微专题 角平分线4类常考题型（专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级上册

微专题 角平分线4类常考题型 目录 题型一、角平分线的性质定理 1 题型二、角平分线的判定定理 3 题型三、角平分线性质的实际应用 5 题型四、作角平分线（尺规作图） 8 题型一、角平分线的性质定理 例1（24-25八年级上·上海·期末）如图，是的平分线，点D是上一点，点F为直线上的一个动点．若的面积为30，，则线段的长不可能是（  ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1-1】如图，四边形中，，，，，那么的面积是 ． 【变式1-2】如图，已知，点为的平分线的交点．，且，则两平行线间的距离等于 ． 【变式1-3】如图所示，在中，平分，于，于，厘米，厘米．已知的面积为平方厘米，求的长度． 【变式1-4】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AB中点，ED∥BC，且与∠ABC的平分线BD交于点D，联结AD． (1)求证：AD⊥BD； (2)记BD与AC的交点为F，求证：BF＝2AD． 【变式1-5】【图形新发现】小普同学发现：如果一个三角形的一条角平分线与一条中线互相垂直，那么这个三角形的某两条边必有倍半关系． 如图1，已知在中，BD是的角平分线，是的中线，，垂足为点F． （1）根据图1，写出中小普同学所发现的结论，并给出证明； 【图形再探究】现将小普同学所研究的三角形称为“线垂”三角形，并将被这条内角平分线所平分的内角叫做“分角”．下面我们跟着小普同学再探究： （2）在如图1中，“线垂”三角形是否可以是直角三角形？如果可以，求的度数；如果不可以，请说明理由； （3）已知线段，是否存在一点P，使得以为一边的“线垂”三角形为等腰三角形？如果存在，请在图2中用直尺和圆规做出为“分角”的“线垂”等腰三角形（不写作法，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注出点P），并用文字语言归纳表述成一条与“线垂”等腰三角形的边或角有关的真命题；如果不存在，请说明理由．                  题型二、角平分线的判定定理 例2已知△ABC内一点M,如果点M到两边AB、BC的距离相等,那么点M(   ) A．在AC边的高上 B．在AC边的中线上 C．在∠ABC的平分线上 D．在AC边的垂直平分线上 【变式2-1】（24-25八年级上·上海普陀·期末）如图，在中，，点在边上且到边和边的距离相等．以点为圆心，线段的长为半径画弧交边于点，连接．下列结论中，不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25八年级上·上海·期末）如图，在中，，点在边上，，垂足为点，，，则的度数为 ． 【变式2-3】如图，在中，，三角形的两个外角和的平分线交于点E．则 ． 【变式2-4】如图，在中，，的平分线与的外角平分线交于点，则的度数为 .（用含的式子表示） 【变式2-5】已知于E，于F，相交于点D，若．求证：平分． 【变式2-6】（24-25八年级上·上海普陀·期末）【例题回顾】本学期我们学习了角平分线定理及其逆定理，数学课本P106的例题1同时运用了角平分线定理及其逆定理完成了该几何问题的证明． 例题14已知：如图，分别是的平分线，，，垂足分别为点． 求证：点在的平分线上． 证明过点作，垂足为点． ，分别是、的平分线（已知）． ，（已知）， （所作）， ，（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）． （等量代换）． 点在的平分线上（在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上）． 【研究老图形】在例题1的图19-27中，分别连接． （1）点为△三条_____的交点，点为△三条_____的交点（填写序号）； ①边的垂直平分线  ②角平分线 ③高 ④中线 （2）小普发现和的内角之间存在一定的数量关系，如果，那么_____．（用含的代数式表示） 【解决新问题】为了方便研究，小普同学把满足例1条件的叫做的“内三角形”，点叫做“共心”． （3） 已知是的“内三角形”，点是“共心”，点、、分别在边、上，且．先画出符合条件的示意图，再过点作于点，求证：点在直线上． 题型三、角平分线性质的实际应用 例3某镇政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示．要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在（    ） A．三条高线的交点处 B．三边垂直平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．三条角平分线的交点处 【变式3-1】随着人们生活水平的不断提高,汽车逐步进入到千家万户,小红的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路(如图所示),建一个加油站,要求它到三条公路的距离相等,这样可供选择的地址有 处. 【变式3-2】如图，、、分别平分、、，，的周长为18，，则的面积为（    ） A．18 B．30 C．36 D．72 【变式3-3】小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是 ． 【变式3-4】如图,AD是△ADC中∠A的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,联结EF．求证：AD⊥EF    【变式3-5】已知：如图，，平分,平分，交于点，于点，求证：点到与的距离相等． 【变式3-6】如图，铁路和铁路交于O处，河道与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路，的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置． 【变式3-7】如图，两条公路与相交于点，在的内部有两个小区与，现要在的内部修建一个市场，使市场到两条公路的距离相等，且到两个小区的距离相等． (1)市场应修建在什么位置？（请用文字加以说明） (2)在图中标出点的位置（要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并写出结论）． 【变式3-8】如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点． (1)在图①中，已知线段、，画线段使它与、组成轴对称图形（画出所有符合题意的线段）； (2)在图②中，找一格点D，使它到、的距离相等，到点A、C的距离也相等．（找到D点即可，不写过程） 【变式3-9】探索新知：如图①，是的角平分线，与之间有怎样的关系呢？过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H． 平分 ， 即． 新知应用： (1)如图②，是的角平分线，若，则_________； (2)如图②，是的角平分线，若，则_________； (3)如图③，平分，平分，若，，则_________（用含m的式子表示）． 题型四、作角平分线（尺规作图） 例4已知及线段，求一点P使点P到、的距离相等，且．（不写画法，要有结论） 【变式4-1】（24-25八年级上·上海·期末）如图，已知、点及线段，求作点，使点到、距离相等且到点距离为． 【变式4-2】按要求作图（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写出作法和证明）． 如图，已知∠AOB和线段MN，求作点P，使P点到M、N的距离相等，且到角的两边的距离也相等． 【变式4-3】如图，已知， (1)根据要求作图，在边上求作一点D．使得点D到点AB、AC的距离相等，在边上求作一点E．使得点E到A、D的距离相等；（不要求写作法，但需要保留作图痕迹和结论） (2)在第（1）小题所作的图中，求证：． 2 / 28 1 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题 角平分线4类常考题型 目录 题型一、角平分线的性质定理 1 题型二、角平分线的判定定理 8 题型三、角平分线性质的实际应用 15 题型四、作角平分线（尺规作图） 25 题型一、角平分线的性质定理 例1（24-25八年级上·上海·期末）如图，是的平分线，点D是上一点，点F为直线上的一个动点．若的面积为30，，则线段的长不可能是（  ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质与三角形的面积计算公式，作出辅助线是正确解答本题的关键．过点D作于P，于M，根据三角形的面积得出的长，进而利用角平分线的性质可得，结合“垂线段最短”即可获得答案． 【详解】解：过点D作于P，于M，如下图， ∵的面积为30，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴四个选项中只有4不可能． 故选：A． 【变式1-1】如图，四边形中，，，，，那么的面积是 ． 【答案】24 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质得到．过作于，由角平分线的性质得到，而，即可求出的面积． 【详解】解：过作于， ，， ， ， 的面积． 故答案为：24． 【变式1-2】如图，已知，点为的平分线的交点．，且，则两平行线间的距离等于 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，平行线的性质．过点O作于点M，交于点N，根据，得出，求出，根据角平分线的性质得出，，即可得出结论． 【详解】解：过点O作于点M，交于点N，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∵、分别平分，， ∵， ∴，， ∴， ∴两平行线、之间的距离为． 故答案为：． 【变式1-3】如图所示，在中，平分，于，于，厘米，厘米．已知的面积为平方厘米，求的长度． 【答案】厘米 【分析】此题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，以及三角形面积的求法． 由角平分线的性质可得，，又，据此求解． 【详解】解：平分，于，于， ， ，厘米，厘米， ， 解得 即的长度为3厘米． 【变式1-4】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AB中点，ED∥BC，且与∠ABC的平分线BD交于点D，联结AD． (1)求证：AD⊥BD； (2)记BD与AC的交点为F，求证：BF＝2AD． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的性质可得，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，可证； （2）由“”可证，可得，由“”可证，可得． 【详解】（1）解：证明：为中点， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：延长，交于点， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是添加恰当辅助线构造全等三角形． 【变式1-5】【图形新发现】小普同学发现：如果一个三角形的一条角平分线与一条中线互相垂直，那么这个三角形的某两条边必有倍半关系． 如图1，已知在中，BD是的角平分线，是的中线，，垂足为点F． （1）根据图1，写出中小普同学所发现的结论，并给出证明； 【图形再探究】现将小普同学所研究的三角形称为“线垂”三角形，并将被这条内角平分线所平分的内角叫做“分角”．下面我们跟着小普同学再探究： （2）在如图1中，“线垂”三角形是否可以是直角三角形？如果可以，求的度数；如果不可以，请说明理由； （3）已知线段，是否存在一点P，使得以为一边的“线垂”三角形为等腰三角形？如果存在，请在图2中用直尺和圆规做出为“分角”的“线垂”等腰三角形（不写作法，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注出点P），并用文字语言归纳表述成一条与“线垂”等腰三角形的边或角有关的真命题；如果不存在，请说明理由．                  【答案】（1），证明见解析；（2）可以，的度数为或；（3）存在，见解析 【分析】本题考查新定义，尺规作图，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，角平分线定义，中线定义等知识点，理解新定义，熟练掌握相关知识，合理分类讨论是解题的关键． （1）利用角平分线性质及垂直的定义得到，即为等腰三角形，再根据中线定义即可得到本题答案； （2）分，，三种情况讨论，根据（1）中结论即角平分线性质即可得到本题答案； （3）作线段的垂直平分线交线于O，以M为圆心，为半径画弧，以N为圆心，为半径画弧，两弧相交点，连接，即可． 【详解】（1）解：，证明如下： ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴； （2）解：可以， 理由如下： ①当时，如图， ∵，是中线， ∴， 在“线垂”三角形中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∵是的角平分线， ∴； ②当时，如图， ∵是中线， ∴， 在“线垂”三角形中，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ③当，，与“线垂”三角形中，，相矛盾，故舍去； 综上，的度数为或； （3）解：存在，如图，即为所求， 由作图知：O为中点，，，平分， ∴， ∴等腰是以为“分角”的“线垂”三角形， “线垂”等腰三角形的两底角相等． 题型二、角平分线的判定定理 例2已知△ABC内一点M,如果点M到两边AB、BC的距离相等,那么点M(   ) A．在AC边的高上 B．在AC边的中线上 C．在∠ABC的平分线上 D．在AC边的垂直平分线上 【答案】C 【分析】根据角平分线的性质推出M在∠ABC的角平分线上，即可得到答案． 【详解】∵由角平分线上点到角两边距离相等的性质， ∴点M应在∠ABC的平分线上． 故选C． 【点睛】本题主要考查对角平分线的性质的理解和掌握，能熟练地利用角平分线的性质进行推理是解此题的关键． 【变式2-1】（24-25八年级上·上海普陀·期末）如图，在中，，点在边上且到边和边的距离相等．以点为圆心，线段的长为半径画弧交边于点，连接．下列结论中，不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，角平分线的判定，平行线的判定与性质，根据作图得到，等边对等角，推出，进而得到，根据点在边上且到边和边的距离相等，得到平分，推出为等腰三角形，逐一进行判断即可． 【详解】解：由作图可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在边上且到边和边的距离相等， ∴平分， ∴， ∴， ∴，；故选项A，C正确，不符合题意； ∵， ∴（平行线间的距离处处相等）；故选项D正确，不符合题意； 无法得到； 故选：B． 【变式2-2】（24-25八年级上·上海·期末）如图，在中，，点在边上，，垂足为点，，，则的度数为 ． 【答案】/29度 【分析】本题考查角平分线的判定，三角形的内角和定理，先利用三角形的内角和定理，求出的度数，证明平分，进而求出的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴； ∵，，， ∴平分， ∴； 故答案为：． 【变式2-3】如图，在中，，三角形的两个外角和的平分线交于点E．则 ． 【答案】26°/26度 【分析】根据题意过点作三边的垂线段，根据角平分线的性质可得，，进而判定是的角平分线，根据角平分线的定义即可求得 【详解】解：如图，过点作三边的垂线段， 三角形的两个外角和的平分线交于点E 在的角平分线上，即是的角平分线 故答案为： 【点睛】本题考查了角平分线的性质与判定，证明是的角平分线是解题的关键． 【变式2-4】如图，在中，，的平分线与的外角平分线交于点，则的度数为 .（用含的式子表示） 【答案】 【分析】如图，过点E作三边的垂线，垂足分别为D，F，G，先根据角平分线的性质证得EF=DE，然后根据角平分线的判定证得，再根据三角形外角的性质和角平分线的性质求得∠EBA=，∠BAE=，最后根据三角形内角和求解． 【详解】解：过点E作于点D，于点F，于点G， ∵CE平分∠ACB，BE平分∠ABC的外角， ∴， ∴AE也是∠BAC外角的平分线， ∴∠EBA=，∠BAE=， ∴∠EBA+∠BAE==， ∴∠AEB==． 故答案为：． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的性质和判定，正确理解三角形的有关性质是解本题的关键． 【变式2-5】已知于E，于F，相交于点D，若．求证：平分． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及到角两边距离相等的点在角平分线上等知识．发现并利用是正确解答本题的关键． 先由垂直的定义得到，再证明得到，最后根据角平分线的判定即可证明结论． 【详解】证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分． 【变式2-6】（24-25八年级上·上海普陀·期末）【例题回顾】本学期我们学习了角平分线定理及其逆定理，数学课本P106的例题1同时运用了角平分线定理及其逆定理完成了该几何问题的证明． 例题14已知：如图，分别是的平分线，，，垂足分别为点． 求证：点在的平分线上． 证明过点作，垂足为点． ，分别是、的平分线（已知）． ，（已知）， （所作）， ，（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）． （等量代换）． 点在的平分线上（在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上）． 【研究老图形】在例题1的图19-27中，分别连接． （1）点为△三条_____的交点，点为△三条_____的交点（填写序号）； ①边的垂直平分线  ②角平分线 ③高 ④中线 （2）小普发现和的内角之间存在一定的数量关系，如果，那么_____．（用含的代数式表示） 【解决新问题】为了方便研究，小普同学把满足例1条件的叫做的“内三角形”，点叫做“共心”． （3）已知是的“内三角形”，点是“共心”，点、、分别在边、上，且．先画出符合条件的示意图，再过点作于点，求证：点在直线上． 【答案】（1）②，①；（2）；（3）见解析 【分析】本题考查角平分线的判定和性质，中垂线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定和性质，是解题的关键： （1）根据题意，得到点是的三条角平分线的交点，再根据，得到点为的三边中垂线的交点即可； （2）根据四边形的内角和，得到，根据等边对等角，结合三角形的外角的性质，推出，即可得出结果； （3）根据，，得到，根据（2）中结论得到，进而推出，得到点在的中垂线上，证明，推出垂直平分，即可得证． 【详解】解：（1）由题干可知，点是的三条角平分线的交点， ∵， ∴点到三个顶点的距离相等， ∴点为三边的垂直平分线的交点，（到线段两端点距离相等的点在线段的中垂线上）； 故答案为：②，①； （2）如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 延长交于点， ∴， ∴，即：， ∴； 故答案为：； （3）画出示意图，如图所示： ∵，， ∴， ∴； 由（2）可知：， ∵， ∴， ∴， ∴点在的中垂线上， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴点在直线上． 题型三、角平分线性质的实际应用 例3某镇政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示．要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在（    ） A．三条高线的交点处 B．三边垂直平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．三条角平分线的交点处 【答案】D 【分析】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得度假村的修建位置在三条角平分线的交点处． 【详解】解：要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在内角平分线的交点． 故选D． 【变式3-1】随着人们生活水平的不断提高,汽车逐步进入到千家万户,小红的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路(如图所示),建一个加油站,要求它到三条公路的距离相等,这样可供选择的地址有 处. 【答案】4 【分析】分析：根据角平分线上的点到角的两边的距离相等作出图形即可得解． 【详解】如图所示， 加油站站的地址有四处． 故选D． 【点睛】考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并是解题的关键，作出图形更形象直观． 【变式3-2】如图，、、分别平分、、，，的周长为18，，则的面积为（    ） A．18 B．30 C．36 D．72 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，过I点作于E，于F，利用角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式得到，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过I点作于E，于F， 、、分别平分、、， ， ． 故选：C． 【变式3-3】小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线性质定理的逆定理，平行线的性质，过作于，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，得到，由平行线的性质推出，得到，因此，由，即可得到的长度是． 【详解】解：过作于， 由题意得：，，， 平分， ， ∵， ， ， ， 、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5， ， 的长度是． 故答案为：． 【变式3-4】如图,AD是△ADC中∠A的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,联结EF．求证：AD⊥EF    【答案】见解析 【分析】由角平分线的性质可知，再利用三角形全等证明，根据线段垂直平分线的判定定理可得结论. 【详解】解：∵是中的平分线，， ∴， ∵，， ∴ ∴点、D都在的垂直平分线上 ∴ 【点睛】本题综合考查了角平分线及线段的垂直平分线，熟练掌握角平分线的性质定理及线段垂直平分线的判定定理是解题的关键. 【变式3-5】已知：如图，，平分,平分，交于点，于点，求证：点到与的距离相等． 【答案】见解析． 【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠DOC=90°，进一步得到△CDO≌△CBO(ASA)，得出DO=BO，则CE是BD的垂直平分线，根据等腰三角形的三线合一的性质得出EC平分∠BED，从而得证． 【详解】证明：∵AD∥BC， ∴∠ADC+∠BCD=180°， ∵DB平分∠ADC，CE平分∠BCD， ∴∠ODC+∠OCD==90°， ∴∠DOC=90°， 又CE平分∠BCD， ∴∠DCO=∠BCO， ∵CO=CO，∠COD=∠COB， ∴△CDO≌△CBO(ASA)， ∴DO=BO， ∴CE是BD的垂直平分线， ∴EB=ED，又∠DOC=90°， ∴EC平分∠BED， ∴点O到EB与ED的距离相等． 【点睛】本题考查的是平行线的性质、角平分线的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． 【变式3-6】如图，铁路和铁路交于O处，河道与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路，的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，角平分线的作法；根据题意作的平分线交于点，点即为水厂的位置． 【详解】解：如图所示，作的平分线交于点，点即为水厂的位置． 【变式3-7】如图，两条公路与相交于点，在的内部有两个小区与，现要在的内部修建一个市场，使市场到两条公路的距离相等，且到两个小区的距离相等． (1)市场应修建在什么位置？（请用文字加以说明） (2)在图中标出点的位置（要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并写出结论）． 【答案】(1)的角平分线和线段的垂直平分线的交点处 (2)见解析 【分析】本题考查了作图的应用与设计作图，正确掌握角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质是解题的关键，直接利用角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法即可得出答案． 【详解】（1）解：点应修建在的角平分线和线段的垂直平分线的交点处； （2）解：如图所示，点即为所求． 【变式3-8】如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点． (1)在图①中，已知线段、，画线段使它与、组成轴对称图形（画出所有符合题意的线段）； (2)在图②中，找一格点D，使它到、的距离相等，到点A、C的距离也相等．（找到D点即可，不写过程） 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】此题主要考查了利用轴对称设计图案以及线段垂直平分线的性质等知识，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键． （1）利用轴对称图形的性质得出答案； （2）直接利用角平分线的性质和线段垂直平分线的性质得出答案． 【详解】（1）解：以为对称轴，则为所求的线段，如图： 以为对称轴，则为所求的线段，如图： （2）解：做的角平分线，线段的垂直平分线，两线交于点，则点就是所求的点，如图：    【变式3-9】探索新知：如图①，是的角平分线，与之间有怎样的关系呢？过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H． 平分 ， 即． 新知应用： (1)如图②，是的角平分线，若，则_________； (2)如图②，是的角平分线，若，则_________； (3)如图③，平分，平分，若，，则_________（用含m的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查角平分线性质（角平分线分对边的比等于邻边比、角平分线关联三角形面积比与邻边比），解题关键是运用探索新知得出的角平分线性质，建立边与面积的比例关系． （1）依据探索新知结论，代入、得；设、，由，推出． （2）根据探索新知中，结合已知，直接得． （3）用平分的性质，结合，及，算；同理，由平分，结合，算．连接，因点到三边距离相等，结合，得，算出 由，代入计算得结果． 【详解】（1）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H 由探索新知，是的角平分线时， ， ∵，， ∴． 设，， ∴， ∴． （2）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H 由探索新知可知，对于，是角平分线时： ， ， ∵ ∴． ∵， ∴． 故答案为； （3）∵平分， ∴点D到，的距离相等， ∴， ∵， ∴，， 同理平分， ∴， ∴，， 连接，过点F作,，分别垂直于，，， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ∴平分， ∴点F到，，三边的距离相等， ∴， ∵ ∴，，， ∴ ． 故答案为． 题型四、作角平分线（尺规作图） 例4已知及线段，求一点P使点P到、的距离相等，且．（不写画法，要有结论） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和尺规作图，线段垂直平分线的性质和尺规作图，点到、的距离相等，则点在的角平分线上，，则点在线段的垂直平分线上，据此作出的角平分线和线段的垂直平分线，二者的交点即为点． 【详解】解：如图所示，点P即为所求． 【变式4-1】（24-25八年级上·上海·期末）如图，已知、点及线段，求作点，使点到、距离相等且到点距离为． 【答案】图见解析 【分析】本题考查了作图﹣基本作图，角平分线的定义，正确作出图形是解题的关键； 根据角平分线的作法作出的角平分线，作线段垂直平分线，以点为圆心，为半径画弧交射线于和，则点和即为所求． 【详解】解：如图所示： 点即为所求． 【变式4-2】按要求作图（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写出作法和证明）． 如图，已知∠AOB和线段MN，求作点P，使P点到M、N的距离相等，且到角的两边的距离也相等． 【答案】见解析 【分析】根据题意作出线段MN的垂直平分线,∠AOB的角平分线,它们的交点即为点P. 【详解】（1）作出∠AOB的平分线.（用尺规作图）    （2）作出线段MN的垂直平分线（用尺规作图） （3）两条直线的交点即为P点 【点睛】本题考查了尺规作图,作角平分线和中垂线,属于简单题,熟悉尺规作图的方法是解题关键. 【变式4-3】如图，已知， (1)根据要求作图，在边上求作一点D．使得点D到点AB、AC的距离相等，在边上求作一点E．使得点E到A、D的距离相等；（不要求写作法，但需要保留作图痕迹和结论） (2)在第（1）小题所作的图中，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）到、的距离相等，则点D在的角平分线上，作的角平分线与的交点即为点D；到点A、的距离相等，则点E在的垂直平分线上，作的垂直平分线与的交点即为点E； （2）根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可得，再根据平行线的判定即可求解． 【详解】（1）解：点D、E为所求作的点，如图所示： （2）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵是的中垂线， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂直平分线和角平分线的尺规作图，角平分线的性质、垂直平分线的性质、等腰三角形的定义和性质、以及两条直线平行的判定定理，判定直线平行的常用方法有：（1）同位角相等，两直线平行；（2）内错角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行． 2 / 28 1 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $