4.2.2 指数函数的图像与性质课件（一）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦指数函数的图像与性质及应用，以“与百万富翁的交易”情景导入，通过具体收支计算展现指数增长特点，衔接复习旧知（定义、特征），再用描点法作图探究a>1和0<a<1的图像规律，构建递进式学习支架。 其特色是情景导入贴近生活，激发学生兴趣，培养数学眼光，通过图像对比和自主探究（如底大图高规律）发展数学思维，题型分类系统（比较大小、恒过定点等）结合口诀，用数学语言总结性质，学生能提升解题能力，教师可高效开展教学。

4.2 指数函数 4.2.2 指数函数的图像与性质（一） 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 4.1 指数 4.1.1 n次方根与分数指数幂 情景导入——与百万富翁的交易 一个人永远赚不到认知以外的钱。凭运气得来的钱，也会凭实力输掉。 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 2 学习目标 1.理解指数函数的概念和意义，会画指数函数的图像。 2.探索并理解指数函数的单调性和特殊点。 3.理解指数函数的图像与性质，能运用指数函数的图像 和性质解决有关数学问题。 4.1 指数 4.1.1 n次方根与分数指数幂 复习旧知 1.指数函数的定义 2.指数函数的特征 （1）底数为常数，且； （2）指数为自变量； （3）指数幂的系数为1. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 4 新知探究 问题：我们研究函数的性质，通常都研究哪些性质？又通常如何去研究？ 定义域、值域、单调性、奇偶性、过定点等. 我们通常是根据图像来研究函数的. 思考：描点法作图的基本步骤是？ 列表——描点——连线 列表取值要具有代表性，自变量x的选取可兼顾正负与对称原则。 画出特例 探究1 请同学们完成x，y的对应值表，用描点法画出函数 的图象. x y -2 -1.5 0.35 -1 -0.5 0.71 0 0.5 1.41 1 1.5 2.83 2 0.25 0.5 1 2 4 1 x y o 1 2 3 -1 -2 -3 1. 图像都在X轴的上方，从左至右呈上升趋势。 2. 向上无限延伸，向下无限接近于x轴。 3. 图像过定点（0，1）。 4. 定义域是R，值域是（0，+∞） 5. 在R上单调递增，是增函数。 6. 非奇非偶函数。 7. 当时，y>1；当时，0<y<1。 画出特例 探究2 请同学们完成x，y的对应值表，用描点法画出函数 的图象. x y -2 -1.5 2.83 -1 -0.5 1.41 0 0.5 0.71 1 1.5 0.35 2 4 2 1 0.5 0.25 0 1 1 1. 图像都在X轴的上方，从左至右呈下降趋势。 2. 向上无限延伸，向下无限接近于x轴。 3. 图像过定点（0，1）。 4. 定义域是R，值域是（0，+∞） 5. 在R上单调递减，是减函数。 6. 非奇非偶函数。 7. 当时，0<y<1；当时，y>1。 新知探究 比较两个函数的图象，它们有什么关系？你能利用解析式，从代数的角度解释这种关系吗? 0 1 1 结论：底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称. 那么，根据这种对称性，就可以利用一个函数的图象画出另一个函数的图象. 新知探究 选取底数的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的指数函数图象. y=2x y=3x y=4x 的图象关于y轴对称. 观察这些函数图像的位置、公共点和变化趋势，它们有什么共性？ 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 y=ax (0<a<1) y=ax (a>1) ，底大图高 指数函数的图像和性质 在R上是减函数 在R上是增函数 单调性 （0，1） （0，1） 过定点 x > 0时，0< y <1 x < 0时，y > 1 x > 0时，y > 1 x < 0时，0< y <1 函数值变化情况 R R 值 域 (0,+∞) 　 (0,+∞) 定义域 图 象 函 数 R (0,+∞) （0，1） 底大图高 y=2x y=3x y=4x 在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； 在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由小变大. 即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大. 这一性质可通过令x＝1时，y＝a去理解，如图. 牛刀小试 如图是指数函数的图象,则与和的大小关系是(　　) B 题型一：比较大小 解： 构造函数y=1.7x 在R上是增函数 (1)1.72.5__ 1.73 ∴1.72.5 < 1.73 ∵ 2.5 < 3 对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断； 题型一：比较大小 构造函数y=0.8x 在R上是减函数 ∴ 0.8—1 < 0.8 — 2 ∵ -1 > -2 (2)0.8—1__0.8--2 题型一：比较大小 ∴1.70.5 > 0.82.5 ∵ 1.7 0.5 > 1.70 = 1 = 0.80 >0.8 2.5 (3)1.70.5__ 0.82.5 对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断. （4）1.70.3 1.50.3 题型一：比较大小 对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的图像的变化规律来判断； ∵1.7＞1.5， ∴在(0，＋∞)上，y＝1.7x的图象位于y＝1.5x的图象的上方. 而0.3＞0，∴1.70.3＞1.50.3. 跟踪训练1 题型二：恒过定点 （1）函数且的图象过定点_____________. （2）已知函数的图象过定点，则的坐标是_______ （3）函数,且 的图象过定点为_____________. （4）函数，且 的图象过定点_________. （6）函数f(x)＝3－ax+1(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点_________. 题型三：简单的指数不等式的解法 总结 23 跟踪训练2 × √ × × 思辨解析 复合函数单调性 复合函数的单调性满足同增异减 ①若都单调递增，则复合函数单调递增 ②若都单调递减，则复合函数单调递增 ③若，则复合函数单调递减 马上练习 题型四：指数型函数的单调性 28 总结 跟踪训练 题型五：指数函数性质的综合问题 指数爆炸带给我们的反思 巩固训练 巩固训练 课堂小结 1.掌握指数型函数单调区间的法及单调性的判断： 2.能借助指数函数图象及单调性比较大小： 注意底数的情况，底数不确定时可以分类讨论。 3.会解简单的指数方程、不等式： 4.会判断指数型函数的奇偶性。 设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<a C 解析：∵1.50.6>1.50＝1，0.60.6<0.60＝1，故1.50.6>0.60.6， 又函数y＝0.6x在(－∞，＋∞)上是减函数，且1.5>0.6， 所以0.61.5<0.60.6，故0.61.5<0.60.6<1.50.6，选C. （5）函数 的图象恒过定点 (1)不等式4x<42－3x的解集是________. (2)若a－5x>ax＋7(a>0且a≠1)，求x的取值范围． （1）eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) 解析　∵4x<42－3x，∴x<2－3x，∴x<eq \f(1,2). （2） 解 ①当a>1时，∵a－5x>ax＋7，且函数y＝ax为增函数，∴－5x>x＋7，解得x<－eq \f(7,6). ②当0<a<1时，∵a－5x>ax＋7，且函数y＝ax为减函数，∴－5x<x＋7， 解得x>－eq \f(7,6). 综上所述，当a>1时，x的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(7,6))) .当0<a<1时，x的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,6)，＋∞)). (1)形如ax>ay的不等式：可借助y＝ax的单调性求解．如果a的值不确定，需分0<a<1和a>1两种情况讨论． (2)形如ax>b的不等式：注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解． 已知集合M＝{－1,1}，N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＜2x＋1＜4，x∈Z))))，则M∩N＝(　　) A．{－1,1} B．{－1} C．{0} D．{－1,0} B 解析：∵eq \f(1,2)＜2x＋1＜4，∴2－1＜2x＋1＜22，∴－1＜x＋1＜2，∴－2＜x＜1. 又∵x∈Z，∴x＝0或x＝－1，即N＝{0，－1}，∴M∩N＝{－1}． (1)若0.3a>0.3b，则a>b.(　　) (2)函数y＝ 在[0，＋∞)上为增函数．(　　) (3)函数y＝2,x) eq \s\up15() 在其定义域上为减函数．(　　) (4)若am>1，则m>0.(　　) 函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1－x的单调增区间为(　　) A．R B．(0，＋∞) C．(1，＋∞) D．(0,1) 【答案】A　[令u(x)＝1－x，则u(x)在R上是减函数，又y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))u(x)是减函数，故y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1－x在R上单调递增，故选A.] 判断f(x)＝(eq \f(1,3))x2-2x的单调性，并求其值域． 解：令u＝x2－2x，则原函数变为y＝(eq \f(1,3))u. ∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减， 在[1，＋∞)上递增， 又∵y＝(eq \f(1,3))u在(－∞，＋∞)上递减， ∴y＝(eq \f(1,3))x2-2x在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减． ∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1， ∴y＝(eq \f(1,3))u，u∈[－1，＋∞)， ∵0<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))u≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－1＝3，∴原函数的值域为(0,3]． 相同 相同 关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定， 一是底数a>1还是0<a<1； 二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成. 指数型函数的单调性 一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质 (1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有 的定义域. (2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有 的单调性； 当0<a<1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性 . 相反 求函数y＝ 的单调区间. 解　设y＝au，u＝x2＋2x－3， 由u＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，得u在(－∞，－1]上为减函数， 在[－1，＋∞)上为增函数. 当a>1时，y关于u为增函数；当0<a<1时，y关于u为减函数， ∴当a>1时，原函数的增区间为[－1，＋∞)，减区间为(－∞，－1]； 当0<a<1时，原函数的增区间为(－∞，－1]，减区间为[－1，＋∞). 已知定义在R上的函数f(x)＝a＋eq \f(1,4x＋1)是奇函数. (1)求a的值； (2)判断f(x)的单调性(不需要写出理由)； (3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求实数k的取值范围。 解：(1)∵f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数， ∴f(0)＝0，即a＋eq \f(1,2)＝0，∴a＝－eq \f(1,2). (2)由(1)知f(x)＝－eq \f(1,2)＋eq \f(1,4x＋1)，故f(x)在R上为减函数. (3)∵f(x)为奇函数，∴f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0可化为f(t2－2t)<f(k－2t2). 由(2)知f(x)在R上单调递减， ∴t2－2t>k－2t2，即3t2－2t－k>0对于一切t∈R恒成立， ∴Δ＝4＋12k<0，得k<－eq \f(1,3)， ∴k的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3))). 1.比较下列各组值的大小： (1)1.8－0.1，1.8－0.2； (2)1.90.3，0.73.1； (3)a1.3，a2.5(a>0，且a≠1). 解: (1)因为函数y＝1.8x是R上的增函数，且－0.1>－0.2，所以1.8－0.1>1.8－0.2. (2)因为1.90.3>1.90＝1，0.73.1<0.70＝1，所以1.90.3>0.73.1. (3)当a>1时，函数y＝ax是R上的增函数，又1.3<2.5，故a1.3<a2.5； 当0<a<1时，函数y＝ax是R上的减函数，又1.3<2.5，故a1.3>a2.5. (2)由(1)知f(x)在[0,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减， 且f(0)＝1，f(1)＝2，f(3)＝eq \f(1,8)， 所以f(x)max＝f(1)＝2，f(x)min＝f(3)＝eq \f(1,8)，所以f(x)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，2)). 2.已知函数f(x)＝2－x2＋2x. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)求函数f(x)在[0,3]上的值域． 解: (1)函数y＝2－x2＋2x的定义域是R. 令u＝－x2＋2x，则y＝2u.当x∈(－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x为增函数， 函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2－x2＋2x在(－∞，1]上是增函数． 当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x为减函数，函数y＝2u是增函数， 所以函数y＝2－x2＋2x在[1，＋∞)上是减函数． 综上，函数y＝2－x2＋2x的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1]． $