专题02 全等三角形4大高频考点（期末真题汇编，安徽专用）八年级数学上学期新教材人教版

专题02 全等三角形（期末真题汇编，安徽专用） 4大高频考点概览 考点01全等三角形性质与判定 考点02 角平分线 考点03 全等三角形判定的常考模型 考点04 构造全等三角形的常用方法 地 城 考点01 全等三角形性质与判定 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，，若，则的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（22-23八年级上·安徽淮北·期末）如图，交于点E，下列结论中错误的是（   ）    A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）一个三角形的两边长分别为4和8，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，以它的边为直角边，分别在形外作等腰直角三角形，连接．下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C．平分 D． 二、填空题 5．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）如图，，在边上，，，则的度数为 ． 6．（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，平分，且，当时， ． 7．（24-25八年级上·安徽宣城·期末）如图，在中，，，点D在边上，，点E，F在线段上，，若的面积为2，的面积为24，则的面积为 ． 8．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，点E是的中点，平分，且于点D．若，，则的长为 ． 三、解答题 9．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）如图，与相交于点E，，．求证：． 10．（24-25八年级上·安徽六安·期末）已知：如图，于为上一点，交于，，．    (1)求证：； (2)若，，求． 11．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，延长至点，过点作，使，连接交于点． (1)求证：； (2)若是上一点，满足，连接，请你判断和的关系，并证明你的结论． 地 城 考点02 角平分线 一、单选题 1．（24-25八年级下·安徽·期末）如图：在中，，是的平分线，于，在上，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，已知点P在的平分线上，于点F，于点E，若，则的长为（    ） A．3 B．2 C．1 D．4 3．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图，三条公路、、两两相交，计划建一座加油站，满足到三条公路的距离相等，则可供选址的地方有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 4．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，在三角形ABC中，，，若的面积为6，则D到的距离为 ． 5．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）如图．是的平分线上一点，点是射线上一点，于点于点，连接．若，则 （1）线段的长为 ； （2）在射线上取一点，使得，则的长为 ． 6．（22-23八年级下·安徽·期末）如图，AD为的外角平分线，于点D，M为BC边的中点，若，则的周长为 ．    三、解答题 7．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，在和中，，连接交于点F，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分． 8．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，，点在的外部，且平分，过点作，交的延长线于点，，交于点，连接．若，，求的度数 9．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，中，为的平分线，，垂足为E．F为上的点，且 (1)求证：； (2)若，求的长． 10．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，平分交于点D，平分交AB于点E，、交于点F．    (1)求证：； (2)若，求证：； (3)猜想、、之间的数量关系，并给予证明： (4)若，直接写出的值． 地 城 考点03 全等三角形判定的常考模型 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，线段与，通过作图求一点P，使得，并且点P到两边的距离相等，则下列说法正确的是（   ） A．点P是线段的中点 B．点P在线段的垂直平分线上 C．点P是线段的垂直平分线与平分线的交点 D．点P是线段的垂线与平分线的交点 2．（23-24八年级下·安徽宣城·期末）如图，在 和 中，点共线，已知，添加下列条件不能使得的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，若，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（22-23八年级上·安徽·期末）如图，点D，E分别在线段上，与相交于O点，已知，添加一个条件能直接用“”判定，符合要求的条件是 ． 5．（21-22八年级上·安徽池州·期末）如图，与中，，，，交于D．给出下列结论： ①；②；③；④． 其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）． 三、解答题 6．（23-24八年级上·安徽淮北·期末）如图，，，，求证：． 7．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知，求证：． 8．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图①，在矩形中，点E 在边上，点 F 在边上，连接 ，已知 (1)求证：平分； (2)如图②，若矩形 为正方形，求的度数； (3)如图③，在（2）的基础上，将点E绕点D顺时针旋转使点E的对应点落到点，已知点 恰好落在边的延长线上，连接，若，求的面积. 地 城 考点04 构造全等三角形的常用方法 一、单选题 1．（22-23八年级上·安徽池州·期末）三角形两边长分别为8cm和5cm，第三边的中线长可以是（   ） A．1cm B．2cm C．7cm D．8cm 二、解答题 2．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围； （2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 3．（23-22八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，平分． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，若，求的度数； （3）如图3，若，求证：． 试卷第1页，共3页 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 全等三角形（期末真题汇编，安徽专用） 4大高频考点概览 考点01全等三角形性质与判定 考点02 角平分线 考点03 全等三角形判定的常考模型 考点04 构造全等三角形的常用方法 地 城 考点01 全等三角形性质与判定 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，，若，则的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形对应边相等是解题的关键．根据题意得到，即可得到答案． 【详解】解：∵ ， ， ． 故选C． 2．（22-23八年级上·安徽淮北·期末）如图，交于点E，下列结论中错误的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过“”可证明，则可对选项D进行判断；再通过“”可证明，则可对选项A、B进行判断；最后得出结论． 【详解】解：∵在和中， ∴， ∴， 故选项D正确； ∵在和中， ∴， ∴， ∴， 故选项A、B正确； 从现在条件无法推出， 故选项C错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及等腰三角形的性质：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件．也考查了等腰三角形的判定． 3．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）一个三角形的两边长分别为4和8，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图所示,是边上的中线，设，延长至E，使，则，证明，则，根据三角形的三边关系得到，即可得到x的取值范围．此题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的中线、三角形的三边关系等知识，构造全等三角形是解题的关键． 【详解】如图所示 ：是边上的中线，则，    延长至E，使，则， 在与中， ∵， ∴， ∴， 在中，，即， ∴． 故选：D． 4．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，以它的边为直角边，分别在形外作等腰直角三角形，连接．下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C．平分 D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 利用证明则，即可判断A；由于，则，而，故，即可判断B；过点A作于点，过点A作于点，由于，则，而，故，根据角平分线的判定即可判断C；对于D，条件不足，不能证明． 【详解】解：由题意得， ∴， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； 如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； 如图：过点A作于点，过点A作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分，故C正确，不符合题意； ∵现有条件不足以证明，故D错误，符合题意， 故选：D． 二、填空题 5．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）如图，，在边上，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质，掌握全等三角形对应角相等是解题关键．由三角形全等得到，再根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：，， ， 是的外角，， ， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，平分，且，当时， ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，以及三角形的外角等于不相邻的两个内角之和．作出辅助线是解答本题的关键． 先在上截取，连接．求出，证明，进一步得到，则，即，再由三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：在上截取，连接 ∵平分，， ∴ ∵ ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， 故答案为：. 7．（24-25八年级上·安徽宣城·期末）如图，在中，，，点D在边上，，点E，F在线段上，，若的面积为2，的面积为24，则的面积为 ． 【答案】10 【分析】本题考查三角形外角的性质，三角形全等的判定和性质，三角形的面积．根据三角形外角的性质结合题意可证，得出．根据可求出，，最后根据，求解即可． 【详解】解：∵，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为24， ∴，， ∵的面积为2， ∴， ∴． 故答案为：10． 8．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，点E是的中点，平分，且于点D．若，，则的长为 ． 【答案】1 【分析】延长交于点F，由角平分线的定义可得，证得，可得，，从而可得，是的中位线，可得，即可求解． 【详解】解：延长交于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、三角形的中位线定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定和三角形的中位线定理证得是解题的关键． 三、解答题 9．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）如图，与相交于点E，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据“”可得出，则可得出答案． 本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解此题的关键． 【详解】证明：， ， 即： 在和中， ， ， （全等三角形对应角相等）． 10．（24-25八年级上·安徽六安·期末）已知：如图，于为上一点，交于，，．    (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握其判定方法及性质是解题的关键． （1）根据垂直可得，在和中，运用“斜边直角边”的方法即可求证； （2）根据，，得到，由即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴，即， ∴． 11．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，延长至点，过点作，使，连接交于点． (1)求证：； (2)若是上一点，满足，连接，请你判断和的关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查全等三角形判定及性质， （1）根据题意判定即可得到本题答案； （2）由（1）知可得，再结合已知即可判定，即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 地 城 考点02 角平分线 一、单选题 1．（24-25八年级下·安徽·期末）如图：在中，，是的平分线，于，在上，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，勾股定理，关键是灵活运用这些性质解决问题． 根据题意可证，可得，，根据勾股定理可得，的长，再根据勾股定理可得的长，即可求的面积． 【详解】解：是的平分线，于， ， ，， ， ， ∵在中，， ， ， ∵在中，． ， ∴，， ， ， 在中，， 的面积为． 故选：B． 2．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，已知点P在的平分线上，于点F，于点E，若，则的长为（    ） A．3 B．2 C．1 D．4 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的性质，正确掌握角平分线的性质是解题的关键．根据角的分线上的点到角的两边距离相等即可解题． 【详解】解：∵点P在的平分线上，于点F，于点E， ， ∵， ． 故选：A． 3．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图，三条公路、、两两相交，计划建一座加油站，满足到三条公路的距离相等，则可供选址的地方有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，加油站要到三条公路的距离都相等，可知加油站必须是三条相交直线所组成的三角形的两内角或两外角的角平分线的交点，而相邻两外角平分线有个交点，内角平分线的交点有个，据此即可求解，掌握叫佛系的性质是解题的关键． 【详解】解：∵加油站要到三条公路的距离都相等， ∴加油站必须是三条相交直线所组成的三角形的两内角或两外角的角平分线的交点，而相邻两外角平分线有个交点，内角平分线的交点有个， ∴加油站可供选址的地方有个， 故选：． 二、填空题 4．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，在三角形ABC中，，，若的面积为6，则D到的距离为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了角平分线的性质内容：即为角平分线上的点到角两边距离相等，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：过点D分别作， ∵， ∴是的角平分线， ∵， ∴， ∵的面积为6， ∴ 即， 解得， 即D到的距离为2， 故答案为：2． 5．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）如图．是的平分线上一点，点是射线上一点，于点于点，连接．若，则 （1）线段的长为 ； （2）在射线上取一点，使得，则的长为 ． 【答案】 9 7或11 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，利用角平分线的性质和证明，从而得到，证明，从而得到，继而得解，掌握是角平分线的性质解题的关键． 【详解】解：∵是的平分线上一点，于点于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 作图如下： ， ∵，， ∴， ∴， ∴或11． 故答案为：9；7或11 6．（22-23八年级下·安徽·期末）如图，AD为的外角平分线，于点D，M为BC边的中点，若，则的周长为 ．    【答案】18 【分析】根据题意证明和全等，利用全等三角形的性质和中位线的性质将求三角形周长转化为已知边长的和即可． 【详解】解：延长CD交BA的延长线于点E，   , ， ∵ AD为的外角平分线， ， 在和中， ， ， ， 为的中点， 又∵M为BC边的中点， ， ∵， 的周长等于：， 即的周长为18． 故答案为：18． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质及三角形中位线的性质，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键，学会运用三角形中位线的性质． 三、解答题 7．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，在和中，，连接交于点F，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、根据面积等式证明线段相等、角平分线的判定等知识，证明是解题的关键． （1）设交于点I，由，推导出，而，，即可根据“”证明，得，则； （2）作于点H，于点J，由，，且，，得，则，所以点A在的平分线上，则平分． 【详解】（1）解：设交于点I， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是． （2）证明：作于点H，于点J， 由（1）得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点A在的平分线上， ∴平分． 8．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，，点在的外部，且平分，过点作，交的延长线于点，，交于点，连接．若，，求的度数 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的外角性质，连接，过点作，交的延长线于点，证明平分，平分，利用三角形的外角性质求得，进一步计算即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作，交的延长线于点， ，，， 平分， 平分， ，， ， ， 平分， ， ， ． 9．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，中，为的平分线，，垂足为E．F为上的点，且 (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)6 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理、线段的和差等知识点，灵活运用证明三角形全等是解题的关键． （1）根据角平分线的性质可得，然后结合已知条件运用即可证明结论； （2）根据线段的和差可得，再证可得；再根据可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）证明：∵为的平分线，， ； 在和中， ， ． （2）解：，， ∵， ∴ 又，， ， ，， ， 又， ． 10．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，平分交于点D，平分交AB于点E，、交于点F．    (1)求证：； (2)若，求证：； (3)猜想、、之间的数量关系，并给予证明： (4)若，直接写出的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)，证明见解析 (4) 【分析】（1）根据三角形内角和定理可得可得，然后根据平分，平分，可得，，再根据三角形内角和定理即可进行判断； （2）根据题意证明，即可求解； （3）作的平分线交于点G，可得，证明，，可得，，进而可以判断； （4）过G作，于点G，H，由（3）知，为的角平分线，可得，所以可得，根据，，进而可以进行求解． 本题考查了角平分线的定义，三角形全等的性质和判定，作辅助线，构建三角形全等是解题的关键，有一定难度． 【详解】（1）证明：在中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； （2）解：∵平分，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴； （3）解：、、之间的数量关系为； 证明如下： 如图，作的平分线交于点G， 由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 得证； （4）解：，理由如下： 过G作，于点G，H， 由（3）知，为的角平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴．    地 城 考点03 全等三角形判定的常考模型 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，线段与，通过作图求一点P，使得，并且点P到两边的距离相等，则下列说法正确的是（   ） A．点P是线段的中点 B．点P在线段的垂直平分线上 C．点P是线段的垂直平分线与平分线的交点 D．点P是线段的垂线与平分线的交点 【答案】C 【分析】本题考查的是角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握它们的性质是解题的关键．根据角平分线的性质、线段垂直平分线的性质判断即可． 【详解】解：∵， ∴点P在线段的垂直平分线上， ∵点P到两边的距离相等， ∴点P在平分线上， ∴点P是线段的垂直平分线与平分线的交点， 故选：C． 2．（23-24八年级下·安徽宣城·期末）如图，在 和 中，点共线，已知，添加下列条件不能使得的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由已知得，再根据全等三角形的判定定理逐项判断即可求解，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， 、当，时，，， ∴由可得，该选项不合题意； 、当，时，由可得，该选项不合题意； 、当，时，由两边及一边的对角相等不能得到，该选项符合题意； 、当，时，由可得，该选项不合题意； 故选：． 3．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，若，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键．根据即可判断A；根据即可判断B；根据两三角形不一定全等即可判断C；根据即可判断D． 【详解】解：∵，， ∴添加，能推出，故A不符合题意； 添加，能推出，故B不符合题意； 添加，不能推出，故C符合题意； 添加， ∴，能推出，故D不符合题意； 故选：C． 二、填空题 4．（22-23八年级上·安徽·期末）如图，点D，E分别在线段上，与相交于O点，已知，添加一个条件能直接用“”判定，符合要求的条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】添加结合已知条件进行证明即可． 【详解】解：添加条件， 在和中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了添加条件证明三角形全等，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 5．（21-22八年级上·安徽池州·期末）如图，与中，，，，交于D．给出下列结论： ①；②；③；④． 其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）． 【答案】①③④ 【分析】先根据三角形全等的判定定理与性质可得，再根据等腰三角形的性质即可得；先根据三角形全等的性质可得，由判断①、③；②假设，根据三角形全等的判定定理与性质可得，由此可得假设不成立；先根据三角形的外角性质可得，再根据角的和差可得，由此即可得④是否成立． 【详解】在和中，， ， ， ，则结论①正确； ∴，则结论③正确； 由三角形的外角性质得：， 又， ，则结论④正确； 假设， 在和中，， ， ，即AF是的角平分线， ∵AF不一定是的角平分线， ∴假设不一定成立，则结论②错误； 综上，正确的结论是①③④， 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、角平分线的定义等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键． 三、解答题 6．（23-24八年级上·安徽淮北·期末）如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，根据得到，根据已知条件即可证明，根据全等三角形对应边相等即可得到结论． 【详解】证明：∵， ∴， 即． 在和中， ， ∴， ∴． 7．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，先证明，再利用证明即可． 【详解】证明： ， ， 即 在 和 中 ， ， ． 8．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图①，在矩形中，点E 在边上，点 F 在边上，连接 ，已知 (1)求证：平分； (2)如图②，若矩形 为正方形，求的度数； (3)如图③，在（2）的基础上，将点E绕点D顺时针旋转使点E的对应点落到点，已知点 恰好落在边的延长线上，连接，若，求的面积. 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质、矩形的性质、等腰三角形的判定和性质. （1）设，则，得到，，即可得到，结论得证； （2）过点D作于H，证明，则，证明，则，则，即可得到答案； （3）证明，则，得到是等腰直角三角形，即可得到. 【详解】（1）证明：设，则， ∵四边形矩形， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴平分； （2）过点D作于H， ∴， 由（1）可知，， 又∵ ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴ （3）将点E绕点D顺时针旋转使点E的对应点落到点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴的面积 地 城 考点04 构造全等三角形的常用方法 一、单选题 1．（22-23八年级上·安徽池州·期末）三角形两边长分别为8cm和5cm，第三边的中线长可以是（   ） A．1cm B．2cm C．7cm D．8cm 【答案】B 【分析】如图，是中边上的中线，，，延长到E，使，然后证明≌，可得，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出的取值范围，即可得解． 【详解】解：如图，是中边上的中线，，，延长到E，使，    ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴； ∴第三边的中线长可以是：2cm； 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，遇中点加倍延长，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 二、解答题 2．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围； （2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）；（2），见解析；（3），见解析 【分析】（1）由已知得出，即为的一半，即可得出答案； （2）延长至点M，使，连接，可得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论； （3）延长交于点G，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论． 【详解】解：（1）如图①，延长到点E，使，连接， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： 延长至点M，使，连接，如图②所示． 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， 在中，由三角形的三边关系得： ， ∴； （3），理由如下： 如图③，延长交于点G， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ ． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系，作辅助线—倍长中线法、全等三角形的判定与性质，角的关系等知识点，所以本题的综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键． 3．（23-22八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，平分． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，若，求的度数； （3）如图3，若，求证：． 【答案】（1）见详解；（2）108°；（3）见详解 【分析】（1）如图1，过D作DM⊥AB于M，由 CA＝CB，，得是等腰直角三角形，根据角平分线的性质得到CD＝MD，∠ABC＝45°，根据全等三角形的性质得到AC＝AM，于是得到结论； （2）如图2，设∠ACB＝α，则∠CAB＝∠CBA＝90°−α，在AB上截取AK＝AC，连结DK，根据角平分线的定义得到∠CAD＝∠KAD，根据全等三角形的性质得到∠ACD＝∠AKD＝α，根据三角形的内角和即可得到结论； （3）如图3，在AB上截取AH＝AD，连接DH，根据等腰三角形的性质得到∠CAB＝∠CBA＝40°，根据角平分线的定义得到∠HAD＝∠CAD＝20°，求得∠ADH＝∠AHD＝80°，在AB上截取AK＝AC，连接DK，根据全等三角形的性质得到∠ACB＝∠AKD＝100°，CD＝DK，根据等腰三角形的性质得到DH＝BH，于是得到结论． 【详解】（1）如图1，过D作DM⊥AB于M， ∴在中，， ∴∠ABC＝45°， ∵∠ACB＝90°，AD是角平分线， ∴CD＝MD， ∴∠BDM＝∠ABC＝45°， ∴BM＝DM， ∴BM＝CD， 在RT△ADC和RT△ADM中， ， ∴RT△ADC≌RT△ADM（HL）， ∴AC＝AM， ∴AB＝AM＋BM＝AC＋CD， 即AB＝AC＋CD； （2）设∠ACB＝α，则∠CAB＝∠CBA＝90°−α， 在AB上截取AK＝AC，连结DK，如图2， ∵AB＝AC＋BD，AB=AK+BK ∴BK＝BD， ∵AD是角平分线， ∴∠CAD＝∠KAD， 在△CAD和△KAD中， ∴△CAD≌△KAD（SAS）， ∴∠ACD＝∠AKD＝α， ∴∠BKD＝180°−α， ∵BK＝BD， ∴∠BDK＝180°−α， ∴在△BDK中，180°−α＋180°−α＋90°−α＝180°， ∴α＝108°， ∴∠ACB＝108°； （3）如图3，在AB上截取AH＝AD，连接DH， ∵∠ACB＝100°，AC＝BC， ∴∠CAB＝∠CBA＝40°， ∵AD是角平分线， ∴∠HAD＝∠CAD＝20°， ∴∠ADH＝∠AHD＝80°， 在AB上截取AK＝AC，连接DK， 由（1）得，△CAD≌△KAD， ∴∠ACB＝∠AKD＝100°，CD＝DK， ∴∠DKH＝80°＝∠DHK， ∴DK＝DH＝CD， ∵∠CBA＝40°， ∴∠BDH＝∠DHK -∠CBA =40°， ∴DH＝BH， ∴BH＝CD， ∵AB＝AH＋BH， ∴AB＝AD＋CD． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形的内角和，正确的作出辅助线是解题的关键． 试卷第1页，共3页 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $