2.5直线与圆的位置关系(4) 导学案 2025-2026学年苏科版九年级数学上册

该初中数学导学案围绕切线长概念及切线长定理展开，通过“过圆外一点画圆的切线”活动导入，引导学生发现切线数量，衔接直线与圆位置关系的前期知识，搭建从切线性质到切线长定理的学习支架。 资料以活动探究为起点，例题与课时练习、课后作业分层设计，涵盖基础应用与综合探究，如开放题引导多结论发现，助力学生通过几何直观理解定理，发展推理能力与创新意识，提升数学思维品质。

2.5直线与圆的位置关系(4) 【学习目标】 理解切线长的概念，会证明切线长定理，会运用切线长定理. 【学习过程】 活动过圆外一点画圆的切线.你能画出几条?你有什么发现吗? 数学认识： 例1如图，在以点0为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB、AC分别与小圆相切于点D、E.求 证AB=AC. 例 2 如 图 ，AB是⊙ O的切线，切点为B,AO 交⊙ O于点C, 过点C 的切线交AB于点 D, 若AD=2BD,CD= 2, 求⊙ O的半径. 课时练习 1. 如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别为P 、D. 若AB=5,AC=3,BD 的长为 2. 如图，PA、PB 分别切⊙ O 于点 A、B,点 C 在⊙ O上，∠ P=70°,则∠ C 等于 3.如图，PA 是⊙0的切线，切点为A, 点 B 在⊙O 上，且PB=PA, 那么PB 是⊙O 的切线吗? *4.如图，PA、PB 是⊙0的切线，切点分别为A、B, 直线 OP 交⊙ O于点C、D, 交 AB 于 点 E. 根据题设条件，你能得到哪些结论?为什么? 课后作业 1.填空题： 如图，⊙ O内切于Rt△ABC, 切点分别为D 、E 、F,∠C=90° . 已知∠AOC=120°, 则 ∠OAC= , ∠B= °; 已知AC=4cm,BC=3cm, 则 △ABC 的外接圆的半径为 cm, 内切圆的半径为 cm. 2.选择题： ( 1 ) 如 图 ，PA 、PB 是⊙O的两条切线，切点分别为A 、B,AC 是⊙O的直径， 连接AB 、BC 、OP, 则与∠AOP相等的角有( ). A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 (2)从半径为9cm 的 ⊙O 外一点向⊙O 所作的切线长为18cm, 这点到⊙O 的最短距离是( ). A.9√3cm B.(9√3-9)cm C.(9√5-9)cm D.9cm ( 3 ) 已 知PA 、PB分别切⊙O 于A 、B两 点 ，AB 的度数为120°,⊙O的半径为4,线段AB的长为( ). A.8 B.4√3 C.6√3 D.8√3 3.如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D、E、F,AB=12cm,BC=14cm,CA=18cm. 求AE、BF、CD 的长 . 4.如图，在△ABC 中 ，∠C=90°,AC=BC=2√2+2. 在BC 上取一点0,以点O 为圆心，OC 为半 径作半圆，与AB 相切于点E. 求⊙O 的半径. 5.如图，△ABC内接于⊙O, 点 D在OC的延长线上，∠B=∠CAD=30° . (1)求证： AD是⊙O的切线； (2)已知OD⊥AB,BC=5，求AD 的长. 6.如图，AB、AC 分别与⊙O相切，切点分别为B、C, 过点C 作CD//AB, 交⊙O于点D, 连接BC、 BD. 求证：BC=BD (请用两种不同的方法证明) . 7.已知:在Rt△ABC 中, ∠C=90°. (1)点E在BC 边上,且△ACE 的周长为AC+BC,以线段AE 上一点0为圆心的0O恰与边AB、BC边都相切.请用无刻度的直尺和圆规确定点E、O的位置; (2)若 BC=8,AC=4,求OO的半径 8. 如图,在以点0为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB、AC 分别与小圆相切于点D、E.求证: ∠B=∠C. 1.BD的长为2。 解析：因为AB、AC、BD是⊙O的切线，根据切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。所以AC=AP，BP=BD，又因为AB=AP+BP=AC+BD，已知AB=5，AC=3，所以BD=AB-AC=5-3=2。 2.∠C等于55°。 解析：连接OA、OB，因为PA、PB是⊙O的切线，所以OA⊥PA，OB⊥PB，∠OAP=∠OBP=90°。在四边形OAPB中，∠P=70°，所以∠AOB=360°-90°-90°-70°=110°。根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，所以∠C=∠AOB/2=110°/2=55°。 3.PB是⊙O的切线。 解析：连接OA、OB、OP，因为PA是⊙O的切线，所以OA⊥PA，∠OAP=90°。又因为PB=PA，OA=OB（半径），OP=OP（公共边），所以△OAP≌△OBP（SSS），则∠OBP=∠OAP=90°，即OB⊥PB，因此PB是⊙O的切线。 4.可得到的结论及理由： PA=PB：切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。 OP平分∠APB：切线长定理推论，圆心和圆外一点的连线平分两条切线的夹角。 OP垂直平分AB：等腰三角形PAB中，PA=PB，OP平分∠APB，所以OP垂直平分底边AB。 AC=BC：等弧对等弦，OP是AB的垂直平分线，所以弧AC=弧BC，故AC=BC。 ∠OAE=∠OBE=90°：切线性质，切线垂直于过切点的半径。 AE=BE：OP垂直平分AB，所以E为AB中点，AE=BE。 课后作业答案 1.填空题 1.∠OAC=30°，∠B=60°； △ABC的外接圆的半径为2.5cm，内切圆的半径为1cm。 2.选择题 (1) B (2) C (3) B 3.AE=8cm，BF=4cm，CD=10cm。 4.⊙O的半径为1。 5.(1) AD是⊙O的切线；(2) AD=5√3。 6. 证明BC=BD： 方法1：CD//AB，所以∠ABD=∠CDB。AB是切线，∠ABC=∠CDB（弦切角等于圆周角），故∠ABC=∠ABD，BC=BD。 方法2：连接OB、OC，OB⊥AB，OC⊥AC。CD//AB，OC⊥CD，OD⊥CD，故OC=OD，∠OCD=∠ODC。CD//AB，∠ABC=∠BCD，∠BDC=∠ABC，所以BC=BD。 7.(1) (2)半径为 8. 连接OD、OE、OA、OB、OC。 由于AB、AC是大圆的弦，且分别与小圆相切于D、E，根据切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，可得： OD⊥AB，OE⊥AC。 证明OD=OE 因为D、E是小圆上的点，OD、OE均为小圆的半径，所以OD=OE。 证明AD=AE 在Rt△ODA和Rt△OEA中： OA是公共斜边（大圆的半径）， OD=OE（小圆半径）， 根据HL全等判定定理（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等），可得： Rt△ODA ≌ Rt△OEA。 全等三角形的对应边相等，因此AD=AE。 证明AB=AC 因为AB、AC是大圆的弦，且OD⊥AB、OE⊥AC，根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，可得： OD平分AB，即AB=2AD； OE平分AC，即AC=2AE。 由AD=AE，可得AB=AC。 证明∠B=∠C 在△ABC中，AB=AC，根据等腰三角形的性质：等边对等角，可得： ∠B=∠C。 学科网（北京）股份有限公司 $