第二单元　平面向量基本定理及坐标表示【一周一测基础知识专项训练】-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第二单元　平面向量基本定理及坐标表示 【一周一测基础知识专项训练】 单项选择题 1.[2024合肥一六八中学高一期末]设平面向量=(3,-6),点A(-1,2),则点B的坐标为(　　) A.(-2,4) B.(2,-4) C.(-4,8) D.(4,-8) 2.[2025郑州一中、洛阳一高、安阳一中等校高一联考]已知向量a=(6,10),b=(-6,-10),则a与b(　　) A.互为相等向量 B.互为相反向量 C.相互垂直 D.均为零向量 3.[2025邢台一中高一期中]如图,分别用基底{i,j}表示向量a,b,c,则a+b+c=(　　) A.(-4,6) B.(-6,0) C.(-2,-4) D.(0,2) 4.[2024成都树德中学高一期中]已知点O(0,0),向量=(2,3),=(6,-3),点P是线段AB的一个三等分点,则向量的坐标为(　　) A.(,0) B.(,-2) C.(,0)或(,-4) D.(,-2)或(,-4) 5.[2025衡水二中高一调研]已知向量a=(2,0),b=(sin α,),若向量b在向量a上的投影向量c=(,0),则|a+b|=(　　) A. B.3 C.2 D.7 6.[2025哈师大附中高一期末]已知O为坐标原点,若不重合的三点A(1,3),B(m-1,4),C(2,m+1)共线,则=(　　) A.(1,0) B.(1,1) C.(1,-1) D.(0,1) 7.[2025运城中学高一月考]如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,G为△OAB的重心,若=x+y,则x-y=(　　)  A. B. C. D. 8.【情境创新】[2025合肥一中、六安一中等校高一联考]一扇中式实木仿古正方形花窗如图1所示,该窗有两个正方形,将这两个正方形(它们有共同的对称中心与对称轴)单独拿出来放置于同一平面,如图2所示.已知AB=6分米,FG=3分米,点P在正方形ABCD的四条边上运动,当·取得最大值时,与夹角的余弦值为(　　)   A. B. C. D. 多项选择题 9.[2025雅礼中学高一月考]下列各组向量中,能作为基底的是(　　) A.e1=(1,0),e2=(0,1) B.e1=(1,2),e2=(-2,1) C.e1=(3,-4),e2=(-3,4) D.e1=(2,6),e2=(-1,-3) 10.[2025温州中学高一期末]已知点O是平面直角坐标系的原点,点A的坐标为(3,2),点B的坐标为(-1,3),若点C满足=-,BD⊥OA,垂足为D,则(　　) A.||= B.∠AOB是锐角 C.·=-13 D.=(,) 11.[2025河南省实验中学高一月考]如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,AB=2BC=2CD=2DA,M为线段BC的中点,AM与BD交于点N,P为线段CD上的一个动点,则(　　)  A.=+ B.向量与共线 C.S△BCN∶S△ACN∶S△ABN=1∶2∶2 D.若=λ+μ,则λ+μ的最大值为 填空题 12.[2025全国二卷]已知平面向量a=(x,1),b=(x-1,2x),若a⊥(a-b),则|a|=　　　　.  13.【开放创新】[2025苏州中学高一期中]在△ABC内部(不包括边界)有点M,满足3=2+x,请写出一个满足题意的实数x的值:　　　　.(只要填写一个即可)  14.[2025江苏省徐州市高一期中]在△ABC中,O是BC边上靠近B的四等分点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,设=m,=n,其中m>0,n>0,则ln m+ln n的最大值为　　　　.  解答题 15.(13分)[2025潍坊一中高一期中]已知向量a=(1,2),b=(-3,2). (1)若(ka+2b)∥(2a-b),求实数k的值; (2)若向量c=(x,y)满足c=(y-2)a-xb,求与c垂直的单位向量的坐标. 16.(15分)【教材变式】[2025徐州一中高一期中]已知点A(1,1),B(3,-1),C(k,3). (1)若△ABC为等腰三角形,求实数k的值; (2)若四边形ABCD为矩形,求·的值. 17.(15分)[2024苏州中学高一期中]已知向量,不共线,点P满足=x+y,x,y∈R.证明: (1)若x=y=,则点P是线段AB的中点; (2)x+y=1是A,B,P三点共线的充要条件. 18.(17分)[2024重庆南开中学高一期中]已知e1,e2是平面内两个不共线的向量,若=e1-e2,=2e1+λe2,=e1+e2,且A,P,C三点共线. (1)求实数λ的值. (2)若e1=(1,0),e2=(0,1). (i)求||; (ii)若D(-2,4),A,B,C,D恰好构成平行四边形ABCD,求点A的坐标. 19.(17分)[2025长春外国语学校高一月考]如图,在直角梯形ABCD中,=2,BC=CD=2,点E为CD的中点,以A为圆心、AD为半径作圆交AB于点G,点P为劣弧(包含D,G两点)上的一点,AC与劣弧、BE分别交于点F,H. (1)求向量与的夹角α的余弦值; (2)若向量=x+y,求实数x,y的值; (3)求·的取值范围. 参考答案 1.B　设点B的坐标为(x,y),所以=(x+1,y-2)=(3,-6),解得所以点B的坐标为(2,-4). 2.B　因为a=(6,10),b=(-6,-10),所以b=-a,即a与b互为相反向量. 3.C　由题图可知a=-i-3j=(-1,-3),b=-3i+j=(-3,1),c=2i-2j=(2,-2),则a+b+c=(-2,-4). 4.D　因为=(2,3),=(6,-3),所以=-=(4,-6).若点P是线段AB上靠近点A的三等分点,则==(,-2);若点P是线段AB上靠近点B的三等分点,则==(,-4)( 切记不要忽略点位置的讨论). 5.A　利用投影向量的概念结合平面向量数量积的坐标表示及模的公式计算即得.因为向量b在向量a上的投影向量是c=·a=·(2,0)=(sin α,0)=(,0),所以sin α=,故a+b=(2+sin α,)=(,),于是|a+b|==. 6.C　流程化思维解题A(1,3),B(m-1,4),C(2,m+1) =(m-2,1),=(1,m-2) (m-2)2=1→解得m=3或m=1 当m=3时,B(2,4)与C(2,4)重合,矛盾;当m=1时,A(1,3),B(0,4),C(2,2)都不重合,故m=1满足题意→=(1,-1). 7.A　利用平面向量基本定理求参数+用基底表示向量 思路导引　结合三角形重心的相关知识推导出关于和的表达式,从而确定x和y的值,最后计算x-y.  如图,延长AG与BO相交于点E,可得E为OB的中点(三角形重心是三条中线的交点),可得DE=3EB,由=3,有-=3(-),有=+,又==(+)=+(重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1),则x=,y=,可得x-y=-=. 8.D　以点A为原点建立平面直角坐标系,如图,因为AB=6分米,FG=3分米,且两个正方形有共同的对称中心与对称轴,所以点E(,),C(6,6),则=(,),=(6,6).设与的夹角为θ,则·=||||cos θ,又||==,则当||cos θ最大时,·最大,由图可知,当P与点C重合时||cos θ最大(投影法,|上投影向量的模,结合图易得当P与点C重合时投影向量的模最大),所以cos<,>===,即·取最大值时,cos θ=. 9.AB　利用共线向量基本定理判断e1,e2是否共线,共线则不能作为基底,不共线则能作为基底. A(√)若e1=(1,0),e2=(0,1)共线,则设存在λ使得e1=λe2,即(1,0)=(0,λ),明显不可能,则e1,e2不共线,所以可以作为基底( 若e1=(1,0),e2=(0,1)共线,则1×1=0×0,明显不可能,则e1,e2不共线,所以可以作为基底). B(√)若e1=(1,2),e2=(-2,1)共线,则存在λ使得e1=λe2,即(1,2)=(-2λ,λ),明显不可能,则e1,e2不共线,所以可以作为基底( 若e1=(1,2),e2=(-2,1)共线,则1×1=2×(-2),明显不可能,则e1,e2不共线,所以可以作为基底). C(✕)因为e1=-e2,所以e1,e2共线,所以不可以作为基底. D(✕)因为e1=-2e2,所以e1,e2共线,所以不可以作为基底. 10.ABD　A(√)因为点A(3,2),点B(-1,3),所以=(-4,1),故||==. B(√)=(3,2),=(-1,3),则·=3×(-1)+2×3=3>0,若=k,即(3,2)=k(-1,3),可得此方程组无解,所以与不共线,所以∠AOB是锐角( 向量同向共线时数量积也为正,故要排查是否存在同向共线). C(✕)方法一　设点C的坐标为(x,y),则=(x-3,y-2),因为=-,=(-4,1),所以解得故C(5,),=(5,),·=(-4,1)·(5,)=-20+=-. 方法二　·=·(+)=·(-)=·-||2=(-4,1)·(3,2)-=-10-=-. D(√)因为=(3,2),O,A,D三点共线,所以可设=λ=(3λ,2λ),则=-=(3λ+1,2λ-3),由于BD⊥OA,所以·=0,即3(3λ+1)+2(2λ-3)=0,解得λ=,所以=(,)( 检验)满足题意). 11.ACD　A(√)由题意可知,=,则=+=+,因为M为BC的中点,所以=+=+(+)=+,因为∥,所以存在k∈R,使得=k=k+k,因为B,N,D三点共线,则存在t∈R,使得=t,即-=t(-),可得=(1-t)+t,因为,不共线,所以 (同一个向量在不同基底下的分解是不同的,但在同一基底下的分解都是唯一的),解得故=+). B(✕)=-=(+)-(+)=-,因为,不共线,所以,不共线. C(√)因为M为BC的中点,所以S△BCN=2S△CMN,因为==(+),所以=4,故S△ACN=4S△CMN=2S△BCN,同理可得S△ABN=4S△BMN=2S△BCN,所以S△BCN∶S△ACN∶S△ABN=1∶2∶2( 由A,B知=0,所以S△BCN∶S△ACN∶S△ABN=1∶2∶2(奔驰定理)). D(√)因为P为线段CD上的一个动点,所以存在m∈[0,1],使得=m=m,所以=+=m+=λ+μ,因为,不共线,所以λ=m,μ=1,故λ+μ=m+1∈[1,],因此λ+μ的最大值为. 12.　a-b=(1,1-2x),根据a⊥(a-b),得a·(a-b)=x+1-2x=1-x=0,所以x=1,所以|a|=. 13.(答案不唯一,只要介于0和1之间即可)　如图所示,取点E为AB的三等分点(靠近B点),可得=,再取点D为BC的三等分点(靠近B点),点F为AC的三等分点(靠近A点),分别连接DE,DF,则DE∥AF,DF∥AE,所以四边形AEDF为平行四边形.由3=2+x,可得=+,即=+.设=,可得=+,连接GM,由平行四边形法则,当点G在AC上运动时,可得点M在直线DE上,要使得M在△ABC内部(不包含边界),则点G在线段AF上运动(不包含端点),所以0<<,解得0<x<1,所以其中一个x可以是. 14.ln　在△ABC中,由O是BC边上靠近B的四等分点,得=,则=+=+=+(-)=+,而=m,=n,则=+,由M,O,N三点共线,得+=1,又m>0,n>0,因此1=+≥2=,mn≤,ln m+ln n=ln(mn)≤ln,当且仅当==,即m=,n=2时取等号,所以ln m+ln n的最大值为ln (共线向量基本定理的推论和基本不等式结合考查最值问题是常考题型,应熟练掌握解题思路,其中运用基本不等式时要注意等号条件是否成立). 15.【解析】 (1)由a=(1,2),b=(-3,2), 得ka+2b=(k-6,2k+4),2a-b=(5,2).(3分) 因为(ka+2b)∥(2a-b), 所以2(k-6)=5(2k+4),解得k=-4.(6分) (2)由a=(1,2),b=(-3,2),c=(x,y), 得(y-2)a-xb=(y-2,2y-4)-(-3x,2x)=(y-2+3x,2y-4-2x), 由c=(y-2)a-xb,得 解得即c=(-,3).(11分) 设与c垂直的单位向量e=(x0,y0),则解得或所以与c垂直的单位向量的坐标为e=(,)或e=(-,-).(13分) 16.【解析】 (1)①若CA=CB,取AB的中点为M,则⊥, 又A(1,1),B(3,-1),则M(2,0), 而=(2,-2),=(2-k,-3),·=0,则2(2-k)+6=0,解得k=5.(2分) ②若AB=AC,取BC的中点为E,则⊥, 又E(,1),=(,0),=(k-3,4), 所以由·=0,得=0,解得k=-1或3, 又k=-1时,=(2,-2),=(-2,2),所以A,B,C三点共线,舍去.所以k=3.(4分) ③若AB=BC,取AC的中点为F,则⊥, 又F(,2),=(,3),=(k-1,2), 所以由·=0,得+6=0,化简得k2-6k+17=0,方程无解.(6分) 综上,k=3或5.(7分) (2)第一步:先由四边形ABCD为矩形列出满足的条件 设D(x,y),因为四边形ABCD为矩形,所以=,⊥.(8分) 第二步:由满足的条件求参,得C,D的坐标 又=(2,-2),=(x-1,y-1),=(k-x,3-y),则由=得 由⊥得·=0,即2(x-1)-2(y-1)=0,解得k=7,x=5,y=5,则C(7,3),D(5,5).(11分) 第三步:求, 则=(6,2),=(2,6),(13分) 第四步:求·的值 则·=6×2+2×6=24.(15分) 17.【解析】 (1)因为x=y=,所以=+,即2=+, 所以-=-,所以=, 所以P是线段AB的中点.(6分) (2)充分性: 若x+y=1,则y=1-x,所以=x+(1-x), 所以-=x-x,所以=x(-)=x, 所以A,B,P三点共线.(10分) 必要性: 因为A,B,P三点共线,所以存在实数x使得=x, 所以-=x(-),即-=x-x, 所以=x+(1-x),又=x+y,所以y=1-x,即x+y=1.(14分) 综上所述,x+y=1是A,B,P三点共线的充要条件.(15分) 18.【解析】 (1)=+=e1-e2+2e1+λe2=3e1+(λ-1)e2,(2分) 因为A,P,C三点共线,所以与共线, 所以可设=t=t(e1+e2)=te1+te2,则 解得λ=4.(6分) (2)(i)=+=2e1+4e2+e1+e2=3e1+5e2,因为e1=(1,0),e2=(0,1),所以=(3,5),则||==.(9分) (ii)设A的坐标为(x,y),因为A,B,C,D恰好构成平行四边形ABCD, 所以=,又=(-2-x,4-y),=(3,5), 所以解得所以点A的坐标为(-5,-1).(17分) 19.辅助角公式+平面向量基本定理的应用+向量夹角的计算+数量积的坐标表示 思路导引　(1)以点B为原点,,的方向分别为x,y轴正方向建立平面直角坐标系,求出,的坐标,由向量夹角的坐标运算求解即可. (2)设=λ,由向量的运算可得=+,由A,H,C三点共线求出λ,再由平面向量基本定理可求出实数x,y的值. (3)连接AP,设∠DAP=θ(θ∈[0,]),则P(cos θ,-sin θ),求出·,利用三角恒等变换和三角函数的性质即可求解. 【解析】 (1)易得∠ABC=∠BAD=,又=2,所以BD=CD,又BC=CD,所以△BCD为正三角形,所以AB=,AC=. 以点B为原点,,的方向分别为x,y轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系, 所以A(0,),C(2,0),B(0,0),D(1,),E(,),=(2,-), 所以==(2,-)=(,-),=(,), 所以cos α====.(5分)  (2)因为B,H,E三点共线,所以可设=λ=(+)=(++)=+, 又因为A,H,C三点共线,所以+=1,解得λ=.(7分) 因为=x+y=x(+)+y(-)=(x-y)+(+y), 所以⇒所以x=,y=.(10分) (3)连接AP,设∠DAP=θ(θ∈[0,]),则P(cos θ,-sin θ), 所以=(cos θ,-sin θ),又=(,), 所以·=cos θ+(-sin θ)=cos θ-sin θ+=cos(θ+)+.(14分) 又因为0≤θ≤,所以≤θ+≤,所以-≤cos(θ+)≤, 所以≤cos(θ+)+≤3, 所以·的取值范围为[,3].(17分) 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $