专题06 解答压轴题专练4大考点（期末真题汇编，黑龙江专用）七年级数学上学期新教材人教版

专题06 解答压轴题专练 4大高频考点概览 考点01 与方案、分段收费有关的问题 考点02 与数轴有关的动点问题 考点03 与几何图形有关的问题 考点04 与数与式有关的问题 地 城 考点01 与方案、分段收费有关的问题 一、解答题 1．(24-25七上·黑龙江省齐齐哈尔市铁锋区·期末)综合与探究 为了防治“新型冠状病毒”，某中学拟向厂家购买消毒剂和红外线测温枪，积极做好师生的测温和教室消毒工作．若按原价购买一瓶消毒剂和一支红外线测温枪共需要210元，一支测温枪的价格比一瓶消毒剂的价格的9倍还多10元 (1)每瓶消毒剂的价格为 　 　元；每支测温枪的价格为 　 　元； (2)由于采购量大，商家推出两种优惠方案（如表）： 购买方案 红外线测温枪 消毒剂 买赠 A 9折 7折 买一支红外线测温枪 送1瓶消毒剂 B 7折 8折 无 已知学校有30个班级，计划每班配置1支红外线测温枪和x瓶消毒剂，当x为何值时两种方案购买所需的总费用相同？ (3)当x＝20时，学校选择上述哪一种方案总费用最低？请直接写出答案． 2．(24-25七上·黑龙江省牡丹江市第二子联盟·期末)喜迎新年，某社区超市第一次用5000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品件数是乙商品件数的2倍 甲 乙 进价（元/件） 15 20 售价（元/件） 30 30 (1)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ (2)超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中购进乙种商品的件数不变，购进甲种商品的件数是第一次购进甲种商品件数的2倍，甲商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多600元，求第二次甲种商品按原价打几折销售？ 3．(24-25七上·黑龙江省哈尔滨市巴彦县·期末)红领巾球馆计划购买某品牌的乒乓球拍和乒乓球，已知该品牌的乒乓球拍每副定价150元，乒乓球每盒定价15元．元旦期间该品牌决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案，即 方案一：买一副乒乓球拍送两盒乒乓球； 方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的付款． 该球馆计划购买乒乓球拍10副，乒乓球x盒（，x为整数）． (1)当时，若该球馆按方案一购买，需付款______元；若该球馆按方案二购买，需付款_____元； (2)当x为何值时，分别用两种方式购买所需费用一样？ (3)若，能否找到一种更为省钱的购买方案？如果能，请你写出购买方案，并计算出此方案所需费用；如果不能，请说明理由． 4．(24-25七上·黑龙江大庆·期末)某公园门票价格规定如下表： 成人票 学生票（学生证） 团体票（16人及以上，不分成人、学生） 票价 元张 元张 元张 元旦假期，七（一）班的小明等同学随家长共人一同到某游乐场游玩．在购买门票时，小明的爸爸按照成人票和学生票的票价计算出一共需要元． (1)求小明他们一共去了多少个成人； (2)小明看了团体票的价格，认为有最省钱的购票方法，请你通过计算说明这种方法购票所需的费用； (3)当小明准备买票时，发现七（二）班的一些同学在小涛的带领下也来购票，于是小明向小涛提出要两部分人合起来买票． 小涛计算后发现：小明等同学随家长人按（）的方法购票，小涛带领同学们购买学生票，一共的花费与两伙人合起来买团体票的花费相同，求七（二）班一共来了多少位学生； 如果两部分人合起来买票，应该如何购票最省钱？请直接写出最省钱的购票方案，并计算出他们一共应付多少钱． 5．(24-25七上·黑龙江牡丹江第五子联盟·期末)某商场经销甲、乙两种服装，其中乙种服装每件的进价比甲种服装每件的进价多元，购进件甲种服装与购进件乙种服装的进价相同．出售时，甲种服装每件获利，乙种服装每件获利元． (1)甲种服装每件的进价为_____元，乙种服装每件的利润率为______； (2)该商场同时购进甲、乙两种服装共件，总进价恰好为元，求商场销售完这批服装共盈利多少元？ (3)为喜迎元旦，该商场实行“每满元减元”的优惠活动（比如某顾客购物元，他只需付款元，购物元，他只需付款元），而且元旦当天购物，可参加先打折再“每满元减元”的活动，张女士想买一件标价为元的羊绒大衣，细心的张女士发现，打折后参与活动比元旦前直接参与活动贵了元，直接写出商场元旦当天推出的活动是先打几折之后再参加满减活动？ 6．(24-25七上·黑龙江哈尔滨南岗区·期末)随着水资源的浪费越来越严重，近几年大力促进水资源节约，某市居民用水实行阶梯水价，按年度用水量计算，将居民家庭全年用水量划分为三档，水价分档递增，实施细则如下表： 某市居民用水阶梯水价表（单位：元/立方米） 收费方式 年用水量（单位：立方米） 费用（单位：元/立方米） 第一阶梯 4.5 第二阶梯 6 第三阶梯 8 若某户居民去年用水量为260立方米，则其应缴纳水费为（元）． (1)若小亮家年用水量为立方米，则小亮家应交水费________元（用含a的代数式表示）； (2)若小亮家年水费为930元，则小亮家年用水量为多少立方米？ (3)小亮家去年和今年共用水480立方米，共缴纳水费2810元，并且今年的用水量超过去年的用水量，则小亮家去年和今年各用水多少立方米？ 地 城 考点02 与数轴有关的动点问题 一、解答题 1．(24-25七上·黑龙江省绥化市明水县·期末)如图，P是线段AB上不同于点A，B的一点，AB＝18cm，C，D两动点分别从点P，B同时出发，在线段AB上向左运动（无论谁先到达A点，均停止运动），点C的运动速度为1cm/s，点D的运动速度为2cm/s． (1)若AP＝PB， ①当动点C，D运动了2s时，AC＋PD＝　 　cm； ②当C，D两点间的距离为5cm时，则运动的时间为 　 　s； (2)当点C，D在运动时，总有PD＝2AC， ①求AP的长度； ②若在直线AB上存在一点Q，使AQ﹣BQ＝PQ，求PQ的长度． 2．(24-25七上·黑龙江齐齐哈尔讷河·期末)综合与探究 已知：如图，点、点为数轴上两点，点表示的数为，点表示的数为，且与满足． (1)_____，_____； (2)若在点和点之间有一点，且点到点的距离与到点的距离相等．动点从出发，以个单位/秒的速度向运动，同时另一个动点从出发，以个单位/秒的速度向点运动．若中有一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，当点到点的距离是点到点距离的倍时，求到点与点距离相等的点所表示的数． 3．(24-25七上·黑龙江齐齐哈尔四县联考·期末)如图，已知点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，且点为数轴原点， (1)求，的值． (2)若数轴上有一点，且，求点在数轴上对应的数． (3)若点从点出发沿数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时点从点出发沿数轴的负方向以每秒4个单位长度的速度运动，运动时间为秒，当时，求的值． 4．(24-25七上·黑龙江齐齐哈尔讷河·期末)综合与探究 已知：如图，点A、点B为数轴上两点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a与b满足． (1)a =_________，b =____________； (2)若在点A和点B之间有一点M，且点M到点A的距离与到点B的距离相等． 动点P从A出发，以1个单位/秒的速度向B运动，同时另一个动点Q从B出发，以2个单位/秒的速度向点A运动． 若P、Q中有一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，当点P到点M的距离是点Q到点M距离的2倍时，求到点P与点Q距离相等的点所表示的数． 5．(24-25七上·黑龙江省绥化市·期末)如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．    (1)数轴上点B表示的数是________，点P表示的数是________（用含的式子表示）； (2)动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 6．(24-25七上·黑龙江大庆·期末)【问题背景】 在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离为．例如：数轴上表示和的两点之间的距离是． 【问题解决】 （1）数轴上表示和两点之间的距离是______，数轴上表示和的两点之间的距离是______，数轴上表示和的两点之间的距离是______； 【关联运用】 （2）如图，在数轴上，点，，表示的数为，，，设点在数轴上对应的数为． 若点为线段的中点，则______； 若点为线段上的一个动点，化简； 动点从出发，以每秒个单位的速度沿数轴向点运动，同时动点从出发，以每秒个单位的速度沿数轴在，之间往返运动，当点运动到时，和两点停止运动．设运动时间为秒，请直接写出使得时的值． 7．(24-25七上·黑龙江哈尔滨阿城区·期末)已知，A、B两点在数轴上的位置如图所示，点A距原点20个单位长度，． (1)直接写出点A、点B表示的数； (2)点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，设M的运动时间是t秒，请用含t的式子表示线段的长； (3)在（2）的条件下，点M出发2秒后，动点N从B出发沿数轴向点A运动，到点A后原路返回，并且点N出发3秒后速度变为每秒1个单位长度，当点N出发7秒时，，求点N刚出发时的速度是每秒多少个单位长度? 8．(24-25七上·黑龙江哈尔滨巴彦县·期末)已知：以点为原点的数轴上有、两点，分别表示数、，且． (1)直接写出的长度是______； (2)如图1，是一条定长的线段（点在点的左侧），它在数轴上从左向右匀速运动，在运动过程中，线段完全经过点（即点在线段上的这段过程）所需的时间为4秒，线段完全经过线段（即线段与线段有公共点的这段过程）所需的时间为15秒．求线段的长； (3)如图2，在（2）的条件下，动线段上的点与点重合时开始运动，运动到点是的中点时，此时将射线绕点顺时针方向以每秒2°的速度旋转，同时射线绕点逆时针方向以每秒4°的速度旋转，设旋转时间为秒（）．当时，求整个运动过程中共用多长时间． 9．(24-25七上·黑龙江省大庆市第一中学·期末)已知点A，B，C在数轴上对应的数分别是a，b，c，其中a，c满足，a，b互为相反数（如图1）．              图1                                           图2 (1)请求出a，b，c的值； (2)点P为一动点，其对应的数为x，若，求x的值： (3)如图2，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”（图中A，C两点在“折线数轴”上的距离为28个单位长度），动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，在段运动速度变为原来的一半，之后立刻恢复：P从点A运动同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，在段运动速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，设运动时间为t秒，请直接写出当t为何值时，P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等． 地 城 考点03 与几何图形有关的问题 一、解答题 1．(24-25七上·黑龙江省双鸭山市宝清县·期末)已知为一条射线，平分平分 (1)如图1，在内部，且，求的度数； (2)如图1，若，其余条件不变，求的度数； (3)如图2，在外部，平分平分，你能求的度数吗？若能，请求出的度数；若不能，请说明理由． 2．(24-25七上·黑龙江齐齐哈尔·期末)在数学活动课上，老师和同学们以“在同一平面内，点为直线上一点，过点作射线，使 ，把一直角三角板的直角顶点固定在点处，绕点转动直角三角板．”为问题背景，展开研究． (1)如图①，将三角板的一边与射线重合时，则_________； (2)如图②，绕点转动直角三角板，当恰好是的角平分线时，求的度数； (3)绕点转动直角三角板，始终保证在的内部，当时，__________． 3．(24-25七上·黑龙江龙东部分学校·期末)O是直线上一点，过点作射线，使得，将一直角三角尺的直角顶点放在点处． (1)如图①，将三角尺的一边与射线重合，求的度数； (2)如图②，将三角尺绕点逆时针旋转，当平分时，求和的度数； (3)将三角尺绕点逆时针旋转至图③时，，求的度数． 4．(24-25七上·黑龙江双鸭山集贤县·期末)如图，线段，动点从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，点为的中点，设点运动的时间为秒． (1)用含的代数式表示的长______． (2)当点在射线上运动时，出发多少秒后？ (3)当点在线段的延长线上运动时，点为的中点，有下列两个结论：①的长度不变；②的值不变．请判断哪个结论是正确的，并说明理由． 5．(24-25七上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期末)如图1，O为直线上一点，过点O作射线，使，现将一个 三角板的直角顶点放在点O处，一边与射线重合，如图2． (1) ； (2)如图3，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度，当是的平分线时；求的度数 (3)将三角板绕点O逆时针旋转，设旋转角度为， ① ， ；（用含α的代数式表示） ②是否有某个时刻满足如果有，直接写出的度数，请说明理由． 6．(24-25七上·黑龙江大庆·期末)线段的计算和角的计算有紧密联系，它们之间的解法可以互相迁移． 下面是某节课的学习片段，请完成探索过程： (1)课上，老师提出问题：如图1，点是线段上一点，、分别是线段、的中点，当时，求线段的长度．下面是小哲根据老师的要求进行的分析及解答过程，请你补全解答过程： 因为分别是线段、的中点，所以，， 所以______， 因为，所以______； (2)小哲举一反三，发现有些角度的计算也可以用相似的方法进行转化． 如图2，已知，是角内部的一条射线，分别是的平分线，求的度数； (3)同组的小鹏同学很善于思考，她提出新的问题：如图3，将射线绕点逆时针旋转到的外部（射线在内部），（2）中的其它条件不变，若，求的度数．请你尝试解决该问题． 7．(24-25七上·黑龙江齐齐哈尔·期末)已知：如图，点是线段上一定点，，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向右运动（在线段上，在线段上）． (1)当点、运动了，求的长度； (2)若点、运动时，总有，则______； (3)在（2）的条件下，是直线上一点，且满足，与的数量关系为______． 地 城 考点04 与数与式有关的问题 一、解答题 1．(24-25七上·黑龙江省双鸭山市集贤县·期末)【教材呈现】 探究人教2024版初中数学七年级上册106页的活动2  自然数被3整除的规律． 在小学，我们知道像12，27，36，45，108，…这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数能被3整除．你能说出其中的道理吗？ 先来看两位数的情形． 若一个两位数的十位，个位上的数字分别为，，则通常记这个两位数为．于是 ． 显然能被3整除，因此，如果能被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除． 请你用类似的方法表示三位数，四位数，并说明前面结论的道理，你还可以继续研究五位数情形吗？ 【方法运用】 （1）我们用表示一个三位数．其中，，分别表示百位，十位，个位上的数，即．若能被3整除，则能被3整除． 证明：____________， 又和能被3整除，能被3整除，能被3整除． （2）若四位数能被3整除，则的值为______． 【类比应用】 （3）已知三位数中，能被9整除，求证：能被9整除． 【拓展提升】 （4）当五位数能被9整除时，直接写出的值． 2．(24-25七上·黑龙江齐齐哈尔·期末)在综合实践课《进位制的认识与探究》中，王老师组织同学们对搜集到的信息进行汇报．下面是其中三位同学给大家展示的资料和问题． (1)张同学：中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图①所示是一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录采集到的野果数量为______个（用十进制数表示）． (2)李同学：计算机已经是人们工作、学习的必备工具．世界上第一台通用计算机“ENIAC”于1946年2月14日诞生．这是计算机史上的第一代计算机，它是使用十进制计数，但其中也有少量以二进制方式工作的电子管．现今大家使用的计算机是第四代，第四代计算机已完全使用二进制进行数据表示和存储． 请你把十进制数29转换为二进制数，结果为______． (3)刘同学：1994年二维码诞生了，并在日常生活中应用广泛．二维码的技术原理是基于二进制的0和1，通过几何图形表示文字数值信息． 如图②，是小明同学的准考证号的二维码的简易编码，（黑色代表1，白色代表0）．其中第一行代表二进制的数字，转换成十进制数为24；同理第二行至第五行代表二进制的数字分别转换成十进制的两位数，依次组合到一起就是小明同学的准考证号2410072013，其中第四行编码“20”表示考场号为20． ①图③是小亮同学的准考证号的二维码的简易编码，其中第四行代表二进制的数字是______，转化成十进制后可知他的考场号是______； ②将图③中一、三两行代表的二进制数字相加，列出算式并计算，结果表示为四进制数； ③若本次考试中，“小芳”的准考证号是2417051311，图④是“小芳”自己绘制的二维码简易编码，但在第三、五两行少涂黑了几个小正方形，请你通过计算帮她补充完整． 3．(24-25七上·黑龙江齐齐哈尔四县联考·期末)综合与实践 阅读下列材料： 进位制是人们为了计算和运算方便而约定的技术系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，逢几进一就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数． 材料一：最常用的是十进制，例如：中的表示个千，表示个百，表示个十，表示个一，所以十进制数，十进制数一般不标注基数． 材料二：二进制是逢二进一，例如就是二进制数的简单写法，将十进制数转化为二进制可以用除取余法，以此类推，进制就是除取余法，进制就是除取余法，例如：． 材料三：进制转换十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，例如：二进制数转换为十进制数为．．八进制． 根据上述材料解答下列问题： (1)观察感知：六进制的基数为________，逢________进一． (2)问题解决：十进制对应的二进制数为________，二进制对应的十进制的数为________． (3)类比迁移：我国古代设有十二地支，与十二种动物相应成为十二生肖，来表示年为一周期的循环，这一规律可以用十二进制来解释，十二进制有十二个数码：，，，，，，，，，，，．其中代表，代表．请同学们结合材料三提供的“进制转换十进制”的方法与策略，将十二进制转化为十进制数为________． (4)拓展应用：如何将一个二进制数转化为七进制数？ 第一步：先将转化为十进制数为________． 第二步：再将所得的十进制数转化为七进制数为________． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 解答压轴题专练 4大高频考点概览 考点01 与方案、分段收费有关的问题 考点02 与数轴有关的动点问题 考点03 与几何图形有关的问题 考点04 与数与式有关的问题 地 城 考点01 与方案、分段收费有关的问题 一、解答题 1．(24-25七上·黑龙江省齐齐哈尔市铁锋区·期末)综合与探究 为了防治“新型冠状病毒”，某中学拟向厂家购买消毒剂和红外线测温枪，积极做好师生的测温和教室消毒工作．若按原价购买一瓶消毒剂和一支红外线测温枪共需要210元，一支测温枪的价格比一瓶消毒剂的价格的9倍还多10元 (1)每瓶消毒剂的价格为 　 　元；每支测温枪的价格为 　 　元； (2)由于采购量大，商家推出两种优惠方案（如表）： 购买方案 红外线测温枪 消毒剂 买赠 A 9折 7折 买一支红外线测温枪 送1瓶消毒剂 B 7折 8折 无 已知学校有30个班级，计划每班配置1支红外线测温枪和x瓶消毒剂，当x为何值时两种方案购买所需的总费用相同？ (3)当x＝20时，学校选择上述哪一种方案总费用最低？请直接写出答案． 【答案】(1)20，190； (2)当x为12时两种方案购买所需的总费用相同； (3)方案A所需的总费用更低 【分析】（1）设每瓶消毒剂m元，则每支测温枪（9m+10）元．由按原价购买一瓶消毒剂和一支红外线测温枪共需要210元，列出方程，解方程即可； （2）根据两种方案购买所需的总费用相同列方程即可解得答案； （3）分别计算两种方案所需费用，再比较即可得到答案． 【详解】（1）解：设每瓶消毒剂m元，每支测温枪（9m+10）元，得： m+（9m+10）＝210， 解得：m＝20， ∴每支测温枪的价格为9×20+10＝190（元）， 答：每瓶消毒剂20元，每支测温枪190元； 故答案为：20，190； （2）解：根据题意得： 190×0.9×30+（30x﹣30）×0.7×20＝190×0.7×30+20×0.8×30x， 解得x＝12， 答：当x为12时两种方案购买所需的总费用相同； （3）解：当x＝20时， 方案A所需的总费用为：190×0.9×30+（30×20﹣30）×0.7×20＝13110（元）， 方案B所需的总费用为：190×0.7×30+20×0.8×30×20＝13590（元）， ∵13110＜13590， ∴方案A所需的总费用更低． 【点睛】本题考查一次方程的应用，问题解题的关键是找出等量关系，列方程解决问题． 2．(24-25七上·黑龙江省牡丹江市第二子联盟·期末)喜迎新年，某社区超市第一次用5000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品件数是乙商品件数的2倍 甲 乙 进价（元/件） 15 20 售价（元/件） 30 30 (1)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ (2)超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中购进乙种商品的件数不变，购进甲种商品的件数是第一次购进甲种商品件数的2倍，甲商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多600元，求第二次甲种商品按原价打几折销售？ 【答案】(1)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得4000元利润 (2)第二次甲种商品按原价打8折销售 【分析】（1）首先设第一次购进乙种商品x件，则甲种商品的件数是2x件，再根据：甲种商品的进价×件数+乙种商品的进价×件数，列出方程，求出x的值是多少，进而求出购进甲种商品的件数是多少；然后求出每种商品全部卖完后获得的利润是多少，再把它们相加即可． （2）设第二次甲种商品按原价打y折销售，根据第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多600元，建立方程求出其解即可． 【详解】（1）设第一次购进乙种商品x件，则甲种商品的件数是件， 则， 解得：， ∴甲商品的件数为：（件）， 可获得的利润为： （元） 答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得4000元利润． （2）设第二次甲种商品按原价打y折销售， 则， ∴， 解得：， 答：第二次甲种商品按原价打8折销售． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键． 3．(24-25七上·黑龙江省哈尔滨市巴彦县·期末)红领巾球馆计划购买某品牌的乒乓球拍和乒乓球，已知该品牌的乒乓球拍每副定价150元，乒乓球每盒定价15元．元旦期间该品牌决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案，即 方案一：买一副乒乓球拍送两盒乒乓球； 方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的付款． 该球馆计划购买乒乓球拍10副，乒乓球x盒（，x为整数）． (1)当时，若该球馆按方案一购买，需付款______元；若该球馆按方案二购买，需付款_____元； (2)当x为何值时，分别用两种方式购买所需费用一样？ (3)若，能否找到一种更为省钱的购买方案？如果能，请你写出购买方案，并计算出此方案所需费用；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)1800，1890 (2) (3)先按方案一购买10副球拍可得20盒乒乓球，再按方案二购买20盒乒乓球，需付款1770元 【分析】（1）根据两种方案的收费方式列式，计算时的值即可； （2）根据题意建立方程求解即可； （3）根据题意得出方案一购买球拍，方案二购买剩余所需乒乓球． 【详解】（1）解：由题意得，方案一需付款：元， 方案二需付款：元， 当时， 方案一需付款：（元） 方案二需付款：（元）， 故答案为：1800，1890； （2）解：由题意得，， 解得：， 当时，分别用两种方式购买所需费用一样； （3）解：先按方案一购买10副球拍可得20盒乒乓球，再按方案二购买20盒乒乓球，需付款（元）． 【点睛】本题主要考查了列代数式及代数式求值问题，一元一次方程的应用，得到两种优惠方案付费的关系式是解题的关键． 4．(24-25七上·黑龙江大庆·期末)某公园门票价格规定如下表： 成人票 学生票（学生证） 团体票（16人及以上，不分成人、学生） 票价 元张 元张 元张 元旦假期，七（一）班的小明等同学随家长共人一同到某游乐场游玩．在购买门票时，小明的爸爸按照成人票和学生票的票价计算出一共需要元． (1)求小明他们一共去了多少个成人； (2)小明看了团体票的价格，认为有最省钱的购票方法，请你通过计算说明这种方法购票所需的费用； (3)当小明准备买票时，发现七（二）班的一些同学在小涛的带领下也来购票，于是小明向小涛提出要两部分人合起来买票． 小涛计算后发现：小明等同学随家长人按（）的方法购票，小涛带领同学们购买学生票，一共的花费与两伙人合起来买团体票的花费相同，求七（二）班一共来了多少位学生； 如果两部分人合起来买票，应该如何购票最省钱？请直接写出最省钱的购票方案，并计算出他们一共应付多少钱． 【答案】(1)小明他们一共去了个成人； (2)小明他们可以购买张团体票更省钱，所需费用为元； (3)七（二）班一共来了位学生；最省钱的购票方案为：购买张团体票，张学生票， 他们一共应付元钱． 【分析】（）设小明他们一共去了个成人，则去了个学生，利用“总价单价数量”，结合小明的爸爸按照成人票和学生票的票价计算出一共需要元，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （）利用“总价单价数量”，求出小明他们购买张团体票所需费用，将其与比较后即可得出结论； （）设七 (二)班一共来了位学生，根据“小明等同学随家长人按（）的方法购票，小涛带领同学们购买学生票，一共的花费与两伙人合起来买团体票的花费相同”，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； 求出购买张团体票及张学生票所需费用及购买张团体票所需费用，比较后即可得出结论； 本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设小明他们一共去了个成人，则去了个学生， 根据题意得：， 解得：， 答：小明他们一共去了个成人； （2）解：购买张团体票所需费用为 （元）， ∵， ∴小明他们可以购买张团体票，所需费用为元； （3）解：设七 (二)班一共来了位学生， 根据题意得：， 解得：， 答：七（二）班一共来了位学生； （张）， （元）， （元）， ∵， ∴两部分人合起来买张团体票，买张学生票最省钱， 答：最省钱的购票方案为：购买张团体票，张学生票， 他们一共应付元钱． 5．(24-25七上·黑龙江牡丹江第五子联盟·期末)某商场经销甲、乙两种服装，其中乙种服装每件的进价比甲种服装每件的进价多元，购进件甲种服装与购进件乙种服装的进价相同．出售时，甲种服装每件获利，乙种服装每件获利元． (1)甲种服装每件的进价为_____元，乙种服装每件的利润率为______； (2)该商场同时购进甲、乙两种服装共件，总进价恰好为元，求商场销售完这批服装共盈利多少元？ (3)为喜迎元旦，该商场实行“每满元减元”的优惠活动（比如某顾客购物元，他只需付款元，购物元，他只需付款元），而且元旦当天购物，可参加先打折再“每满元减元”的活动，张女士想买一件标价为元的羊绒大衣，细心的张女士发现，打折后参与活动比元旦前直接参与活动贵了元，直接写出商场元旦当天推出的活动是先打几折之后再参加满减活动？ 【答案】(1)，； (2)商场销售完这批服装共盈利元； (3)先打九五折之后再参加满减活动． 【分析】本题考查的知识点是一元一次方程的应用（销售问题），解题关键是找准题目间的等量关系列出方程． （1）设甲种服装每件的进价为元，则乙种服装每件的进价为元，根据“购进件甲种服装与购进件乙种服装的进价相同”利方程即可求得甲种服装的进货价，再根据“利润率=利润÷进价”列式计算可求得乙种服装的利润率； （2）设购进甲种服装件，则购进乙种服装件，根据“该商场同时购进甲、乙两种服装共件，总进价恰好为元”列方程先求出甲种和乙种服装进货量，求出甲种服装单件利润后，即可求出商场销售完这批服装的盈利数； （3）设商场元旦当天推出的活动是先打折之后再参加满减活动，根据“打折后参与活动比元旦前直接参与活动贵了元”，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲种服装每件的进价为元，则乙种服装每件的进价为元， 依题得：， 解得， 甲种服装每件的进价为元，则乙种服装每件的进价为元， 乙种服装每件获利元， 乙种服装每件的利润率为． 故答案为：，． （2）解：设购进甲种服装件，则购进乙种服装件， 依题得：， 解得， 购进甲种服装件，则购进乙种服装件， 甲种服装每件获利， 甲种服装每件获利， 商场销售完这批服装共盈利元． （3）解：设商场元旦当天推出的活动是先打折之后再参加满减活动， 依题得：， 解得， 即商场元旦当天推出的活动是先打九五折之后再参加满减活动． 6．(24-25七上·黑龙江哈尔滨南岗区·期末)随着水资源的浪费越来越严重，近几年大力促进水资源节约，某市居民用水实行阶梯水价，按年度用水量计算，将居民家庭全年用水量划分为三档，水价分档递增，实施细则如下表： 某市居民用水阶梯水价表（单位：元/立方米） 收费方式 年用水量（单位：立方米） 费用（单位：元/立方米） 第一阶梯 4.5 第二阶梯 6 第三阶梯 8 若某户居民去年用水量为260立方米，则其应缴纳水费为（元）． (1)若小亮家年用水量为立方米，则小亮家应交水费________元（用含a的代数式表示）； (2)若小亮家年水费为930元，则小亮家年用水量为多少立方米？ (3)小亮家去年和今年共用水480立方米，共缴纳水费2810元，并且今年的用水量超过去年的用水量，则小亮家去年和今年各用水多少立方米？ 【答案】(1) (2)小亮家年用水量为200立方米． (3)小亮家去年和今年各用水80和400立方米 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的实际应用： （1）根据收费方式列出代数式即可； （2）设小亮家年用水量为x立方米，根据题意，列出方程进行求解即可； （3）设小亮家去年用水y立方米，则今年用水立方米，分和，两种情况，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，小亮家应交水费为（元）； 故答案为：． （2）设小亮家年用水量为x立方米． 年用水量为180立方米时，应交水费（元）， 年用水量为240立方米时，应交水费（元）， ， ， ， 解得； 答：小亮家年用水量为200立方米． （3）设小亮家去年用水y立方米，则今年用水立方米． 去年和今年共用水480立方米，且今年的用水量超过去年的用水量， ，， ①当时， ， 解得， ． 答：小亮家去年和今年各用水80和400立方米． ②当时， ， 解得（舍）； 综上所述：小亮家去年和今年各用水80和400立方米 地 城 考点02 与数轴有关的动点问题 一、解答题 1．(24-25七上·黑龙江省绥化市明水县·期末)如图，P是线段AB上不同于点A，B的一点，AB＝18cm，C，D两动点分别从点P，B同时出发，在线段AB上向左运动（无论谁先到达A点，均停止运动），点C的运动速度为1cm/s，点D的运动速度为2cm/s． (1)若AP＝PB， ①当动点C，D运动了2s时，AC＋PD＝　 　cm； ②当C，D两点间的距离为5cm时，则运动的时间为 　 　s； (2)当点C，D在运动时，总有PD＝2AC， ①求AP的长度； ②若在直线AB上存在一点Q，使AQ﹣BQ＝PQ，求PQ的长度． 【答案】(1)①12；②4 (2)①；②或 【分析】（1）①先根据线段和差求出，再根据运动速度和时间求出的长，从而可得的长，由此即可得； ②设运动时间为，先求出的取值范围，再求出当点重合时，，从而可得当时，点一定在点的右侧，然后根据建立方程，解方程即可得； （2）①设运动时间为，则，从而可得，再根据当在运动时，总有可得在点的运动过程中，点始终在线段上，此时满足，然后根据即可得出答案； ②分点在线段上和点在的延长线上两种情况，分别根据线段和差即可得． 【详解】（1）解：①， ， 当动点运动了时，， ， ， 故答案为：12； ②设运动时间为， 点运动到点所需时间为，点运动到点所需时间为， 则， 由题意得：， 则， 当点重合时，，即， 解得， 所以当时，点一定在点的右侧， 则，即， 解得， 即当两点间的距离为时，运动的时间为， 故答案为：4． （2）解：①设运动时间为，则， ， ， 当在运动时，总有，即总有， 的值与点的位置无关， 在点的运动过程中，点始终在线段上，此时满足， ， 又， ， 解得， 答：的长度为； ②由题意，分两种情况： （Ⅰ）当点在线段上时， ， 点在点的右侧， ，， 代入得：，解得； （Ⅱ）当点在的延长线上时，则， 代入得：； 综上，的长度为或． 【点睛】本题考查了线段的和差、一元一次方程的几何应用等知识，较难的是题（2）②，正确分两种情况讨论是解题关键． 2．(24-25七上·黑龙江齐齐哈尔讷河·期末)综合与探究 已知：如图，点、点为数轴上两点，点表示的数为，点表示的数为，且与满足． (1)_____，_____； (2)若在点和点之间有一点，且点到点的距离与到点的距离相等．动点从出发，以个单位/秒的速度向运动，同时另一个动点从出发，以个单位/秒的速度向点运动．若中有一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，当点到点的距离是点到点距离的倍时，求到点与点距离相等的点所表示的数． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题考查数轴，数轴上两点之间的距离，一元一次方程，熟练掌握数轴上动点问题的解决方法，并掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）根据非负数的意义，可求出，的值， （2）先确定运动过程中点不超过点，设运动时间为秒，则点表示的数为，点表示的数为，分①当点在点右侧时；②当点在点左侧时，分别进行讨论计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：；， 故答案为：；； （2）解：根据题意得点表示的数为：， 根据题意得点到达终点时间为， 点到达终点时间为， 则点先到达终点， 此时点运动，正好到达点， 则运动过程中点不超过点， 设运动时间为秒， 则点表示的数为，点表示的数为， 则， ①当点在点右侧时， ， 由点到点的距离是点到点距离的倍得， 解得：， 此时，点表示的数为，点表示的数为， ∴到点与点距离相等的点所表示的数为； ②当点在点左侧时， ， 由点到点的距离是点到点距离的倍得， 解得：， 此时，点表示的数为，点表示的数为， ∴到点与点距离相等的点所表示的数为； 综上所述，到点与点距离相等的点所表示的数为或． 3．(24-25七上·黑龙江齐齐哈尔四县联考·期末)如图，已知点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，且点为数轴原点， (1)求，的值． (2)若数轴上有一点，且，求点在数轴上对应的数． (3)若点从点出发沿数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时点从点出发沿数轴的负方向以每秒4个单位长度的速度运动，运动时间为秒，当时，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、两点间的距离数轴、绝对值以及偶次方的非负性，根据两点间的距离结合线段间的关系列出一元一次方程是解题的关键． （1）由绝对值和偶次方的非负性即可求出值； （2）根据可知点C在点A的左侧或点B的右侧两种情况考虑，找出的长度结合即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）根据点P、Q的运动找出的长度，结合即可得出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：设点在数轴上对应的数为x， ∵， ①若点C在点A的左侧，则，， ∴，解得：， ②若点C在点B的右侧，则，， ∴，解得：， ∴点在数轴上对应的数位为或； （3）解：∵，， ∵， ∴，解得：或． 4．(24-25七上·黑龙江齐齐哈尔讷河·期末)综合与探究 已知：如图，点A、点B为数轴上两点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a与b满足． (1)a =_________，b =____________； (2)若在点A和点B之间有一点M，且点M到点A的距离与到点B的距离相等． 动点P从A出发，以1个单位/秒的速度向B运动，同时另一个动点Q从B出发，以2个单位/秒的速度向点A运动． 若P、Q中有一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，当点P到点M的距离是点Q到点M距离的2倍时，求到点P与点Q距离相等的点所表示的数． 【答案】(1)，8 (2)到点P与点Q距离相等的点所表示的数是1或 【分析】（1）根据绝对值和平方数的非负性，即得答案； （2）设经过t秒时点P到点M的距离是点Q到点M距离的2倍，根据题意列方程或，求出t的值，即可求得答案． 【详解】（1）解：， ，， ，， 故答案为：，8； （2）解：设经过t秒时点P到点M的距离是点Q到点M距离的2倍， 则由题意可得：或， 解得：，或， 当时，P表示的数是，Q表示的数是4， 的中点表示的数是1， 当时，P表示的数是，Q表示的数是， 此时的中点表示的数是， 即：到点P与点Q距离相等的点所表示的数是1或． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，绝对值的非负性，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． 5．(24-25七上·黑龙江省绥化市·期末)如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．    (1)数轴上点B表示的数是________，点P表示的数是________（用含的式子表示）； (2)动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 【答案】(1)； (2)①当点P运动5秒时，点P与点Q相遇；②当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离即可解答； （2）①根据数轴上两点间的距离结合行程问题的特点列出方程求解； ②根据数轴上两点间的距离结合行程问题的特点列出方程求解． 【详解】（1）∵数轴上点A表示的数为6， ∴， 则， ∵点B在原点左边， ∴数轴上点B所表示的数为； ∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴点P运动t秒的长度为， ∴P所表示的数为：； 故答案为：，； （2）①点P运动t秒时追上点Q， 根据题意得，解得， 答：当点P运动5秒时，点P与点Q相遇； ②当P不超过Q时，则，解得； 当P超过Q时，则，解得； 答：当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离和一元一次方程的应用，正确理解题意、灵活应用数形结合思想是解题的关键． 6．(24-25七上·黑龙江大庆·期末)【问题背景】 在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离为．例如：数轴上表示和的两点之间的距离是． 【问题解决】 （1）数轴上表示和两点之间的距离是______，数轴上表示和的两点之间的距离是______，数轴上表示和的两点之间的距离是______； 【关联运用】 （2）如图，在数轴上，点，，表示的数为，，，设点在数轴上对应的数为． 若点为线段的中点，则______； 若点为线段上的一个动点，化简； 动点从出发，以每秒个单位的速度沿数轴向点运动，同时动点从出发，以每秒个单位的速度沿数轴在，之间往返运动，当点运动到时，和两点停止运动．设运动时间为秒，请直接写出使得时的值． 【答案】（），，；（） ； ；当时，的值为或或． 【分析】（）根据数轴上两点距离公式即可求解； （）由点为线段的中点，则，然后解出方程即可； 由点为线段上的一个动点，可得，然后化简绝对值即可； 分当时，和当时，两种情况分析即可． 【详解】解：（）根据距离公式可得： 数轴上表示和两点之间的距离是，数轴上表示和的两点之间的距离是，数轴上表示和的两点之间的距离是， 故答案为：，，； （）∵点为线段的中点， ∴， 解得：， 故答案为：； ∵点为线段上的一个动点， ∴， ∴ ； 由题意得：点表示的数为，点从到需要（秒），点从到需要（秒）， ∴当时，点表示的数为，当时，点从到运动，此时 点表示的数为， ∵， ∴当时，， 解得：或； 当时，， 解得：或（舍去）， 综上可知：当时，的值为或或． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，线段中点的定义，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，绝对值的应用，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 7．(24-25七上·黑龙江哈尔滨阿城区·期末)已知，A、B两点在数轴上的位置如图所示，点A距原点20个单位长度，． (1)直接写出点A、点B表示的数； (2)点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，设M的运动时间是t秒，请用含t的式子表示线段的长； (3)在（2）的条件下，点M出发2秒后，动点N从B出发沿数轴向点A运动，到点A后原路返回，并且点N出发3秒后速度变为每秒1个单位长度，当点N出发7秒时，，求点N刚出发时的速度是每秒多少个单位长度? 【答案】(1)点A表示的数是，点B表示的数是10 (2)当点M在线段上时，，当点M在线段的延长线上时， (3)点N刚出发时的速度是或或或个单位每秒 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离，列代数式，掌握分类讨论的思想是解题的关键． （1）根据题意及数轴即可解答； （2）根据题意知分情况讨论，当点M在线段上时，当点M在线段的延长线上时，列式即可解答； （3）根据题意可知当时，，点M表示的数是，点N表示的数是4或， 设点N的速度为x个单位每秒，分情况讨论，当点N表示的数是4时，当点N表示的数是时，再分点N返回前，点N到A返回后，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点A距原点20个单位长度，， ∴由数轴可知点A表示的数是，点B表示的数是10． （2）解：根据题意知， 当点M在线段上时， 当点M在线段的延长线上时，， 综上，或； （3）解：当时，， 点M表示的数是，点N表示的数是4或， 设点N的速度为x个单位每秒， 当点N表示的数是4时，， 情况1，当点N返回前，， 解得； 情况2，当点N到A返回后，， 解得；； 当点N表示的数是时，， 情况1，当点N返回前，， 解得；； 情况2，当点N到A返回后，， 解得；； 综上，点N刚出发时的速度是个单位每秒或个单位每秒或个单位每秒或个单位每秒． 8．(24-25七上·黑龙江哈尔滨巴彦县·期末)已知：以点为原点的数轴上有、两点，分别表示数、，且． (1)直接写出的长度是______； (2)如图1，是一条定长的线段（点在点的左侧），它在数轴上从左向右匀速运动，在运动过程中，线段完全经过点（即点在线段上的这段过程）所需的时间为4秒，线段完全经过线段（即线段与线段有公共点的这段过程）所需的时间为15秒．求线段的长； (3)如图2，在（2）的条件下，动线段上的点与点重合时开始运动，运动到点是的中点时，此时将射线绕点顺时针方向以每秒2°的速度旋转，同时射线绕点逆时针方向以每秒4°的速度旋转，设旋转时间为秒（）．当时，求整个运动过程中共用多长时间． 【答案】(1)22 (2)8 (3)28秒或48秒或88秒 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、绝对值的非负性以及算术平方根的非负性，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用算术平方根及绝对值的非负性，可求出的值，再利用数轴上两点间的距离公式，可求出线段的长； （2）设线段的长为，利用速度路程时间，结合线段的运动速度不变，可列出关于的一元一次方程，解之可得出结论； （3）利用速度路程时间，可求出线段的运动速度，利用时间路程速度，可求出运动到点是的中点所需时间，分，及三种情况考虑，根据，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：22． （2）解：设线段的长为， 根据题意得：， 解得：， ∴线段的长为8． （3）解：由（2）可知：线段的运动速度为（个单位长度/秒）， 运动到点是的中点所需时间为（秒）， （秒），（秒）， 当时（图2），， 解得：； 当时（图3），， 解得：； 当时（图4），， 解得：； ∴或48或88， ∴整个运动过程中共用28秒或48秒或88秒． 9．(24-25七上·黑龙江省大庆市第一中学·期末)已知点A，B，C在数轴上对应的数分别是a，b，c，其中a，c满足，a，b互为相反数（如图1）．              图1                                           图2 (1)请求出a，b，c的值； (2)点P为一动点，其对应的数为x，若，求x的值： (3)如图2，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”（图中A，C两点在“折线数轴”上的距离为28个单位长度），动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，在段运动速度变为原来的一半，之后立刻恢复：P从点A运动同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，在段运动速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，设运动时间为t秒，请直接写出当t为何值时，P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等． 【答案】(1)，， (2)或 (3)2秒或秒或11秒或17秒 【分析】（1）根据非负数的性质即可求解； （2）利用绝对值表示出，，根据列出方程，解之即可． （3）由路程、速度、时间三者关系，根据分类求出四种情况下的时间为2秒或秒或11秒或17秒． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∵a，b互为相反数， ∴； （2），， ∵， ∴， 解得：或； （3）当点在，点在上运动时，依题意得： ， 解得：， 当点、两点都在上运动时， 解得：， 当在上，在上运动时， ， 解得：； 当在上，在上运动时， ， 解得：； 即时，运动的时间为2秒或秒或11秒或17秒． 【点睛】本题综合考查了数轴与有理数的关系，数轴上的动点问题，非负数的性质，绝对值的意义，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，数形结合思想，分类讨论的方法． 地 城 考点03 与几何图形有关的问题 一、解答题 1．(24-25七上·黑龙江省双鸭山市宝清县·期末)已知为一条射线，平分平分 (1)如图1，在内部，且，求的度数； (2)如图1，若，其余条件不变，求的度数； (3)如图2，在外部，平分平分，你能求的度数吗？若能，请求出的度数；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能， 【分析】本题考查了角的平分线定义和角的有关计算，数形结合是解答本题的关键． （1）先求出，根据角平分线的定义求出，，进而可求出的度数； （2）仿照（1）的步骤求解即可； （3）设，则，则，由角平分线的定义求出，然后根据求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴； （2）∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴； （3）能求出的度数， 理由如下： ∵平分， ∴， 设，则， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 2．(24-25七上·黑龙江齐齐哈尔·期末)在数学活动课上，老师和同学们以“在同一平面内，点为直线上一点，过点作射线，使 ，把一直角三角板的直角顶点固定在点处，绕点转动直角三角板．”为问题背景，展开研究． (1)如图①，将三角板的一边与射线重合时，则_________； (2)如图②，绕点转动直角三角板，当恰好是的角平分线时，求的度数； (3)绕点转动直角三角板，始终保证在的内部，当时，__________． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查角度的和差计算，角平分线的定义． （1）根据计算即可； （2）由角平分线的定义可得，再根据即可求解； （3）分两种情况讨论：①在内；②在外，根据已知角度关系求解即可． 【详解】（1）解：∵，与射线重合， ∴， 故答案为：； （2）解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴； （3）解：分以下两种情况：当在内时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； ②当在外时， ，， ∵， ∴ ∵， ∴， 解得：． 故答案为：或． 3．(24-25七上·黑龙江龙东部分学校·期末)O是直线上一点，过点作射线，使得，将一直角三角尺的直角顶点放在点处． (1)如图①，将三角尺的一边与射线重合，求的度数； (2)如图②，将三角尺绕点逆时针旋转，当平分时，求和的度数； (3)将三角尺绕点逆时针旋转至图③时，，求的度数． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查角了角平分线、角的和差等知识点，弄清楚角之间的关系是解题的关键． （1）根据和的度数以及角的和差即可解答． （2）根据平分的角平分线结合可得，然后再根据角的和差即可解答； （3）由可得，再结合可得，即，从而可得的度数，然后再根据角的和差即可解答． 【详解】（1）解：，， ． （2）解：，，是的平分线， ． ． ． （3）解：， ， ， ． ， ． ． ． ． 4．(24-25七上·黑龙江双鸭山集贤县·期末)如图，线段，动点从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，点为的中点，设点运动的时间为秒． (1)用含的代数式表示的长______． (2)当点在射线上运动时，出发多少秒后？ (3)当点在线段的延长线上运动时，点为的中点，有下列两个结论：①的长度不变；②的值不变．请判断哪个结论是正确的，并说明理由． 【答案】(1)或 (2)当点在射线上运动时，出发秒后 (3)①结论正确，见解析 【分析】（1）先表示出，再根据点的位置分别表示出的长即可； （2）根据题意得，根据点的位置分两种情况讨论，分别列方程求解即可； （3）当点在线段的延长线上运动时，根据线段中点，得到，，再计算线段的和差即可． 【详解】（1）解：设点运动的时间为秒，则， 当点在线段上时，， 当点在的延长线上时，， 综上可知，的长为或． 故答案为：或； （2）解：，点为的中点， ， ①当点在线段上时，此时，， ， ， ； ②当点在的延长线上时，此时，， ，此方程无解； 即当点在射线上运动时，出发秒后； （3）解：当点在线段的延长线上运动时， ，， 点为的中点，点为的中点， ，， ， ， 的长度不变，①结论正确； ，， ， 的值是变的，②结论错误． 【点睛】本题考查了线段中点以及线段的和差，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想解决问题是关键． 5．(24-25七上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期末)如图1，O为直线上一点，过点O作射线，使，现将一个 三角板的直角顶点放在点O处，一边与射线重合，如图2． (1) ； (2)如图3，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度，当是的平分线时；求的度数 (3)将三角板绕点O逆时针旋转，设旋转角度为， ① ， ；（用含α的代数式表示） ②是否有某个时刻满足如果有，直接写出的度数，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①；或，②有，的度数或，见解析 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，角平分线的有关计算，旋转的性质以及一元一次方程的应用等知识． （1）根据三角板中，即可得到结果； （2）设旋转的角度，再根据角平分的定义即可得到，计算得到结果； （3）①分类讨论，当当时，时，或当当时，时，得到旋转的角度； ②利用①的结论，进行计算，即可得到结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：． （2）解：设旋转的角度， ， ∵，是的平分线， ∴， ∴， ∴， 即． （3）解：①旋转的角度， 当时，点D在的右侧， 当时，点D在的左侧， ∴或， 故答案为：；或； ②满足， ∴，或 解得或， ∴的度数或． 6．(24-25七上·黑龙江大庆·期末)线段的计算和角的计算有紧密联系，它们之间的解法可以互相迁移． 下面是某节课的学习片段，请完成探索过程： (1)课上，老师提出问题：如图1，点是线段上一点，、分别是线段、的中点，当时，求线段的长度．下面是小哲根据老师的要求进行的分析及解答过程，请你补全解答过程： 因为分别是线段、的中点，所以，， 所以______， 因为，所以______； (2)小哲举一反三，发现有些角度的计算也可以用相似的方法进行转化． 如图2，已知，是角内部的一条射线，分别是的平分线，求的度数； (3)同组的小鹏同学很善于思考，她提出新的问题：如图3，将射线绕点逆时针旋转到的外部（射线在内部），（2）中的其它条件不变，若，求的度数．请你尝试解决该问题． 【答案】(1)；6 (2) (3) 【分析】本题考查了角的计算，线段的计算，主要利用了角平分线的定义，熟记概念并准确识图是解题的关键． （1）根据题干给出的思路作答即可； （2）根据角平分线的定义表示出和，然后根据进行计算即可得解； （3）根据角平分线的定义表示出和，求出，再求出，然后求出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：∵C，D分别是线段、的中点， ∴， ， ， ∵， ∴； （2）解：∵，分别是，的平分线， ∴，， ∴ ， ∵， ∴； （3）解：∵，分别是，的平分线， ∴，，   ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴． 7．(24-25七上·黑龙江齐齐哈尔·期末)已知：如图，点是线段上一定点，，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向右运动（在线段上，在线段上）． (1)当点、运动了，求的长度； (2)若点、运动时，总有，则______； (3)在（2）的条件下，是直线上一点，且满足，与的数量关系为______． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了线段的和差、两点间的距离，掌握线段法和差计算，两点间的距离，利用分类讨论思想是解答本题的关键． （1）根据题意，由运动时间和速度分别求出、的长，再根据，进而求出的长； （2）根据、的运动速度知，，再由已知，进而求得，再由，即，进而得出答案； （3）分两种情况分析：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时，由线段的和差计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，当点、运动了时，，， ，， ， ； （2）解：由（1）可知，， ， ，即， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：分两种情况：如图所示，当点在线段上时， ，， ， ， ； 如图所示，当点在线段的延长线上时， ，， ， 综上所述，与的数量关系为或， 故答案为：或． 地 城 考点04 与数与式有关的问题 一、解答题 1．(24-25七上·黑龙江省双鸭山市集贤县·期末)【教材呈现】 探究人教2024版初中数学七年级上册106页的活动2  自然数被3整除的规律． 在小学，我们知道像12，27，36，45，108，…这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数能被3整除．你能说出其中的道理吗？ 先来看两位数的情形． 若一个两位数的十位，个位上的数字分别为，，则通常记这个两位数为．于是 ． 显然能被3整除，因此，如果能被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除． 请你用类似的方法表示三位数，四位数，并说明前面结论的道理，你还可以继续研究五位数情形吗？ 【方法运用】 （1）我们用表示一个三位数．其中，，分别表示百位，十位，个位上的数，即．若能被3整除，则能被3整除． 证明：____________， 又和能被3整除，能被3整除，能被3整除． （2）若四位数能被3整除，则的值为______． 【类比应用】 （3）已知三位数中，能被9整除，求证：能被9整除． 【拓展提升】 （4）当五位数能被9整除时，直接写出的值． 【答案】（1），；（2）3；（3）见解析；（4）0或9 【分析】本题主要考查整式加减的应用，解题的关键是理解题意． （1）根据题意可直接进行求解； （2）由可知能被3整除，然后问题可求解； （3）由题意得，且能被9整除，进而问题可求解； （4）由，且五位数能被9整除可进行求解． 【详解】解：（1）证明：， 又和能被3整除，能被3整除， 能被3整除； 故答案为，． （2）由题意得：， ∵四位数能被3整除， ∴能被3整除， ∴； 故答案为3； （3）∵，且能被9整除， ∴能被9整除． （4）∵，且五位数能被9整除， ∴能被9整除， ∴或9． 2．(24-25七上·黑龙江齐齐哈尔·期末)在综合实践课《进位制的认识与探究》中，王老师组织同学们对搜集到的信息进行汇报．下面是其中三位同学给大家展示的资料和问题． (1)张同学：中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图①所示是一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录采集到的野果数量为______个（用十进制数表示）． (2)李同学：计算机已经是人们工作、学习的必备工具．世界上第一台通用计算机“ENIAC”于1946年2月14日诞生．这是计算机史上的第一代计算机，它是使用十进制计数，但其中也有少量以二进制方式工作的电子管．现今大家使用的计算机是第四代，第四代计算机已完全使用二进制进行数据表示和存储． 请你把十进制数29转换为二进制数，结果为______． (3)刘同学：1994年二维码诞生了，并在日常生活中应用广泛．二维码的技术原理是基于二进制的0和1，通过几何图形表示文字数值信息． 如图②，是小明同学的准考证号的二维码的简易编码，（黑色代表1，白色代表0）．其中第一行代表二进制的数字，转换成十进制数为24；同理第二行至第五行代表二进制的数字分别转换成十进制的两位数，依次组合到一起就是小明同学的准考证号2410072013，其中第四行编码“20”表示考场号为20． ①图③是小亮同学的准考证号的二维码的简易编码，其中第四行代表二进制的数字是______，转化成十进制后可知他的考场号是______； ②将图③中一、三两行代表的二进制数字相加，列出算式并计算，结果表示为四进制数； ③若本次考试中，“小芳”的准考证号是2417051311，图④是“小芳”自己绘制的二维码简易编码，但在第三、五两行少涂黑了几个小正方形，请你通过计算帮她补充完整． 【答案】(1)72 (2) (3)①；21；②见解析；③见解析 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题意，满七进一，列式计算，即可求解； （2）根据二进制转换十进制的方法列式计算即可； （3）①根据黑色代表1，白色代表0，写出第四行代表二进制的数字，然后转化为十进制数字，即可求解； ②根据题意将图③中一、三两行代表的二进制数字相加，列出算式并计算，再将结果表示为四进制数，即可求解； ③先把第三、五两行代码换算成二进制，再画二维码． 【详解】（1）解：依题意，， 故答案为：72； （2）解：依题意，， ∴， 故答案为：； （3）解：①第四行代表二进制的数字是， ，转化成十进制后可知他的考场号是21， 故答案为：；21； ②图③中一、三两行代表的二进制数字分别为，， 转换为十进制为， ， ， ， ∴， ∴42转化为四进制数为； ③“小芳”的准考证号是2417051311，在第三、五两行的十进制数分别为05，11， ∵，， 即，， 如图所示． ． 3．(24-25七上·黑龙江齐齐哈尔四县联考·期末)综合与实践 阅读下列材料： 进位制是人们为了计算和运算方便而约定的技术系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，逢几进一就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数． 材料一：最常用的是十进制，例如：中的表示个千，表示个百，表示个十，表示个一，所以十进制数，十进制数一般不标注基数． 材料二：二进制是逢二进一，例如就是二进制数的简单写法，将十进制数转化为二进制可以用除取余法，以此类推，进制就是除取余法，进制就是除取余法，例如：． 材料三：进制转换十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，例如：二进制数转换为十进制数为．．八进制． 根据上述材料解答下列问题： (1)观察感知：六进制的基数为________，逢________进一． (2)问题解决：十进制对应的二进制数为________，二进制对应的十进制的数为________． (3)类比迁移：我国古代设有十二地支，与十二种动物相应成为十二生肖，来表示年为一周期的循环，这一规律可以用十二进制来解释，十二进制有十二个数码：，，，，，，，，，，，．其中代表，代表．请同学们结合材料三提供的“进制转换十进制”的方法与策略，将十二进制转化为十进制数为________． (4)拓展应用：如何将一个二进制数转化为七进制数？ 第一步：先将转化为十进制数为________． 第二步：再将所得的十进制数转化为七进制数为________． 【答案】(1)，六； (2)，； (3)； (4)，． 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算、不同进制的数之间的转换，解决本题的关键是读懂阅读材料中不同进制数之间的转换原理，利用材料中的解题思路进行解答． 根据：逢几进一就是几进制，几进制的基数就是几，可知六进制的基数为，逢六进一； 仿照材料二中的思路，运用除取余法，可知把十进制对应的二进制数为，根据材料三中：进制转换十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，可得：二进制对应的十进制的数为； 根据材料三中：进制转换十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，可得：将十二进制转化为十进制数为； 根据材料三中：进制转换十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，可得：将转化为十进制数为，仿照材料二中的思路，运用除取余法，将所得的十进制数转化为七进制数为． 【详解】（1）解：六进制的基数为，逢六进一， 故答案为：，六； （2）解：运用除取余法，如下图所示， 十进制对应的二进制数为：， 二进制对应的十进制的数为： ， 故答案为：，； （3）解：将十二进制转化为十进制数为： ， 故答案为：； （4）解：先将转化为十进制数为： ， 运用除取余法，如下图所示， 将所得的十进制数转化为七进制数为：． 故答案为：，． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $