22.3 实际问题与二次函数（图形问题）同步练习-2025-2026学年初中人教版数学九年级上册

22.3 实际问题与二次函数（图形问题） 一、单选题 1．如图，和是两个形状大小完全相同的等腰直角三角形，，点C落在的中点处，且的中点M与C、F三点共线，现在让在直线上向右作匀速移动，而不动，设两个三角形重合部分的面积为y，向右水平移动的距离为x，则y与x的函数关系的图象大致是（　　） A． B． C． D． 2．矩形ABCD的边BC在直线l上，AB=2，BC=4，P是AD边上一动点且不与点D重合，连结CP，过点P作∠APE=∠CPD，交直线l于点E，若PD的长为x，△PEC与矩形ABCD重合部分的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（     ） A． B． C． D． 3．如图①，在中，，，点是边上一动点，过点作，交边（或）于点．设，的面积为，如图②是与的函数关系的大致图像，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在长为20m、宽为14m的矩形花圃里建有等宽的十字形小径，若小径的宽不超过1m，则花圃中的阴影部分的面积有（    ） A．最小值247 B．最小值266 C．最大值247 D．最大值266 5．如图，是等腰直角三角形，，，为上的动点，交折线于点，设，的面积为，则与的函数图象正确的是（  ） A． B． C． D． 二、填空题 6．如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则x应为 ． 7．如图，在中，，点P从点A开始沿向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿向点C以的速度移动．如果P，Q分别同时出发，当的面积最大时，运动时间t为 s． 8．如图是一个长为3米、宽为1米的矩形隔离栏（），中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点E，点P）以及点A、点B在同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分（）与第2根栏杆未涂色部分（）长度相等，则的长度是 米． 9．如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为 s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是 cm2．    10．乐乐要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为（单位：）的边与这条边上的高之和为，这个三角形的面积（单位：）随的变化而变化． （1）与之间的函数解析式为 （写出自变量的取值范围）； （2）当 时，这个三角形的面积最大，最大面积是 ． 三、解答题 11．已知直角三角形两条直角边的长度之和等于，两条直角边的长各为多少时，这个直角三角形的面积最大？最大值是多少？ 12．手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm，菱形的面积S(单位：cm2)随其中一条对角线的长x(单位：cm)的变化而变化． (1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)； (2)当x是多少时，菱形风筝面积S最大？最大面积是多少？ 13．某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元．设矩形一边长为x，面积为S平方米． （1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）设计费能达到24000元吗？为什么？ （3）当x是多少米时，设计费最多？最多是多少元？ 14．某同学要利用长为24m的篱笆围成一个长方形花圃，形状如图，一边靠墙（墙的最大可用长度为9m），中间隔有一道篱笆，设AB长为x米，围成的花圃面积为S平方米． （1）求S关于x的函数解析式；并写出自变量x的取值范围． （2）当AB多长时，围成的花圃有最大面积？最大面积是多少？ 15．如图，点E，F，G，H分别位于正方形的四条边上．四边形也是正方形．当点E位于何处时，正方形的面积最小？ 16．一块三角形材料如图所示，．用这块材料剪出一个矩形，其中，点D，E，F分别在上，要使剪出的矩形的面积最大，点E应选在何处？ 17．如图，四边形的两条对角线，互相垂直，，当，的长是多少时，四边形的面积最大？ 18．如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的矩形花圃．设花圃的一边为，面积为． (1)若要围成面积为的花圃，则的长是多少？ (2)求为何值时，使花圃面积最大，并求出花圃的最大面积． 19．工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计） （1）在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？ （2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？ 20．为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题： (1)方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度的水池且需保证总种植面积为，试分别确定、的长； (2)方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大面积为多少？ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 答案 C A D A B 1．C 根据y随x的变化而变化的趋势求解即可． 解：本题的运动过程对应的图像应分两部分，从开始到两三角形重合，另一部分是从重合到分离； 在第一部分，三角形在直线上向右作匀速运动，则重合部分面积的增加速度不断变快；而另一部分面积的减小速度越来越小． 故选：C． 本题考查了动点问题的函数图象．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 2．A 根据题意可得：当0≤x≤2时，y=2x×2÷2=2x，当2≤x≤4时，y=， 故选A 3．D 先确定与的函数关系式，判断的面积与的关系，分类讨论：点在上时，点在上时，点在点上时，由此即可求解． 解：在中，，，， ∴， ∴的面积为， 当时，，则（舍去），， ∴当时，， 当点从点到点时，的面积，随的增大而增大； 当点从点到点时，如图所示， ∵，， ∴，， ∴， 的面积，此时随的增大而减小， ∴当点到点处，的面积最大，且，如图所示， ∴在中，，，， ∴，， 故选：． 本题主要考查三角形与动点问题，理解动点运动图像的变换，结合面积图像的最大值是解题的关键． 4．A 设小径的宽为xm，阴影部分的面积为ym2，根据面积可以列出y与x之间的函数关系式，再根据二次函数的性质及x的取值范围即可解答． 解：设小径的宽为xm，阴影部分的面积为ym2 由题意得，y=(20−x)(14−x)=x2−34x+280=(x-17)2-9(0<x≤1) 有最小值，对称轴为直线x=17，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小 当x=1时，y有最小值，最小值为：y= (1-17)2-9=247 故选：A 本题考查了二次函数的实际应用及性质，利用二次函数的性质是解题的关键． 5．B 根据题意可以列出与的函数解析式，从而可以确定与的函数图象，从而可以得到正确的选项，本题得以解决． 解：由题意可得， 当时，， 当时，， 当时，函数图象为的右半部分，当时，函数图象为的右半部分， 故选：B． 此题考查函数图像，解题的关键是根据题意列出与的函数解析式． 6．2 本题考查了二次函数的应用，先根据长方形的面积公式列出函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得结果． 解：由题意得修改后的花园面积， ∵， ∴当时，修改后的花园面积达到最大， 故答案为：2． 7．2 求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数的绝对值是较小的整数时，用配方法较好． 本题考查二次函数最大(小)值的求法．先用含的代数式表示出、再根据三角形的面积公式计算． 解：根据题意得， 三角形面积为： ∴当时，的面积最大为， 故答案为：2． 8．/ 本题考查了二次函数在实际问题中的应用，由实际问题正确建立数学模型是解题的关键．设B为坐标原点，所在的直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为：，先分别将点B和点A的坐标代入，求得c的值并用a表示b，设，用含m的式子分别表示出点E和点P的坐标，代入解析式，从而得出关于a和m的方程组，求解即可． 解：设B为坐标原点，所在的直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图： 设抛物线解析式为：， 将代入得：， ∴， ∵米， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则， 将点E和点P坐标分别代入抛物线解析式得： ， 解得：， ∴米， 故答案为：． 9． 3 18 设运动时间为t（0≤t≤6），则，列出二次函数解析式，即可求解． 根据题意得： ∴当t=3时，四边形EFGH的面积取最小值，最小值为18． 故答案是：3，18 10． 20 （1）根据题意可知，这个三角形中一边为，这条边上的高为，然后根据三角形面积公式即可获得答案； （2）根据，即可获得答案． 解：（1）根据题意，可知在这个三角形中，其中一边为，这条边上的高为， 则该三角形的面积； （2）∵， ∴当时，这个三角形的面积最大，最大面积是． 故答案为：（1）；（2）20，． 本题主要考查了二次函数的应用，理解题意，正确得出二次函数解析式是解题关键． 11．当两条直角边的长均为时，这个直角三角形的面积最大，最大值是． 设一条直角边长为，则另一条直角边长为，设直角三角形的面积为，可得，根据二次函数的图象和性质即可求得答案． 设一条直角边长为，则另一条直角边长为，设直角三角形的面积为． 根据题意，得：． 即：． 二次函数的图象开口向下，对称轴为． 根据二次函数的图象可知，当时，可以取得最大值，另一条直角边为， ． 所以，当两条直角边的长均为时，这个直角三角形的面积最大，最大值是． 本题主要考查二次函数与几何问题，牢记二次函数的图象和性质是解题的关键． 12．(1)；(2) 450cm2 （1）解：∵其中一条对角线的长x，则另一对角线=60-x． ∴S=x(60-x)， 整理得． （2）所以时，菱形风筝面积S最大， 最大面积是． 本题难度较低，主要考查学生对二次函数及菱形面积的学习． 13．（1）S=﹣x2+8x，其中0＜x＜8；（2）能，理由见解析；（3）当x=4米时，矩形的最大面积为16平方米，设计费最多，最多是32000元． （1）由矩形的一边长为x、周长为16得出另一边长为8﹣x，根据矩形的面积公式可得答案； （2）由设计费为24000元得出矩形面积为12平方米，据此列出方程，解之求得x的值，从而得出答案； （3）将函数解析式配方成顶点式，可得函数的最值情况． 解：（1）∵矩形的一边为x米，周长为16米， ∴另一边长为（8﹣x）米， ∴S=x（8﹣x）=，其中0＜x＜8， 即（0＜x＜8）； （2）能，理由如下： ∵设计费能达到24000元， ∴当设计费为24000元时，面积为24000÷200=12（平方米）， 即=12，解得：x=2或x=6， ∴设计费能达到24000元． （3）∵， ∴当x=4时，S最大值=16， ∴当x=4米时，矩形的最大面积为16平方米，设计费最多，最多是32000元． 14．（1）S＝﹣3x2+24x（5≤x＜8）；（2）当AB＝5m时，围成的花圃有最大面积． （1）根据题意可以得到y与x的函数关系式以及x的取值范围； （2）配方后即可确定最值，注意x的取值范围． （1）由题意可知：BC＝24﹣3x，0＜BC≤9 即 0＜24﹣3x≤9，解得5≤x＜8， ∴S＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x（5≤x＜8）； （2）由（1）可知S＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48（5≤x＜8） ∵a＝﹣3＜0，5≤x＜8 ∴当x＝5时S有最大值 ， 即：当AB＝5m时， 围成的花圃有最大面积． 考查了根据实际问题列二次函数关系式的知识，解题的关键是能够表示出长方形的长与宽 15．点E是AB边的中点时，正方形EFGH的面积最小 设AE＝x， AB＝a，则BE＝a−x，易证△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG，再利用勾股定理求出EF的长，进而得到正方形EFGH的面积，利用二次函数的性质即可求出面积的最小值． 解：AE＝x， AB＝a，则BE＝a−x， ∵四边形EFGH是正方形， ∴EH＝EF，∠HEF＝90°， ∴∠AEH＋∠BEF＝90°， ∵∠AEH＋∠AHE＝90°， ∴∠AHE＝∠BEF， 在△AHE和△BEF中， ， ∴△AHE≌△BEF（AAS）， 同理可证△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG， ∴AE＝BF＝CG＝DH＝x，AH＝BE＝CF＝DG＝a−x ∴EF2＝BE2＋BF2＝（a−x）2＋x2， 正方形EFGH的面积为S． ∴S＝EF2＝2x2－2ax＋a2＝2（x－a）2＋a2， ∴当x＝a时，S有最小值，且S最小值＝a2，此时AE＝a，EB＝a， 即点E是AB边的中点． ∴当点E是AB边的中点时，正方形EFGH的面积最小． 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及二次函数的性质，题目的综合性较强，难度中等． 16．点E选在AB的中点时，剪出的矩形CDEF的面积最大 根据30°直角三角形的性质求出FE，根据勾股定理求出ED，根据矩形的面积公式列出函数解析式，根据二次函数的性质解答即可． 解：∵∠A＝30°，∠C＝90°，且四边形CDEF是矩形， ∴DE∥AC，EF∥BC， ∴∠DEB＝∠A＝30°， 在Rt△AFE中，FE＝AE， 在Rt△EDB中，DB＝EB， 设AE＝x，则FE＝x，ED＝＝＝（12－x）， 令矩形CDEF的面积为S， 则S＝EF·ED＝x·（12－x）＝（12x－x2）＝·（x－6）2＋9， ∴当x＝6时，S最大值＝9， 此时AE＝6，EB＝12－x＝6， ∴AE＝EB，即点E是AB的中点， ∴当点E选在AB的中点时，剪出的矩形CDEF的面积最大． 本题考查的是30°直角三角形性质，矩形的性质，勾股定理、二次函数的性质、根据矩形的面积公式列出二次函数解析式是解题的关键． 17．当时，四边形的面积最大 本题考查二次函数最值以及四边形面积的求法，根据三角形的面积公式并结合推出四边形的面积为，再利用配方法求出二次函数最值．求出四边形的面积是解题关键． 解：设交于点，，四边形面积为，则， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴当时，四边形的面积最大，最大值为， 此时，， ∴当时，四边形的面积最大． 18．(1)AB的长为 (2)AB为时，花圃面积最大，花圃的最大面积为 本题考查了二次函数和一元二次方程的应用，根据题目的条件，合理地建立函数关系式，会判别函数关系式的类别，从而利用这种函数的性质解题． （1）根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）根据题意得到，根据函数的性质以及自变量的取值范围求函数最值． （1）解：根据题意得，， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去， ∴当的长为时，花圃的面积为； （2）解：花圃的面积， 而由题意：， 即， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时面积最大，最大面积为． 19．（1）作图见解析；裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2；（2）当裁掉边长为2.5dm的正方形时，总费用最低，最低费用为25元． 试题分析：（1）由题意可画出图形，设裁掉的正方形的边长为xdm，则题意可列出方程，可求得答案； （2）由条件可求得x的取值范围，用x可表示出总费用，利用二次函数的性质可求得其最小值，可求得答案． 试题解析：（1）如图所示： 设裁掉的正方形的边长为xdm， 由题意可得（10﹣2x）（6﹣2x）=12， 即x2﹣8x+12=0，解得x=2或x=6（舍去）， 答：裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2； （2）∵长不大于宽的五倍， ∴10﹣2x≤5（6﹣2x），解得0＜x≤2.5， 设总费用为w元，由题意可知 w=0.5×2x（16﹣4x）+2（10﹣2x）（6﹣2x）=4x2﹣48x+120=4（x﹣6）2﹣24， ∵对称轴为x=6，开口向上， ∴当0＜x≤2.5时，w随x的增大而减小， ∴当x=2.5时，w有最小值，最小值为25元， 答：当裁掉边长为2.5dm的正方形时，总费用最低，最低费用为25元． 考点：1、二次函数的应用；2、一元二次方程的应用 20．(1)CG长为8m，DG长为4m (2)当BC=m时，围成的两块矩形总种植面积最大=m2 （1）两块篱笆墙的长为12m，篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，设CG为am，DG为(12-a)m，再由矩形面积公式求解； （2）设两块矩形总种植面积为y， BC长为xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由题意得，围成的两块矩形总种植面积最大=BC×DC，代入有关数据再把二次函数化成顶点式即可 . （1）解：两块篱笆墙的长为12m，篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m， 设CG为am，DG为(12-a)m，那么 AD×DC-AE×AH=32 即12×3-1×（12-a）=32 解得：a=8 ∴CG=8m，DG=4m． （2）解：设两块矩形总种植面积为ym2，BC长为xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由题意得， 两块矩形总种植面积=BC×DC 即y=x·(21-3x) ∴y=-3x2+21x =-3(x-)2+ ∵21-3x≤12 ∴x≥3 ∴当BC=m时，y最大=m2． 学科网（北京）股份有限公司 $$