22.3 实际问题与二次函数（图形问题）同步练习 2025-2026学年人教版（2012）数学九年级上册

22.3 实际问题与二次函数（图形问题）同步练习 一、单选题 1．对角线互相垂直的四边形为垂美四边形．已知垂美四边形的对角线、满足，则四边形的面积最大值是（    ） A． B． C． D． 2．小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则y与x的函数关系式是（　） A． B． C． D． 3．用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为x（），则窗框的透光面积关于x（）的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 4．在某市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地．如图，自建房占地是边长为的正方形，改建的绿地的是矩形，其中点E在上，点G在的延长线上，且．那么当为多少时，绿地的面积最大？（　　） A． B． C． D． 5．把一根长为的铁丝折成一个矩形，当矩形的一边长为时，它的面积为，则下列结论正确的是（    ） A．有最大值为1 B．有最大值为4 C．有最小值为1 D．有最小值为4 6．如图，在一个直角三角形内部作一个矩形，其中和分别在两直角边上，如果设矩形的一边的长为，要使矩形面积最大，的取值为（   ） A． B． C． D． 7．如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为．有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为．其中，正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D． 8．如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为，门宽为．若饲养室长为，占地面积为，则关于的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，用一段长为15米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园，设边长为x米，则菜园面积y平方米与x米之间的函数关系式为 ． 10．如图，线段，点是线段上的动点（且不与，重合），将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，在的上方作，使，，，连接，当最小时，的面积为 ． 11．如图，在四边形中，是边上的动点，，连接为的中点，连接，若，，则的最小值是 ． 12．现用长为的材料，做成一个如图所示的窗户框架，该窗户框架中分割出的三个矩形的面积相等，设窗户位于上方的矩形的宽为，窗户的总面积为，则与之间的函数关系式是 （不用写出自变量的取值范围）． 13．一块三角形材料的形状如图所示，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为 ． 三、解答题 14．如图1．已知等腰直角三角形的直角边长与正方形的边长均为，与在同一条直线上，开始时点与点重合，让向右移动，最后点与点重合， (1)写出两图形重叠部分的面积与线段的长度之间的函数关系式；并写出自变量的取值范围； (2)请在如图2所示的坐标系中画出此函数的图象，并结合图象指出重叠部分面积的最大值． 15．如图，有长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，如图，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料造了宽为1米的两个小门，设花圃的宽为米，面积为，求与之间的函数表达式及的最大值？ 16．如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）． (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． (3)当羊圈的长和宽分别为多少米时，羊圈的面积最大，最大面积是多少？ 17．某品牌水果冻的高为，底面为直径是的圆，两个水果冻倒装在一个长方体盒子内，如图为横断示意图，水果冻的截面可以近似地看成两条抛物线，交点为．以左侧抛物线的顶点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求以为顶点的抛物线的函数表达式． (2)若点的横坐标为，求的长． 18．如图，利用一面墙（墙长米），用总长度米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个米的小门，设栅栏长为米． (1)若矩形围栏面积为y，则_____（化为顶点式）；当____时，矩形围栏的最大面积为_____． (2)若矩形围栏面积为平方米，求栅栏的长． 19．如图，要在屋前的空地上围一个矩形花圃，花圃的一面靠墙，墙长，另三边用篱笆围成，篱笆总长，在与墙平行的一边开一个宽的门．设垂直于墙的一边为，矩形花圃的面积为S． (1)用含有的代数式表示为____； (2)当矩形花圃的面积S最大时，求边的长，并求出矩形花圃面积的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题考查的知识点是二次函数的实际应用、二次函数的最值，解题关键是正确表示出四边形的面积． 结合垂美四边形的性质可知四边形的面积，设，则四边形的面积，结合二次函数的性质即可得面积最大值． 【详解】解：依题得：垂美四边形的对角线， 则四边形的面积， 设， ， ， 四边形的面积， ， ， 结合二次函数的性质可知，当时，四边形的面积取最大值，最大值为． 故选：． 2．D 【分析】本题主要考查了列函数关系式，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设矩形与墙垂直的一边长为，则平行于墙的一边长为，据此根据矩形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，． 故选：D． 3．C 【分析】根据题意，得，根据矩形的面积公式解答即可． 本题考查了矩形的周长与面积，函数的表达式，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故窗框的透光面积关于x（）的函数表达式为． 故选：C． 4．B 【分析】此题考查二次函数的应用，关键是根据图形得出函数解析式． 设的长为，绿地的面积为，根据题意得出函数解析式进行解答即可． 【详解】解：设，则，绿地的面积为， 根据题意得： ， ∵二次项系数为， ∴当时，y有最大值72． 即当时，绿地面积最大． 故选：B． 5．A 【分析】本题主要考查了二次函数的应用根据矩形的周长可计算出矩形的另一边长为，再根据矩形的面积计算方法进行列式，进而根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：根据题意可得，矩形的另一边长为：， 则． ∴当时，有最大值为1 故选：A． 6．C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，二次函数的应用，先证明，可得，然后根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：如图，设矩形的一边的长为， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴； ∴矩形的面积， ∵， ∴当时，面积有最大值． 故选：C． 7．A 【分析】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题的关键． 设的长为，矩形的面积为，则的长为，根据矩形的面积公式列二次函数解析式，再分别根据的长不能超过，二次函数的最值，解一元二次方程求解即可． 【详解】解：设的长为，矩形的面积为， ∴的长为， 由题意得 ， ∵， ∴， ①的长不可以为，原说法错误； ③菜园面积的最大值为，原说法正确； ②当时， 解得（舍去）或， 的长只有1个值满足菜园面积为，原说法错误； 综上，正确结论的个数是1个， 故选A． 8．D 【分析】根据题意表示出垂直于墙饲养室的宽的长度，通过长和宽的实际意义列不等式组求出的范围，再求出矩形面积即可． 本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确表示出饲养室的宽的长度是解题关键． 【详解】解：饲养室长为，则宽为， 由题意， 解得， 则占地面积． 故选：D． 9． 【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，利用矩形的周长公式即可解决问题，本题的难点在于得到BC长. 设边长为x米，根据已知条件可以推出 ，然后根据矩形的面积公式即可求出函数关系式. 【详解】解：设边长为x米，而菜园是矩形菜园， ∴， 菜园的面积， 则菜园的面积（单位：米）与（单位：米）的函数关系式为：． 故答案为： 10． 【分析】本题考查了旋转背景下的二次函数最值问题，顶角为的等腰三角形面积的计算，建立二次函数关系式是本题的突破口．连接，过点作交的延长线于点H，证明为直角三角形，根据勾股定理列出，设，则，建立关于的二次函数关系式，求出时，最小，再求出顶角是的三角形的面积即可． 【详解】解：连接，过点作交的延长线于点H，则， ， ． ， ， 是直角三角形． 设，则，， ， ， ， ，， ， ， 由勾股定理得：， 当时，有最小值． ，， ， ， ， 故答案为：． 11． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题关键是熟练运用二次函数解决问题．首先根据已知条件可得、、都是直角三角形，设，由含30度直角的三角形性质和勾股定理可得，再由直角三角形斜边中线等于斜边的一半得出，进而可得，由二次函数的性质求出的最小值，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∵在中，是线段的中点， ∴， ∴，即， ∴当时，取最小值为，此时取最小值． 答案为：． 12． 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，弄清题意，正确找出等量关系是解题的关键．设窗户位于上方的矩形的宽为，根据该窗户框架中分割出的三个矩形的面积相等，得到窗户位于下方的矩形的长为，窗户位于上方的矩形的长为，再根据矩形的面积公式求函数关系式即可． 【详解】解：设窗户位于上方的矩形的宽为， 该窗户框架中分割出的三个矩形的面积相等，且窗户框架的总长度为， 窗户位于下方的矩形的长为，窗户位于上方的矩形的长为， 根据题意得：， 即． 故答案为：． 13．16 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、矩形的性质及二次函数的最值求解，解题的关键是通过设未知数，利用几何关系建立矩形面积的二次函数表达式，再根据二次函数“开口向下时顶点处取最大值”的性质计算最大面积． 设矩形一边长为未知数（如），利用等腰直角三角形的性质及矩形对边相等的特点，得出也为等腰直角三角形，进而用未知数表示出矩形另一边长（如）；根据矩形面积公式列出面积与未知数的二次函数关系式，通过二次函数顶点坐标公式或配方法求出最大值． 【详解】解：设矩形中，（）．   ∵ ，， ∴ 是等腰直角三角形．   ∵ 四边形是矩形， ∴ ，， ∵ ， ∴ ，又是等腰直角三角形， ∴ 为等腰直角三角形， ∴ . 则. 矩形面积 ∵ 二次函数中，，图象开口向下， 当时，取最大值．   最大值. 故答案为：． 14．(1)， (2)图见详解，面积有最大值，为． 【分析】（1）根据图形及题意所述可得出重叠部分是等腰直角三角形，从而根据的长度可得出y与x的关系；根据开始时点A与点M重合，让向右移动，最后让点A与点N重合，可得，即自变量的取值范围； （2）根据函数解析式和自变量取值范围列出对应值表，用描点法画出函数图象． 【详解】（1）解：由题意知，是等腰直角三角形，， ∴重叠部分是等腰直角三角形， ∵线段， ∴； ∵开始时点A与点M重合，让向右移动，最后让点A与点N重合， ∴，即， 故自变量x的取值范围是：； （2）解：由列表得 当时，面积有最大值，且为． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，等腰直角三角形的性质，正方形的性质以及二次函数求值的综合应用．判断出重叠部分是等腰直角三角形是解决问题的关键． 15．，最大值为48 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，弄清题意，用表示出是解答本题的关键．用篱笆的总长减去三个的长，然后加上两个门的长即可表示出，再根据长方形的面积公式即可表示出，根据题意列出不等式组求出的范围，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设花圃的宽为米，面积为， 由题意可得：， 根据题意可得：， 解得：， 即的取值范围：， 当时，最大值为48． 16．(1)能围成一个面积为的羊圈，长和宽分别是，或，； (2)不能围成一个面积为的羊圈； (3)为米时围成一个面积最大的矩形羊圈，最大面积是． 【分析】本题考查一元二次方程解决应用题及二次函数解决应用题，解题的关键是根据题意找到等量关系式． （1）假设能围成，设，根据面积列式方程求解即可得到答案； （2）假设能围成，设，根据面积列式方程求解即可得到答案； （3）设面积为表示出与出解析式，结合函数性质直接求解即可得到答案； 【详解】（1）解：假设能围成一个面积为的羊圈，设，由题意可得， ， 解得：，， 答：能围成一个面积为的羊圈，长和宽分别是，或，； （2）解：假设能围成一个面积为的羊圈，设，由题意可得， ， 整理得：， ∵， ∴方程无解， ∴不能围成一个面积为的羊圈， 答：不能围成一个面积为的羊圈； （3）解：设面积为，由题意可得， ， ∵， ∴当时，最大，， ∴为米时围成一个面积最大的矩形羊圈，最大面积是． 17．(1) (2) 【分析】此题考查了二次函数解析式，矩形面积，解题的关键是画出平面图． （1）设抛物线的函数表达式是，求出，代入求出函数表达式是． （2）由（1）可得，可设以为顶点的抛物线，把代入可得，再由对称性即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式是， ∵高为， 底面圆的直径为， ∴， 把代入， 解得， ∴函数表达式是， （2）当时，， 点， 设以为顶点的抛物线， ，解得（不符题意，舍去）． ． 18．(1)，， (2)栅栏的长米 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，列出二次函数解析式． （1）根据矩形的面积公式建立起函数关系式，再配方即可化为顶点式，再利用二次函数的性质求解； （2）根据题意得到方程，再解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得 ， ∵， ∴， ∵， ∴当时，矩形围栏的最大面积为， 故答案为：，，； （2）解：由题意得， 解得，（不在范围内，舍去）， ∴栅栏的长米． 19．(1) (2)，矩形花圃面积的最大值为 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确地列出二次函数的解析式是解题的关键： （1）根据篱笆总长，列出代数式即可； （2）根据矩形的面积公式列出二次函数关系式，求最值即可． 【详解】（1）解：由题意，； 故答案为：； （2）由题意，， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为32； 答：，矩形花圃面积的最大值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $