专题05 典型题专练7大考点（期末真题汇编，黑龙江专用）七年级数学上学期新教材人教版

专题05 典型题专练 7大高频考点概览 考点01 有理数的大小比较问题 考点02 非负数的和为零问题 考点03 正负数的实际应用题 考点04 整体思想问题 考点05 定义新运算问题 考点06 多结论判断问题 考点07 找规律问题 地 城 考点01 有理数的大小比较问题 一、单选题 1．(24-25七上·黑龙江·黑龙江齐齐哈尔铁锋区·期末)在，0，4，9这四个数中，最小的数是（    ） A． B．0 C．4 D．9 2．(24-25七上·黑龙江大庆·期末)在，，，这四个数中，最小的数是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25七上·黑龙江省哈尔滨市南岗区·期末)数轴上表示数a，b的点如图所示．把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（   ）． A． B． C． D． 4．(24-25七上·黑龙江省双鸭山市集贤县·期末)数轴上表示数的点如图所示，把按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．(24-25七上·黑龙江省双鸭山市宝清县·期末)实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 6．(24-25七上·黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区·期末)如图，数轴上的A、B两点分别表示有理数a、b，下列式子中不正确的是（    ） A． B． C． D． 7．(24-25七上·黑龙江齐齐哈尔·期末)数在数轴上的位置如图所示，则（   ） A． B． C． D． 8．(24-25七上·黑龙江省大庆市第一中学·期末)已知个数在数轴上的位置如图所示，下列式子不成立的是（    ） A． B． C． D． 9．(24-25七上·黑龙江省绥化市·期末)有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 10．(24-25七上·黑龙江省齐齐哈尔市四县联考·期末)比较大小： （填“”、“”或“”）． 11．(24-25七上·黑龙江绥化明水县·期末)比较下列有理数的大小： 0； ．（填<、=或>） 12．(24-25七上·黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区·期末)比较大小： (填“”“”或“”) 地 城 考点02 非负数的和为零问题 一、单选题 1．(24-25七上·黑龙江绥化明水县·期末)若，则的值为（   ） A． B． C．5 D．13 2．(24-25七上·黑龙江省双鸭山市集贤县·期末)已知，则的值是（    ） A． B．1 C．3 D． 二、填空题 3．(24-25七上·黑龙江佳木斯·期末)若，则 ． 4．(24-25七上·黑龙江大庆第一中学·期末)如果，则 ． 5．(24-25七上·黑龙江省绥化市·期末)如果，则 ． 6．(24-25七上·黑龙江绥化海伦·期末)若与互为相反数，则 ． 地 城 考点03 正负数的实际应用题 一、解答题 1．(24-25七上·黑龙江省佳木斯市·期末)在今年抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满汽油后沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：+15，-8，+9，-6，+14，-5，+13，-10． (1)B地位于A地的什么方向？距离A地多少千米？ (2)若冲锋舟每千米耗油0.6升，油箱容量为30升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升汽油？ 2．(24-25七上·黑龙江省绥化市明水县·期末)为体现社会对教师的尊重，9月10日教师节这一天上午，出租车司机小王在东西向的公路上免费接送老师．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）：＋5，﹣4，＋3，﹣7，﹣2，＋3，﹣8，＋7 （1）最后一名老师送到目的地时，小王在什么位置？离出发点最远的老师在什么位置？ （2）若汽车耗油量为0.2升/千米，这天下午汽车共耗油多少升？ 3．(24-25七上·黑龙江双鸭山宝清县·期末)某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖称为一单）的部分记作正数，低于40单的部分记作负数，记录如下表 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） (1)求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？ (2)外卖小哥每天的工资由底薪40元加上送单补贴构成．送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单的部分，每单补贴8元．求该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 4．(24-25七上·黑龙江齐齐哈尔·期末)小刚家买了一辆轿车，小刚记录了连续7天中每天轿车行驶的路程，如下表所示，以为基准，超过的记为“”，不足的记为“”． 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程/ 0 (1)在小刚记录的7天中，第_________天轿车行驶的路程最多，行驶了_________； (2)若该轿车每行驶耗汽油，汽油每升元，请计算小明家这7天的汽油费用是多少元？ 5．(24-25七上·黑龙江省大庆市第一中学·期末)李明家购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他将汽车充满电后连续天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：，以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”）已知该汽车第三天行驶了，第六天行驶了． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 (1) ， ； (2)已知李明家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足续航的，行车电脑就会发出充电提示请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 6．(24-25七上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期末)2024年国庆节期间，各地风景区游人如织，某风景区，在9月30日的游客人数为0.9万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化如表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（万人） (1)10月3日的游客人数为 万人； (2)10月1日至7日，游客人数最多的是10月 日，达到 万人；游客人数最少的是10月 日，达到 万人； (3)请问该景区在10月1日至10月7日这7天内一共接待了多少游客？ 7．(24-25七上·黑龙江省双鸭山市集贤县·期末)最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电动汽车，他连续天记录了每天行驶的路程：，，，，，，．以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“”． (1)这天里路程最多的一天比最少的一天多走________； (2)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (3)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油价元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元，请估计小明家换成新能源汽车后这天的行驶费用比原来节省多少钱？ 8．(24-25七上·黑龙江省大庆市·期末)张家口市怀来县种植葡萄已有800多年的历史，其中最知名的品种之一是龙眼葡萄，它被郭沫若誉为“北国明珠”．该县质监局对某企业出售的葡萄进行了抽检，从库中任意抽出20箱样品进行检测，每箱的质量超过标准质量（标准质量为10千克）的部分记为正数，不足的部分记为负数，记录如下表： 与标准质量的差（单位：千克） 0 箱数 3 5 1 4 5 2 (1)这20箱样品中，最重的一箱和最轻的一箱相差多少千克？ (2)若每箱与标准质量的差的绝对值小于或等于0.2千克的记为合格产品，则这20箱样品的合格率是多少？ (3)这批样品总质量比标准质量多或少几千克？ 9．(24-25七上·黑龙江省齐齐哈尔市铁锋区·期末)某厂一周计划生产700个玩具，平均每天生产100个，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周每天的生产情况（增产为正，减产为负，单位：个） 星期 一 二 三 四 五 六 日 产量 (1)根据记录，求出前三天共生产多少个？ (2)请问产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少个？ (3)该厂实行计件工资制，每生产一个玩具10元，若按周计算，超额完成任务，超出部分每个12元；若未完成任务，生产出的玩具每个只能按8元发工资，那么该厂员工这一周的工资总额是多少？ 10．(24-25七上·黑龙江省绥化市海伦市·期末)小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） 0 (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走___________． (2)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (3)已知新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元，请计算小明家这7天的行驶费用是多少钱？ 11．(24-25七上·黑龙江佳木斯富锦·期末)一辆公共汽车从起点站开出后，途中经过个停靠站，最后到达终点站．下表记录了这辆公共汽车全程载客的变化情况，其中正数表示上车人数，负数表示下车人数，0表示无人上车或下车． 停靠站 起点站 中间第站 中间第站 中间第站 中间第站 中间第站 中间第站 终点站 上、下车人数 ； ； ； ； ； ； (1)中间第站上车的人数是 人，下车的人数是 人； (2)途中的个站中，第 站没有人上车，第 站没有人下车； (3)公共汽车离开中间第站时车上的人数为 人，离开中间第站时车上的人数为 人； (4)从表中你还能知道什么信息？ 地 城 考点04 整体思想问题 一、单选题 1．(24-25七上·黑龙江省绥化市海伦市·期末)若多项式的值为3，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 2．(24-25七上·黑龙江双鸭山宝清县·期末)已知，那么代数式的值是 ． 3．(24-25七上·黑龙江齐齐哈尔·期末)已知代数式的值是2，则代数式的值是 ． 4．(24-25七上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期末)若，则的值为 ． 5．(24-25七上·黑龙江佳木斯富锦·期末)已知的值为，求的值为 ． 三、解答题 6．(24-25七上·黑龙江省哈尔滨市道外区四校联考·期末)阅读：我们知道，，类似地，我们也可以将看成一个整体，则请根据上面的提示和范例，解决下面的问题： (1)把看成一个整体，则将合并的结果为______； (2)已知，求的值； (3)已知，，，求的值． 7．(24-25七上·黑龙江龙东部分学校·期末)理解与思考： 整体代换是数学的一种思想方法． 例如：，则_____． 我们将作为一个整体代入， 则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则_____； (2)如果，求的值； (3)若，，求的值． 8．(24-25七上·黑龙江大庆·期末)整体思想是中学数学解题中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照下面的解题方法，完成后面的问题： 如果代数式的值为3，那么代数式的值是多少？ 爱动脑筋的小聪同学这样来解： 原式． 我们把看成一个整体，把式子两边乘2，得． 【方法运用】 （1）若，则的值为_________； （2）若，求的值； 【类比迁移】 （3）两地相距60千米，甲、乙两人同时从两地骑自行车出发，相向而行．甲每小时行千米，乙每小时行千米，经过3小时相遇．问甲、乙两人出发多少小时后两人相距20千米？ 地 城 考点05 定义新运算问题 一、单选题 1．(24-25七上·黑龙江绥化海伦·期末)定义一种新运算：，则的结果是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25七上·黑龙江省龙东地区部分学校·期末)定义新运算“⊕”如下：当时，；当时，．按上述规定计算的值为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25七上·黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区·期末)对于有理数a、b，定义一种新运算，规定，则（      ） A．4 B． C．7 D． 二、填空题 4．(24-25七上·黑龙江绥化望奎县·期末)定义，则 ． 5．(24-25七上·黑龙江省齐齐哈尔市四县联考·期末)定义一种新运算：，例如，则 ． 6．(24-25七上·黑龙江齐齐哈尔·期末)定义运算：对于任意有理数、，有★，若★，则的值是 ． 7．(24-25七上·黑龙江省哈尔滨市阿城区·期末)对于任意有理数a，b，我们规定：，若，则 ． 8．(24-25七上·黑龙江省绥化市明水县·期末)x，y表示两个数，规定新运算“※”及“☆”如下：．那么 ． 9．(24-25七上·黑龙江绥化·期末)用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定，若，则的值为 10．(24-25七上·黑龙江大庆·期末)用“”定义一种新运算：对于任何有理数和，规定．如，则的值为 ． 11．(24-25七上·黑龙江省哈尔滨市巴彦县·期末)定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则 ． 12．(24-25七上·黑龙江齐齐哈尔铁锋区·期末)用“→”，“←”定义新运算：对于任意有理数a，b，都有和，例如：，，则 ． 13．(24-25七上·黑龙江省齐齐哈尔市讷河市·期末)已知，均为有理数，现规定一种新运算“※”，满足，例如．计算 ． 14．(24-25七上·黑龙江绥化·期末)用“”，“←”定义新运算：对于任意有理数a，b，都有和，例如：，，则 ． 15．(24-25七上·黑龙江绥化·期末)定义：是不为1的有理数．我们把称为的差倒数，如2的差倒数是．已知是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数……以此类推，的值是 ． 地 城 考点06 多结论判断问题 一、单选题 1．(24-25七上·黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区·期末)下列说法：（1）两点确定一条线段；（2）画一条射线，使它的长度为；（3）线段和线段是同一条线段；（4）射线和射线是同一条射线；（5）直线和直线是同一条直线．其中错误的有（　　）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．(24-25七上·黑龙江大庆第一中学·期末)下列说法中，正确的是（   ） ①若，则 ②若，则是正数 ③如果2025个有理数相乘所得的积为0，那么这2025个数中恰有一个数为0 ④、、三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等，则 ⑤的最小值为2015 A．①③④ B．② C．②④ D．③⑤ 3．(24-25七上·黑龙江双鸭山宝清县·期末)下列说法正确的是（   ） ①可以写成分数形式的数称为有理数； ②汽车行驶时间一定，汽车行驶的平均速度与路程成反比例关系； ③两条射线组成的图形叫作角； ④用“四舍五入”法保留整数和一位小数都是7； ⑤多项式是四次四项式； ⑥一台电脑先提价，再降价后出售，现价与原价相比没有变化； A．①⑤ B．②③ C．②④ D．⑤⑥ 4．(24-25七上·黑龙江省佳木斯市富锦市·期末)有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．(24-25七上·黑龙江省绥化市·期末)一次秋游活动中，有辆客车共乘坐位师生．若每辆客车乘60人，则还有10人不能上车；若每辆客车乘62人，则最后一辆车空了8个座位．给出下列4个方程：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 6．(24-25七上·黑龙江牡丹江第五子联盟·期末)下列说法：①直线和直线是同一条直线；②线段就是，两点间的距离；③换算成度为；④两点之间直线最短；⑤若线段，则点是线段的中点，其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．(24-25七上·黑龙江省龙东地区部分学校·期末)如图，是直线上一点，平分，，则以下结论：①与互为余角；②；③；④若，则．其中结论正确的序号是（   ） A．①④ B．①③④ C．③④ D．①②③④ 8．(24-25七上·黑龙江省绥化市明水县·期末)如图，点、、在同一条直线上，，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 地 城 考点07 找规律问题 一、单选题 1．(24-25七上·黑龙江省绥化市北林区·期末)如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的灰白两种颜色的小正方形组成的，按照这样的规律，若组成的图案中有个灰色小正方形，则这个图案是（   ） A．第个 B．第个 C．第个 D．第个 2．(24-25七上·黑龙江省齐齐哈尔市讷河市·期末)为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”的比赛．如图所示：    按照上面的规律，摆个“金鱼”需用火柴棒的根数为（    ）． A． B． C． D． 3．(24-25七上·黑龙江哈尔滨阿城区·期末)用黑白两种颜色的正六边形地砖按如下所示的规律，拼成若干个图案，若第n个图形中白色地砖比黑色地砖多299块，则n的值为（    ） A．100 B．99 C．98 D．60 二、填空题 4．(24-25七上·黑龙江省哈尔滨市道外区四校联考·期末)一列数按规律排列如下：，，，，，…则第10个数是 ． 5．(24-25七上·黑龙江佳木斯·期末)已知：，，，，…，若符合前面式子的规律，则 ． 6．(24-25七上·黑龙江省佳木斯市·期末)观察下列等式 ：， … ， 则 7．(24-25七上·黑龙江绥化·期末)一平面内共有10条直线，它们之间的位置关系未知，这10条直线最多有 个交点． 8．(24-25七上·黑龙江双鸭山宝清县·期末)下图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，第3个图案由10个基础图形组成，……第9个图案中基础图形个数为 ． 9．(24-25七上·黑龙江省双鸭山市宝清县·期末)如图是用棋子摆成的图案，按照这样的规律摆下去，摆成第6个图案需要棋子的个数为 ． 10．(24-25七上·黑龙江齐齐哈尔铁锋区·期末)如图所示，将形状，大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为3，第2幅图形中“●”的个数为8，第3幅图形中“●”的个数为15．以此类推，则第10幅图形中“●”的个数为 11．(24-25七上·黑龙江绥化望奎县·期末)如图，画2个正方形能得到4个直角三角形，画3个正方形能得到8个直角三角形，画20个正方形能得到 个三角形． 12．(24-25七上·黑龙江牡丹江第五子联盟·期末)用黑色棋子摆出一组图形如图所示：按照这种规律摆下去，请写出第个图形用的黑色棋子个数为 ． 13．(24-25七上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期末)下列图案都是小正方形按一定规律组成的，其中第1个图形共有小正方形9个，第2个图形共有小正方形14个，依此规律第个图形中有小正方形 个．    14．(24-25七上·黑龙江双鸭山集贤县·期末)如图，把黑色棋子按如图的规律摆放，那么第个图应摆放的棋子数为 枚 15．(24-25七上·黑龙江齐齐哈尔·期末)如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第个图形需要 根小木棒． 16．(24-25七上·黑龙江省绥化市·期末)如图图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第1个图形中共有6个小圆圈，第2个图形中共有9个小圆圈，第3个图形中共有 12个小圆圈，…，按此规律，则第2024个图形中小圆圈的个数为 ． 三、解答题 17．(24-25七上·黑龙江哈尔滨巴彦县·期末)观察下列三行数，回答下面的问题： 第一行：、4、、、……① 第二行：0、6、、18、……② 第三行：、2、、8、……③ (1)请直接写出每一行的第6个数分别是______，______，______； (2)取每行数的第个数，从上到下分别记为，，，求的值． 18．(24-25七上·黑龙江大庆第一中学·期末)数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法． (1)《庄子·天下》中有这样一段话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是一尺长的棍棒，每日取它的一半，永远也截不完，如果将一根一尺长的棍棒看成单位“1”，每天截取一半，截取5次，则截取的棍棒总长度是多少？ (2)如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则；如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉一半，则；以此类推，如图3，；…… ①__________． ②应用：计算． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 典型题专练 7大高频考点概览 考点01 有理数的大小比较问题 考点02 非负数的和为零问题 考点03 正负数的实际应用题 考点04 整体思想问题 考点05 定义新运算问题 考点06 多结论判断问题 考点07 找规律问题 地 城 考点01 有理数的大小比较问题 一、单选题 1．(24-25七上·黑龙江·黑龙江齐齐哈尔铁锋区·期末)在，0，4，9这四个数中，最小的数是（    ） A． B．0 C．4 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握比较原则是解题的关键．根据有理数大小比较的基本原则解答即可． 【详解】解：根据题意，得， 故最小的数是， 故选：A． 2．(24-25七上·黑龙江大庆·期末)在，，，这四个数中，最小的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的大小比较，根据有理数的大小比较比较方法即可求解，解题的关键是熟练掌握有理数数比较大小的方法：正数大于零，负数小于零，正数大于负数，两个负数比较，绝对值大的数反而小． 【详解】解：根据正数大于零，负数小于零，正数大于负数，两个负数比较，绝对值大的数反而小， ∴， ∴这四个数中，最小的数是， 故选：． 3．(24-25七上·黑龙江省哈尔滨市南岗区·期末)数轴上表示数a，b的点如图所示．把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，相反数．熟练掌握利用数轴比较有理数的大小法则：数轴上右边点表示的数大于左边点表示的数是解题的关键． 观察数轴得出，在数轴上表示出、，即可由图得出结论． 【详解】解：由图得， 在数轴上表示出、为： 由图可得：， 故选：C． 4．(24-25七上·黑龙江省双鸭山市集贤县·期末)数轴上表示数的点如图所示，把按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小．熟练掌握利用数轴比较有理数的大小是解题的关键． 由数轴可知，然后作答即可． 【详解】解：由数轴可知， 故选：A． 5．(24-25七上·黑龙江省双鸭山市宝清县·期末)实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，有理数的乘法和加法．绝对值的意义，先根据数轴得出a，b的范围，再逐个判断即可． 【详解】解：由题知：，， ∴，，，， ∴选项B符合题意． 故选：B． 6．(24-25七上·黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区·期末)如图，数轴上的A、B两点分别表示有理数a、b，下列式子中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴、绝对值，有理数的加减运算，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，根据数轴可以判断a、b的正负和它们的绝对值的大小，从而可以判断各个选项是否正确． 【详解】解：由数轴可得， ，，， A、，正确，不符合题意； B、，正确，不符合题意； C、，正确，不符合题意； D、，错误，符合题意； 故选：D． 7．(24-25七上·黑龙江齐齐哈尔·期末)数在数轴上的位置如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，有理数的加法，有理数的减法，有理数的乘法，有理数的除法，解题的关键是掌握上述基本知识．由题意得，，，即可依次判断选项正误，即可得． 【详解】解：由题意得，，， A、，选项说法错误，不符合题意； B、，选项说法错误，不符合题意； C、，选项说法错误，不符合题意； D、，选项说法正确，符合题意； 故选：D． 8．(24-25七上·黑龙江省大庆市第一中学·期末)已知个数在数轴上的位置如图所示，下列式子不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子符号，有理数的四则运用，正确得到，是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴a、b异号， ∴，，， 故选：D． 9．(24-25七上·黑龙江省绥化市·期末)有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子符号，有理数的四则运算，根据题意得到，是解题的关键． 首先根据题意得到，，然后逐项判断即可． 【详解】解：由题意得，，， ∴，，，， ∴四个选项中只有C选项的结论错误，符合题意， 故选：C． 二、填空题 10．(24-25七上·黑龙江省齐齐哈尔市四县联考·期末)比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较知识点，涉及负数比较大小的规则（两个负数比较大小，绝对值大的反而小）以及的近似值（）．解题关键是先比较它们绝对值的大小，再根据负数比较大小的规则得出结果，易错点是混淆正数和负数比较大小的规则，误将负数的大小关系与正数的大小关系等同． 要比较和的大小，首先回忆的近似值，明确与的大小关系，然后根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”这一规则，通过比较它们绝对值的大小，进而得出这两个负数的大小关系． 【详解】， ． ． 故答案为：． 11．(24-25七上·黑龙江绥化明水县·期末)比较下列有理数的大小： 0； ．（填<、=或>） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解答本题的关键．正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小． 【详解】解：； ， ∵， ∴． 故答案为：，． 12．(24-25七上·黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区·期末)比较大小： (填“”“”或“”) 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，绝对值的意义，相反数的定义，，，根据两个负数比较大小的方法即可得到答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 地 城 考点02 非负数的和为零问题 一、单选题 1．(24-25七上·黑龙江绥化明水县·期末)若，则的值为（   ） A． B． C．5 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，熟练掌握非负数的性质是解题的关键． 根据绝对值和偶次方的非负性求出的值，再代入代数式计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C ． 2．(24-25七上·黑龙江省双鸭山市集贤县·期末)已知，则的值是（    ） A． B．1 C．3 D． 【答案】A 【分析】根据绝对值和偶次方的非负性得到，，分别求出和的值，再进行计算即可解答． 【详解】解：依题意得：，， ． ． 故选：A． 【点睛】本题考查了绝对值与偶次方的非负性以及有理数加法运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 二、填空题 3．(24-25七上·黑龙江佳木斯·期末)若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是非负数的性质，代数式求值，熟练掌握非负数的性质是解题的关键．先依据非负数的性质求得，然后再代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴， 解得： ∴ 故答案为：． 4．(24-25七上·黑龙江大庆第一中学·期末)如果，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了代数式求值、绝对值和偶次方的非负性，熟练掌握代数式求值的方法是解题关键．先根据绝对值和偶次方的非负性求出的值，再代入计算即可得． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：1． 5．(24-25七上·黑龙江省绥化市·期末)如果，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了偶次方和绝对值的非负性，正确得出，的值是解题关键．利用偶次方与绝对值的非负性得出、的值进而得出答案． 【详解】解： ， ∴，， ，， ． 故答案为：． 6．(24-25七上·黑龙江绥化海伦·期末)若与互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义，非负数的性质，求代数式的值，先根据相反数的定义以及非负数的性质求出的值，然后代入计算即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 地 城 考点03 正负数的实际应用题 一、解答题 1．(24-25七上·黑龙江省佳木斯市·期末)在今年抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满汽油后沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：+15，-8，+9，-6，+14，-5，+13，-10． (1)B地位于A地的什么方向？距离A地多少千米？ (2)若冲锋舟每千米耗油0.6升，油箱容量为30升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升汽油？ 【答案】(1)B地位于A地的正东方向，距离A地22千米 (2)冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充18升汽油 【分析】（1）根据有理数的加法求和，再根据向东为正方向，根据和的符号，可判断方向和位置； （2）先将所走的总路程计算出来，再算出总的应耗油量，从而计算还需补充多少油量． 【详解】（1）（千米）， 所以，B地位于A地的正东方向，距离A地22千米； （2）这一天走的总路程为：（千米）， 应耗油：（升）， 还要补充油量为：（升）， 所以，冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充18升汽油． 【点睛】本题考查有理数的运算在实际中的应用，正确理解正负数的意义以及运算法则是解题的关键． 2．(24-25七上·黑龙江省绥化市明水县·期末)为体现社会对教师的尊重，9月10日教师节这一天上午，出租车司机小王在东西向的公路上免费接送老师．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）：＋5，﹣4，＋3，﹣7，﹣2，＋3，﹣8，＋7 （1）最后一名老师送到目的地时，小王在什么位置？离出发点最远的老师在什么位置？ （2）若汽车耗油量为0.2升/千米，这天下午汽车共耗油多少升？ 【答案】（1）在出发点西边，离出发点最远的老师在出发点西边10千米位置；（2）7.8升 【分析】（1）本题需先根据正数和负数的表示方法和本题所给的已知条件，分别计算出小王在出车地点的哪边和距离出车地点，再计算出每次接送老师离出发点的距离，得出离出发点最远的老师的位置和距离出发点多少千米； （2）求出记录的行程绝对值之和，乘以0.2即可得到结果． 【详解】解：（1）根据题意得： 5﹣4+3﹣7﹣2+3﹣8+7 ＝（5+3+3+7）+（﹣4﹣7﹣2﹣8） ＝18+（﹣21） ＝﹣3（千米）， 则最后一名老师送到目的地时，小王在出发点西边； 第一次＋5，在出发点东边，距离出发点5千米， 第二次＋5−4＝＋1，在出发点东边，距离出发点1千米， 第三次＋1＋3＝＋4，在出发点东边，距离出发点4千米， 第四次＋4−7＝−3，在出发点西边，距离出发点3千米， 第五次−3−2＝−5，在出发点西边，距离出发点5千米， 第六次−5＋3＝−2，在出发点西边，距离出发点2千米， 第七次−2−8＝−10，在出发点西边，距离出发点10千米， 第八次−10+7＝−3，在出发点西边，距离出发点3千米， 故离出发点最远的老师在出发点西边10千米位置； （2）根据题意得： （|5|+|﹣4|+|3|+|﹣7|+|﹣2|+|3|+|﹣8|+|7|）×0.2 ＝（5+4+3+7+2+3+8+7）×0.2 ＝39×0.2 ＝7.8（升）， 则这天下午汽车共耗油7.8升． 【点睛】此题考查的知识点是正数和负数，有理数混合运算的实际应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．一般情况下具有相反意义的量才是一对具有相反意义的量，以及掌握有理数的加法和乘法运算法则． 3．(24-25七上·黑龙江双鸭山宝清县·期末)某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖称为一单）的部分记作正数，低于40单的部分记作负数，记录如下表 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） (1)求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？ (2)外卖小哥每天的工资由底薪40元加上送单补贴构成．送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单的部分，每单补贴8元．求该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 【答案】(1)43单 (2)1632元 【分析】本题主要考查正数和负数，有理数的混合运算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先求出表中这七天数值的平均值，再加上40即可； （2）根据工资的计算方法列式计算即可． 【详解】（1）解： （单）， 答：该外卖小哥这一周平均每天送餐43单． （2）解： （元）， 答：该外卖小哥这一周的工资收入是1632元． 4．(24-25七上·黑龙江齐齐哈尔·期末)小刚家买了一辆轿车，小刚记录了连续7天中每天轿车行驶的路程，如下表所示，以为基准，超过的记为“”，不足的记为“”． 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程/ 0 (1)在小刚记录的7天中，第_________天轿车行驶的路程最多，行驶了_________； (2)若该轿车每行驶耗汽油，汽油每升元，请计算小明家这7天的汽油费用是多少元？ 【答案】(1)六， (2)元． 【分析】本题考查了正负数的意义，以及有理数的混合运算应用，根据题意正确列出算式是解答本题的关键. （1）找到表格最大数值以及与50的和即可得到答案； （2）用总耗油量乘以汽油的单价，可得答案． 【详解】（1）解：在小刚记录的7天中，第六天轿车行驶的路程最多，行驶了， 故答案为：六， （2）解：（千米）， 小明家这天的汽油费用大约是（元）， 答：小明家这天的汽油费用是元． 5．(24-25七上·黑龙江省大庆市第一中学·期末)李明家购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他将汽车充满电后连续天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：，以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”）已知该汽车第三天行驶了，第六天行驶了． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 (1) ， ； (2)已知李明家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足续航的，行车电脑就会发出充电提示请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 【答案】(1)； (2)行车电脑会发出充电提示，理由见解析 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算，解题关键是理解题意，列出正确的算式． （1）根据以为标准，求出第三天和第六天分别超过和不足的千米数，进行解答即可； （2）先求出天行驶的总路程，再求出剩余电量能够行驶的路程和续航的，进行比较即可． 【详解】（1）解：，， ，； （2）解：行车电脑会发出充电提示，理由如下： 由题意得： ， ， ， ， 行车电脑不会发出充电提示． 6．(24-25七上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期末)2024年国庆节期间，各地风景区游人如织，某风景区，在9月30日的游客人数为0.9万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化如表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（万人） (1)10月3日的游客人数为 万人； (2)10月1日至7日，游客人数最多的是10月 日，达到 万人；游客人数最少的是10月 日，达到 万人； (3)请问该景区在10月1日至10月7日这7天内一共接待了多少游客？ 【答案】(1) (2)2，；7，； (3)万 【分析】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据正数和负数的实际意义求得每天游客的实际人数后即可求得答案； （3）结合（2）中所求列式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得（万人）， 即10月3日的游客人数为万人， 故答案为：； （2）解：10月1日的游客人数：（万人）； 10月2日的游客人数：（万人）； 10月3日的游客人数；（万人）； 10月4日的游客人数：（万人）； 10月5日的游客人数：（万人）； 10月6日的游客人数：（万人）； 10月7日的游客人数：（万人）； 10月1日至7日，游客人数最多的是10月2日，达到万人；游客人数最少的是10月7日，达到万人， 故答案为：2，；7，； （3）解：由题意得（万人）， 一共接待了万名游客． 7．(24-25七上·黑龙江省双鸭山市集贤县·期末)最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电动汽车，他连续天记录了每天行驶的路程：，，，，，，．以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“”． (1)这天里路程最多的一天比最少的一天多走________； (2)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (3)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油价元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元，请估计小明家换成新能源汽车后这天的行驶费用比原来节省多少钱？ 【答案】(1)35 (2)300千米 (3)105元 【分析】本题主要考查了有理数的减法应用，四则混合运算的应用．熟练掌握题意列式，计算顺序和法则，是解题的关键． （1）根据有理数的减法列式计算即可； （2）将7天的里程求和即可得解； （3）用汽油车的费用减去电车的费用即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴（）， 即这7天里路程最多的一天比最少的一天多走35． 故答案为：35． （2）解：（千米）， 即小明家的新能源汽车这七天一共行驶了300千米． （3）解：（元）， 即小明家换成新能源汽车后这７天的行驶费用比原来节省105元． 8．(24-25七上·黑龙江省大庆市·期末)张家口市怀来县种植葡萄已有800多年的历史，其中最知名的品种之一是龙眼葡萄，它被郭沫若誉为“北国明珠”．该县质监局对某企业出售的葡萄进行了抽检，从库中任意抽出20箱样品进行检测，每箱的质量超过标准质量（标准质量为10千克）的部分记为正数，不足的部分记为负数，记录如下表： 与标准质量的差（单位：千克） 0 箱数 3 5 1 4 5 2 (1)这20箱样品中，最重的一箱和最轻的一箱相差多少千克？ (2)若每箱与标准质量的差的绝对值小于或等于0.2千克的记为合格产品，则这20箱样品的合格率是多少？ (3)这批样品总质量比标准质量多或少几千克？ 【答案】(1)千克 (2) (3)多2千克 【分析】（1）根据表格数据用最重的一箱的重量减去最轻的一箱的重量，即可求解． （2）求出与标准质量差的绝对值与0.2比较即可； （3）箱数乘以与标准质量差，然后累计相加即可． 本题考查正数与负数，绝对值，有理数的减法运算，有理数的混合运算，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【详解】（1）解： （千克）， ∴最重的一箱和最轻的一箱相差千克； （2）解：由题意得： ∴合格的有（箱）， 故合格率为：； （3）解： （千克）， 答：这批样品总质量比标准质量多2千克． 9．(24-25七上·黑龙江省齐齐哈尔市铁锋区·期末)某厂一周计划生产700个玩具，平均每天生产100个，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周每天的生产情况（增产为正，减产为负，单位：个） 星期 一 二 三 四 五 六 日 产量 (1)根据记录，求出前三天共生产多少个？ (2)请问产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少个？ (3)该厂实行计件工资制，每生产一个玩具10元，若按周计算，超额完成任务，超出部分每个12元；若未完成任务，生产出的玩具每个只能按8元发工资，那么该厂员工这一周的工资总额是多少？ 【答案】(1)296 (2)30 (3)7096 【分析】（1）三天的计划总数加上三天多生产的个数的和即可； （2）求出超产的最多数与最少数的差即可； （3）求得这一周生产的总个数，然后按照工资标准求解． 【详解】（1）（个）， ∴前三天共生产296个； （2）（个）， ∴产量最多的一天比产量最少的一天多生产30个； （3）这一周多生产的总个数是（个）． （元）． 答：该厂工人这一周的工资是7096元． 【点睛】本题考查有理数的运算，理解正负数的意义，求得这一周生产的总数是关键． 10．(24-25七上·黑龙江省绥化市海伦市·期末)小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） 0 (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走___________． (2)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (3)已知新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元，请计算小明家这7天的行驶费用是多少钱？ 【答案】(1) (2)小明家的新能源汽车这七天一共行驶了． (3)小明家这7天的行驶费用是元． 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数混合运算的实际应用． （1）由表格可知，行驶路程最多的一天是第七天，最少的一天是第三天，相减即可得出答案； （2）先求出这七天高于（或低于）的标准所行驶的路程，再加上七天按标准行驶的路程，即可求解； （3）根据（2）的结论，进一步计算即可求解． 【详解】（1）解：由表格得：， 即这7天里路程最多的一天比最少的一天多走， 故答案为：49； （2）解： ， 答：小明家的新能源汽车这七天一共行驶了． （3）解：用电的费用：（元）， 答：小明家这7天的行驶费用是元． 11．(24-25七上·黑龙江佳木斯富锦·期末)一辆公共汽车从起点站开出后，途中经过个停靠站，最后到达终点站．下表记录了这辆公共汽车全程载客的变化情况，其中正数表示上车人数，负数表示下车人数，0表示无人上车或下车． 停靠站 起点站 中间第站 中间第站 中间第站 中间第站 中间第站 中间第站 终点站 上、下车人数 ； ； ； ； ； ； (1)中间第站上车的人数是 人，下车的人数是 人； (2)途中的个站中，第 站没有人上车，第 站没有人下车； (3)公共汽车离开中间第站时车上的人数为 人，离开中间第站时车上的人数为 人； (4)从表中你还能知道什么信息？ 【答案】(1)1；7 (2)6；3 (3)24；22 (4)见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了正负数的应用、有理数加减法的应用，正确理解正负数的意义是解题关键． （1）根据表格中的数据，正数表示上车人数，负数表示下车人数解答即可； （2）在表格的数据中，找出上车人数为0人、下车人数为0人即可得； （3）将起始点的人数，与中间第1站和中间第2站的上、下车人数相加即可得；再与中间第3站、中间第4站的上、下车人数相加即可得； （4）在表格的数据中，途中的个站中，分别找出上、下车人数最多的站点即可得． 【详解】（1）解：由表格可知，中间第站上车的人数是1人，下车的人数是7人， 故答案为：1；7． （2）解：由表格可知，途中的个站中，中间第3站的下车人数为0人，中间第6站的上车人数为0人， 所以途中的个站中，第6站没有人上车，第3站没有人下车， 故答案为：6；3． （3）解：公共汽车离开中间第站时车上的人数为 （人）， 离开中间第站时车上的人数为 （人）， 故答案为：24；22． （4）解：从表中可以知道，途中的6个站中，中间第5站下车的人数最多，中间第1站上车的人数最多． 地 城 考点04 整体思想问题 一、单选题 1．(24-25七上·黑龙江省绥化市海伦市·期末)若多项式的值为3，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了求代数式的值，用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵多项式的值为3， ∴， ∴． 故选B． 二、填空题 2．(24-25七上·黑龙江双鸭山宝清县·期末)已知，那么代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减－化简求值，先去括号合并同类项，再把代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 3．(24-25七上·黑龙江齐齐哈尔·期末)已知代数式的值是2，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值．根据题意得出，整体代入，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴ 故答案为：． 4．(24-25七上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期末)若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，将原式进行正确的变形是解题的关键． 将原式变形后代入数值计算即可． 【详解】解： ， ， 故答案为：． 5．(24-25七上·黑龙江佳木斯富锦·期末)已知的值为，求的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查代数式求值，熟练掌握整体思想是解题关键．先根据题意可得，则可得，再将其作为整体代入计算即可得． 【详解】解：∵的值为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 三、解答题 6．(24-25七上·黑龙江省哈尔滨市道外区四校联考·期末)阅读：我们知道，，类似地，我们也可以将看成一个整体，则请根据上面的提示和范例，解决下面的问题： (1)把看成一个整体，则将合并的结果为______； (2)已知，求的值； (3)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了合并同类项，代数式求值，去括号和添括号： （1）根据合并同类项的计算法则求解即可； （2）根据，利用整体代入法求解即可； （3）把所求式子去括号，变形为，利用整体代入法求解即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 当时，原式； （3）解：原式 当，，时， 原式． 7．(24-25七上·黑龙江龙东部分学校·期末)理解与思考： 整体代换是数学的一种思想方法． 例如：，则_____． 我们将作为一个整体代入， 则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则_____； (2)如果，求的值； (3)若，，求的值． 【答案】(1)2027 (2) (3) 【分析】本题主要考查了代数式求值； （1）由得出，然后整体代入求解即可； （2）将原式变形为，然后整体代入求值即可； （3）将，直接代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：∵， ∴ ． （3）解：∵，， ． ． 8．(24-25七上·黑龙江大庆·期末)整体思想是中学数学解题中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照下面的解题方法，完成后面的问题： 如果代数式的值为3，那么代数式的值是多少？ 爱动脑筋的小聪同学这样来解： 原式． 我们把看成一个整体，把式子两边乘2，得． 【方法运用】 （1）若，则的值为_________； （2）若，求的值； 【类比迁移】 （3）两地相距60千米，甲、乙两人同时从两地骑自行车出发，相向而行．甲每小时行千米，乙每小时行千米，经过3小时相遇．问甲、乙两人出发多少小时后两人相距20千米？ 【答案】（1）7；（2）；（3）2或4小时 【分析】本题考查整式加减中的化简求值，求代数式的值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）将原式变形后整体代入已知数值计算即可； （2）将原式去括号，合并同类项后并整理，然后整体代入已知数值计算即可； （3）由题意易得，则，根据题意分相遇前两人相距20千米和相遇后两人相距20千米列式计算即可． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：7； （2），， ； （3）由题意得， 则， 若相遇前两人相距20千米时， （小时）， 若相遇后两人相距20千米时， （小时）， 即甲、乙两人出发2小时或4小时后两人相距20千米． 地 城 考点05 定义新运算问题 一、单选题 1．(24-25七上·黑龙江绥化海伦·期末)定义一种新运算：，则的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据新定义直接列式计算即可，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴， 故选：． 2．(24-25七上·黑龙江省龙东地区部分学校·期末)定义新运算“⊕”如下：当时，；当时，．按上述规定计算的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了定义新运算、有理数的运算等知识点．理解新运算的计算规则、掌握有理数的运算法则是解题的关键． 先用新运算法则将原式化成有理数的运算式，然后再计算即可． 【详解】解：∵当时，；当时，， ∴． 故选：A． 3．(24-25七上·黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区·期末)对于有理数a、b，定义一种新运算，规定，则（      ） A．4 B． C．7 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，根据新定义代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 二、填空题 4．(24-25七上·黑龙江绥化望奎县·期末)定义，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据新定义计算即可求解，理解新定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 5．(24-25七上·黑龙江省齐齐哈尔市四县联考·期末)定义一种新运算：，例如，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了有理数的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．根据已知新运算法则，先计算乘方，再作差即可． 【详解】解：，， ， 故答案为：3． 6．(24-25七上·黑龙江齐齐哈尔·期末)定义运算：对于任意有理数、，有★，若★，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查解一元一次方程、新定义运算．根据新定义将★，变形为，解一元一次方程即可． 【详解】解：∵★，★， ， 解得， 故答案为：2． 7．(24-25七上·黑龙江省哈尔滨市阿城区·期末)对于任意有理数a，b，我们规定：，若，则 ． 【答案】1 【分析】先根据新运算得出算式，再根据等式的性质求出方程的解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了解一元一次方程和新定义运算，能根据题意列出关于x的一元一次方程是解题的关键． 8．(24-25七上·黑龙江省绥化市明水县·期末)x，y表示两个数，规定新运算“※”及“☆”如下：．那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，定义新运算，理解新运算的规则是解题的关键；根据定义的新运算规则及有理数的运算法则进行计算即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 9．(24-25七上·黑龙江绥化·期末)用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定，若，则的值为 【答案】3 【分析】本题考查了解一元一次方程，新定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合新定义得，整理得，再解得的值，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3 10．(24-25七上·黑龙江大庆·期末)用“”定义一种新运算：对于任何有理数和，规定．如，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题中的新定义是解此类题的关键． 根据新定义规定，列式计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 11．(24-25七上·黑龙江省哈尔滨市巴彦县·期末)定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则 ． 【答案】8 【分析】根据定义，得，解得即可． 本题考查了新定义计算，正确理解定义的运算法则是解题的关键． 【详解】根据定义，得， 故答案为：8． 12．(24-25七上·黑龙江齐齐哈尔铁锋区·期末)用“→”，“←”定义新运算：对于任意有理数a，b，都有和，例如：，，则 ． 【答案】2024 【分析】本题主要考查新定义运算．根据题意，先计算括号内的运算，再根据新定义运算的规则进行解答即可． 【详解】解：原式 故答案为：2024． 13．(24-25七上·黑龙江省齐齐哈尔市讷河市·期末)已知，均为有理数，现规定一种新运算“※”，满足，例如．计算 ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，先计算出，再计算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． 【详解】解： ， ∴ ， 故答案为：． 14．(24-25七上·黑龙江绥化·期末)用“”，“←”定义新运算：对于任意有理数a，b，都有和，例如：，，则 ． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了相反数，根据题意，先计算括号内的运算，再根据新定义运算的规则进行解答即可． 【详解】解： 故答案为：． 15．(24-25七上·黑龙江绥化·期末)定义：是不为1的有理数．我们把称为的差倒数，如2的差倒数是．已知是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数……以此类推，的值是 ． 【答案】/0.8 【分析】本题考查了定义新运算，数字规律，根据差倒数的计算方法，分别求出值，找出规律即可求解． 【详解】解：根据题意，，，，，， ∴每三个循环一次， ∵， ∴的值为， 故答案为： ． 地 城 考点06 多结论判断问题 一、单选题 1．(24-25七上·黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区·期末)下列说法：（1）两点确定一条线段；（2）画一条射线，使它的长度为；（3）线段和线段是同一条线段；（4）射线和射线是同一条射线；（5）直线和直线是同一条直线．其中错误的有（　　）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了直线、射线、线段的联系与区别，理解直线、射线、线段的定义和性质是解答关键． 根据射线是不可度量的，以及直线、线段和射线的定义即可判断． 【详解】解：（1）两点确定一条直线，故此项错误； （2）射线是不可度量的，故此项错误； （3）线段和线段是同一条线段，故此项正确； （4）射线和射线是不同一条射线，故此项错误； （5）直线和直线是同一条直线，故此项正确； ∴错误的有3个． 故选：C． 2．(24-25七上·黑龙江大庆第一中学·期末)下列说法中，正确的是（   ） ①若，则 ②若，则是正数 ③如果2025个有理数相乘所得的积为0，那么这2025个数中恰有一个数为0 ④、、三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等，则 ⑤的最小值为2015 A．①③④ B．② C．②④ D．③⑤ 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值、整式的加减、有理数的乘法、一元一次方程的应用、数轴，熟练掌握数轴的性质是解题关键．根据绝对值的性质即可判断①错误；分五种情况：、、、和，根据有理数的加减法与乘法法则即可判断②正确；根据有理数的乘法即可判断③错误；分三种情况：当点在点的左侧时、当点在点的中间时、当点在点的右侧时，利用数轴的性质建立方程，解方程即可判断④错误；分三种情况：、、，化简绝对值，计算整式的加减，由此即可判断⑤错误． 【详解】解：若，则，则说法①错误； 若， 当，且时，则，所以， 当时，则，所以， 当时，则，所以， 当时，则，所以， 当时，所以， 综上，若，则是正数，则说法②正确； 如果2025个有理数相乘所得的积为0，那么这2025个数中至少有一个数为0，则说法③错误； ∵、、三点在数轴上对应的数分别是、6、，且相邻两点的距离相等， ∴当点在点的左侧时，则，解得， 当点在点的中间时，则，解得， 当点在点的右侧时，，解得， 综上，或或，则说法④错误； 当时，则， 当时，则， 当时，则， 所以的最小值为2013，则说法⑤错误； 综上，说法正确的是②， 故选：B． 3．(24-25七上·黑龙江双鸭山宝清县·期末)下列说法正确的是（   ） ①可以写成分数形式的数称为有理数； ②汽车行驶时间一定，汽车行驶的平均速度与路程成反比例关系； ③两条射线组成的图形叫作角； ④用“四舍五入”法保留整数和一位小数都是7； ⑤多项式是四次四项式； ⑥一台电脑先提价，再降价后出售，现价与原价相比没有变化； A．①⑤ B．②③ C．②④ D．⑤⑥ 【答案】A 【分析】本题考查有理数的分类，角的概念，近似数，多项式的项数和次数等知识，属于基础题目，掌握相关概念，理解题意找出数量关系是解题关键． 【详解】解：①可以写成分数形式的数称为有理数，原说法正确； ②汽车行驶时间一定，汽车行驶的平均速度与路程的数量关系为：，成正比例关系，原说法错误； ③有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，原说法错误； ④用“四舍五入”法保留整数是7，保留一位小数都是，原说法错误； ⑤多项式是四次四项式，原说法正确； ⑥设一台电脑原价为元，先提价，再降价后出售，现价为元，与原价相比降价了，原说法错误； 说法正确的是①⑤， 故选：A． 4．(24-25七上·黑龙江省佳木斯市富锦市·期末)有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了利用数轴比较大小，绝对值的意义，相反数的意义，以及有理数的运算法则，掌握有理数的运算法则是解答本题的关键． 根据有理数的乘法法则可判断①，根据有理数的加法法则可判断②，根据绝对值的意义和加法法则可判断③，根据相反数的意义可判断⑤． 【详解】解：∵， ∴，故①错误； ∵且， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵且， ∴，故④正确； ∴正确的有3个． 故选：C． 5．(24-25七上·黑龙江省绥化市·期末)一次秋游活动中，有辆客车共乘坐位师生．若每辆客车乘60人，则还有10人不能上车；若每辆客车乘62人，则最后一辆车空了8个座位．给出下列4个方程：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【答案】A 【分析】有x辆客车共乘坐y位师生，根据“每辆客车乘60人，则还有10人不能上车；若每辆客车乘62人，则最后一辆车空了8个座位”列方程即可得到结论． 【详解】解：根据总人数列方程，应是60x+10＝62x﹣8， 根据客车数列方程，应该为：． ∴①③正确 故选：A 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，能够根据不同的等量关系列方程． 6．(24-25七上·黑龙江牡丹江第五子联盟·期末)下列说法：①直线和直线是同一条直线；②线段就是，两点间的距离；③换算成度为；④两点之间直线最短；⑤若线段，则点是线段的中点，其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查直线的表示，两点间的距离，角度制，线段的性质，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：直线和直线是同一条直线；故①正确； 线段的长就是，两点间的距离；故②错误； 换算成度为；故③错误； 两点之间线段最短；故④错误； 若点在线段上，且，则点是线段的中点；故⑤错误； 故选A． 7．(24-25七上·黑龙江省龙东地区部分学校·期末)如图，是直线上一点，平分，，则以下结论：①与互为余角；②；③；④若，则．其中结论正确的序号是（   ） A．①④ B．①③④ C．③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，理解题意，弄清各角之间的关系是解题关键．根据余角的定义，角平分线的定义，角度之间的和差关系，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴与互为余角；故①正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故③正确； 当时，；故④正确； 无法得到，故②错误． 故选：B． 8．(24-25七上·黑龙江省绥化市明水县·期末)如图，点、、在同一条直线上，，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了平角，余角，熟练掌握同角的余角相等是解题的关键． 结合图形，根据平角的定义，同角的余角相等逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴正确， 故选： C． 地 城 考点07 找规律问题 一、单选题 1．(24-25七上·黑龙江省绥化市北林区·期末)如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的灰白两种颜色的小正方形组成的，按照这样的规律，若组成的图案中有个灰色小正方形，则这个图案是（   ） A．第个 B．第个 C．第个 D．第个 【答案】B 【分析】本题考查了规律型，图形变化类，根据图形的变化寻找规律，总结规律，运用规律，是解答本题的关键． 根据图形变化发现规律，第个图案中，涂有阴影的小正方形个数为：，求出组成的图案中有个灰色小正方形时图案的个数，由此得到答案． 【详解】解：根据题意，观察图形的变化可知： 第个图案中，涂有阴影的小正方形个数为：； 第个图案中，涂有阴影的小正方形个数为：； 第个图案中，涂有阴影的小正方形个数为：； 第个图案中，涂有阴影的小正方形个数为：， 若组成的图案中有个灰色小正方形， 则， 解得：， 故选：． 2．(24-25七上·黑龙江省齐齐哈尔市讷河市·期末)为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”的比赛．如图所示：    按照上面的规律，摆个“金鱼”需用火柴棒的根数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察给出的3个例图，注意火柴棒的变化是图②的火柴棒比图①多6根，图③的火柴棒比图②多6根，据此找出规律即可解答． 【详解】由图形可知，第一个金鱼需用火柴棒的根数为：； 第二个金鱼需用火柴棒的根数为：； 第三个金鱼需用火柴棒的根数为：； …； 第n个金鱼需用火柴棒的根数为：， 故选：A． 【点睛】本题考查找规律和列代数式，本题的解答体现了由特殊到一般的数学方法，先观察特例，找出火柴棒根数的变化规律，然后猜想第n条小鱼所需要火柴棒的根数． 3．(24-25七上·黑龙江哈尔滨阿城区·期末)用黑白两种颜色的正六边形地砖按如下所示的规律，拼成若干个图案，若第n个图形中白色地砖比黑色地砖多299块，则n的值为（    ） A．100 B．99 C．98 D．60 【答案】B 【分析】本题考查图形变化规律，解一元一次方程．用含n的代数式表示出第n个图形中白色地砖及黑色地砖数量，再根据等量关系列方程，解方程即可． 【详解】解：由图可知，第1个图形有6块白色地砖，后面每个图形都比其前一个图形多4个白色地砖， 第n个图形中黑色地砖有n块，白色地砖数量为：， 由第n个图形中白色地砖比黑色地砖多299块，可得：， 解得， 故选：B． 二、填空题 4．(24-25七上·黑龙江省哈尔滨市道外区四校联考·期末)一列数按规律排列如下：，，，，，…则第10个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字规律，理解数字之间的关系，找出规律是解题的关键． 根据题意，找出规律“第个数字为，”即可求解． 【详解】解：，，，，，… ∴第个数字的分母为：， 第个数字的分子为：， ∴第个数字为， ∴第个数字为， 故答案为： ． 5．(24-25七上·黑龙江佳木斯·期末)已知：，，，，…，若符合前面式子的规律，则 ． 【答案】109 【分析】本题考查了规律型——数字的变化类，观察不难发现，一个整数加上以这个整数为分子，整数的平方减作为分母的分数，等于这个整数的平方乘以这个分数，然后求出a、b，再相加即可得解． 【详解】解：∵，，，，…，， ∴，， ∴， 故答案为：109． 6．(24-25七上·黑龙江省佳木斯市·期末)观察下列等式 ：， … ， 则 【答案】3025 【分析】本题主要考查了数字类规律题．根据题意可得，即可求解． 【详解】解：∵， … ， ∴ 故答案为：3025 7．(24-25七上·黑龙江绥化·期末)一平面内共有10条直线，它们之间的位置关系未知，这10条直线最多有 个交点． 【答案】45 【分析】此题考查的知识点是相交线，关键是此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊到一般猜想的方法． 由在同一平面内，条直线两两相交，则最多有个交点，代入即可求解． 【详解】解：∵在同一平面内，条直线两两相交，则最多有个交点， ∴条直线两两相交，交点的个数最多为． 故答案为：45． 8．(24-25七上·黑龙江双鸭山宝清县·期末)下图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，第3个图案由10个基础图形组成，……第9个图案中基础图形个数为 ． 【答案】28 【分析】本题考查了图形类规律，根据图形找到前几个图形的规律，进而即可求解． 【详解】解：第1个图案由4个基础图形组成，即， 第2个图案由7个基础图形组成， 第3个图案由10个基础图形组成， …， 第个图案中的基础图形个数为， 即当时，， 故答案为：28． 9．(24-25七上·黑龙江省双鸭山市宝清县·期末)如图是用棋子摆成的图案，按照这样的规律摆下去，摆成第6个图案需要棋子的个数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查图形的变化规律以及已知字母的值求代数式的值，根据图形的变化归纳出第个图案需要棋子个数为：，再把代入，即可求解．根据图形的变化归纳出第个图案需要棋子个数为是解题的关键． 【详解】解：由图知，第1个图案中棋子的个数为， 第2个图案中棋子的个数为， 第3个图案中棋子的个数为， 第4个图案中棋子的个数为， …… 第个图案需要棋子个数为， 第6个这样的图案需要棋子个数为， 故答案为：． 10．(24-25七上·黑龙江齐齐哈尔铁锋区·期末)如图所示，将形状，大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为3，第2幅图形中“●”的个数为8，第3幅图形中“●”的个数为15．以此类推，则第10幅图形中“●”的个数为 【答案】120 【分析】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律解决问题．首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律，进而求解即可． 【详解】解：∵第1幅图形中“●”的个数为：， 第2幅图形中“●”的个数为：， 第3幅图形中“●”的个数为：， 第4幅图形中“●”的个数为：， …， ∴第n幅图形中“●”的个数为：， ∴第10幅图形中“●”的个数为：． 故答案为：． 11．(24-25七上·黑龙江绥化望奎县·期末)如图，画2个正方形能得到4个直角三角形，画3个正方形能得到8个直角三角形，画20个正方形能得到 个三角形． 【答案】76 【分析】本题主要考查了图形类规律题．根据题意得到规律画个正方形得到个等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：根据题意，得： 画2个正方形能得到4个三角形， 画3个正方形能得到8个三角形， ……， 由此发现，画个正方形得到个三角形， 所以画20个正方形能得到（个）三角形． 故答案为：76． 12．(24-25七上·黑龙江牡丹江第五子联盟·期末)用黑色棋子摆出一组图形如图所示：按照这种规律摆下去，请写出第个图形用的黑色棋子个数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形类规律探索，含乘方的有理数混合运算等知识点，从题中的图形中发现并总结出一般规律是解题的关键． 通过观察图形发现并总结出一般规律即可． 【详解】解：通过观察发现： 第个图形用的黑色棋子个数为， 第个图形用的黑色棋子个数为， 第个图形用的黑色棋子个数为， 第个图形用的黑色棋子个数为， 第个图形用的黑色棋子个数为， 故答案为：． 13．(24-25七上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期末)下列图案都是小正方形按一定规律组成的，其中第1个图形共有小正方形9个，第2个图形共有小正方形14个，依此规律第个图形中有小正方形 个．    【答案】 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现小正方形的个数依次增加5是解题的关键． 根据所给图形，依次求出图形中小正方形的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个图形中小正方形的个数为：； 第7个图形中小正方形的个数为：； 第3个图形中小正方形的个数为：； …， 所以第个图形中小正方形的个数为个． 故答案为：． 14．(24-25七上·黑龙江双鸭山集贤县·期末)如图，把黑色棋子按如图的规律摆放，那么第个图应摆放的棋子数为 枚 【答案】 【分析】此题考查图形的变化规律，从简单的情形考虑，找出一般规律，利用规律解决问题．结合图形，发现：第1个图形是（个），第2个图形是（个），第3个图形是（个），按照这样的规律摆下去，则第个图形需要黑色棋子的个数是个．由此即可求解． 【详解】解：第1个图形是（个）， 第2个图形是（个）， 第3个图形是（个）， 第4个图形是（个）． 第个图形需要黑色棋子的个数是个黑色棋子， 故答案为： ． 15．(24-25七上·黑龙江齐齐哈尔·期末)如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第个图形需要 根小木棒． 【答案】 【分析】本题考查了规律型中图形的变化类． 根据图形的变化及数值的变化找出变化规律，即可得出结论． 【详解】解：由题意知， 第1个图形需要6根小木棒， 第2个图形需要根小木棒， 第3个图形需要根小木棒， 按此规律，第n个图形需要根小木棒， 故答案为：． 16．(24-25七上·黑龙江省绥化市·期末)如图图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第1个图形中共有6个小圆圈，第2个图形中共有9个小圆圈，第3个图形中共有 12个小圆圈，…，按此规律，则第2024个图形中小圆圈的个数为 ． 【答案】6075 【分析】本题考查了图形的变化类问题，仔细观察图形，找到图形中圆形个数的通项公式，然后代入求解即可． 【详解】解：观察图形得： 第1个图形有个圆圈， 第2个图形有个圆圈， 第3个图形有个圆圈， … 第n个图形有个圆圈， 当时，个圆圈， 故答案为：6075． 三、解答题 17．(24-25七上·黑龙江哈尔滨巴彦县·期末)观察下列三行数，回答下面的问题： 第一行：、4、、、……① 第二行：0、6、、18、……② 第三行：、2、、8、……③ (1)请直接写出每一行的第6个数分别是______，______，______； (2)取每行数的第个数，从上到下分别记为，，，求的值． 【答案】(1)64，66，32 (2)2 【分析】本题考查了数字的规律问题，代数式求值等，由数字变化的特点得出第 n个数是解题的关键． （1）观察第一行各数可知其规律：第几个数是2的几次方，且奇数个为负，偶数个数为正，即可得出第一行的规律，进而可得出第二和第三行的规律； （2）由（1）表示出，，，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：第一行：∵、4、、、，… ∴第n个数为：， ∵第二行的是比第一行对应位置的数大2， ∴第二行的第n个数可表示为：． ∵第三行的数是第一行对应位置数的一半， ∴第三行的第n个数可表示为：， ∴第一行第6个数是，第二行第6个数是，第三行第6个数是， 故答案为：64，66，32； （2）解：由（1）可知， ，，， ∴ ． 18．(24-25七上·黑龙江大庆第一中学·期末)数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法． (1)《庄子·天下》中有这样一段话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是一尺长的棍棒，每日取它的一半，永远也截不完，如果将一根一尺长的棍棒看成单位“1”，每天截取一半，截取5次，则截取的棍棒总长度是多少？ (2)如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则；如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉一半，则；以此类推，如图3，；…… ①__________． ②应用：计算． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了数字类规律探索、有理数的乘方运算，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）根据题意列出运算式子，计算有理数的乘方与加法即可得； （2）①根据前面三个等式，归纳类推出一般规律即可得； ②将式子变形为，再利用（2）①的结论计算即可得． 【详解】（1）解： ， 答：截取的棍棒总长度是． （2）解：①， ， ， 归纳类推得：， 故答案为：； ② ． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $