精品解析：山东省济南市天桥区2025-2026学年八年级数学上学期期中考试试题

2025-2026学年第一学期期中阶段性检测八年级数学试题 本试题共8页，满分为150分，考试时间为120分钟．答卷前，请考生务必将自己的学校、班级、姓名和准考证号填写在答题卡规定的位置．考试结束后，按要求上交答题卡． 注意事项： 1．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂． 2．答非选择题时，必须使用0.5mm黑色签字笔书写，要求笔迹清晰、字体工整，务必在答题卡题号所指示的答题区域内作答． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在下列实数中，属于无理数的是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个8之间依次多1个等形式．根据无限不循环小数为无理数，进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：A、0是整数，属于有理数，故该选项不符合题意； B、是分数，属于有理数，故该选项不符合题意； C、，是整数，属于有理数，故该选项不符合题意； D、是无理数，故该选项符合题意； 故选：D． 2. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，根据的在各象限内点的坐标的符号特征解答即可． 【详解】解：∵点， ∴点P在第二象限， 故选：B． 3. 已知是方程ax-y=5的一个解，那么a的值为（ ）. A. -2 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出a的值． 【详解】把代入方程得2a-1=5， 解得a=3 故选C. 【点睛】本题考查二元一次方程的解，熟练掌握计算法则是解题关键. 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算．根据二次根式的加减、乘除法则计算即可判断． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，本选项不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，本选项不符合题意； C、，本选项符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：C． 5. 实数a，b在数轴上对应点得位置如图，则化简的结果是（ ） A. B. C. b D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数轴表示数的方法得到a＜0＜b，再根据二次根式的性质和绝对值的意义进行化简，然后去括号合并即可． 【详解】解：∵a＜0＜b， ∴a－b＜0 ∴原式=|a-b|-|a| = -（a-b）+a =-a +b+a =b． 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式的化简和绝对值的化简，关键在于根据数轴判断出a，b的正负性和二次根式的性质：=|a|． 6. 一次函数上有两点，，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了比较一次函数值的大小，一次函数的增减性，对于一次函数（k为常数，），当时，y 随x 的增大而增大，当时，y 随x 的增大而减小，据此求解即可． 【详解】解：∵在一次函数中，， ∴y随x增大而增大， ∵点，在一次函数的图象上，且， ∴， 故选：C． 7. 如图所示，已知四边形是边长为2的正方形，，则数轴上点P所表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，实数与数轴． 连接，根据勾股定理求出其长度， ，再减1求相反数即为点P表示的数． 【详解】解：如图，连接， 在中， ， ∴， ∴， ∴点表示的数为． 故选：D． 8. 两个一次函数与，它们在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与其系数之间的关系，根据两个一次函数图象经过的象限可判断出两个一次函数解析式中a、b的符号，看是否一致即可得到答案． 【详解】解：A、由函数图象可知，在中，，在中，，，即，二者不一致，不符合题意； B、由函数图象可知，在中，，在中，，，即，二者不一致，不符合题意； C、由函数图象可知，在中，，在中，，，即，二者一致，符合题意； D、由函数图象可知，在中，，在中，，，即，二者不一致，不符合题意； 故选：C． 9. 在，两地之间有汽车站站，客车由地驶往站，货车由地驶往地．两车同时出发，匀速行驶．客车、货车离站的路程，(km)与行驶时间之间的函数图象如图所示．有下列说法：①，两地相距为；②两小时后，货车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为；③客车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为：；④客、货两车在小时相遇．其中正确的有（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息、一次函数的应用，采用数形结合的思想是解此题的关键； 根据函数图象提供的信息即可判断①；分别利用待定系数法求出函数解析式即可判断②③；再由求出的值即可判断④； 【详解】解：由图象可得：，两地相距为，故①正确； ∵货车的速度为：， ∴货车到达地一共需要， 设两小时后，货车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为， ∵在图象上， ∴， 解得：， ∴两小时后，货车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为：， 故②正确； 设客车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为：， ∵在图象上， ∴，解得：， ∴客车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为：， 故③正确； 由相遇得：， ∴， ∴， ∵，∴符合题意， 即客、货两车在小时相遇，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共个， 故选：D． 10. 对一组数的一次操作变换记为，定义其变换法则如下：，且规定 (n为大于1的整数)，如，， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查数字规律探索；由前数个实例总结出规律是解题的关键，注意分奇，偶情况讨论．由前数个实例，可总结规律：当为奇数时，；当为偶数时，，进而求解． 【详解】解：； ； ； ； ； ； …… 当为奇数时，； 当为偶数时， ∴． 故选：B． 第II卷（非选择题） 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 的立方根是________． 【答案】2 【解析】 【分析】该题考查了算术平方根和立方根，先计算，再求立方根即可解答． 【详解】解：，8的立方根是2， 故答案为：2． 12. 在平面直角坐标系中，若点在y轴上，则____________ 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，熟记y轴上点的横坐标为0是解题的关键．根据y轴上点的横坐标为0列式计算即可得解． 【详解】解：点在y轴上， ， 解得：． 故答案为：4． 13. 如图，直线经过点，则方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，熟知一元一次方程与一次函数的关系是解题的关键．利用自变量时对应的函数值为3可确定程的解． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴当时，， ∴关于x的一元一次方程的解为． 故答案为：． 14. 已知方程组的解满足，则的值为______． 【答案】17 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解是满足方程组每一个方程的未知数的值是解题的关键． 把和已知条件联立解二元一次方程组即可． 【详解】解：∵方程组的解满足， ∴，解得， 把代入中，得． 故答案是：17． 15. 如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上一动点，连接，将沿所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，点C的坐标为____．  【答案】或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，灵活应用轴对称的性质，勾股定理解题是关键． 分两种情况讨论：当A点落在y轴正半轴上处时，在中，，求出m；当A点落在y轴负半轴上处时，连结， 在中， ，求出m；即可求解． 【详解】解：∵， 当时，， 当时，， ∴， ∴， ∴， 设， 如图1，当A点落在y轴正半轴上处时，连结， ∵A与关于对称， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； 如图2，当A点落在y轴负半轴上处时，连结， 由对称可得，， ∴， 在中， ， ∴， ∴； 综上所述：C点坐标为或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算， 对于（1），先算乘除，再算加减； 对于（2），先根据平方差公式和完全平方公式计算，再计算． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ． 17. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握代入消元法解方程组． 由代入消元法进行计算，即可求出方程组解． 【详解】解：， 由①得， 将③代入②得 解得， 将代入③得， ∴原方程组解为． 18. 利用平方根、立方根定义解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根、立方根的定义，根据平方根、立方根的定义求解即可． （1）利用平方根解方程即可． （2）根据立方根的定义求解即可． 【小问1详解】 解： ∴， ∴ ，． 【小问2详解】 解： ∴ 19. 已知某正数的两个不同的平方根是和，的立方根为，c是的整数部分； （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），，； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用正数的两个不同平方根互为相反数这一性质，列出关于的方程，求解得出的值。 根据立方根的定义，由的立方根为，得到，进而求出的值。通过估算的大小，确定其整数部分，得到的值。 （2）把（1）中求得的、、的值代入，计算出该式的值。 再根据平方根的定义，求出这个值的平方根。 本题主要考查了平方根的性质（正数的两个平方根互为相反数 ）、立方根的定义以及无理数的估算，熟练掌握这些概念和性质是解题的关键。 【小问1详解】 解：∵某正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∵的立方根为， ∴， ∴， ∵c是的整数部分， ∴， ∴，，； 【小问2详解】 解：当，，时， ， ∴的平方根是． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）在图中作出关于x轴的对称图形，并写出点C关于y轴的对称点的坐标 ； （2）点P为y轴上一动点，且使得周长最小，直接写出点P的坐标； （3）点F在x轴上，若，请直接写出点F的坐标：______． 【答案】（1）作图见解析，； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称变换，平面直角坐标系中的点，两点间距离公式；解题的关键是作出三角形三个顶点对应点、、． （1）作出点、、三个顶点的对称点、、，然后顺次连接，最后根据平面直角坐标系写出点关于轴的对称点的坐标即可； （2）连接，先求出的解析式，从而求出点； （3）设，由，求解即可． 【小问1详解】 解：如图，作出点、、三个顶点的对称点、、，顺次连接，则即为所求； 点关于轴的对称点的坐标为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：连接交y轴于点P，则点即为所求． ∵点关于轴的对称点， ∴， ∴， ∴当、、在同一直线上时，最小， ∴此时最小， ∴此时的周长最小， 设直线为：，把，代入得 解得 ∴直线为：， 令当得， ∴． 故答案为：； 【小问3详解】 解：设， ， ∴ ∴， ∴点的坐标或， 故答案为：或． 21. 周末，小丽和爸爸、妈妈一家三口去杨梅园游玩．已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足游客需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的六折收费； 乙方案：游客进园不需要购买门票，采摘的杨梅质量在10千克以内按原价收费，超过10千克后，超过部分按原价的五折收费． 设采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元． （1）当采摘量超过10千克时，分别求出，与之间的函数关系式； （2）当采摘多少千克时，两种方案的价格相同？ （3）若采摘量为30千克，选择哪种方案更划算？请说明理由． 【答案】（1），． （2）1.875千克或42.5千克 （3）甲方案更划算，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，理解题意，正确列出函数关系式是解答的关键． （1）根据两种方案分别求函数关系式即可； （2）分当时和当时两种情况，令，分别解一元一次方程即可求解； （3）分别求出时的，，比较大小即可得出结论． 【小问1详解】 解：当采摘量超过10千克时，， 根据题意，得； ； 【小问2详解】 解：当时，， 令，则，解得； 当时，令，则，解得， 答：当采摘1.875千克或42.5千克时，两种方案的价格相同． 【小问3详解】 解：选择甲方案更划算．理由如下： 当时，． 因为，所以选择甲方案更划算． 22. 在一次综合实践活动中，小菲设计了两款帐篷．图1是由线段绕竖直的直线旋转一周得到的1号帐篷（点A在直线上，点B在水平地面上）；图2是由曲线段绕竖直的直线旋转一周得到的2号帐篷（点C在直线上，点D在水平地面上）． 已知两个帐篷的底圆半径都是2.0m，点M是线段上的一动点，点N是曲线段上的一动点．当M与B的水平距离和N与D的水平距离都是x（单位：m）时，小菲分别记录了M和N的竖直高度（单位：m）和（单位：m），部分数据如下： 0 0.4 0.8 1.2 1.6 1.8 2.0 0 0.60 1.20 1.80 240 3.00 0 1.60 2.20 2.42 2.51 2.52 2.53 （1）补全表格（结果保留小数点后两位）； （2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； （3）将某人在帐篷内直立行走不会碰到头部时的底圆区域称为自由活动区，根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①某学生的身高是1.80m，则他在两个帐篷内自由活动区的半径差约为______m（结果保留小数点后一位）； ②甲、乙、丙三名学生的身高（单位：m）分别为，，，若，且，则在2号帐篷中，甲与乙自由活动区的半径差______乙与丙自由活动区的半径差（填“”“”“”）． 【答案】（1）补全表格见解析 （2）图见解析 （3）①0.7；②． 【解析】 【小问1详解】 解：观察表格可知：为定值， ∴当时，； 补全表格如下： 0 0.4 0.8 1.2 1.6 1.8 2.0 0 0.60 1.20 1.80 2.40 2.70 3.00 0 1.60 2.20 2.42 2.51 2.52 2.53 故答案为：2.70 【小问2详解】 根据表格数据描点，连线，画图如下： 【小问3详解】 ①由图象可知：当时，， 当时，， ∴他在两个帐篷内自由活动区的半径差约为； 故答案为：； ②由图象可知，随着的增加而增加，且增加的速度越来越慢， ∴当增加的高度相同时，自变量的差值变的越来越大， ∵，且， ∴甲与乙自由活动区的半径差要小于乙与丙自由活动区的半径差； 故答案为：． 23. 小明在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形： （一）一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如： ； ． （二）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： ； ． 请解答下列问题： （1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果． ①______；②_____． （2）应用：求的值． （3）拓展：直接写出的值． 【答案】（1）①；② （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了分母有理化，化简二次根式，熟知二次根式的相关知识是解题的关键． （1）①仿照题意进行分母有理化即可；②仿照题意进行化简二次根式即可； （2）可证明（n为正整数），据此把所求式子裂项求解即可； （3）仿照题意把式子式子中的每一项的分母先化简二次根式，再把对应项分母有理化即可得到答案． 【小问1详解】 解：①； ②； 【小问2详解】 解：∵（n为正整数） ， ∴ ． 【小问3详解】 解： ． 24. 如图，平面直角坐标系中，直线交y轴于点，交x轴于点B． （1）求直线的表达式和点的坐标； （2）直线垂直平分交于点，交轴于点，点是直线上一动点，且在点上方，设点的纵坐标为． ①当时，求点的坐标； ②在①的条件下，是否存在第一象限内的点，使为等腰直角三角形，若存在，请直接写出符合点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）① ②存在；、、、 【解析】 【分析】本题考查一次函数的综合应用，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，解题关键在于掌握待定系数法求一次函数的解析式、割补法求面积、三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质． （1）把点的坐标代入直线解析式可求得，则直线的解析式为，令可求得，故此可求得点的坐标； （2）①由题垂直平分可知，将代入直线的解析式可求得点的坐标，设点的坐标为，然后依据可得到的面积与的函数关系式为；由得到关于的方程可求得的值，从而得到点的坐标； ②分别按为直角边且，为直角边且，为斜边且点在右侧，为斜边且点在左侧四种情况讨论，即可求解． 【小问1详解】 解：∵把代入得， ∴直线的函数表达式为：． 令得：，解得：， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：①∵直线垂直平分， ∴． ∵将代入得：． ∴点的坐标为． ∵点的坐标为， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，解得：． ∴点的坐标为； ②存在． 如图所示，作于点，过点作轴，垂足为， 为等腰直角三角形，为直角边， ，， 轴， ， ， 在和中， ， ， ， ， 点的坐标为； 如图所示，作于点，过点作，垂足为，连接， 为等腰直角三角形，为直角边， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 点的坐标为； 如图所示，过点作，垂足为，再过点作于点， 设点， ∵为等腰直角三角形，为斜边， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，，直线：， ∴， 解得． ∴点的坐标为； 如图所示，过点作，垂足为，再过点作于点， 设点， ∵为等腰直角三角形，为斜边， ∴，， ∵，延长线于， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，，直线：， ∴，解得， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为、、、． 25. 【问题提出】如图1，、都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】 （1）等边三角形中，E是边上一定点，D是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接． ①如图2，若点D在边上，线段、、之间的关系为______（直接写出结论）； ②如图3，若点D在边的延长线上，试证明线段、、之间的关系； （2）如图4，等腰中，，，，且交于点D，以为边作等边，直线交直线于点F，连接交于点M，写出、、之间的数量关系，并加以说明． 【答案】问题提出：证明见解析；方法应用：（1）①；②；（2），见解析 【解析】 【分析】问题提出：根据等边三角形的性质可得，再通过角的转换可得，进而可证明，则可证明； 方法应用：（1）①过点E作，交于点，可证是等边三角形，得到，，再证明，得到，进而由即可求证；②过点E作，交于点，同理①证明是等边三角形和即可求证； （2）由等边三角形的性质得，，，即得，，进而可得，得到，又由线段垂直平分线的性质得，得到，即得到，在上截取，可得是等边三角形，进而可证，得到，由得，即可求解． 【详解】解：问题提出：∵、都是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 方法应用：（1）证明：过点E作，交于点G，如下图： 是等边三角形，， ，， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：； ②过点作，交于点，如下图： 是等边三角形，， ，， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：，是等边三角形， ，，， ，， 在中， ， ， ，， 垂直平分， ， ， ， 如下图，在上截取， ，， 是等边三角形， ，， ，即， 在和中， ， ， ， ， 。 【点睛】本题考查了等腰三角形性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，正确画出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期中阶段性检测八年级数学试题 本试题共8页，满分为150分，考试时间为120分钟．答卷前，请考生务必将自己的学校、班级、姓名和准考证号填写在答题卡规定的位置．考试结束后，按要求上交答题卡． 注意事项： 1．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂． 2．答非选择题时，必须使用0.5mm黑色签字笔书写，要求笔迹清晰、字体工整，务必在答题卡题号所指示的答题区域内作答． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在下列实数中，属于无理数的是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知是方程ax-y=5的一个解，那么a的值为（ ）. A. -2 B. 2 C. 3 D. 6 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 实数a，b在数轴上对应点得位置如图，则化简的结果是（ ） A. B. C. b D. 6. 一次函数上有两点，，则，大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 7. 如图所示，已知四边形是边长为2的正方形，，则数轴上点P所表示的数是（ ） A. B. C. D. 8. 两个一次函数与，它们在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 在，两地之间有汽车站站，客车由地驶往站，货车由地驶往地．两车同时出发，匀速行驶．客车、货车离站的路程，(km)与行驶时间之间的函数图象如图所示．有下列说法：①，两地相距为；②两小时后，货车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为；③客车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为：；④客、货两车在小时相遇．其中正确的有（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 10. 对一组数的一次操作变换记为，定义其变换法则如下：，且规定 (n为大于1的整数)，如，， ，则（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 立方根是________． 12. 在平面直角坐标系中，若点在y轴上，则____________ 13. 如图，直线经过点，则方程的解为______． 14. 已知方程组的解满足，则的值为______． 15. 如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上一动点，连接，将沿所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，点C的坐标为____．  三、解答题（本大题10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 解方程组：． 18. 利用平方根、立方根定义解下列方程： （1）； （2）． 19. 已知某正数的两个不同的平方根是和，的立方根为，c是的整数部分； （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）在图中作出关于x轴的对称图形，并写出点C关于y轴的对称点的坐标 ； （2）点P为y轴上一动点，且使得周长最小，直接写出点P的坐标； （3）点F在x轴上，若，请直接写出点F的坐标：______． 21. 周末，小丽和爸爸、妈妈一家三口去杨梅园游玩．已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足游客需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的六折收费； 乙方案：游客进园不需要购买门票，采摘的杨梅质量在10千克以内按原价收费，超过10千克后，超过部分按原价的五折收费． 设采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元． （1）当采摘量超过10千克时，分别求出，与之间的函数关系式； （2）当采摘多少千克时，两种方案的价格相同？ （3）若采摘量为30千克，选择哪种方案更划算？请说明理由． 22. 在一次综合实践活动中，小菲设计了两款帐篷．图1是由线段绕竖直的直线旋转一周得到的1号帐篷（点A在直线上，点B在水平地面上）；图2是由曲线段绕竖直的直线旋转一周得到的2号帐篷（点C在直线上，点D在水平地面上）． 已知两个帐篷的底圆半径都是2.0m，点M是线段上的一动点，点N是曲线段上的一动点．当M与B的水平距离和N与D的水平距离都是x（单位：m）时，小菲分别记录了M和N的竖直高度（单位：m）和（单位：m），部分数据如下： 0 0.4 0.8 12 1.6 1.8 2.0 0 0.60 1.20 1.80 2.40 3.00 0 1.60 2.20 2.42 2.51 2.52 2.53 （1）补全表格（结果保留小数点后两位）； （2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； （3）将某人在帐篷内直立行走不会碰到头部时的底圆区域称为自由活动区，根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①某学生的身高是1.80m，则他在两个帐篷内自由活动区的半径差约为______m（结果保留小数点后一位）； ②甲、乙、丙三名学生的身高（单位：m）分别为，，，若，且，则在2号帐篷中，甲与乙自由活动区的半径差______乙与丙自由活动区的半径差（填“”“”“”）． 23. 小明在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形： （一）一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如： ； ． （二）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： ； ． 请解答下列问题： （1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果． ①______；②_____． （2）应用：求的值． （3）拓展：直接写出的值． 24. 如图，平面直角坐标系中，直线交y轴于点，交x轴于点B． （1）求直线的表达式和点的坐标； （2）直线垂直平分交于点，交轴于点，点是直线上一动点，且在点的上方，设点的纵坐标为． ①当时，求点坐标； ②在①的条件下，是否存在第一象限内的点，使为等腰直角三角形，若存在，请直接写出符合点的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 【问题提出】如图1，、都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】 （1）等边三角形中，E是边上一定点，D是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接． ①如图2，若点D在边上，线段、、之间的关系为______（直接写出结论）； ②如图3，若点D在边的延长线上，试证明线段、、之间的关系； （2）如图4，等腰中，，，，且交于点D，以为边作等边，直线交直线于点F，连接交于点M，写出、、之间的数量关系，并加以说明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $