专题09 三角恒等变换5大考点（期末真题汇编，青海、宁夏专用）高一数学上学期人教A版

专题09 三角恒等变换 5大高频考点概览 考点01 两角和差公式 考点02 二倍角公式 考点03 利用公式化简求值 考点04 给值求值问题 考点05 给值求角问题 地 城 考点01 两角和差公式 一、单选题 1．(23-24高一上·宁夏青铜峡宁朔中学·期末)（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由两角和的正弦公式运算可得结果. 【详解】 由题意可得：. 故选：B. 二、填空题 2．(23-24高一上·宁夏银川金凤区唐徕中学·期末) . 【答案】 【分析】观察可知，由两角和的正弦公式展开求解即可. 【详解】 . 故答案为： 3．(23-24高一上·宁夏银川唐徕中学·期末)求值： . 【答案】/ 【分析】把转化成，利用两角和公式展开后化简整理，最后根据正切的两角和公式求得答案． 【详解】解：原式 ， ， 原式 故答案为：. 4．(23-24高一上·宁夏银川育才中学·期末)已知，，则 【答案】 【分析】利用两角和的正切公式即可. 【详解】， 故答案为：. 5．(23-24高一上·宁夏固原·期末)已知sin α＋cos α＝，α∈(－π，0)，则tan α＝ . 【答案】. 【解析】由题意利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得和的值，可得的值. 【详解】因为sin α＋cos α＝，①  所以sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝， 即2sin αcos α＝.  因为α∈(－π，0)，所以sin α＜0，cos α＞0， 所以sin α－cos α＝， 与sin α＋cos α＝联立解得sin α＝－，cos α＝， 所以tan α＝. 故答案为：. 【点睛】该题考查的是有关三角函数恒等变换化简求值问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，在解题的过程中，注意这三个式子是知一求二，属于简单题目. 三、解答题 6．(24-25高一上·青海名校联盟·期末)已知是第四象限角，且. (1)求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角函数基本关系式以及二倍角公式求解即可； （2）先利用同角三角函数关系式求得,再利用两角差的正切公式展开，将的值代入求解即可. 【详解】（1）因为，且，所以， 所以或. 因为是第四象限角，所以，所以， 则. （2）由（1）可知，则， 故. 7．(23-24高一上·宁夏青铜峡宁朔中学·期末)已知为锐角，，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）；（2） 【详解】分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果. 详解：解：（1）因为，，所以． 因为，所以， 因此，． （2）因为为锐角，所以． 又因为，所以， 因此． 因为，所以， 因此，． 8．(24-25高一上·宁夏银川第二中学·期末)在平面直角坐标系中，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点，角的终边逆时针旋转得到角的终边． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用三角函数定义求出，再利用和角的正切求解作答. （2）利用三角函数定义求出，再利用和角的余弦求解作答. 【详解】（1）依题意，，而， 所以. （2）显然，则，， ，， 所以． 9．(22-23高一上·青海西宁·期末)，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角函数诱导公式得到，从而代入求值； （2）在（1）的基础上，利用同角三角函数关系求出的正弦和余弦，进而利用正弦的和角公式求出答案. 【详解】（1）由，得， 所以， 所以； （2）由（1）得，又， 因为，解得，， 因为，，所以， 所以． 地 城 考点02 二倍角公式 一、单选题 1．(23-24高一上·宁夏青铜峡宁朔中学·期末)已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角的余弦公式代入计算即可得出结果. 【详解】根据二倍角的余弦公式可得： . 故选：D 2．(24-25高一上·宁夏吴忠吴忠中学·期末)设，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】根据余弦二倍角公式由可得的值，结合充分必要条件判断即可. 【详解】因为，则，所以或， 则“”是“”的必要非充分条件. 故选：B. 二、填空题 3．(22-23高一上·青海西宁·期末)若角α的终边上有一点，则 ． 【答案】 【分析】先根据定义求出角α的正切，再利用二倍角公式求解. 【详解】由题意得，故. 故答案为： 4．(24-25高一上·青海部分学校·期末)已知，则的值是 【答案】2 【分析】利用两角和正切公式化简即得结果. 【详解】因为， 所以， 因此 【点睛】本题考查两角和正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 5．(23-24高一上·青海西宁大通县·期末)若，则 ． 【答案】 【分析】化，从而平方即可. 【详解】因为，所以，两边平方得，即，． 故答案为： 6．(24-25高一上·宁夏银川一中·期末)已知，则 ． 【答案】 【分析】先根据正弦和角公式得到，进而求出，利用二倍角公式求出答案. 【详解】因为，而， 因此， 则， 所以. 故答案为： 三、解答题 7．(23-24高一上·青海西宁大通县·期末)已知为锐角，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角的三角函数关系式，结合正弦二倍角公式进行求解即可； （2）根据同角的三角函数关系式，结合两角差的余弦公式进行求解即可. 【详解】（1）因为， 所以， 所以. （2）因为， 所以， 所以. 8．(24-25高一上·宁夏石嘴山·期末)已知 (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件根据平方关系求，再由商的关系求； （2）结合二倍角余弦公式及两角和余弦公式化简求值. 【详解】（1） . ； （2） . 地 城 考点03 利用公式化简求值 一、单选题 1．(24-25高一上·宁夏银川唐徕中学·期末)下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用二倍角公式和两角和差公式求解即可. 【详解】，A正确； ，B错误； ，C正确； ，D正确； 故选：ACD 2．(24-25高一上·宁夏固原西吉中学·期末)下列选项中，与的值相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】求出的值，进而利用二倍角的正弦求值判断A；利用两角和的余弦求值判断B；利用二倍角的余弦求值判断C；利用两角和的正切求值判断D. 【详解】. 对于A，； 对于B， ； 对于C，； 对于D，因为，可得. ∴与的值相等的是ABD. 故选：ABD. 3．(24-25高一上·宁夏银川一中·期末)下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用和差角的正弦、二倍角公式逐项化简计算即得. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，取，则，C错误； 对于D，，D正确. 故选：ABD 4．(24-25高一上·宁夏吴忠吴忠中学·期末)下列计算中正确的是（    ） A．已知，则= B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据同角三角函数关系判断A选项；应用两角和的正弦结合诱导公式判断B选项；应用两角和的正切公式判断C选项；用正弦的和角公式化简求解即可判断D选项； 【详解】对于A， 已知，则,所以A正确； 对于B， ，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D， ，故D错误. 故选：AC. 5．(23-24高一上·宁夏银川育才中学·期末)下列各式中，值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据三角恒等变换公式计算每个式子的值，即可得答案； 【详解】对A，，故A错误； 对B，，故B正确； 对C，，故C正确； 对D，，故D错误； 故选：BC. 【点睛】本题考查利用三角恒变换中的二倍角公式、同角三角函数的平方关系求值，考查运算求解能力，属于基础题. 二、解答题 6．(24-25高一上·宁夏银川唐徕中学·期末)在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点，若角与的顶点均为坐标原点，始边均为轴的非负半轴，将绕原点按逆时针方向旋转后与角的终边重合. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接由三角函数定义以及二倍角的余弦公式即可得解. （2）由诱导公式结合两角和的余弦公式即可得解. 【详解】（1）由三角函数定义，，， . （2）由题意，， . 7．(23-24高一上·宁夏青铜峡宁朔中学·期末)求下列各式的值 (1) ; (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)4 【分析】（1）根据二倍角的正弦公式，直接计算，即可得出结果； （2）根据二倍角的余弦公式，直接计算，即可得出结果； （3）根据诱导公式和两角和差的正切公式即可得出结果； （4）根据辅助角公式以及正弦函数的二倍角公式，可得答案. 【详解】（1）. （2）. （3） . （4） . 地 城 考点04 给值求值问题 一、单选题 1．(23-24高一上·宁夏银川第二中学·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦差角公式和辅助角公式得到，再整体法利用诱导公式和二倍角公式求出答案. 【详解】由题可得，， 所以. 故选：A. 2．(24-25高一上·宁夏固原西吉中学·期末)设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可直接构造方程求解. 【详解】， . 故选：C. 3．(23-24高一上·宁夏银川一中·期末)已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由辅助角公式将所求的角化为与已知同角，再利用同角间的三角函数关系，即可求解. 【详解】， ， ， . 故选:C. 【点睛】本题考查三角恒等变换、同角间的三角函数关系求值，应用平方关系要注意角的范围判断，属于中档题. 4．(23-24高一上·宁夏银川育才中学·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】注意到，后结合诱导公式可得答案. 【详解】. 故选：A 二、多选题 5．(23-24高一上·宁夏青铜峡宁朔中学·期末)已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据三角函数值的正负判断A；利用三角函数基本关系求值时，一般关于正余弦的加减法运算需要注意平方的应用，其次开方时一定要注意判断三角函数值的正负，进而判断BCD. 【详解】因为，则， 又因为，则，可知，故A错误； 因为，可得， 则，且， 所以，故D正确； 联立方程，解得，故B错误； 所以，故C正确； 故选：CD. 三、填空题 6．(24-25高一上·宁夏银川第二中学·期末)已知，且，则 ． 【答案】/ 【分析】根据已知角与所求角之间的关系，利用诱导公式与同角三角函数关系求值即可. 【详解】. ，， ，则， ． 故答案为：. 四、解答题 7．(23-24高一上·宁夏银川唐徕中学·期末)求下列各式的值. (1)已知，求的值； (2)已知，，求的值. 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）利用齐次式法即可得解； （2）利用整体法，结合三角函数的基本关系式与和差公式即可得解. 【详解】（1）因为， 所以. （2）因为， 则，， 又， 所以，， 则 . 8．(23-24高一上·宁夏银川金凤区唐徕中学·期末)在△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据三角形内角的取值范围，利用同角三角函数的平方式和商式，结合正切函数的二倍角公式，可得答案； （2）利用正切函数的二倍角公式以及差角公式，可得答案. 【详解】（1）因为，A为三角形内角， 所以A为锐角，可得，可得， 所以. （2）因为，所以， 所以． 9．(24-25高一上·宁夏银川景博中学·期末)已知、均为锐角，. (1)求，的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用同角三角函数关系式，结合两角差的余弦公式计算即可； （2）运用两角和的正弦公式计算即可. 【详解】（1）因为均为锐角，所以. 又，所以. （2）根据第（1）问可知： 10．(24-25高一上·宁夏吴忠青铜峡第一中学·期末)（1）已知，求的值； （2）若，求的值 【答案】（1）（2） 【分析】（1）利用弦化切可得答案； （2）利用诱导公式计算可得答案. 【详解】（1）因为，所以， 所以 ； （2）因为， 所以 . 11．(23-24高一上·宁夏银川育才中学·期末)已知为锐角，，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由为锐角，可求出，利用同角之间的关系可求出. （2）根据结合余弦的差角公式可得出答案. 【详解】（1），， （2）由为锐角，， . 【点睛】方法点睛：本题考查同角三角函数的关系，余弦函数的差角公式以及角的变换关系，在利用两角和与差的三角函数公式求值或化简时，常根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，运用角的变换，沟通条件与结论的差异，使问题获解，常见角的变换方式有：，，等等，属于一般题. 地 城 考点05 给值求角问题 一、填空题 1．(23-24高一上·宁夏银川育才中学·期末)已知为钝角，为锐角满足，则 ． 【答案】 【分析】根据已知得，进而根据余弦的差角公式结合角的范围求解即可. 【详解】由于为钝角，为锐角， 所以， 所以 ． 又因为为钝角，为锐角，所以，所以． 故答案为： 二、解答题 2．(24-25高一上·宁夏固原西吉中学·期末)在平面直角坐标系中，锐角、的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，终边与单位圆的交点分别为、．已知点的横坐标为，点的纵坐标为． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用三角函数的定义以及同角三角函数的基本关系可求得、的正弦值、余弦值，利用两角和的正弦公式可求得的值； （2）求出的正弦值、余弦值，利用两角和的余弦公式可求得的余弦值，求出的取值范围，即可求得结果. 【详解】（1）解：利用三角函数的定义可得，， 又、是锐角，所以，， 所以，. （2）解：因为，， 又是锐角，则，所以， 又因为，则， 而，所以． 3．(24-25高一上·宁夏吴忠吴忠中学·期末)（1）已知，，求，； （2）已知，，求； （3）已知，，且，求的值. 【答案】（1），； （2）； （3）. 【分析】（1）由，求出，利用倍角公式求和； （2），由两角差的正切公式计算； （3）由和，求出和，再由，利用两角差的余弦公式计算，可得的值. 【详解】（1）由，有， 已知，则， ， ； （2）已知，， 则； （3）由，得，，， 由，得， 由，得，，， 由，得， ， ， 所以. 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 三角恒等变换 5大高频考点概览 考点01 两角和差公式 考点02 二倍角公式 考点03 利用公式化简求值 考点04 给值求值问题 考点05 给值求角问题 地 城 考点01 两角和差公式 一、单选题 1．(23-24高一上·宁夏青铜峡宁朔中学·期末)（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．(23-24高一上·宁夏银川金凤区唐徕中学·期末) . 3．(23-24高一上·宁夏银川唐徕中学·期末)求值： . 4．(23-24高一上·宁夏银川育才中学·期末)已知，，则 5．(23-24高一上·宁夏固原·期末)已知sin α＋cos α＝，α∈(－π，0)，则tan α＝ . 三、解答题 6．(24-25高一上·青海名校联盟·期末)已知是第四象限角，且. (1)求的值； (2)若，求的值. 7．(23-24高一上·宁夏青铜峡宁朔中学·期末)已知为锐角，，． （1）求的值； （2）求的值． 8．(24-25高一上·宁夏银川第二中学·期末)在平面直角坐标系中，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点，角的终边逆时针旋转得到角的终边． (1)求的值； (2)求的值． 9．(22-23高一上·青海西宁·期末)，，． (1)求的值； (2)求的值． 地 城 考点02 二倍角公式 一、单选题 1．(23-24高一上·宁夏青铜峡宁朔中学·期末)已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·宁夏吴忠吴忠中学·期末)设，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 二、填空题 3．(22-23高一上·青海西宁·期末)若角α的终边上有一点，则 ． 4．(24-25高一上·青海部分学校·期末)已知，则的值是 5．(23-24高一上·青海西宁大通县·期末)若，则 ． 6．(24-25高一上·宁夏银川一中·期末)已知，则 ． 三、解答题 7．(23-24高一上·青海西宁大通县·期末)已知为锐角，. (1)求的值； (2)求的值. 8．(24-25高一上·宁夏石嘴山·期末)已知 (1)求的值； (2)求的值. 地 城 考点03 利用公式化简求值 一、单选题 1．(24-25高一上·宁夏银川唐徕中学·期末)下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·宁夏固原西吉中学·期末)下列选项中，与的值相等的是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·宁夏银川一中·期末)下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高一上·宁夏吴忠吴忠中学·期末)下列计算中正确的是（    ） A．已知，则= B． C． D． 5．(23-24高一上·宁夏银川育才中学·期末)下列各式中，值为的是（    ） A． B． C． D． 二、解答题 6．(24-25高一上·宁夏银川唐徕中学·期末)在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点，若角与的顶点均为坐标原点，始边均为轴的非负半轴，将绕原点按逆时针方向旋转后与角的终边重合. (1)求的值； (2)求的值. 7．(23-24高一上·宁夏青铜峡宁朔中学·期末)求下列各式的值 (1) ; (2) (3) (4) 地 城 考点04 给值求值问题 一、单选题 1．(23-24高一上·宁夏银川第二中学·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·宁夏固原西吉中学·期末)设，则（    ） A． B． C． D． 3．(23-24高一上·宁夏银川一中·期末)已知，，则（    ） A． B． C． D． 4．(23-24高一上·宁夏银川育才中学·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．(23-24高一上·宁夏青铜峡宁朔中学·期末)已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 6．(24-25高一上·宁夏银川第二中学·期末)已知，且，则 ． 四、解答题 7．(23-24高一上·宁夏银川唐徕中学·期末)求下列各式的值. (1)已知，求的值； (2)已知，，求的值. 8．(23-24高一上·宁夏银川金凤区唐徕中学·期末)在△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，． (1)求的值； (2)求的值． 9．(24-25高一上·宁夏银川景博中学·期末)已知、均为锐角，. (1)求，的值； (2)求的值. 10．(24-25高一上·宁夏吴忠青铜峡第一中学·期末)（1）已知，求的值； （2）若，求的值 11．(23-24高一上·宁夏银川育才中学·期末)已知为锐角，，． （1）求的值； （2）求的值． 地 城 考点05 给值求角问题 一、填空题 1．(23-24高一上·宁夏银川育才中学·期末)已知为钝角，为锐角满足，则 ． 二、解答题 2．(24-25高一上·宁夏固原西吉中学·期末)在平面直角坐标系中，锐角、的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，终边与单位圆的交点分别为、．已知点的横坐标为，点的纵坐标为． (1)求的值； (2)求的值． 3．(24-25高一上·宁夏吴忠吴忠中学·期末)（1）已知，，求，； （2）已知，，求； （3）已知，，且，求的值. 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $