相交，d 直线和圆有且只有一公共点，称相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。AB与⊙O相切，d=r。(d为圆心到直线的距离) 型 习 练 题 判断直线和圆的位置关系 1．已知的半径为5，圆心到一直线上的一点距离等于5，则直线与关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交或相离 D．相交或相切 2．在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为4的圆一定（   ） A．与x轴相切，与y轴相切 B．与x轴相切，与y轴相交 C．与x轴相交，与y轴相切 D．与x轴相交，与y轴相交 3．在平面直角坐标系中，的半径为3，直线l的解析式为，那么直线l与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 4．如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作圆，则与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 5．如图，，为上一点，且．以点为圆心，2为半径的与的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 求圆平移到直线相切时圆心经过的距离 6．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1 B．1或5 C．3 D．3或5 7．如图，在平面直角坐标系xOy中，的半径为2，点P的坐标为，若将沿y轴向下平移，使得与x轴相切，则向下平移的距离为（    ） A．1 B．5 C．3 D．1或5 8．如图，⊙O1的直径AB长度为12，⊙O2的直径为8，∠AO1O2＝30°，⊙O2沿直线O1O2平移，当⊙O2平移到与⊙O1和AB所在直线都有公共点时，令圆心距O1O2＝x，则x的取值范围是（　　） A．2≤x≤10 B．4≤x≤16 C．4≤x≤4 D．2≤x≤8 9．如图，半径的⊙M在轴上平移，且圆心M在x轴上，当⊙M与直线相切时，圆心M的坐标为（  ） A．(0，0) B．(2，0) C．（-6，0） D．(2，0) 或（-6，0） 10．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=30°，半径为2cm的P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm，如果P以1cm/s的速度沿直线AB由A向B的方向移动，那么P与直线CD相切时☉P运动的时间是（    ）    A．3秒或10秒 B．3秒或8秒 C．2秒或8秒 D．2秒或10秒 切线的应用 11．如图，正五边形的两条边，与相切，切点为点，，则为（   ） A． B． C． D． 12．如图，为等边三角形的高，点O 在的延长线上，且，的半径为1，若将绕点 C 按顺时针方向旋转，在旋转的过程中，与等边三角形的边只有一个公共点的情况一共出现（　　） A．3 次 B．4 次 C．5 次 D．6 次 13．如图中的数轴可以度量直径，则圆形图片的直径是（　　） A．5﹣1 B．5﹣(﹣1) C．﹣5﹣1 D．﹣5﹣(﹣1) 14．如图，⊙O的半径为2，弦AB平移得到CD（AB与CD位于点O两侧），且CD与⊙O相切于点E．若的度数为120°，则AD的长为（    ） A．4 B．2 C． D．3 15．如图，在中，，的半径为1，点是边上的动点，过点作的一条切线（点为切点），则切线的最小值为（    ） A． B． C． D． 证明某直线是圆的切线 16．如图，点，，，点为线段的中点，以点为圆心，为半径作⊙，则下列结论中正确的是（  ） A．与⊙相切 B．点在⊙上 C．点在⊙上 D．点在⊙上 17．如图，过外一点P画的切线，图中画法的根据是（   ）    A．直径所对的圆周角是直角 B．切线长定理 C．切线的性质定理 D．切线的判定定理 18．如图，点为的外心，连接，作正方形．下列说法不一定正确的是（   ） A．点在边的垂直平分线上 B．点为的外心 C．平分 D．直线与的外接圆相切 19．下列说法正确的有（         ） A．如果两个角是对顶角，那么它们一定相等 B．长度相等的两段弧是等弧 C．经过半径一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 D．过一点有且仅有一条直线与已知直线平行． 20．如图是某校数学课外活动上，小明同学的尺规作图作业，观察作图痕迹，下列说法不一定成立的是（   ） A．是线段的垂直平分线 B．，都是的切线 C． D． 切线的性质和判定综合 21．如图，在中，E是半径上一点，射线，交圆于B，P为上任一点，射线交圆于C，D为射线上一点，且，下列结论：①为的切线；②；③，其中正确的结论有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 22．以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，若的周长为12，则正方形周长为（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 23．如图，是的直径，与相切于点A，，的延长线交于点P，则的度数是（　　） A． B． C． D． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，，的半径为2（为坐标原点），点是直线上的一动点，过点作的一条切线，为切点，则切线长的最小值为（　　）    A． B．3 C． D． 25．过点作圆的切线只有一条，那么点与圆的位置关系是（  ） A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．以上都有可能 过圆外一点做圆的切线（尺规作图） 26．已知是的弦．    (1)如图①，只用无刻度的直尺作弦，使； (2)如图②，点Q是圆外一点，用无刻度的直尺和圆规过Q点作弦． 27．如图，已知，用不含刻度的直尺和圆规作图．要求：不写作图步骤，写出必要的文字说明． (1)作出所在圆的圆心O； (2)过点P作圆O的一条切线． 28．（1）如图，点B在上，过点B作的切线； （2）如图，点D在外，过点D作的切线． 29．已知：和外一点． 尺规作图：在图中，过点作的两条切线、，、为切点（要求：两种方法保留作图痕迹，写出简单作法）． 30．如图，线段长为8，O是上一点，且，以O为圆心，为半径作圆在的上方求作点P使得相切于． 圆内知识综合 31．如图，在等腰中，，以为直径的分别与边，交于，两点，交于点．连接交于点G． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 32．已知为的直径，，为上一点，连接，． (1)如图①，若为的中点，求的大小和的长； (2)如图②，若，为的半径，且，垂足为，过点作的切线，与的延长线相交于点，求的长． 33．如图，的两条弦互相垂直，垂足为E，且． (1)求证：． (2)若于F，于G，问，四边形是何特殊四边形？并说明理由． (3)若，求的半径． 34．如图，已知直线交于A、B两点，是的直径，点C为上一点，且平分，过C作，垂足为D． (1)求证：是的切线； (2)若，的直径为20，求的长度． 35．如图1，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，BD和过点C的切线互相垂直，垂足为E． (1)求证：BC平分∠DBA； (2)如图2，连接AC，当BD＝3，AC＝时，求⊙O的半径． 圆与三角形综合 36．如图，在中，，是的平分线，是上一点，以为半径的经过点，与，分别交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 37．如图，已知AB是的直径，点C，D在上，，． (1)求证：； (2)求的度数． 38．如图，A、C在以为直径的上，为弧的中点，连接与交于点，若． (1)求证：； (2)求的半径． 39．如图，，是中相等的两条弦，过点O分别作于点F，于点G． (1)求证：； (2)延长交于点D，连接交的延长线于点E．若，，求的半径． 学科网（北京）股份有限公司 $