精品解析： 山东省济南市天桥区2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年山东省济南市天桥区八年级（上）期中数学试卷 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 9的算术平方根是（ ） A. ﹣3 B. ±3 C. 3 D. 2. 下列四个数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线经过两点，则与的关系为（　　） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，若点A（-a，b）在第三象限，则函数y=ax＋b的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是方程的一个解，那么常数a的值是（ ） A. 5 B. C. 3 D. 8. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前．其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有人，辆车，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，在数轴上，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，将矩形置于平面直角坐标系中，其中边在x轴上，，直线沿x轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被矩形的边截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图象如图2所示，则下列判断正确的个数有（　　） ①点A的坐标为；②矩形的面积是8； ③a的值为；b的值为10 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 如果有序数对表示第一单元4号住户，那么第三单元6号住户用有序数对表示为_______． 12. 比较大小：_____4．（填“＞”、“=”或“＜”） 13. 若点在y轴上，则点P的坐标为_______________． 14. 已知方程组，则x-y的值为_______． 15. 如图，直线与坐标轴交于A、B两点，连接且轴，交直线于点E，连接，将沿着直线翻折，点D正好落在直线上，若，那么点C的坐标为 __________． 三、解答题（本大题10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算 （1）； （2）． 17. 解方程组： 18. 已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求： （1）、、的值； （2）的立方根． 19. 某电视机厂要印制产品宣传材料，甲印刷厂提出：每份材料收1元印刷费，另收1000元制版费，乙厂提出：每份材料收2元印刷费，不收制版费． （1）分别写出两厂的收费（元与印制数量（份之间的函数解析式； （2）电视机厂拟拿出3000元用于印刷宣传材料，找哪家印刷厂印刷的宣传材料能多一些？ （3）印刷800份宣传材料时，选择哪家印刷厂比较合算？ 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知各顶点均在格点上． （1）直接写出的三个顶点的坐标：A_______；B_______；C_______； （2）画出关于x轴对称的； （3）的面积为_______． 21. 在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1，格点（顶点在格点上）顶点的坐标分别是，． （1）请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系； （2）请画出关于轴对称的； （3）在图中的轴上作一点，满足点到点与点距离之和最小，请标出点，并直接写出最小值为______． 22. 《九章算术》中记载，浮箭漏（如图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究．研究小组每记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为），得到如表： 供水时间 箭尺读数 图① 图② （1）求与之间的函数表达式，并在图②画出函数图象； （2）如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当箭尺读数为时是几点钟？ 23. 如图所示，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点． （1）求直线的表达式； （2）若直线交轴负半轴于点，求的面积； （3）在轴上是否存在点，使以三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 阅读材料： 像 ……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 数学课上，老师出了一道题“已知，求 的值”． 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为 ， 所以 ， 所以 ，所以 ， 所以 ，所以，所以． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： （1）的有理化因式是 ____________． ； （2）比较大小： ___________（填，，， 或中的一种）； （3）计算： ； （4）若，求 的值． 25. 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： （1）观察猜想 如图，在中，分别以，为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，，则与的数量关系为 ，位置关系为 ； （2）类比探究 如图 ，在中，分别以，为边作等腰直角和等腰直角，， 点，，在同一直线上，为中边上的高，猜想，，之间的数量关系并说明理由； （3）解决问题 运用（）（）中所积累的经验和知识，完成下题：如图，要测量池塘两岸相对的两点，的距离，已经测得，，，米，米，的长为 米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年山东省济南市天桥区八年级（上）期中数学试卷 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 9的算术平方根是（ ） A. ﹣3 B. ±3 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：9的算术平方根是3， 故选C． 考点：算术平方根． 2. 下列四个数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数．解题的关键在于理解无理数．根据无限不循环小数是无理数对各选项进行判断即可． 【详解】解∶A．是无理数，符合题意； B．是有理数，不符合题意； C． 是有理数，不符合题意； D．是有理数，不符合题意； 故选∶A． 3. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】由题意直接根据各象限内点的坐标特征进行分析解答即可． 【详解】解：点在第四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+，+)；第二象限(−，+)；第三象限(−，−)；第四象限(+，−)． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】题目主要考查二次根式加减乘除运算，根据运算法则依次判断即可，熟练掌握运算法则是解题关键 【详解】解：A、不能合并，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D、，选项正确，符合题意； 故选：D 5. 已知直线经过两点，则与的关系为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质．由，利用一次函数的性质，可得出随的增大而减小即可得出结论． 【详解】解：∵ ∴随的增大而减小 又∵直线经过两点，且 ∴． 故选：B． 6. 在平面直角坐标系中，若点A（-a，b）在第三象限，则函数y=ax＋b的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据A（-a，b）在第三象限可知，-a＜0，b＜0，得到a＞0，b＜0，就可以知道函数y=ax＋b的图象经过的象限； 【详解】∵A（-a，b）在第三象限， ∴-a＜0，b＜0即a＞0，b＜0， 又∵函数y=ax＋b是一次函数， ∴函数图象经过一、三、四象限， 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的图象，算出a、b的取值范围是解决本题的关键． 7. 已知是方程的一个解，那么常数a的值是（ ） A. 5 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解、解一元一次方程，将代入方程可得关于的一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：C． 8. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前．其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有人，辆车，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据“每辆车乘坐人，则空余两辆车；若每辆车乘坐人，则有人步行”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设有人，辆车，根据题意可得 故选D． 9. 如图，在中，，，，在数轴上，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据勾股定理求出AB的长，再根据同圆的半径相等可知AB=DB，再根据条件：点B对应的数是3，可求出D点坐标． 【详解】解：在中，，，， ∴AB=， 以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点， ∴BD=AB= ， ∴点D表示的数是： ． 故选A． 【点睛】本题考查实数与数轴，勾股定理，解题的关键是求出AB的长． 10. 如图1，将矩形置于平面直角坐标系中，其中边在x轴上，，直线沿x轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被矩形的边截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图象如图2所示，则下列判断正确的个数有（　　） ①点A的坐标为；②矩形的面积是8； ③a的值为；b的值为10 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是一次函数的综合应用，根据直线解析式求出点N的坐标，然后根据函数图象可知直线平移3个单位后经过点A，从而求的点A的坐标；由点F的横坐标可求得点D的坐标，从而可求得的长，据此可求得的面积；如图1所示；当直线经过点B时，直线交于点E，首先求得点E的坐标，然后利用勾股定理可求得的长，从而得到a的值；如图2所示，当直线经过点C时，直线交x轴于点F，求得直线与x轴交点F的坐标从而可求得b的值． 【详解】解：令直线的得：，解得：， ∴点M的坐标为． 由函数图象可知：当时，直线经过点A， ∴点A的坐标为， 沿x轴的负方向平移3个单位后与矩形相交于点A， ∵沿x轴的负方向平移3个单位后直线的解析式是：， ∴点A的坐标为，故①正确，； 由函数图象可知：当时，直线经过点D， ∴点D的坐标为． ∴． ∴矩形的面积，故②正确． 如图1所示；当直线经过点B时． ∵点A的坐标为， ∴点B的坐标为 设直线的解析式为， 将点B的坐标代入得；． ∴． ∴直线的解析式为． 将代入得：，解得， ∴点E的坐标为． ∴． ∴，故③正确； 如图2所示，当直线经过点C时． ∵点D的坐标为， ∴点C的坐标为． 设的解析式为，将代入得，，解得． ∴直线的解析式为． 将代入得，解得． ∴点F的坐标为． ∴，故④错误． 故选：C． Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 如果有序数对表示第一单元4号住户，那么第三单元6号住户用有序数对表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实际问题中用有序数对表示位置，根据题意可知有序数对的第一个数表示单元数，第二个数表示几号住户，据此可得答案． 【详解】解：如果有序数对表示第一单元4号住户，那么第三单元6号住户用有序数对表示为， 故答案为；． 12. 比较大小：_____4．（填“＞”、“=”或“＜”） 【答案】＜ 【解析】 【分析】比较其平方的大小即可得到答案． 【详解】解：∵42=16，()2=11， ∴＜4； 故答案为＜． 【点睛】本题考点：实数大小比较． 13. 若点在y轴上，则点P的坐标为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平面直角坐标系的性质，根据平面直角坐标系的性质可得，求得，即可求解．熟练掌握平面直角坐标系的有关性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可知， 解得，则， 故点的坐标为， 故答案为：． 14. 已知方程组，则x-y的值为_______． 【答案】-1 【解析】 【分析】用方程①减去方程②进行计算即可解答． 【详解】解：， ①-②得：x-y=-1， ∴x-y的值为-1， 故答案为：-1． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，熟练掌握解方程中整体的思想是解题的关键． 15. 如图，直线与坐标轴交于A、B两点，连接且轴，交直线于点E，连接，将沿着直线翻折，点D正好落在直线上，若，那么点C的坐标为 __________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数的图象，图形的翻折变换及其性质，勾股定理等知识点．先求出点，由轴，设点C的坐标为，根据点E在直线上得，则，由翻折的性质得，在中由勾股定理得，根据得列方程解得（舍去负值），则，再由得，据此可得点C的坐标． 【详解】∵直线与坐标轴交于A、B两点， ∴， ∴， ∵轴， ∴点C的纵坐标与点B的纵坐标相同， ∴可设点C的坐标为， 又∵点E在直线上， ∴， ∴， ∵将沿着直线翻折， ∴， 在中，由勾股定理得： ∵， ∴， 即， 解得：或， ∵点C在第一象限，因此不合题意 ∴， ∴， 又∵， ∴， 即， 解得：， ∴点C的坐标为． 故答案为：． 三、解答题（本大题10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2）0 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型． （1）化简后根据二次根式的加减运算法则即可求出答案． （2）先根据二次根式的乘除运算法则计算，再合并即可求出答案． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握二元一次方程组的解法．利用加减消元法求解即可． 【详解】解： 得： ， 将代入②得，， 原方程组的解为． 18. 已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求： （1）、、的值； （2）的立方根． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根、平方根、立方根、求算术平方根的整数部分等知识点，能求出、、的值是解题的关键． （1）根据算术平方根和平方根的定义求出、的值，再估算出的大小，求出的值即可； （2）将（1）中求出的、、的值代入，求出结果后再求出立方根即可． 【小问1详解】 解：的算术平方根是，的平方根是， ，， 解得：，， ， ， 的整数部分是，即， ，，； 【小问2详解】 解：，，， ，， 的立方根是． 19. 某电视机厂要印制产品宣传材料，甲印刷厂提出：每份材料收1元印刷费，另收1000元制版费，乙厂提出：每份材料收2元印刷费，不收制版费． （1）分别写出两厂的收费（元与印制数量（份之间的函数解析式； （2）电视机厂拟拿出3000元用于印刷宣传材料，找哪家印刷厂印刷的宣传材料能多一些？ （3）印刷800份宣传材料时，选择哪家印刷厂比较合算？ 【答案】（1）甲厂：y=x+1000，乙厂：y=2x；（2）甲印刷厂；（3）乙印刷厂 【解析】 【分析】（1）直接根据题意列出函数解析式即可； （2）把y=3000分别代入（1）中所求的函数关系式中求出x的值，比较大小即可； （3）根据（1）中的收费标准，直接列式计算，再比较大小即可． 【详解】解：（1）甲厂的收费y（元）与印刷数量x（份）之间的函数解析式为：y=x+1000； 乙厂的收费y（元）与印刷数量x（份）之间的函数解析式为：y=2x； （2）根据题意可知，若找甲厂印刷，设可以印制x份，则：3000=x+1000， 解得：x=2000； 若找乙厂印刷，设可以印制x份，则：3000=2x， 解得：x=1500． 所以，甲厂印制的宣传材料多一些； （3）当x=800时，甲厂的收费为y=800+1000=1800元， 当x=800时，乙厂的收费为y=2×800=1600元， ∵1800＞1600， ∴印刷800份宣传材料时，选择乙印刷厂比较合算． 【点睛】本题考查根据实际问题列一次函数的解析式，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出相等关系是解题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知各顶点均在格点上． （1）直接写出的三个顶点的坐标：A_______；B_______；C_______； （2）画出关于x轴对称的； （3）的面积为_______． 【答案】（1），， （2）见解析 （3）4 【解析】 【分析】本题考查了点坐标，利用轴对称的性质作图，坐标与图形．熟练掌握点坐标，利用轴对称的性质作图，坐标与图形是解题的关键． （1）由题意可知，； （2）根据轴对称的性质作图即可； （3）根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：由轴对称的性质作图如下，即为所作； 【小问3详解】 解：由题意知，， 故答案为：4． 21. 在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1，格点（顶点在格点上）顶点的坐标分别是，． （1）请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系； （2）请画出关于轴对称的； （3）在图中的轴上作一点，满足点到点与点距离之和最小，请标出点，并直接写出最小值为______． 【答案】（1）见解析 （2）画图见解析， （3）画图见解析， 【解析】 【分析】本题考查的是作图-轴对称变换，勾股定理，平面直角坐标系等知识点，熟知轴对称的性质，熟知在直线上找一个点，使它到两个已知点距离之和最小的作图方法是解答此题的关键． （1）根据点坐标建立平面直角坐标系即可； （2）分别作出各点关于轴的对称点，再顺次连接即可； （3）作出点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求；； 【小问3详解】 解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求． 此时，点到点与点距离之和，点到点与点距离之和最小为． 22. 《九章算术》中记载，浮箭漏（如图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究．研究小组每记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为），得到如表： 供水时间 箭尺读数 图① 图② （1）求与之间的函数表达式，并在图②画出函数图象； （2）如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当箭尺读数为时是几点钟？ 【答案】（1），见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求函数解析式． （1）利用待定系数法求函数表达式；由表格描点，连线即可； （2）结合函数关系式，求出时的值，然后计算即可． 【小问1详解】 解：设解析式为， 当， 则有， 解得， ∴解析式为：， 描出以表格中数据为坐标的各点，连线，如图： 【小问2详解】 解：∵时，， ∴函数解析式为：． 当时，即， 解得：， 即经过，箭尺读数为， ∵本次实验记录的开始时间是上午， ∴当箭尺读数为时是． 23. 如图所示，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点． （1）求直线的表达式； （2）若直线交轴负半轴于点，求的面积； （3）在轴上是否存在点，使以三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或或或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、勾股定理以及分类讨论的思想方法是解题的关键． （1）将点代入即可求解； （2）设，根据勾股定理可以求出的值，即可得到的面积； （3）分、、三种情况分别求出点坐标． 【小问1详解】 解：将点代入得，解得：， 故直线的表达式为． 【小问2详解】 解：设， ， ，即， ， 解得：， ． 【小问3详解】 解：存在 由题意可得， ∴可分三种情况考虑，如图所示． 当时，， ∴点的坐标为，点的坐标为； 当时，设，则， ∴，解得：， ∴点的坐标为； 当时，， ∴点的坐标为． 综上所述：轴上存在点，使以三点为顶点的三角形是等腰三角形，点的坐标为或或或． 24. 阅读材料： 像 ……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 数学课上，老师出了一道题“已知，求 的值”． 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为 ， 所以 ， 所以 ，所以 ， 所以 ，所以，所以． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： （1）的有理化因式是 ____________． ； （2）比较大小： ___________（填，，， 或中的一种）； （3）计算： ； （4）若，求 的值． 【答案】（1）， （2） （3）2021 （4）7 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，平方差公式． （1）根据有理化因式的定义即可解决问题； （2）根据题意得出所给两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们的倒数大小即可解决问题； （3）先将里的分母有理化，然后合并，再和相乘，最后算减法即可； （4）根据题干所给示例进行计算即可． 【小问1详解】 解：由题知，的有理化因式是， ∴． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵，， 显然，即 又∵和都是正数， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：原式 ； 【小问4详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 25. 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： （1）观察猜想 如图，在中，分别以，为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，，则与的数量关系为 ，位置关系为 ； （2）类比探究 如图 ，在中，分别以，为边作等腰直角和等腰直角，， 点，，在同一直线上，为中边上的高，猜想，，之间的数量关系并说明理由； （3）解决问题 运用（）（）中所积累的经验和知识，完成下题：如图，要测量池塘两岸相对的两点，的距离，已经测得，，，米，米，的长为 米． 【答案】（1）；； （2），理由见解析； （3）米． 【解析】 【分析】（）证即可证出，再根据“”字型得； （）先 证，再证，最后通过线段和差即可得证； （）按照前问思路构造“手拉手模型”全等，作，使，连接，则为等腰直角三角形，证明，则，最后利用勾股定理求即可； 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等内容，熟练掌握相关知识和添加合适的辅助线是解题关键． 【小问1详解】 解：∵和都是等腰直角三角形, ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 设与交于点，与交于点， ∵， ∴， ∴； 故答案为：，； 【小问2详解】 ，理由如下： ∵和均为等腰直角三角形， ∴，， ∵ ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 如图，作，使，连接，则为等腰直角三角形， 同（）同理可证：， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴（米）， ∴米， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $