学易金卷：高二数学上学期第三次月考（人教B版，范围选择性必修第1～3章）

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 情在各圈目的答题区域内作答，超出黑色电形边框限定区城的客美无效」 请在各题目的答思区域内作答，出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(15分) 答题卡 15.(13分) 姓名 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考任号填写消 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码， 2.选择愿必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用 0.5m黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3,请按题号氟序在各题日的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效：在草稀纸、试题卷上容恩 缺考 无效。 此栏考生禁填 4。保持卡面消洁，不要折叠，不要弄被 标记 5.正确填欲■ 一、选择题（每小题5分，共40分） [A][B][C][D] 3 [A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6 [A][B][C][D] 3 [A][B][C][D] 7[A][B][C][D] [A][B][C][D] 8 (AI[B]ICI [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10 [A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 13, 请在各避目的容覆区或内作答，超出黑色矩形边匡限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作签。超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答避区线内作答。随出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 数学第2页（共6页） 数学第3到（共6页） (道9f)面9熊克海 (面9并)近s张右猴 (道9计)道量出流播 :幕￥米绿刚测习率谢瑞算灿麻可置甲西·号#前习疆号刚目号录知 1嘉￥米显阳到刘那出球鲜司瑞甲聘·号非物习晶绿阴目扇转丑期 1嘉士紫号侧海习惠图瑞停虫现置甲理·易非每习醒显例目号灵明 (移1)"61 (gL1)81 (1 SI)LI 1亮素双得撕为利出鼎膏张率四凿闲牌“悬荆习器规明目魔号录期 1够￥紫录明旗习那菌瑞拿鲜可凿用四·绿附剂习溜琴侧目靠号动华 1编￥落号谢解习惑测珊京联易置甲丽·绿非新习配绿纳目晶琴求集 ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版2019选择性必修第一章~第三章 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线：与：，则与之间的距离为（     ） A． B． C． D．3 2．抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 3．从5名学生中选择4人对A，B两种不同算法的加密文件进行破译，每人选择一种文件，每个文件2人破译，则不同的人员安排共有（    ） A．40种 B．48种 C．30种 D．72种 4．已知直线与圆相交，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知平面与平面所成的二面角的大小为，，且，则的长为（    ） A． B．5 C． D． 6．已知双曲线的虚半轴长为，为双曲线的左焦点，点为双曲线的右支上的动点，点的坐标为，则的最小值为（   ） A．8 B．9 C． D．10 7．在三棱锥中，，，点满足，若实数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．已知椭圆的左，右两焦点分别是，，其中．直线与椭圆交于，两点．则下列说法中正确的有（    ） A．当时，的周长为 B．当时，若的中点为，则 C．若的最小值为，则椭圆的离心率 D．若，则椭圆的离心率的取值范围是 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若的二项展开式共有8项，则该二项展开式（    ） A． B．各项二项式系数和为128 C．二项式系数最大项有2项 D．第5项系数等于-35 10．如图，在棱长为1的正方体中，，分别是，的中点，为线段上的动点，则下列说法正确的是（   ）    A．三棱锥的体积为定值 B．不存在点，使得 C．直线与平面所成角的正切值的最大值为 D．时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为 11．已知抛物线：（）与圆：相交于，两点，线段恰为圆的直径，且直线过抛物线的焦点，动直线过点且与抛物线交于两点，则以下结论正确的是（    ） A． B． C．的周长可以为14 D．当时， 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则 . 13．设焦点为的椭圆上的一点也在抛物线上，抛物线的焦点为，若，则的面积是 . 14．若圆与圆（）有且仅有2条公切线，则的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知的展开式中有一项是． (1)求的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)求展开式中系数最大的项． 16．（15分）如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面ABCD.    (1)证明：； (2)若，求二面角的余弦值； (3)在（2）的条件下，求点到平面的距离. 17．（15分）已知过点的直线与圆相交于、两点，直线．    (1)当时，求直线的方程； (2)设为直线上的动点，过作圆的两条切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值； (3)是否存在直线，使得向量与共线？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由． 18．（17分）已知椭圆的左右顶点分别为，离心率为，点，的面积为2. (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率为的直线交椭圆于点，线段的垂直平分线交轴于点，点关于直线的对称点为.若四边形为正方形，求的值. 19．（17分）已知向量绕着原点沿逆时针方向旋转角可得到向量. (1)求点绕着原点沿逆时针方向旋转得到的点的坐标； (2)若曲线上的所有点绕着原点逆时针方向旋转得到曲线对应的方程为. （i）求曲线的方程； （ii）设直线过定点与曲线交于点，直线过定点与曲线交于点，，且，求四点构成的四边形面积的最小值. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版2019选择性必修第一章~第三章 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线：与：，则与之间的距离为（     ） A． B． C． D．3 2．抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 3．从5名学生中选择4人对A，B两种不同算法的加密文件进行破译，每人选择一种文件，每个文件2人破译，则不同的人员安排共有（    ） A．40种 B．48种 C．30种 D．72种 4．已知直线与圆相交，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知平面与平面所成的二面角的大小为，，且，则的长为（    ） A． B．5 C． D． 6．已知双曲线的虚半轴长为，为双曲线的左焦点，点为双曲线的右支上的动点，点的坐标为，则的最小值为（   ） A．8 B．9 C． D．10 7．在三棱锥中，，，点满足，若实数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．已知椭圆的左，右两焦点分别是，，其中．直线与椭圆交于，两点．则下列说法中正确的有（    ） A．当时，的周长为 B．当时，若的中点为，则 C．若的最小值为，则椭圆的离心率 D．若，则椭圆的离心率的取值范围是 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若的二项展开式共有8项，则该二项展开式（    ） A． B．各项二项式系数和为128 C．二项式系数最大项有2项 D．第5项系数等于-35 10．如图，在棱长为1的正方体中，，分别是，的中点，为线段上的动点，则下列说法正确的是（   ）    A．三棱锥的体积为定值 B．不存在点，使得 C．直线与平面所成角的正切值的最大值为 D．时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为 11．已知抛物线：（）与圆：相交于，两点，线段恰为圆的直径，且直线过抛物线的焦点，动直线过点且与抛物线交于两点，则以下结论正确的是（    ） A． B． C．的周长可以为14 D．当时， 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则 . 13．设焦点为的椭圆上的一点也在抛物线上，抛物线的焦点为，若，则的面积是 . 14．若圆与圆（）有且仅有2条公切线，则的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知的展开式中有一项是． (1)求的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)求展开式中系数最大的项． 16．（15分）如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面ABCD.    (1)证明：； (2)若，求二面角的余弦值； (3)在（2）的条件下，求点到平面的距离. 17．（15分）已知过点的直线与圆相交于、两点，直线．    (1)当时，求直线的方程； (2)设为直线上的动点，过作圆的两条切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值； (3)是否存在直线，使得向量与共线？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由． 18．（17分）已知椭圆的左右顶点分别为，离心率为，点，的面积为2. (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率为的直线交椭圆于点，线段的垂直平分线交轴于点，点关于直线的对称点为.若四边形为正方形，求的值. 19．（17分）已知向量绕着原点沿逆时针方向旋转角可得到向量. (1)求点绕着原点沿逆时针方向旋转得到的点的坐标； (2)若曲线上的所有点绕着原点逆时针方向旋转得到曲线对应的方程为. （i）求曲线的方程； （ii）设直线过定点与曲线交于点，直线过定点与曲线交于点，，且，求四点构成的四边形面积的最小值. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A D C A A B D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC BCD AC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．5 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．【详解】（1）的展开式的通项． 2分 由题意，解得，，，故的值是11． 4分 （2）由二项式系数的性质知，的展开式中二项式系数最大的项是第6项与第7项， 6分 其值分别为：， ． 8分 （3）的展开式的第项的系数，其中． 当时，． 10分 因此，当时，，即；当时，，即． 所以，，所以最大. 故的展开式的第7项的系数最大，且. 13分 16．【详解】（1）因为，， 则，即， 所以在中，所以， 2分 因为底面，平面，所以， 因为，平面， 所以平面，又因为平面，所以； （2）因为底面，平面，所以， 5分 结合（1）可知两两垂直， 以为坐标原点，为轴建立如图所示空间直角坐标系，    所以，，，， 所以，，， 7分 设平面的法向量， 则，取，则， 9分 设平面的法向量， 则，取，则， 所以， 由图可知该二面角为钝角，故二面角的余弦值为； 12分 （3）由（2）知平面的法向量为，， 所以点到平面的距离. 15分 17．【详解】（1）设弦的中点为， ①当直线的斜率不存在时，易知符合题意． 1分 ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为即， ，，则由，解得， 此时直线的方程为， 故直线的方程为或； 4分 （2）由于、为圆的两条切线， 所以， 6分 又，而的最小值为点到直线的距离，   所以， 故四边形面积的最小值为； 9分 （3）易知直线的斜率不为零，设直线的方程为，、， 由，可得， 可得， 所以，所以， 11分 则，所以. 又，，所以， 若向量与共线，则， 由，可得，解得， 13分 当时，， 所以存在直线，使得向量与共线， 直线的方程为，即. 15分 18．【详解】（1）已知，，， 则的面积，解得. 2分 因为离心率，，所以. 又因为，，，所以. 所以椭圆的方程为. 5分 （2）将直线与椭圆联立得. 根据韦达定理，，. 8分 计算， 从而得到线段中点坐标为.   11分 然后求线段垂直平分线方程：垂直平分线的斜率为， 根据点斜式可得垂直平分线方程为， 进而得到点.   13分 最后根据四边形为正方形时： 则 展开得 进一步化简为 15分 将，代入得，， 整理得，解得. 17分 19．【详解】（1）因为，即， 1分 绕着原点沿逆时针方向旋转得到的点， 则，所以； 3分 （2）（i）将曲线绕着原点沿逆时针方向旋转得到曲线， 设为曲线E上点旋转后的对应点， 设，则， 5分 又因为， 所以，整理得，   7分 （ii） 由（i）直线过定点与曲线:交于，直线过定点与曲线:交于，且， AB与CD交点满足，且在椭圆内部， 当AB与重合时；· 9分 当AB与不重合时，设直线， 联立，整理得， 则， 11分 所以，         同理可得， 14分 ， 当且仅当，即时取等号，因为，即四点构成的四边形面积的最小值为. 17分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版2019选择性必修第一章~第三章 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线：与：，则与之间的距离为（     ） A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】由题意直线：与：平行， 所以与之间的距离为. 故选：A 2．抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】抛物线的焦点为， 双曲线的右焦点为， 则，故，即抛物线为， 则其准线方程为. 故选：D. 3．从5名学生中选择4人对A，B两种不同算法的加密文件进行破译，每人选择一种文件，每个文件2人破译，则不同的人员安排共有（    ） A．40种 B．48种 C．30种 D．72种 【答案】C 【详解】从5名学生中选择4人，共有种； 将4人分成两组，共有种；再将2组进行全排列，对应A，B两种文件，共有种， 则不同的人员安排共有种． 故选：C 4．已知直线与圆相交，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆的圆心为，半径为， 若直线与圆相交， 则，即， 两边同时平方化简可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A 5．已知平面与平面所成的二面角的大小为，，且，则的长为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【详解】∵平面与平面所成的二面角的大小为，， ∴的夹角为，， ， 因为， 所以 ， 故. 故选：A. 6．已知双曲线的虚半轴长为，为双曲线的左焦点，点为双曲线的右支上的动点，点的坐标为，则的最小值为（   ） A．8 B．9 C． D．10 【答案】B 【详解】由双曲线的虚半轴长为，有，可得， 可得双曲线的方程为，可得，实轴长为4，    设双曲线的右焦点为，又由双曲线的性质有，故的最小值为9. 故选：B. 7．在三棱锥中，，，点满足，若实数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以，即， 同理可证OA，OB，OC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为，所以， 所以，设，， 则，所以，，，四点共面， 因为，，，， 所以，. 设平面的一个法向量为， 则，即，取，则， 因为，所以的最小值为. 故选：D. 8．已知椭圆的左，右两焦点分别是，，其中．直线与椭圆交于，两点．则下列说法中正确的有（    ） A．当时，的周长为 B．当时，若的中点为，则 C．若的最小值为，则椭圆的离心率 D．若，则椭圆的离心率的取值范围是 【答案】D 【详解】因为弦过椭圆的左焦点， 所以的周长为，所以A错误； 设，，则，有，， 所以， 由，得，所以， 则有，所以B错误； 由过焦点的弦中垂直于轴的弦最短，则的最小值为， 则有，即，解得， 所以，所以C错误； 设，，， 所以， 则有，可得，故D正确． 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若的二项展开式共有8项，则该二项展开式（    ） A． B．各项二项式系数和为128 C．二项式系数最大项有2项 D．第5项系数等于-35 【答案】BC 【详解】对于A，的二项展开式共有8项，则 ，即，故A错误； 对于B，二项式展开式中各项的二项式系数的和为，故B正确； 对于C，因该二项展开式共有8项，则可得中间两项的二项式系数最大，即第4和第5项的二项式系数最大，故C正确； 对于D，因，则第5项的系数是35，故D错误. 故选：BC. 10．如图，在棱长为1的正方体中，，分别是，的中点，为线段上的动点，则下列说法正确的是（   ）    A．三棱锥的体积为定值 B．不存在点，使得 C．直线与平面所成角的正切值的最大值为 D．时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为 【答案】BCD 【详解】如图所示，以为坐标原点建立空间直角坐标系：，，，，. 设，，则点坐标为. 对于A：不与平面平行，到面的距离不为定值， 三棱锥的体积不为定值，A错误； 对于B：，， 若，则，即，解得，又， 故不存在这样的点，使得，B正确； 对于C：取平面的法向量为,， 则， 设直线与平面的夹角为，， 则，则，. 又，故，即直线与平面所成角的正切值的最大值为，C正确； 对于D：时，，，， 设平面的法向量，，则， 不妨设，则，，是平面的一个法向量， 显然球心，， 则到面的距离，外接球半径， 截面圆半径的平方为，所以，D正确， 故选：BCD. 11．已知抛物线：（）与圆：相交于，两点，线段恰为圆的直径，且直线过抛物线的焦点，动直线过点且与抛物线交于两点，则以下结论正确的是（    ） A． B． C．的周长可以为14 D．当时， 【答案】AC 【详解】对于A，如图， 分别过作抛物线准线的垂线，垂足分别为，，， 由于圆的直径过焦点，则到准线的距离为 ， 又，所以，解得，故A正确； 对于B，设直线的方程为，，， 又抛物线：，由，可得， 则，，， （当且仅当时等号成立），故B错误； 对于C，由，，所以，设的周长为， 如图： 过点向抛物线准线作垂线，垂足为， 则， 周长的最小值为，故C正确； 对于D，如图： 因为，所以， 又因为，则，解得或（舍）， 所以，即，故D错误. 故选：AC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则 . 【答案】5 【详解】，则，解得，经检验满足题意. 故答案为：5 13．设焦点为的椭圆上的一点也在抛物线上，抛物线的焦点为，若，则的面积是 . 【答案】 【详解】由对称性，不妨设点在轴的上方，由题意得， ，所以，即， 代入椭圆方程解得，所以，即， 所以,. 故答案为： 14．若圆与圆（）有且仅有2条公切线，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】由圆，可得圆心，半径， 圆，可得圆心，半径. 因为圆与圆有且仅有2条公切线，可得圆与圆相交， 又因为， 所以点在以原点为圆心，半径分别为2和4的圆所夹的圆环内部（不含边界）， 因为， 所以代表点到直线的距离的倍， 又因为圆心到直线的距离为， 所以圆环内的点到直线的距离， 所以的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知的展开式中有一项是． (1)求的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)求展开式中系数最大的项． 【详解】（1）的展开式的通项． 2分 由题意，解得，，，故的值是11． 4分 （2）由二项式系数的性质知，的展开式中二项式系数最大的项是第6项与第7项， 6分 其值分别为：， ． 8分 （3）的展开式的第项的系数，其中． 当时，． 10分 因此，当时，，即；当时，，即． 所以，，所以最大. 故的展开式的第7项的系数最大，且. 13分 16．（15分）如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面ABCD.    (1)证明：； (2)若，求二面角的余弦值； (3)在（2）的条件下，求点到平面的距离. 【详解】（1）因为，， 则，即， 所以在中，所以， 2分 因为底面，平面，所以， 因为，平面， 所以平面，又因为平面，所以； （2）因为底面，平面，所以， 5分 结合（1）可知两两垂直， 以为坐标原点，为轴建立如图所示空间直角坐标系，    所以，，，， 所以，，， 7分 设平面的法向量， 则，取，则， 9分 设平面的法向量， 则，取，则， 所以， 由图可知该二面角为钝角，故二面角的余弦值为； 12分 （3）由（2）知平面的法向量为，， 所以点到平面的距离. 15分 17．（15分）已知过点的直线与圆相交于、两点，直线．    (1)当时，求直线的方程； (2)设为直线上的动点，过作圆的两条切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值； (3)是否存在直线，使得向量与共线？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由． 【详解】（1）设弦的中点为， ①当直线的斜率不存在时，易知符合题意． 1分 ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为即， ，，则由，解得， 此时直线的方程为， 故直线的方程为或； 4分 （2）由于、为圆的两条切线， 所以， 6分 又，而的最小值为点到直线的距离，   所以， 故四边形面积的最小值为； 9分 （3）易知直线的斜率不为零，设直线的方程为，、， 由，可得， 可得， 所以，所以， 11分 则，所以. 又，，所以， 若向量与共线，则， 由，可得，解得， 13分 当时，， 所以存在直线，使得向量与共线， 直线的方程为，即. 15分 18．（17分）已知椭圆的左右顶点分别为，离心率为，点，的面积为2. (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率为的直线交椭圆于点，线段的垂直平分线交轴于点，点关于直线的对称点为.若四边形为正方形，求的值. 【详解】（1）已知，，， 则的面积，解得. 2分 因为离心率，，所以. 又因为，，，所以. 所以椭圆的方程为. 5分 （2）将直线与椭圆联立得. 根据韦达定理，，. 8分 计算， 从而得到线段中点坐标为.   11分 然后求线段垂直平分线方程：垂直平分线的斜率为， 根据点斜式可得垂直平分线方程为， 进而得到点.   13分 最后根据四边形为正方形时： 则 展开得 进一步化简为 15分 将，代入得，， 整理得，解得. 17分 19．（17分）已知向量绕着原点沿逆时针方向旋转角可得到向量. (1)求点绕着原点沿逆时针方向旋转得到的点的坐标； (2)若曲线上的所有点绕着原点逆时针方向旋转得到曲线对应的方程为. （i）求曲线的方程； （ii）设直线过定点与曲线交于点，直线过定点与曲线交于点，，且，求四点构成的四边形面积的最小值. 【详解】（1）因为，即， 1分 绕着原点沿逆时针方向旋转得到的点， 则，所以； 3分 （2）（i）将曲线绕着原点沿逆时针方向旋转得到曲线， 设为曲线E上点旋转后的对应点， 设，则， 5分 又因为， 所以，整理得，   7分 （ii） 由（i）直线过定点与曲线:交于，直线过定点与曲线:交于，且， AB与CD交点满足，且在椭圆内部， 当AB与重合时；· 9分 当AB与不重合时，设直线， 联立，整理得， 则， 11分 所以，         同理可得， 14分 ， 当且仅当，即时取等号，因为，即四点构成的四边形面积的最小值为. 17分 / 学科网（北京）股份有限公司 $