专题10 三角函数的图象与性质5大考点（期末真题汇编，青海、宁夏专用）高一数学上学期人教A版

专题10 三角函数的图象与性质 5大高频考点概览 考点01 正弦、余弦、正切函数的图象变换 考点02 正弦、余弦、正切函数的性质 考点03 利用图象求三角函数解析式 考点04 三角恒等变换与三角函数性质的综合应用 考点05 三角函数新定义 地 城 考点01 正弦、余弦、正切函数的图象变换 一、单选题 1．(24-25高一上·青海名校联盟·期末)要得到函数的图像，只需要将函数的图像（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】C 【分析】由函数，再利用平移变换求解. 【详解】因为函数， 所以要得到函数的图像， 只需要将函数的图像向左平移个单位长度. 故选：C. 2．(24-25高一上·宁夏银川景博中学·期末)已知函数，，要得到函数的图象，只需将函数的图象上的所有点（　　） A．横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得到 B．横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位得到 C．横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位得到 D．横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位得到 【答案】B 【分析】由题意根据函数的图象变换规律，得出结论． 【详解】只需将函数的图象上的所有点横坐标缩短为原来的，可得的图象； 再向右平移个单位，即可得到的图象， 故选B． 【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题． 3．(23-24高一上·宁夏银川育才中学·期末)若将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递减 C．图象的一条对称轴为直线 D．图象的一个对称中心为 【答案】D 【分析】根据题意函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数，即可求出最小正周期，把看成是整体，分别求的单调递减区间、对称轴、对称中心，在分别验证选项即可得到答案. 【详解】由于函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变），故函数的解析式为，再将所得图象向左平移个单位长度，.，故A错误；的单调减区间为，故在区间内不单调递减；图象的对称轴为，不存在使得图象的一条对称轴为直线，故C错误；图象的对称中心的横坐标为，当时，图象的一个对称中心为，故D正确. 故选：D. 二、填空题 4．(23-24高一上·青海海北州·期末)将函数图象上的每一点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到的图象，则 . 【答案】 【分析】根据题意，结合三角函数的图象变换，即可求解. 【详解】将函数图象上的每一点的横坐标缩短为原来的，得到函数图象， 再将图象，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度， 得到的图象，所以. 故答案为：. 三、解答题 5．(23-24高一上·宁夏固原·期末)已知函数． (1)利用五点法画函数在区间上的图象． (2)已知函数，若函数的最小正周期为，求的值域和单调递增区间； (3)若方程在上有根，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的值域为，单调递增区间为； (3) 【分析】（1）取特殊点，列表，描点，连线，画出函数图象；（2）化简得到的解析式，进而求出值域，整体法求解单调递增区间；（3）整体法先得到，换元后得到在上有根，进而求出的取值范围. 【详解】（1）作出表格如下： x 0 0 2 0 -2 0 在平面直角坐标系中标出以下五点，，，，，，用平滑的曲线连接起来，就是函数在区间上的图象，如下图： （2），其中，由题意得：，解得：，故，故的值域为，令，解得：，所以的单调递增区间为： （3）因为，所以，则，令，则，所以方程在上有根等价于在上有根，因为，所以，解得：，故的取值范围是. 地 城 考点02 正弦、余弦、正切函数的性质 一、单选题 1．(24-25高一上·宁夏银川一中·期末)函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数最小正周期的求法求得正确答案. 【详解】依题意，的最小正周期. 故选：D 2．(24-25高一上·青海名校联盟·期末)函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用辅助角公式把函数的解析式化简成正弦型函数解析式的形式，最后利用正弦型函数的单调性进行求解即可. 【详解】由题意可得，令， 解得， 则的单调递减区间是. 故选：A. 3．(23-24高一上·宁夏银川育才中学·期末)函数在上的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用正切函数的单调性可得在处取得最小值. 【详解】由正切函数的单调性可知，在上为单调递增， 所以其最小值为. 故选：D 4．(23-24高一上·青海西宁大通县·期末)已知函数的定义域为R，且，当时，，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据题意得到的周期为1，从而，代入求解即可. 【详解】因为，所以，函数的周期为1， 所以． 故选：A． 5．(24-25高一上·宁夏银川唐徕中学·期末)定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分析：要求，则必须用来求解，通过奇偶性和周期性，将变量转化到区间上，再应用其解析式求解 详解：的最小正周期是 是偶函数 ， 当时，， 则 故选 点睛：本题是一道关于正弦函数的题目，掌握正弦函数的周期性是解题的关键，考查了函数的周期性和函数单调性的性质． 6．(24-25高一上·宁夏银川景博中学·期末)已知函数在上有且仅有个零点，直线为函数图象的一条对称轴，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为整体，根据题意结合零点可得，结合对称性可得，进而可求. 【详解】因为，且，则， 由题意可得：，解得， 又因为直线为函数图象的一条对称轴， 则，解得， 可知，即， 所以. 故选：A. 二、多选题 7．(24-25高一上·宁夏银川唐徕中学·期末)已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．在上单调递减 C． D．的定义域为 【答案】AC 【分析】考查正切函数的图像与性质易得AC正确. 【详解】解：因为， 对于A：的最小正周期为，故A正确； 对于B：当时，，因为在上单调递增， 故在上单调递增，故B错误； 对于C：因为的最小正周期为，所以，故C正确； 对于D：令，，解得，，所以的定义域为，故D错误． 故选：AC． 8．(24-25高一上·宁夏银川一中·期末)已知函数，则下列关于函数的说法正确的是（    ） A．函数在上单调递增 B．函数的图象可以由图象向左平移个单位长度得到 C． D．若函数在上至少有11个零点，则的最小值为 【答案】AD 【分析】由正弦函数的单调性判断A，由图象变换判断B，由对称性判断C，求出的解，结合周期性找出11个解后判断D． 【详解】对于A，令，则，即的一个单调增区间为，则在上单调递增，故选项正确； 对于B，图象向左平移个单位长度得到，，故选项错误； 对于C，由于，故选项错误； 对于D，若函数在上至少有11个零点，即与在上至少有11个交点，令，则或，即或， 由于函数一个周期由两个点函数值为，则在正好由11个交点，故的最小值为，故选项正确. 故选：AD． 9．(23-24高一上·宁夏银川金凤区唐徕中学·期末)已知函数，则（    ） A．若的最小正周期为，则 B．若，则在上的最大值为 C．若在上单调递增，则 D．若的图象向右平移个单位，得到的函数为偶函数，则的最小值为 【答案】AC 【分析】根据正弦型三角函数的图象性质逐项判断即可. 【详解】对于A，若的最小正周期为，则，所以，故A正确； 对于B，若，则，当，则，所以，则在上的最大值为，故B不正确； 对于C，当，则，由于在上单调递增，所以，解得，故C正确； 对于D，的图象向右平移个单位得，因为其为偶函数，所以， 所以，又，则的最小值为，故D不正确. 故选：AC. 三、填空题 10．(23-24高一上·青海海北州·期末)若函数的图象恰有2条对称轴和1个对称中心在区间内，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先根据已知求出，然后根据已知结合正弦函数的图象与性质，列出不等式，求解即可得出答案. 【详解】由已知，所以. 根据已知结合正弦函数的图象与性质可得， 应满足，解得. 故答案为：. 11．(24-25高一上·宁夏银川唐徕中学·期末)已知函数图象的两条对称轴间距离的最小值为，且为的一个零点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由图像的两条对称轴距离的最小值得周期，根据周期公式求得，再由的零点求得，进而得到的解析式，结合正弦函数的图像即可得求得不等式的解集. 【详解】因为函数图象的两条对称轴间距离的最小值为， 所以,. 所以. 因为为的一个零点，所以， 即，所以 因为，所以，所以 由，得 所以 所以 不等式的解集为. 故答案为： 12．(24-25高一上·宁夏固原西吉中学·期末) 函数的图象关于中心对称，那么的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据余弦型函数的对称性可得出关于的等式，即可解得的最小值. 【详解】因为函数的图象关于中心对称， 则，解得， 故当时，取最小值. 故答案为：. 地 城 考点03 利用图象求三角函数解析式 一、单选题 1．(23-24高一上·宁夏银川育才中学·期末)函数在一个周期内的图像如图，则此函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图中函数在一个周期内的图像经过和，可分析出函数的最值、周期，求出后，代入点求，即可得到函数解析式 【详解】函数在一个周期内的图像如图，观察选项，不妨设，，， 由函数图像可得，，，，又，故， 则函数的解析式可化为，将点代入得，即， 又，取，得，此时. 故选：A． 二、多选题 2．(23-24高一上·青海西宁大通县·期末)已知函数的部分图象如图所示，则（    ）    A．的最小正周期为 B． C． D．的图象可由的图象向右平移个单位长度得到 【答案】BD 【分析】根据函数的图象，求得函数的解析式为，结合三角函数的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由函数的图象可知，最小正周期，则，B正确，A错误； ，函数的图象过点， 则有，则，，则，， 因为，则，故C错误； 由前面可知， 函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，D正确. 故选：BD. 3．(24-25高一上·宁夏固原西吉中学·期末)函数（，）的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．的单调递减区间为（） D．图象的对称轴方程为（） 【答案】AD 【分析】由图知且求，根据五点法求参数，即可得的解析式，再由正弦型函数的性质求递减区间、对称轴方程，即可判断各选项的正误. 【详解】由图可得：且， ∴，则，A正确. 由，则（），得（），即，B错误. 综上，有， 由，（），得（），C错误. 由（），得（），D正确. 故选：AD. 4．(24-25高一上·宁夏吴忠吴忠中学·期末)函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．若把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在上是增函数 C．若把函数的图像向左平移个单位，则所得函数是奇函数 D．函数的图象关于直线对称 【答案】ACD 【分析】根据函数的图象求出函数的解析式，得选项A正确； 求出得到函数在上不是增函数，得选项B错误； 求出图象变换后的解析式得到选项C正确； 求出函数的对称轴方程，得到选项D正确. 【详解】A, 如图所示：， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ，故选项A正确； B, 把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数， ，， ， 在，上不单调递增，故选项B错误； C, 把的图象向左平移个单位，则所得函数，是奇函数，故选项C正确； D, 设当，所以函数的图象关于直线对称，故选项D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：求三角函数的解析式，一般利用待定系数法，一般先设出三角函数的解析式，再求待定系数，最值确定函数的,周期确定函数的,非平衡位置的点确定函数的. 5．(23-24高一上·宁夏青铜峡宁朔中学·期末)已知函数的部分图象如图（1）所示，函数的部分图象如图（2）所示，下列说法正确的是（    ） A．函数的周期为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在区间上有4个零点 D．将函数的图像向左平移可使其图像与图像重合 【答案】BCD 【分析】根据图象可求两个函数的解析式，再逐项计算后可得正确的选项. 【详解】由图象（1）可得，，故， 故，而， 故，而，故，故， 由图（2）可得，，故， 故，而， 故，而，故，故， 对于A，的最小正周期为，故A错误； 对于B，， 故函数的图象关于直线对称，故B正确； 对于C，即为， 故或，， 故或，. 令，故； 令，故； 故在区间上有4个零点，故C正确. 对于D，函数的图像向左平移， 其图象对应的解析式为： . 故D正确， 故选：BCD. 三、解答题 6．(24-25高一上·青海名校联盟·期末)已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)求在上的值域； (3)若函数在上恰有两个不同的零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）根据图象周期求出，再由过定点求出，进而求出解析式； （2）由，得到.整体代入求出最值即可; （3）由，得到.结合在上有两个不同的零点，得到，解不等式即可. 【详解】（1）由图可得的最小正周期. 因为，且，所以. 因为的图象经过点，所以， 所以，即. 因为，所以， 则. （2）因为，所以. 当，即时，取得最大值，最大值为； 当，即时，取得最小值，最小值为. 故在上的值域为. （3）因为，所以. 由，得，因为在上有两个不同的零点，所以， 解得. 故的取值范围为. 7．(23-24高一上·青海海北州·期末)已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)求的单调递增区间. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦型函数的特点，结合正弦型函数中各参数的意义进行求解即可； （2）根据正弦型函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）由图可得. 因为， 所以. 由，得，即， 因为，所以， 则. （2）令， 得， 故的单调递增区间为. 地 城 考点04 三角恒等变换与三角函数性质的综合应用 一、单选题 1．(23-24高一上·青海西宁大通县·期末)已知函数，若函数的图像关于轴对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用辅助角公式化简函数解析式，再由函数的图像关于轴对称求出的值，最后判断的最小值. 【详解】， 则， 的图像关于轴对称， ，，则，， 当时，取得最小值. 故选：C． 2．(24-25高一上·宁夏吴忠吴忠中学·期末)函数的最小正周期和最大值分别为（    ） A．，2 B．，2 C．， D．， 【答案】C 【分析】根据诱导公式以及辅助公式可得，再利用正弦函数的周期公式，结合正弦函数的最值即可得答案. 【详解】， 所以该函数的最小正周期为，最大值为 故选：C. 3．(23-24高一上·宁夏青铜峡宁朔中学·期末)已知函数给出下列结论： ①的周期为； ②时取最大值； ③的最小值是； ④在区间内单调递增； ⑤把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象． 其中所有正确结论的序号题（    ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③ 【答案】B 【分析】先由降幂公式与辅助角公式化简函数解析式，根据正弦型函数的周期公式、最值性质、单调性，结合正弦型函数图象变换性质逐一判断即可. 【详解】因为 . ①因为，所以①正确； ②因为，所以②错误； ③当，即时， 取最小值，且最小值是，所以③正确； ④当时，由 知在区间内并不单调，故④错误； ⑤把函数的图象上所有点向左平移个单位长度， 可得到函数，故⑤错误. 故正确的是①③. 故选：B. 二、多选题 4．(23-24高一上·宁夏银川唐徕中学·期末)已知函数，下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．是的最大值 C．把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象 D．时，的最小值为，的最大值为1 【答案】AC 【分析】化简已知可得，即可判断A项；代入求出，即可判断B项；求出平移后的函数解析式，即可判断C项；求出的范围，结合正弦函数的单调性，即可得出函数的最值，进而判断D项. 【详解】对于A项，因为，所以周期，故A正确； 对于B项，，故B不正确； 对于C项，将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，故C正确； 对于D项，因为，所以. 因为在上单调递增，在上单调递减， 故当时，取得最大值，最大值为2； 又时，，时，， 所以当时，取得最小值，最小值为，故D不正确． 故选：AC． 三、解答题 5．(24-25高一上·青海部分学校·期末)已知函数的最小正周期为． (1)求ω的值． (2)先将的图象上所有点的横坐标变成原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象． （ⅰ）求的单调递增区间； （ⅱ）若，求的值． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】（1）应用三角恒等变换化简函数解析式有，再由最小正周期求参数即可； （2）（ⅰ）根据图象平移得，再由正弦型函数的单调性求递增区间；（ⅱ）根据已知得，再应用诱导公式、二倍角余弦公式求函数值. 【详解】（1）由 ． 因为的最小正周期为，所以，解得， 又，所以． （2）（ⅰ）由（1）可知， 将图象上所有点的横坐标变成原来的，纵坐标不变， 得图象，则． 令，得， 则的单调递增区间为． （ⅱ），则． 故 ． 6．(23-24高一上·青海西宁·期末)已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)若，求函数的值域． (3)若函数在上有且仅有两个零点，则求的取值范围 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用二倍角公式及两角和的正弦公式将函数化简，再结合正弦函数的性质计算可得； （2）由的范围，求出的范围，再根据正弦函数的性质计算可得； （3）首先求出的解析式，由的范围，求出的范围，再根据正弦函数的性质计算可得； 【详解】（1） ， 所以函数的最小正周期. （2）当时，， 所以，，则， 因比，函数在上的值域为． （3）因为， ，则， 若函数在上有且仅有两个零点， 则，解得， 即. 7．(24-25高一上·宁夏银川唐徕中学·期末)已知函数． (1)求的最小正周期以及单调递增区间； (2)设函数在区间上单调递减，求实数的取值范围； (3)当时，关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． 【答案】(1)，； (2)； (3). 【分析】（1）先化简解析式，运用周期公式求出最小正周期，用整体代入法求单调区间； （2）由 时，得，结合函数单调性列出的不等式即可求出； （3）方程有两个不相等的实数根，即函数与函数的图像有两个交点，结合图像求解即可. 【详解】（1） 所以函数的最小正周期为. 令，解得， 所以函数的单调递增区间为. （2）当时，， 因为在区间上单调递减，所以，解得. 所以实数的取值范围是. （3）令，∵，∴， 因为方程有两个不相等的实数根，所以函数与函数的图像有两个交点.结合图像，得，解得. 所以实数的取值范围是. 8．(24-25高一上·宁夏固原西吉中学·期末)已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)设. ①求函数的单调递增区间； ②当时，求不等式的解集. 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】（1）首先化解三角函数解析式，再求函数的最小正周期； （2）首先求函数的解析式，再根据三角函数的性质，利用代入法求函数的单调递增区间和解不等式. 【详解】（1） ， 函数的最小正周期为； 当，即，，取得最大值2； （2）①， 令，，，， 所以函数的单调递增区间是，； ②，， ，所以或， 得或 所以不等式的解集是. 9．(24-25高一上·宁夏石嘴山·期末)已知函数的最大值为2. (1)求常数的值； (2)求函数的单调递减区间和对称轴方程； (3)把函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到函数的图象.当时，方程恰好有两个不同的根，求的取值范围及的值. 【答案】(1)1 (2)单调递减区间为；对称轴为 (3)或 【分析】（1）根据三角恒等变换的化简计算可得，进而求解； （2）由（1）得，结合整体代换法即可求解； （3）根据三角函数图象的平移变换可得，结合正弦函数的图象与性质、方程根与函数图象交点之间的转化即可求解. 【详解】（1）， 因为的最大值为2，， 所以； （2）由（1）知，， 由，得， 即的单调减区间为； 由，得， 即的对称轴为直线. （3）将函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度， 得， 由，得， 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且， 因为方程在上恰好有两个不同的根， 所以直线与函数在上恰好有两个交点， 得； 当时，关于直线对称，则； 当时，关于直线对称，则. 综上，或. 地 城 考点05 三角函数的应用与新定义 一、多选题 1．(23-24高一上·宁夏银川一中·期末)如图（1），筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今在农业生产中仍得到使用.如图（2），一个筒车按照逆时针方向旋转，筒车上的某个盛水筒到水面的距离为(单位：m)(在水下则为负数)、与时间(单位：s)之间的关系是，则下列说法正确的是（    ）      A．筒车的半径为3m，旋转一周用时60s B．筒车的轴心距离水面的高度为 C．盛水筒出水后至少经过20s才可以达到最高点 D．时，盛水筒处于向上运动状态 【答案】AC 【分析】根据振幅和最小正周期可确定A正确；利用可知B错误；根据正弦型函数，令，由正弦型函数的值可构造方程求得，进而得到，知C正确；再利用三角函数单调性的判断方法可知D错误. 【详解】对于A，的振幅为筒车的半径，筒车的半径为； 的最小正周期，旋转一周用时，A正确； 对于B，，筒车的半径，筒车的轴心距离水面的高度为，B错误； 对于C，令，， ，解得：， 又，当时，，即盛水筒出水后至少经过才可以达到最高点，C正确. 对于D，当时，，此时单调递减， 盛水筒处于处于向下运动的状态，D错误. 故选：AC. 二、解答题 2．(23-24高一上·宁夏银川第二中学·期末)建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的长远大计．某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于时，才开放中央空调，否则关闭中央空调．如图是该市冬季某一天的气温（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足关系． (1)求的表达式； (2)请根据(1)的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长． 【答案】(1) ，;(2) 8小时. 【分析】(1)根据三角函数的图像即可求的表达式； (2)根据正弦函数的图像与性质解,结合即可求解. 【详解】解：(1)因为图像上最低点坐标为，与之相邻的最高点坐标为， 所以，，， 所以，解得． 所以，． (2)由(1)得，， 所以， 所以， 解得， 因为， 所以，． 所以该商场的中央空调应在本天内开启时长为8小时． 3．(24-25高一上·青海部分学校·期末)设定义在A上的函数和定义在B上的函数，对任意的，存在，使得（k为非零常数）恒成立，则称与为异自变量定值函数组合，其中k叫作这两个函数的恒定比数值． (1)若函数，判断与是否是恒定比数值为3的异自变量定值函数组合，并说明理由； (2)若函数，）与是恒定比数值为k的异自变量定值函数组合，求k的取值范围； (3)若函数，且与是恒定比数值为k的异自变量定值函数组合，求k的取值范围． 【答案】(1)与不是恒定比数值为3的异自变量定值函数组合，理由见解析； (2)； (3). 【分析】（1）根据函数新定义，问题化为判断值域是否是值域的子集即可判断； （2）求得，，问题化为求参数范围； （3）先求得、，再讨论、确定值域的包含关系求参数范围. 【详解】（1）由，得． 由，得，则． 因为不是的子集， 所以与不是恒定比数值为3的异自变量定值函数组合． （2）由，得， 由，得， 因为，所以， 因为与是恒定比数值为的k异自变量定值函数组合，所以， 所以，解得，故k的取值范围为． （3）由，且已知单调递增，得． 由，得，则， 当时，， 因为与是恒定比数值为k的异自变量定值函数组合，所以， 所以，解得， 当时，， 因为与是恒定比数值为k的异自变量定值函数组合，所以， 所以，解得， 综上，k的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：根据题干函数的新定义，结合各问条件将问题化为两个函数值域间的包含关系为关键. 4．(24-25高一上·宁夏银川一中·期末)若函数满足：对任意，则称为“函数”． (1)判断是不是函数（直接写出结论）； (2)已在函数是函数，且当时，．求在的解析式； (3)在（2）的条件下，时，关于的方程（为常数）有解，求该方程所有解的和． 【答案】(1)是函数，是函数 (2) (3) 【分析】（1）根据题设，直接检验是否成立，即可判断出结果； （2）根据条件得出函数的周期为，关于直线对称，再根据条件，利用周期性和对称性即可求出结果； （3）由（2）可得出，再利用周期性作出的图像，再结合图像即可求出结果. 【详解】（1）是函数，证明如下： 因为，又，，所以，故是函数， 是函数，证明如下： 因为， ，所以，故是函数. （2）因为，所以函数的周期为，又，所以函数关于直线对称， 因为时，所以， 当，即时，， 当，即时，， 又时，，所以， 综上，在上的解析式为； （3）由（2）知，当时，，所以，得到， 又函数的周期为，所时，的图像如图， 由图知，当时，有5个解，其和为， 当时，有8个解，由对称知，其和为， 当时，有12个解，由对称知，其和为， 当时，有16个解，由对称知，其和为， 当时，有8个解，由对称知，其和为， 综上，方程所有解的和. 【点睛】函数新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 三角函数的图象与性质 5大高频考点概览 考点01 正弦、余弦、正切函数的图象变换 考点02 正弦、余弦、正切函数的性质 考点03 利用图象求三角函数解析式 考点04 三角恒等变换与三角函数性质的综合应用 考点05 三角函数新定义 地 城 考点01 正弦、余弦、正切函数的图象变换 一、单选题 1．(24-25高一上·青海名校联盟·期末)要得到函数的图像，只需要将函数的图像（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 2．(24-25高一上·宁夏银川景博中学·期末)已知函数，，要得到函数的图象，只需将函数的图象上的所有点（　　） A．横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得到 B．横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位得到 C．横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位得到 D．横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位得到 3．(23-24高一上·宁夏银川育才中学·期末)若将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递减 C．图象的一条对称轴为直线 D．图象的一个对称中心为 二、填空题 4．(23-24高一上·青海海北州·期末)将函数图象上的每一点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到的图象，则 . 三、解答题 5．(23-24高一上·宁夏固原·期末)已知函数． (1)利用五点法画函数在区间上的图象． (2)已知函数，若函数的最小正周期为，求的值域和单调递增区间； (3)若方程在上有根，求的取值范围． 地 城 考点02 正弦、余弦、正切函数的性质 一、单选题 1．(24-25高一上·宁夏银川一中·期末)函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·青海名校联盟·期末)函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 3．(23-24高一上·宁夏银川育才中学·期末)函数在上的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 4．(23-24高一上·青海西宁大通县·期末)已知函数的定义域为R，且，当时，，则（    ） A． B． C．1 D． 5．(24-25高一上·宁夏银川唐徕中学·期末)定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为 A． B． C． D． 6．(24-25高一上·宁夏银川景博中学·期末)已知函数在上有且仅有个零点，直线为函数图象的一条对称轴，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．(24-25高一上·宁夏银川唐徕中学·期末)已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．在上单调递减 C． D．的定义域为 8．(24-25高一上·宁夏银川一中·期末)已知函数，则下列关于函数的说法正确的是（    ） A．函数在上单调递增 B．函数的图象可以由图象向左平移个单位长度得到 C． D．若函数在上至少有11个零点，则的最小值为 9．(23-24高一上·宁夏银川金凤区唐徕中学·期末)已知函数，则（    ） A．若的最小正周期为，则 B．若，则在上的最大值为 C．若在上单调递增，则 D．若的图象向右平移个单位，得到的函数为偶函数，则的最小值为 三、填空题 10．(23-24高一上·青海海北州·期末)若函数的图象恰有2条对称轴和1个对称中心在区间内，则的取值范围是 . 11．(24-25高一上·宁夏银川唐徕中学·期末)已知函数图象的两条对称轴间距离的最小值为，且为的一个零点，则不等式的解集为 ． 12．(24-25高一上·宁夏固原西吉中学·期末) 函数的图象关于中心对称，那么的最小值为 . 地 城 考点03 利用图象求三角函数解析式 一、单选题 1．(23-24高一上·宁夏银川育才中学·期末)函数在一个周期内的图像如图，则此函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．(23-24高一上·青海西宁大通县·期末)已知函数的部分图象如图所示，则（    ）    A．的最小正周期为 B． C． D．的图象可由的图象向右平移个单位长度得到 3．(24-25高一上·宁夏固原西吉中学·期末)函数（，）的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．的单调递减区间为（） D．图象的对称轴方程为（） 4．(24-25高一上·宁夏吴忠吴忠中学·期末)函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．若把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在上是增函数 C．若把函数的图像向左平移个单位，则所得函数是奇函数 D．函数的图象关于直线对称 5．(23-24高一上·宁夏青铜峡宁朔中学·期末)已知函数的部分图象如图（1）所示，函数的部分图象如图（2）所示，下列说法正确的是（    ） A．函数的周期为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在区间上有4个零点 D．将函数的图像向左平移可使其图像与图像重合 三、解答题 6．(24-25高一上·青海名校联盟·期末)已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)求在上的值域； (3)若函数在上恰有两个不同的零点，求的取值范围. 7．(23-24高一上·青海海北州·期末)已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)求的单调递增区间. 地 城 考点04 三角恒等变换与三角函数性质的综合应用 一、单选题 1．(23-24高一上·青海西宁大通县·期末)已知函数，若函数的图像关于轴对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·宁夏吴忠吴忠中学·期末)函数的最小正周期和最大值分别为（    ） A．，2 B．，2 C．， D．， 3．(23-24高一上·宁夏青铜峡宁朔中学·期末)已知函数给出下列结论： ①的周期为； ②时取最大值； ③的最小值是； ④在区间内单调递增； ⑤把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象． 其中所有正确结论的序号题（    ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③ 二、多选题 4．(23-24高一上·宁夏银川唐徕中学·期末)已知函数，下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．是的最大值 C．把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象 D．时，的最小值为，的最大值为1 三、解答题 5．(24-25高一上·青海部分学校·期末)已知函数的最小正周期为． (1)求ω的值． (2)先将的图象上所有点的横坐标变成原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象． （ⅰ）求的单调递增区间； （ⅱ）若，求的值． 6．(23-24高一上·青海西宁·期末)已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)若，求函数的值域． (3)若函数在上有且仅有两个零点，则求的取值范围 7．(24-25高一上·宁夏银川唐徕中学·期末)已知函数． (1)求的最小正周期以及单调递增区间； (2)设函数在区间上单调递减，求实数的取值范围； (3)当时，关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． 8．(24-25高一上·宁夏固原西吉中学·期末)已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)设. ①求函数的单调递增区间； ②当时，求不等式的解集. 9．(24-25高一上·宁夏石嘴山·期末)已知函数的最大值为2. (1)求常数的值； (2)求函数的单调递减区间和对称轴方程； (3)把函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到函数的图象.当时，方程恰好有两个不同的根，求的取值范围及的值. 地 城 考点05 三角函数的应用与新定义 一、多选题 1．(23-24高一上·宁夏银川一中·期末)如图（1），筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今在农业生产中仍得到使用.如图（2），一个筒车按照逆时针方向旋转，筒车上的某个盛水筒到水面的距离为(单位：m)(在水下则为负数)、与时间(单位：s)之间的关系是，则下列说法正确的是（    ）      A．筒车的半径为3m，旋转一周用时60s B．筒车的轴心距离水面的高度为 C．盛水筒出水后至少经过20s才可以达到最高点 D．时，盛水筒处于向上运动状态 二、解答题 2．(23-24高一上·宁夏银川第二中学·期末)建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的长远大计．某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于时，才开放中央空调，否则关闭中央空调．如图是该市冬季某一天的气温（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足关系． (1)求的表达式； (2)请根据(1)的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长． 3．(24-25高一上·青海部分学校·期末)设定义在A上的函数和定义在B上的函数，对任意的，存在，使得（k为非零常数）恒成立，则称与为异自变量定值函数组合，其中k叫作这两个函数的恒定比数值． (1)若函数，判断与是否是恒定比数值为3的异自变量定值函数组合，并说明理由； (2)若函数，）与是恒定比数值为k的异自变量定值函数组合，求k的取值范围； (3)若函数，且与是恒定比数值为k的异自变量定值函数组合，求k的取值范围． 4．(24-25高一上·宁夏银川一中·期末)若函数满足：对任意，则称为“函数”． (1)判断是不是函数（直接写出结论）； (2)已在函数是函数，且当时，．求在的解析式； (3)在（2）的条件下，时，关于的方程（为常数）有解，求该方程所有解的和． 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $