第一单元　平面向量的概念、平面向量的运算【一周一测能力提升专项训练】-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第一单元　平面向量的概念、平面向量的运算 【一周一测能力提升专项训练】 单项选择题 1.设向量a,b,c满足5(a-2b)-4(b+3a)-c=0,则c=(　　) A.-a+22b B.7a+14b C.a-22b D.-7a-14b 2.如图,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,则与共线的向量是(　　)  A.+ B.- C.+ D.+ 3.已知平面向量a,b满足|a|=1,|b|=3,且|a-2b|=,则cos<a,b>=(　　) A. B. C. D. 4.已知平面向量a,b是不共线的向量,且=a+2b,=λa-3b,=3a+2b,若B,C,D三点共线,则实数λ的值为(　　) A.- B.- C. D. 5.【模块综合】已知a,b是非零向量,则“a与b是相等向量或相反向量”是“(a+b)·(a-b)=0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.如图所示,半圆的直径AB=2,O为圆心,C是半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则(+)·的最小值是(　　)  A. B.- C. D.- 7.已知矩形ABCD中,AB=10,BC=8,=λ,=μ,其中0≤λ≤1,0≤μ≤1,||=5,P是线段MN的中点,则·取得最大值时,||=(　　) A.2- B. C. D. 8.已知点O为△ABC内一点,满足+3=λ,若S△AOB=S△ABC,则λ=(　　) A.-2 B.- C. D.2 多项选择题 9.若a,b,c是任意的非零向量,则下列叙述正确的是(　　) A.若a=b,则|a|=|b| B.若a·b=a·c,则b=c C.|a-b|+|a-c|≤|b-c| D.(|a-b|+|a+c|)2≥4b·c 10.点M在△ABC所在平面内,下列说法正确的是(　　) A.-= B.若·>0,则△ABC为锐角三角形 C.若M为△ABC内一点,且|-|=|+-2|,则△ABC为直角三角形 D.若△ABC为边长为2的正三角形,点M在线段BC上运动,则·(+)=3 11.【情境创新】折纸起源于中国,19世纪之后,折纸艺术与自然科学结合在一起成为建筑学院的教具,并发展成为现代几何学的一个分支.我国传统的一种手工折纸风车(如图1)是从正方形纸片的一个直角顶点开始,沿对角线部分剪开成两个角,将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上,同样操作其余三个直角制作而成的,其平面图如图2,则(　　)  A.∥ B.·=0 C.=+ D.·=· 填空题 12.已知a,b是两个单位向量,且a·b=,若向量2a+λb在a上的投影向量为4a,则实数λ=　　　　.  13.在△ABC中,=2,=2,点O为△ABC所在平面内的点,且||=1,||=2,则||的取值范围为　　　　.  14.已知平面向量a,b,c满足:a与b的夹角为锐角,|a|=4,|b|=2,|c|=1,且|b+ta|的最小值为,则(c-a)·(c-b)的取值范围是　　　　. 解答题 15.(13分)在如图所示的方格中,每个正方形小方格的边长均为1米,某人从点A出发向东走了5米到达点B,然后改变方向向东北方向走了10米到达点C,到达点C后又改变方向向北走了5米到达点D. (1)在图中作出向量,; (2)求向量的模; (3)作出向量,并求向量的模. 16.(15分)已知平面向量a,b满足|a|=1,|b|=,(a+b)·b=3. (1)求向量a,b夹角的大小; (2)求|2a-b|的值; (3)求向量a与2a-b夹角的余弦值. 17.(15分)在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ACB=60°,点O为△ABC所在平面上一点,满足=m+n(m,n∈R且m+n≠1). (1)证明:=+; (2)若点O在∠ACB的平分线上,且||==,求m,n的值. 18.(17分)如图,在△ABC中,已知=2,=,=a,=b. (1)用a,b表示; (2)若=3,证明:A,F,E三点共线; (3)若AE,BD交于点F,求的值. 19.(17分)【探索创新】将形如的符号称为二阶行列式,现规定二阶行列式的运算如下:=a11a22-a12a21.已知两个不共线的向量a,b的夹角为θ,|a|=6,|b|=t(t>0)且=1. (1)求t的值. (2)若θ为钝角,试探究a+b与a-5b能否垂直,若能,求出cos θ的值;若不能,请说明理由. (3)若θ=,当k>0时,求|a-4kb|的最小值,并求出此时a与a-4kb的夹角. 参考答案 1.D　因为5(a-2b)-4(b+3a)-c=-7a-14b-c=0,所以c=-7a-14b. 2.A　由题意知四边形ABCD为平行四边形,且对角线AC∩BD=O. A(√)因为==(+),所以与+共线. B(✕)由-=,可知向量与-不共线. C(✕)由+=2,可知向量与+不共线. D(✕)由+=+,可知与+不共线. 3.B　∵|a-2b|=,∴|a-2b|2=35,∴a2-4a·b+(2b)2=35,∴a2-4|a|·|b|cos<a,b>+4b2=35,又∵|a|=1,|b|=3,∴1-4×1×3cos<a,b>+4×32=35,∴cos<a,b>=. 4.A　=-=-(λa-3b)-(a+2b)=(-λ-1)a+b.因为B,C,D三点共线,所以∥,所以设=t,又=3a+2b,所以(-λ-1)a+b=3ta+2tb,即(1-2t)b=(3t+λ+1)a,因为向量a,b是不共线的向量,所以解得λ=-. 5.A　若a=-b,则a+b=0,所以(a+b)·(a-b)=0,若a=b,则a-b=0,所以(a+b)·(a-b)=0,故由“a=-b或a=b”可以推出“(a+b)·(a-b)=0”,即充分性成立;若(a+b)·(a-b)=0,则a2-b2=0,所以|a|=|b|,所以由“(a+b)·(a-b)=0”推不出“a=-b或a=b”,故必要性不成立.所以“a与b是相等向量或相反向量”是“(a+b)·(a-b)=0”的充分不必要条件. 6.B　根据题意,O为圆心,即O是AB的中点,则+=2,则(+)·=2·=2||·||cos π=-2||(1-||)=2(||-)2-,又0≤||≤1,所以-≤(+)·≤0,即(+)·的最小值是-. 7.C　如图,因为||=||=,故点P在以C为圆心、为半径的圆上,且在矩形ABCD内(含边上位置),记该圆与BC,DC分别交于H,I,所以·=(+)·(-)=-=-),  则·取得最大值时,||最大,由图可得当点P在H处时,||取得最大值,为=. 8.A　∵点O为△ABC内一点,满足+3=λ,∴λ<0.如图,作=3,=-λ,连接AB1,AC1,B1C1,则++=0,∴O是△AB1C1的重心,∴===( 三角形重心的性质).由=3,=-λ,知S△OAB=,S△OBC=×=-,S△OAC=,∴S△OAB∶S△OBC∶S△OCA=∶(-)∶(-),∴==,解得λ=-2. 9.AD　A(√)若a=b,则向量a,b的长度相等,方向相同,故|a|=|b|, B(✕)若a·b=a·c=0,则a⊥b,a⊥c,故b未必等于c. C(✕)|a-b|+|a-c|≥|a-c-a+b|=|b-c|. D(√)(|a-b|+|a+c|)2≥|b+c|2≥4b·c. 10.AC　A(√)-=+=. B(✕)由·>0,得||·||cos A>0,所以cos A>0,因为A∈(0,π),所以角A为锐角,而其他角不一定为锐角,所以△ABC不一定为锐角三角形. C(√)由|-|=|+-2|化简得||=|+|,而=-,所以可得|+|=|-|,即以CA,CB为邻边所作的平行四边形的对角线相等,所以这个平行四边形是矩形,即△ABC是直角三角形. D(✕)若M为BC的中点,则=(+),所以·(+)=(+)·(+)=(+2·+)=(+2||·||cos+)=×(4+2×2×2×+4)=6≠3. 11.BCD　A(✕)由题意,易知∥,则与不平行. B(√)设AC∩BD=O,·=(+)·(+)=·+·+·+·=·+·=-||·||+||·||=0. C(√)=+=+. D(√)·-·=·(-)=·=0,所以·=·. 12.4　依题意得,向量2a+λb在a上的投影向量为·=(2a2+λa·b)·a=(2+λ)·a=4a(向量a在向量b上的投影向量与向量b在向量a上的投影向量易混淆,注意区分,前者为),所以λ=2,解得λ=4. 13.[2,6]　根据题意,利用三角形中位线的性质、平面向量加减法和向量绝对值三角不等式,即可求||的取值范围. 因为=2,=2,所以MN是△ABC的中位线,所以=2.又因为||=1,||=2,||=|-|,所以|||-|||≤|-|≤||+||,即1≤|-|≤3,所以1≤||≤3,所以2≤||≤6. 14.[3-2]　|b+ta|2=|b|2+2ta·b+t2|a|2,因为|a|=4,|b|=2,所以|b+ta|2=22+2a·bt+t2×42=16t2+2a·bt+4,因为|b+ta|的最小值为,所以由二次函数分析可知,当t=-=-时,|b+ta|2取得最小值,所以|b+ta=16(-)2+2a·b(-)+4=-+4=()2,解得a·b=±4,又因为a与b的夹角为锐角,所以a·b=4(题眼).(c-a)·(c-b)=c2-b·c-a·c+a·b=c2+a·b-(a+b)·c.因为|a+b|====2,设θ=<a+b,c>,所以(c-a)·(c-b)=c2+a·b-|a+b||c|cos θ=12+×4-2×1cos θ=3-2cos θ.因为cos θ∈[-1,1],所以(c-a)·(c-b)∈[3-2,3+2]. 15.【解析】 (1)作出向量,,如图1: 　　　 (4分) (2)依题意,=+,向量相当于从点A出发向东走15米,再向北走10米, 所以||==5(米).(8分) (3)作出向量,如图2: 　　　 　(10分) 　　　　　　　　 依题意,=++,向量相当于从点A出发向东走15米,再向北走15米, 所以||==15(米).(13分) 16.【解析】 (1)因为(a+b)·b=3,所以a·b+b2=3,又|b|=, 所以a·b=1,(1分) 又|a|=1, 所以a·b=|a|·|b|cos<a,b>=cos<a,b>=1,解得cos<a,b>=,(3分) 又0≤<a,b>≤π, 所以向量a,b夹角的大小为.(5分) (2)|2a-b|2=(2a-b)2=4a2-4a·b+b2=4×1-4×1+2=2,(8分) 所以|2a-b|=.(9分) (3)a·(2a-b)=2a2-a·b=2×12-1=1,(11分) 因为|a|=1,由(2)可得|2a-b|=, 设向量a与2a-b的夹角为θ,所以cos θ===.(15分) 17.【解析】 (1)由题意知=m+n=m(+)+n(+)=m+m+n+n,(3分) 所以-m-n=m+n, 则(1-m-n)=m+n, 所以=+.(6分) (2)由||=a=b,知a=b,以CA,CB为邻边作平行四边形CADB,易知平行四边形CADB为菱形.连接CD,则CD在∠ACB的平分线上,又∠ACB=60°,所以||=a.(9分) 又||==, 所以==(+)=+, 所以 解得m=-1,n=-1.(15分) 18.【解析】 (1)因为=,=-, 所以=(-)=(b-a).(3分) (2)因为=3,所以==(-)=(-)=(b-a)=b-a.(5分) 因为=+=a+(b-a)=a+b, =+=a+b-a=a+b, 所以=.(8分) 又,有公共点A,所以A,F,E三点共线.(9分) (3)记=λ,则=+=+λ=+λ(-)=a+λ(b-a)=(1-λ)a+b.(10分) 由(2)知=a+b, 记=μ, 所以(1-λ)a+b=μ(a+b)=a+b,即(1-λ-)a=(-)b.(13分) 因为a,b不共线,所以解得λ=,μ=, 所以=,所以=.(17分) 19.【解析】 (1)由题意得t-=t-=t-=t-1=1, 所以t=2.(4分) (2)由(1)知|b|=2, 则a·b=6×2×cos θ=12cos θ, 所以(a+b)·(a-5b)=|a|2-4a·b-5|b|2=36-48cos θ-20=16-48cos θ.(7分) 因为θ为钝角,所以cos θ<0, 则(a+b)·(a-5b)=16-48cos θ>0, 故a+b与a-5b不可能垂直. 故θ为钝角时,a+b与a-5b不垂直.(10分) (3)因为θ=,所以a·b=12×cos=6, 所以|a-4kb|2=|a|2-8ka·b+16k2|b|2=36-48k+64k2=64(k-)2+27, 当k=时,=27, 所以|a-4kb|min=3,此时a-4kb=a-b.(13分) 因为a·(a-b)=|a|2-a·b=36-9=27, 所以cos<a,a-b>===.(15分) 又因为<a,a-b>∈[0,π], 所以a与a-b的夹角为. 故|a-4kb|min=3,此时a与a-4kb的夹角为.(17分) 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $