1.4用一元二次方程解决问题（基础篇）练习2025-2026学年苏科版数学九年级上册

1.4用一元二次方程解决问题 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 解一元二次方程应用题： 　　它是列一元一次方程解应用题的拓展、解题方法是相同的。其一般步骤为： 　　1．设：即适当设未知数（直接设未知数，间接设未知数），不要漏写单位名称，会用含未知数的代数式表示题目中涉及的量； 　　2．列：根据题意，列出含有未知数的等式，注意等号两边量的单位必须一致 　　3．解：解所列方程，求出解来； 　　4．验：一是检验是否为方程的解，二是检验是否为应用题的解； 　　5．答：怎么问就怎么答，注意不要漏写单位名称。 常见考法 　　（1）考查一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）：这类题目有着解题规律性强的特点，题目设置会很灵活，所以一直很吸引命题者。主要考查①根与系数的推导，有关规律的探究②已知两根或一根构造一元二次方程，这类题目一般比较开放； 　　（2）在一元二次方程和几何问题、函数问题的交汇处出题。（几何问题：主要是将数字及数字间的关系隐藏在图形中，用图形表示出来，这样的图形主要有三角形、四边形、圆等涉及到三角形三边关系、三角形全等、面积计算、体积计算、勾股定理等）； 　　（3）列一元二次方程解决实际问题，以实际生活为背景，命题广泛。（常见的题型是增长率问题，注：平均增长率公式） 　　误区提醒 　　（1）已知方程根的情况，确定字母系数的取值范围时，忽视了对二次项系数的讨论； 　　（2）忽视“方程有实根”的含义，丢掉判别式等于零的情况； 　　（3）不挖掘题目中的隐含条件导致错解； 　　（4）忽视等式的基本性质，造成失根； 　　（5）忽略实际问题中对方程的根的检验，造成错解。 型 习 练 题 传播问题 1．一名同学经过培训后，会做高锰酸钾制取氧气的实验，回到班级后，他先教会了x名同学，然后会做该实验的同学又分别教会了同样多的同学，这时恰好全班49人都会做这项实验了，根据以上情境，可列方程为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． 起始有1人会做实验，第一轮教学后增加x人，第二轮教学后增加人，总人数为49，据此列方程即可． 【详解】解：∵起始会做实验的人数为1， 第一轮教学后，新学会的人数为x，此时总会做人数为， 第二轮教学后，新学会的人数为， ∴总会做人数为， 故选：D． 2．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意得到等量关系是解题的关键． 初始1人患流感，每轮传染中平均一人传染x人，则第一轮后总人数为，第二轮后总人数为，然后根据两轮后共有81个人患了流感列方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染x个人， ∵初始患病人数为1， ∴第一轮传染后，总患病人数为， 第二轮传染时，有人每人传染x人， ∴新传染人数为， ∴第二轮后总患病人数为． 故选：B． 3．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，假设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程． 根据流感传染模型，起始1人患病，每轮传染中每人传染x人，两轮后总患病人数为，据此列方程． 【详解】解：设每轮传染中平均一人传染x人，根据题意得， ∵ 起始患病人数为1， 第一轮后患病人数为：， 第二轮后患病人数为：， 又∵ 两轮后总患病人数为49， ∴ ， 故选：B． 4．冬季流感频发，某公司有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有49人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则下列结论错误的是（    ） A．第1轮后有个人患了流感 B．第2轮又增加个人患流感 C．依题意可列方程 D．按照这样的传播速度，三轮后一共会有245人患流感 【答案】D 【分析】本题考查列代数式及一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，列出代数式和方程． 根据题意，列出代数式和方程，逐项进行分析即可． 【详解】解：A.∵ 每轮传染中平均一人传染人， ∴ 第一轮后患病人数为， 故A正确，不符合题意； B.∵ 第一轮后有人，每人传染人， ∴ 第二轮新增加 人， 故B正确，不符合题意； C.∵ 两轮后总患病人数为，且给定为 49， ∴ 列方程 ， 故C正确，不符合题意； D.解方程 ， 解得（舍去负值）， ∴ ， 三轮后总人数应为 ， 但D说245人，故错误，符合题意； 故选：D． 5．中秋佳节，小明的家庭成员都互发了一条微信祝福语，所有人发的祝福语共56条，极大地烘托了节日气氛．设小明家庭成员共有x人，则列出方程正确的是（    ） A． B． C． D．＝56 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设共有家庭成员x人，每个家庭成员向其他人各发一条祝福语，总祝福语数为条，根据共发出56条祝福语可得方程． 【详解】解：∵每人发送祝福语条数为条， ∴总祝福语数为， 根据题意，， 故选：A． 增长率问题 6．“永远太远，永州不远”．湘超永州主场的野生球场凭借“挂票”火爆出圈，一票难求．据了解，10月21日，湘超第七轮永州主场迎战长沙的门票预约人数约万人次，10月23日预约人数飙升到了万人次．设这两天的平均增长率为x，列方程正确的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的平均增长率问题，掌握知识点是解题的关键． 根据平均增长率的定义，从初始值经过连续两次增长达到最终值，列方程即可． 【详解】解：∵初始预约人数为万人次，平均增长率为x，从10月21日到10月23日，时间经过了2天， ∴． 故选：A． 7．某水蜜桃市场推行网络销售后销量从年的吨迅猛增长到年的吨，设从年到年平均年增长率为，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设从年到年平均年增长率为，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设从年到年平均年增长率为， 由题意得，， 故选：． 8．安溪藤铁工艺是国家级非物质文化遗产，其文创产品深受消费者喜爱．某藤铁文创公司今年推出一款新的茶盘，投放市场后销售喜人．已知该茶盘7月份的销量为1000件，9月份的销量为1300件，设该茶盘的销量月平均增长率为x，根据题意可列方程（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设该茶盘的销量月平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可． 【详解】设该茶盘的销量月平均增长率为x， 根据题意得， = 1300． 故选：D． 9．金秋葡萄迎丰收，“甜蜜”溢满清徐县，清徐是国内著名的葡萄产区之一，素有“葡萄之乡”的美称．2022年位于清徐县的某葡萄采摘园的年产量约为1吨，截至2024年底，三年总产量约为3.64吨．若设这三年中该采摘园葡萄的年平均增长率为x，则可列方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；根据年平均增长率，分别计算2022年、2023年、2024年的产量，三年产量之和等于总产量3.64吨． 【详解】解：设年平均增长率为， ∵ 2022年产量为1吨， 2023年产量为吨， 2024年产量为吨， 三年总产量为， ∴ 所列方程为． 故选：C． 10．福州花花工艺品厂一月份生产脱胎漆器50万个，三月份生产脱胎漆器60.5万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程应用中的增长率问题，根据平均每月增长率模型，从一月至三月经过两个月增长，三月份产量应为一月份产量乘以，即可解答． 【详解】解：设该厂二、三月份平均每月的增长率为， 根据题意，得． 故选：C． 营销问题 11．某商场销售某种纪念品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为扩大销售，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，纪念品的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批纪念品每天盈利1250元，那么纪念品的单价降了多少元？设纪念品的单价降了元，则满足的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键．设纪念品的单价降了元，则每件盈利元，平均每天可售出件，根据每天盈利平均每天的销售量每件盈利建立方程即可得． 【详解】解：设纪念品的单价降了元，则每件盈利元，平均每天可售出件， ∵降价后商场销售这批纪念品每天盈利1250元， ∴可列方程为， 故选：C． 12．某商店销售一种文具，若每个盈利5元，每天可售出200个，经市场调查发现，若每个涨价1元，每天销售量就减少10个，现商店想每天盈利1500元，则每个应涨价（    ） A．5元 B．15元 C．5元或10元 D．5元或15元 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设涨价元，根据单个利润销售量每天盈利，列出一元二次方程，求解即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设涨价元， 由题意可得：， 解得或， ∴现商店想每天盈利1500元，则每个应涨价5元或10元， 故选：C． 13．某商品的进价为每件40元，当售价为每件80元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元．若设店主把该商品每件售价降低x元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，准确分析找出等量关系列出方程是解题的关键． 先根据售价降低元，分别计算出每件商品的利润和销售量，再利用总利润每件利润销售量列出方程，即可得解． 【详解】解：原来售价为每件元，进价为每件元，利润为每件元，又每件售价降低元后，利润为每件元； 每降低1元，每星期可多卖出件，所以每件售价降低元，每星期可多卖出件，现在的销量为件， 根据题意得：． 故选． 14．某超市销售一批羽绒服，平均每天可售24件，每件盈利50元，为扩大销售增加盈利，超市决定适当降价，如果每件羽绒服降价1元，平均每天可多售出3件，如果超市要保证平均每天盈利2520元，同时又要顾客得到实惠，那么每件羽绒服应降价多少元？设每件羽绒服应降价元，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键．先求出每件羽绒服的盈利为元，平均每天的销量为件，再根据利润每件的盈利平均每天的销量列出方程即可得． 【详解】解：设每件羽绒服应降价元，则每件羽绒服的盈利为元，平均每天的销量为件， 则可列方程为． 故选：D． 15．水果店用1500元进了一批水果，按的利润定价，无人购买．决定打折出售，仍然无人购买，结果又一次打折后全部售出．经结算，这批水果共盈利元，已知两次打折的折扣相同，求每次的折扣是（   ） A．折 B．8折 C．折 D．9折 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 设每次打了x折，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：设每次打了x折，根据题意得， ， 解得：（舍去）， ∴每次打了折． 故选C． 工程问题 16．列方程解下列问题： 甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时比乙多生产10个，甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同． (1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？ (2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件数量比原来增长了，乙每小时比原来多生产个零件，甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，求的值． 【答案】(1)甲每小时生产60个零件， 则乙每小时生产50个零件 (2)10 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元二次方程的实际应用，根据题意，得到等量关系是解题的关键． （1）设甲每小时生产x个零件， 则乙每小时生产个零件，根据“甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同．”列出方程，即可求解； （2）先求出更换设备后，甲每小时生产的零件数量为，乙每小时生产个零件，根据“甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，” 列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设甲每小时生产x个零件， 则乙每小时生产个零件，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意，此时， 答：甲每小时生产60个零件， 则乙每小时生产50个零件； （2）解：更换设备后，甲每小时生产的零件数量为，乙每小时生产个零件，根据题意得： ， 整理得：， 解得：（舍去）， 即m的值为10． 17．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)增加4条或条生产线 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设增加x条生产线． ， 解得，， 答：增加4条或条生产线． 18．某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 【答案】6 【分析】本题主要考查了可化为一元二次方程的分式方程的应用，正确的找出等量关系列出方程是解题的关键．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，在本题中“开工后每天比原计划多栽2棵”和“提前4天完成任务”，就是两个相等关系．根据题目所要解决的问题，选择第二个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数． 【详解】解：设原计划每天栽x棵，那么原计划完成任务所需的天数为，实际每天栽棵树棵，实际完成任务所需的天数为， 依题意列方程得： ， 整理得： 解方程得：（舍去） 故原计划每天栽6棵桂花树． 19．甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元 (2)的值为 【分析】（1）设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，根据题意列方程即可求解； （2）根据题意分别表示出甲、乙每天的实际工作量，实际成本，根据数量关系列方程即可求解． 【详解】（1）解：设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元， ∴，解得，， ∴甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元． （2）解：由（1）可知，甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元， ∴实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，则甲每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖，则甲每天实际完成量为米，乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，则乙每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖米，则乙每天实际完成量为米，终每天实际总成本比计划多万元，则最中每天的实际总成本为万元， ∴，整理得，，解得，，（不符合题意，舍去）， ∴的值为． 【点睛】本题主要考查方程与实际问题的综合，理解题目中的数量关系，掌握列方程的方法，解一元一次方程，一元二次方程的方法是解题的关键． 20．为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 【答案】每天加固的长度还要再增加64米 【分析】设现在计划每天加固的长度为x米，则原计划每天加固的长度为米，根据“现计划比原计划所需天数缩短2天”列分式方程，即可求解． 【详解】解：设现在计划每天加固的长度为x米， 由题意知：， 整理可得：， 解得，（舍）， 经检验，是所列分式方程的解， 即现在计划每天加固的长度为160米， （米）， 因此每天加固的长度还要再增加64米． 【点睛】本题考查分式方程的实际应用、解一元二次方程，解题的关键是根据所给等量关系列出分式方程，求出解后注意检验． 行程问题 21．一敌方军舰以20海里/时的速度由西向东航行，我方侦察船以30海里/时的速度由北向南航行，它能侦察出周围50海里（包括50海里）范围内的目标．如图所示，当该敌方军舰航行至处时，我方侦察船正位于处正北方向的处，且海里．若敌方军舰和我方侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中我方侦察船最早何时能侦察到敌方军舰？ 【答案】最早再过2小时能侦察到． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能找出军舰和侦察船的距离关系，利用勾股定理正确列出一元二次方程． 设侦察船由B出发到侦察到这艘军舰经过的时间是x小时，由题中信息可以知道军舰和侦察船的行驶方向互相垂直，所以军船和侦察船的距离和时间的关系式是：时侦察船可侦察到这艘军舰，解即可求时间x． 【详解】解：能．设侦察船最早由B出发经过x小时侦察到军舰， 则， 得：， 整理得， 即， ∴， ∴， 即当经过2小时至小时时，侦察船能侦察到这艘军舰． ∴最早再过2小时能侦察到． 22．一辆正以8米/秒的速度沿直线行驶汽车，突然速度每秒增加1米/秒． (1)汽车行驶5秒时的速度为______米/秒． (2)求汽车行驶了18米时的速度． (3)当汽车行驶了x秒，行驶的距离为y米时，直接写出y关于x的函数解析式． （提示：距离=平均速度时间t，，其中，是开始时的速度，是t秒时的速度．） 【答案】(1)13 (2)10米/秒 (3) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，函数关系式的建立等知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）根据速度每秒增加1米，则5秒速度增加到（米/秒）； （2）设汽车行驶了x秒，则此时的速度为米/秒，根据“距离=平均速度时间t，”列方程求解； （3）根据“距离=平均速度时间t，”建立函数关系式． 【详解】（1）解：（米/秒）， 故答案为：13； （2）解：设汽车行驶了x秒，则此时的速度为米/秒． 根据题意，得． 解得，（舍去）． 米/秒 答：汽车行驶了18米时的速度为10米/秒． （3）解：由题意得， ∴． 23．如图，小岛在码头正东方向的80海里处．已知当轮船甲从码头出发以海里小时的速度向正南方向行驶时，轮船乙同时从小岛出发以海里小时的速度向码头行驶． (1)两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为海里？ (2)若轮船甲给正南方向的小岛运送物质，当轮船甲到达小岛后，发现运送物质不足，此时行驶到处的轮船乙接到轮船甲发出的补充物质指令后，沿方向前往小岛进行物质补充．若两艘轮船在上午时出发，轮船乙在上午时到达小岛，试通过计算说明轮船甲何时向轮船乙发出需要补充物质的指令？ 【答案】(1)或小时； (2)上午时． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设轮船出发小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里，则轮船甲与码头的距离为海里，轮船乙与码头的距离为海里，根据题意得可，然后解方程即可； （）设轮船甲出发小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则海里，海里，海里，海里，根据勾股定理得得，则有，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：设轮船出发小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里，则轮船甲与码头的距离为海里，轮船乙与码头的距离为海里， 根据题意得可， 解得：，， 答：两艘轮船出发或小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里； （2）解：设轮船甲出发小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则海里，海里，海里，海里， 在中，由勾股定理，得， 即， 整理，得， 解得，（不符合题意．舍去）． ∴， 答：轮船甲在上午时向轮船乙发出需要补充物质的指令． 24．在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少___________米/秒，从开始到滚动了秒后小球的速度为___________米/秒； (2)小球滚动24米用了多少秒？ 【答案】(1)2， (2)4秒 【分析】本题考查了一元二次方程在匀变速直线运动中的应用，涉及平均速度公式、路程公式．解题用到的思想是方程思想，方法是根据题意建立速度、时间、路程的数量关系，通过列方程求解；解题关键是理解匀变速直线运动中平均速度的计算方法（初末速度的算术平均数）以及路程公式即的应用；易错点是在求解时间时，忽略小球停止运动的时间限制（5秒），导致误选不符合实际的解． （1）根据“速度均匀减少”的特点，用初速度与停止时的速度差除以时间可求每秒速度减少量；再根据速度减少规律，得出t秒后的速度表达式． （2）先根据平均速度公式求出时间段内的平均速度，再结合路程公式即建立关于时间t的一元二次方程，求解后结合小球停止时间的限制，舍去不符合实际的解，得到最终时间． 【详解】（1）根据题意，小球平均每秒速度减少量为：（米/秒）． 从开始滚动t秒后，速度减少了米/秒，所以此时速度为：（米/秒）． 故答案为：2，． （2）根据题意，平均速度． 因为运动路程即，且米， 解得，． 因为小球5秒后停止运动，不符合实际情况，舍去． 答：小球滚动24米用了4秒． 25．一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒少 ． (2)已知小球滚动用了秒．（温馨提示：表示小球滚动秒时的瞬时速度，平均速度，滚动路程） ①求这段时间内小球的平均速度（用含的整式表示） ②求值． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用． （1）从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间，再进一步求解即可. （2）①利用列代数式即可； ②利用建立一元二次方程求解即可. 【详解】（1）解：从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间， 即， 故小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：①这段时间内小球的平均速度； ②由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵， ∴不符合题意， ∴. 图表问题 26．乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 12.1亿元 (1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？ (2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票 【答案】(1)10% (2)2500000张 【分析】（1）设平均每次累计票房增长的百分率是，利用第3次累计票房=第1次累计票房（1+平均每次累计票房增长的百分率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用数量=总结单价，即可求出结论； 【详解】（1）解：设平均每次累计票房增长的百分率是， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：平均每次累计票房增长的百分率是10%． （2）解： （张）． 答：10月11日卖出2500000张电影票． （或（张）．） 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 27．疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我校很多老师在繁重的课务之余承担起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”．据多日检测结果调查发现一个熟能生巧的现象，当每位大白检测人数是人时，每位同学人均检测时间是秒，而检测人数每提高人，人均就少耗时秒（若每位大白的检测人数不超过人，设人均少耗时秒）． (1)补全下列表格： 检测人数（人） 人均检测时间（秒） (2)某位大白一节课（）刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？ 【答案】(1)40，，29，26 (2)他今日检测总人数为人 【分析】（1）设检测人数为y，人均检测时间为t（秒），由题意可得出y、t与x之间的函数关系式，即可补全表格； （2）根据人均检测时间×检测人数＝总检测时间，可得关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设检测人数为，人均检测时间为秒， 由题意得：、， 补全表格如下： 检测人数人 人均检测时间秒 （2）解：由题意得，， 解得，， 当时，检测总人数为人， 每位大白的检测人数不超过人， 不符合题意，舍去， 当时，检测总人数为人， 答：他今日检测总人数为人． 【点睛】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据条件建立函数关系是解决本题的关键． 28．某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费． (1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示） (2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少． 月份 用电量/度 交电费总数/元 2月 80 25 3月 45 10 【答案】(1)x（90－x）元 (2)50度 【分析】（1）根据题意可得用电90度超过了规定度数（90－x）度，再由超过部分按每度元交电费，即可求解； （2）根据题意可得2月份用电量超过x度，列出方程，再由3月份用电45度只交电费10元，可得x≥45，即可求解． 【详解】（1）解：∵规定用电x度， ∴用电90度超过了规定度数（90－x）度， ∵超过部分按每度元交电费， ∴超过部分应交的电费为x（90－x）元． （2）解∶2月份用电量超过x度，依题意得 x（80－x）＝25－10． 整理得x2－80x＋1500＝0． 解这个方程得x1＝30，x2＝50． 根据题意得：3月份用电45度只交电费10元， ∴电厂规定的x≥45， ∴x1＝30不合题意，舍去． ∴x＝50． 答：电厂规定的x度为50度． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 29．某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费． （1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？ （2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况： 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 18 62 5 24 86 根据上表数据，求规定用水量a的值 【答案】（1） ；（2）10 【分析】（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨，然后根据“用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，即可求解； （2）若 ，可得 ，从而得到 ，再由“用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，列出方程，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨， 元； （2）若 ，有 ，解得： ，即 ，不合题意，舍去， ∴ ， 根据题意得： ， 解得： （舍去）， 答：规定用水量a的值为10吨． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 30．近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费＋污水处理费）． （1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元； （2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况； 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 7 70 5 5 40 根据上表数据，求规定用水量a的值． 【答案】（1）用户应交水费10+40a﹣5a2元；（2）a的值为3． 【分析】（1）根据总费用＝10+超出费用列出代数式即可； （2）根据题意分别列出5a（7﹣a）+10＝70，5a（5﹣a）+10＝40，取满足两个方程的a的值即为本题答案． 【详解】解：（1）3月份应交水费10+5a（8﹣a）＝（10+40a﹣5a2）元； （2）由题意得：5a（7﹣a）+10＝70， 解得：a＝3或a＝4 5a（5﹣a）+10＝40 解得：a＝3或a＝2， 综上，规定用水量为3吨． 则规定用水量a的值为3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解本题的水费收取标准． 握手循环赛问题 31．淮畔青春，“足”够精彩．10月18日，2025年淮南市高校足球联赛在市奥体广场中心开幕，已知在小组赛阶段，所有队伍采用单循环赛制（每两队之间比赛一次），本次联赛计划安排55场比赛，请问共有多少支球队参加了2025年淮南市高校足球联赛？ 【答案】共有11支球队参加了2025年淮南市高校足球联赛 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握握手、循环赛问题是解题的关键．设共有支球队参加了2025年淮南市高校足球联赛，根据“所有参赛队伍采用单循环赛制（每两队之间比赛一次）已知联赛计划安排55场比赛”建立方程求解即可． 【详解】解：（1）设共有x支球队参加了2025年淮南市高校足球联赛， 根据题意可得：， 整理得：，， 解得：或（舍）． 答：共有11支球队参加了2025年淮南市高校足球联赛． 32．2025年江西省举行赣超足球联赛，宜春和赣州最终联手进入决赛． 本次比赛第一阶段采取分区对抗，分为南、北两区，南区6个队，北区n个队，每个区进行双循环小组积分赛（每个市派一个队，每两个队间进行两场比赛），各区取前四晋级决赛． (1)宜春队作为南区强队在第一阶段以小组第一晋级，问：宜春队第一阶段共参与了____场比赛． (2)如果北区第一阶段比赛总场数为20场，求 n 的值． 【答案】(1)10 (2)5 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确地列出方程是解题的关键： （1）根据每个市派一个队，每两个队间进行两场比赛，列出算式进行计算即可； （2）根据每个市派一个队，每两个队间进行两场比赛，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，宜春队要跟其他的5个队各踢2场， ∴宜春队第一阶段共参与（场）比赛； 故答案为：10； （2）由题意，， 整理，得：， 解得或（舍去）； 故． 33．为丰富学生校园生活，学校计划组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式，计划安排45场比赛，共有多少支球队参加比赛? 【答案】10 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握单循环赛制的比赛场数计算公式（其中为球队数量）是解题的关键．通过设球队数量为未知数，根据单循环赛制的比赛场数计算公式建立方程，进而求解球队数量． 【详解】解：设共有支球队参加比赛．由题意可得 ， ， 解得，（球队数量不能为负数，舍去）， 答：共有支球队参加比赛. 34．北京时间2025年8月25日凌晨，WTT欧洲大满贯瑞典站女单决赛，孙颖莎战胜王曼昱，夺得WTT欧洲大满贯瑞典站女单冠军．趁此机会，某班举行乒乓球赛，球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），如图是小米和小诚对比赛总场数的统计． (1)小诚的说法有道理吗？请通过计算说明； (2)赛后经查询，小米的统计正确．因为有一人身体不适，参加4场比赛后中途退赛，求原来有多少人参加比赛． 【答案】(1)小诚的说法有道理，见解析 (2)原来有9人参加比赛 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）设有人报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （2）设原来有人参加比赛，设有一人比赛了场后退出比赛，可得方程，整理并求解即可． 【详解】（1）解：小诚的说法有道理．理由如下： 设有人报名参赛，由题意，得， 整理得． 解得． 与都不是整数， 方程的解不符合实际，故小诚的说法有道理． （2）解：设原来有人参加比赛， 由题意，得， 整理得． 解得（不符合题意，舍去）． 原来有9人参加比赛． 其它问题 35．在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次． (1)若参加聚会的人数为3，则共握手 次；若参加聚会的人数为6，则共握手 次； (2)若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数； (3)若在的内部由顶点引出条射线（不含边），角的总数可能为20吗？为什么？ 【答案】(1)3；15 (2)10人 (3)不可能；理由见解析 【分析】本题考查了数字类规律探索、一元二次方程的应用，正确归纳推出一般规律是解题关键． （1）根据每两个人见面必须握手，且只握手1次即可得； （2）先求出参加聚会的人数为时，共握手的次数，再归纳推出一般规律，令，解一元二次方程即可得； （3）参照（2）的规律，归纳推出一般规律，再令其等于20，解一元二次方程，由此即可得． 【详解】（1）解：由题意可知，若参加聚会的人数为3，则共握手（次）， 若参加聚会的人数为6，则共握手（次）． （2）解：由题意可知，参加聚会的人数为1，则共握手次， 参加聚会的人数为2，则共握手次， 参加聚会的人数为3，则共握手次， 参加聚会的人数为4，则共握手次， 归纳类推得：若参加聚会的人数为（为正整数），则共握手次， 若参加聚会的人共握手45次， 则， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：参加聚会的人数为10人． （3）解：角的总数不可能是20；理由如下： 若在的内部由顶点引出1条射线（不含，边），角的总数为个， 若在的内部由顶点引出2条射线（不含，边），角的总数为个， 若在的内部由顶点引出3条射线（不含，边），角的总数为个， 归纳类推得：若在的内部由顶点引出条射线（不含，边），角的总数为个， 令，即， 解得或（均不是正整数，不符合题意，舍去）， 所以角的总数不可能为20个． 36．学校举行课外研学活动，需要实验器材和共套，已知实验器材的售价为元套，实验器材的售价为元套．现商家优惠销售，当购买器材的数量超过套时，每增加套，每套的价格降低元，为保障盈利，每套售价不可低于元；器材每套按九折销售．设学校购买套器材． (1)根据以上信息完成填表： 实验器材 数量（套） 销售单价（元/套） ＿＿ (2)若学校购买这批实验器材的总价为元，则学校应购买实验器材和各多少套？ 【答案】(1)见解析 (2)实验器材为套，实验器材为套 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用． （1）根据已知条件列式计算即可； （2）设实验器材A为x套，则实验器材B为套，根据订购这批实验器材总价为5300元，列出一元二次方程，解方程取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：∵器材A数量超过5套时，每增加1套，每套的价格降低2元，为保障盈利，每套售价不可低于150元， ∴实验器材A的数量为x套，实验器材A的销售单价为：（元/套）， 实验器材B的数量为套，实验器材B的销售单价为：（元/套）， 填表如下： 实验器材 数量（套） 销售单价（元/套） A x B 90 （2）解：设实验器材A为x套，则实验器材B为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意， 当时，，不合题意，舍去， ∴，， 答：实验器材A为10套，实验器材B为40套． 37．某风景区的旅游信息如下表： 旅游人数 收费标准 不超过30人 人均收费800元 超过30人 每增加1人，人均收费降低10元，但人均收费不低于550元． (1)一个25人的老年团去该风景区旅游共需支付_____元； (2)某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付旅行费用29250元．请求出参加这次旅游的人数． 【答案】(1)20000 (2)45人 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用（分段收费问题），解题的关键是根据人数范围确定收费标准，列方程并检验解的合理性． （1）判断25人在“不超过30人”的收费范围，用“人数人均收费”计算费用； （2）先判断人数超过30人，根据“人数×（原人均收费降低的费用）总费用”列方程，求解后检验人均收费是否符合“不低于550元”的条件，确定最终人数． 【详解】（1）解：由题意得（元） 应该支付20000元． 故答案为：20000 （2）设参加这次旅游的人数是人， （元），， ． 根据题意得：． 解得：，， 当时，人均旅游费用为，符合题意， 当时，人均旅游费用为，不符合题意，舍去． 答：参加这次旅游的有45人． 38．额尔古纳湿地位于内蒙古自治区呼伦贝尔市，是亚洲面积最大，保存最完好的木本湿地系统，被誉为亚洲第一湿地．为了吸引游客组团来旅游，特推出了如下门票标准：标准一：如果人数不超过20人，门票价格为70元/人； 标准二：如果人数超过20人，每超过1人，门票价格降低2元，但门票价格不低于55元／人． (1)若某单位组织22人去额尔古纳湿地旅游，购买门票费用为___________元； (2)若某单位支付该景区门票费用共计1500元，试求该单位共有多少名员工去该景区旅游． 【答案】(1)1452 (2)25名 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数的混合运算，解决本题关键是读懂题意，建立等式列方程． （1）根据标准二先求解门票，即可求解总费用； （2）根据费用共计1500元，则人数超过20人，则根据标准二建立等式列方程即可． 【详解】（1）解：门票价格为（元／人）， ∴（元 ）， 故答案为：1452； （2）解：设该单位有名员工去该景区旅游， 则可列方程：， 整理得：， 解得：， 当时，， 当时， 舍去， 该单位共有25名员工去该景区旅游． 39．某科技团队研发的机器人能够进行舞蹈表演，其表演队形随音乐节奏动态调整．在一次表演中，开场阶段参加表演的所有机器人整齐排列，组成一个正方形方阵．当音乐推进至高潮部分，表演队形发生变化，首先有4个机器人出列，在舞台的最前方担任领舞，其余机器人则迅速调整站位组成一个长方形方阵．该长方形方阵的列数比原来的2倍少1，行数比原来少4．求此次参加表演的机器人的总个数． 【答案】64个 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意设原正方形方阵每边有n个机器人，则总数为．进一步得到出列后剩余机器人数为．结合长方形方阵的列数和行数的变化列出等式求解，根据长方形的边长排除不合理根即可． 【详解】解：设原正方形方阵每边有n个机器人，则总数为． 出列4个机器人后，剩余机器人数为． 长方形方阵的列数为，行数为． 根据题意，有， 化简得，，解得或， ∵时，行数（不合理）， ∴． 总机器人数为． 答：此次参加表演的机器人的总个数为64． 40．某风景区的旅游信息如下表： 旅游人数 收费标准 不超过30人 人均收费800元 超过30人 每增加1人，人均收费降低10元，但人均收费不低于550元． 某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付旅行费用29250元． (1)请求出参加这次旅游的人数； (2)若该公司又组织第二批员工50人到该风景区旅游并支付了这批员工的费用．如果这两批员工合并成一批去旅游，则该公司可节约旅游费用多少元？ 【答案】(1)参加这次旅游的有45人 (2)该公司可节约旅游费用元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用及有理数四则运算的实际应用．此类题目贴近生活，有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能力．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）设参加这次旅游的人数是x人，求出人数为30时的旅游费用，比较后可得出，根据旅游费用人数人均费用，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）分别求出两批员工单独支付的费用和合并成一批支付的费用作差即可． 【详解】（1）解：设参加这次旅游的人数是x人， ∵（元），， ∴． 根据题意得：， 解得：，， 当时，人均旅游费用为，符合题意， 当时，人均旅游费用为，不符合题意，舍去． 答：参加这次旅游的有45人． （2）解：∵， ∴第二批员工支付费用为（元）， 则两批员工单独支付的总费用为 （元）， 若这两批员工合并成一批去旅游，， ， 则两批员工合并成一批去旅游支付费用为（元）， 则该公司可节约旅游费为（元）， 答：该公司可节约旅游费用元． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4用一元二次方程解决问题 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 解一元二次方程应用题： 　　它是列一元一次方程解应用题的拓展、解题方法是相同的。其一般步骤为： 　　1．设：即适当设未知数（直接设未知数，间接设未知数），不要漏写单位名称，会用含未知数的代数式表示题目中涉及的量； 　　2．列：根据题意，列出含有未知数的等式，注意等号两边量的单位必须一致 　　3．解：解所列方程，求出解来； 　　4．验：一是检验是否为方程的解，二是检验是否为应用题的解； 　　5．答：怎么问就怎么答，注意不要漏写单位名称。 常见考法 　　（1）考查一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）：这类题目有着解题规律性强的特点，题目设置会很灵活，所以一直很吸引命题者。主要考查①根与系数的推导，有关规律的探究②已知两根或一根构造一元二次方程，这类题目一般比较开放； 　　（2）在一元二次方程和几何问题、函数问题的交汇处出题。（几何问题：主要是将数字及数字间的关系隐藏在图形中，用图形表示出来，这样的图形主要有三角形、四边形、圆等涉及到三角形三边关系、三角形全等、面积计算、体积计算、勾股定理等）； 　　（3）列一元二次方程解决实际问题，以实际生活为背景，命题广泛。（常见的题型是增长率问题，注：平均增长率公式） 　　误区提醒 　　（1）已知方程根的情况，确定字母系数的取值范围时，忽视了对二次项系数的讨论； 　　（2）忽视“方程有实根”的含义，丢掉判别式等于零的情况； 　　（3）不挖掘题目中的隐含条件导致错解； 　　（4）忽视等式的基本性质，造成失根； 　　（5）忽略实际问题中对方程的根的检验，造成错解。 型 习 练 题 传播问题 1．一名同学经过培训后，会做高锰酸钾制取氧气的实验，回到班级后，他先教会了x名同学，然后会做该实验的同学又分别教会了同样多的同学，这时恰好全班49人都会做这项实验了，根据以上情境，可列方程为（） A． B． C． D． 2．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（   ） A． B． C． D． 3．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，假设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．冬季流感频发，某公司有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有49人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则下列结论错误的是（    ） A．第1轮后有个人患了流感 B．第2轮又增加个人患流感 C．依题意可列方程 D．按照这样的传播速度，三轮后一共会有245人患流感 5．中秋佳节，小明的家庭成员都互发了一条微信祝福语，所有人发的祝福语共56条，极大地烘托了节日气氛．设小明家庭成员共有x人，则列出方程正确的是（    ） A． B． C． D．＝56 增长率问题 6．“永远太远，永州不远”．湘超永州主场的野生球场凭借“挂票”火爆出圈，一票难求．据了解，10月21日，湘超第七轮永州主场迎战长沙的门票预约人数约万人次，10月23日预约人数飙升到了万人次．设这两天的平均增长率为x，列方程正确的是（） A． B． C． D． 7．某水蜜桃市场推行网络销售后销量从年的吨迅猛增长到年的吨，设从年到年平均年增长率为，则可列方程（    ） A． B． C． D． 8．安溪藤铁工艺是国家级非物质文化遗产，其文创产品深受消费者喜爱．某藤铁文创公司今年推出一款新的茶盘，投放市场后销售喜人．已知该茶盘7月份的销量为1000件，9月份的销量为1300件，设该茶盘的销量月平均增长率为x，根据题意可列方程（  ） A． B． C． D． 9．金秋葡萄迎丰收，“甜蜜”溢满清徐县，清徐是国内著名的葡萄产区之一，素有“葡萄之乡”的美称．2022年位于清徐县的某葡萄采摘园的年产量约为1吨，截至2024年底，三年总产量约为3.64吨．若设这三年中该采摘园葡萄的年平均增长率为x，则可列方程为(   ) A． B． C． D． 10．福州花花工艺品厂一月份生产脱胎漆器50万个，三月份生产脱胎漆器60.5万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 营销问题 11．某商场销售某种纪念品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为扩大销售，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，纪念品的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批纪念品每天盈利1250元，那么纪念品的单价降了多少元？设纪念品的单价降了元，则满足的方程为（　　） A． B． C． D． 12．某商店销售一种文具，若每个盈利5元，每天可售出200个，经市场调查发现，若每个涨价1元，每天销售量就减少10个，现商店想每天盈利1500元，则每个应涨价（    ） A．5元 B．15元 C．5元或10元 D．5元或15元 13．某商品的进价为每件40元，当售价为每件80元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元．若设店主把该商品每件售价降低x元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 14．某超市销售一批羽绒服，平均每天可售24件，每件盈利50元，为扩大销售增加盈利，超市决定适当降价，如果每件羽绒服降价1元，平均每天可多售出3件，如果超市要保证平均每天盈利2520元，同时又要顾客得到实惠，那么每件羽绒服应降价多少元？设每件羽绒服应降价元，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 15．水果店用1500元进了一批水果，按的利润定价，无人购买．决定打折出售，仍然无人购买，结果又一次打折后全部售出．经结算，这批水果共盈利元，已知两次打折的折扣相同，求每次的折扣是（   ） A．折 B．8折 C．折 D．9折 工程问题 16．列方程解下列问题： 甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时比乙多生产10个，甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同． (1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？ (2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件数量比原来增长了，乙每小时比原来多生产个零件，甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，求的值． 17．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 18．某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 19．甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 20．为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 行程问题 21．一敌方军舰以20海里/时的速度由西向东航行，我方侦察船以30海里/时的速度由北向南航行，它能侦察出周围50海里（包括50海里）范围内的目标．如图所示，当该敌方军舰航行至处时，我方侦察船正位于处正北方向的处，且海里．若敌方军舰和我方侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中我方侦察船最早何时能侦察到敌方军舰？ 22．一辆正以8米/秒的速度沿直线行驶汽车，突然速度每秒增加1米/秒． (1)汽车行驶5秒时的速度为______米/秒． (2)求汽车行驶了18米时的速度． (3)当汽车行驶了x秒，行驶的距离为y米时，直接写出y关于x的函数解析式． （提示：距离=平均速度时间t，，其中，是开始时的速度，是t秒时的速度．） 23．如图，小岛在码头正东方向的80海里处．已知当轮船甲从码头出发以海里小时的速度向正南方向行驶时，轮船乙同时从小岛出发以海里小时的速度向码头行驶． (1)两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为海里？ (2)若轮船甲给正南方向的小岛运送物质，当轮船甲到达小岛后，发现运送物质不足，此时行驶到处的轮船乙接到轮船甲发出的补充物质指令后，沿方向前往小岛进行物质补充．若两艘轮船在上午时出发，轮船乙在上午时到达小岛，试通过计算说明轮船甲何时向轮船乙发出需要补充物质的指令？ 24．在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少___________米/秒，从开始到滚动了秒后小球的速度为___________米/秒； (2)小球滚动24米用了多少秒？ 25．一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒少 ． (2)已知小球滚动用了秒．（温馨提示：表示小球滚动秒时的瞬时速度，平均速度，滚动路程） ①求这段时间内小球的平均速度（用含的整式表示） ②求值． 图表问题 26．乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 12.1亿元 (1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？ (2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票 27．疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我校很多老师在繁重的课务之余承担起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”．据多日检测结果调查发现一个熟能生巧的现象，当每位大白检测人数是人时，每位同学人均检测时间是秒，而检测人数每提高人，人均就少耗时秒（若每位大白的检测人数不超过人，设人均少耗时秒）． (1)补全下列表格： 检测人数（人） 人均检测时间（秒） (2)某位大白一节课（）刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？ 28．某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费． (1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示） (2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少． 月份 用电量/度 交电费总数/元 2月 80 25 3月 45 10 29．某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费． （1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？ （2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况： 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 18 62 5 24 86 根据上表数据，求规定用水量a的值 30．近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费＋污水处理费）． （1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元； （2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况； 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 7 70 5 5 40 根据上表数据，求规定用水量a的值． 握手循环赛问题 31．淮畔青春，“足”够精彩．10月18日，2025年淮南市高校足球联赛在市奥体广场中心开幕，已知在小组赛阶段，所有队伍采用单循环赛制（每两队之间比赛一次），本次联赛计划安排55场比赛，请问共有多少支球队参加了2025年淮南市高校足球联赛？ 32．2025年江西省举行赣超足球联赛，宜春和赣州最终联手进入决赛． 本次比赛第一阶段采取分区对抗，分为南、北两区，南区6个队，北区n个队，每个区进行双循环小组积分赛（每个市派一个队，每两个队间进行两场比赛），各区取前四晋级决赛． (1)宜春队作为南区强队在第一阶段以小组第一晋级，问：宜春队第一阶段共参与了____场比赛． (2)如果北区第一阶段比赛总场数为20场，求 n 的值． 33．为丰富学生校园生活，学校计划组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式，计划安排45场比赛，共有多少支球队参加比赛? 34．北京时间2025年8月25日凌晨，WTT欧洲大满贯瑞典站女单决赛，孙颖莎战胜王曼昱，夺得WTT欧洲大满贯瑞典站女单冠军．趁此机会，某班举行乒乓球赛，球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），如图是小米和小诚对比赛总场数的统计． (1)小诚的说法有道理吗？请通过计算说明； (2)赛后经查询，小米的统计正确．因为有一人身体不适，参加4场比赛后中途退赛，求原来有多少人参加比赛． 35．在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次． (1)若参加聚会的人数为3，则共握手 次；若参加聚会的人数为6，则共握手 次； (2)若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数； (3)若在的内部由顶点引出条射线（不含边），角的总数可能为20吗？为什么？ 其它问题 36．学校举行课外研学活动，需要实验器材和共套，已知实验器材的售价为元套，实验器材的售价为元套．现商家优惠销售，当购买器材的数量超过套时，每增加套，每套的价格降低元，为保障盈利，每套售价不可低于元；器材每套按九折销售．设学校购买套器材． (1)根据以上信息完成填表： 实验器材 数量（套） 销售单价（元/套） ＿＿ (2)若学校购买这批实验器材的总价为元，则学校应购买实验器材和各多少套？ 37．某风景区的旅游信息如下表： 旅游人数 收费标准 不超过30人 人均收费800元 超过30人 每增加1人，人均收费降低10元，但人均收费不低于550元． (1)一个25人的老年团去该风景区旅游共需支付_____元； (2)某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付旅行费用29250元．请求出参加这次旅游的人数． 38．额尔古纳湿地位于内蒙古自治区呼伦贝尔市，是亚洲面积最大，保存最完好的木本湿地系统，被誉为亚洲第一湿地．为了吸引游客组团来旅游，特推出了如下门票标准：标准一：如果人数不超过20人，门票价格为70元/人； 标准二：如果人数超过20人，每超过1人，门票价格降低2元，但门票价格不低于55元／人． (1)若某单位组织22人去额尔古纳湿地旅游，购买门票费用为___________元； (2)若某单位支付该景区门票费用共计1500元，试求该单位共有多少名员工去该景区旅游． 39．某科技团队研发的机器人能够进行舞蹈表演，其表演队形随音乐节奏动态调整．在一次表演中，开场阶段参加表演的所有机器人整齐排列，组成一个正方形方阵．当音乐推进至高潮部分，表演队形发生变化，首先有4个机器人出列，在舞台的最前方担任领舞，其余机器人则迅速调整站位组成一个长方形方阵．该长方形方阵的列数比原来的2倍少1，行数比原来少4．求此次参加表演的机器人的总个数． 40．某风景区的旅游信息如下表： 旅游人数 收费标准 不超过30人 人均收费800元 超过30人 每增加1人，人均收费降低10元，但人均收费不低于550元． 某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付旅行费用29250元． (1)请求出参加这次旅游的人数； (2)若该公司又组织第二批员工50人到该风景区旅游并支付了这批员工的费用．如果这两批员工合并成一批去旅游，则该公司可节约旅游费用多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $