第1章 解直角三角形（复习讲义）数学浙教版九年级下册

该初中数学复习讲义以“基础-进阶-拓展”三级目标构建解直角三角形知识体系，通过表格梳理锐角三角函数定义、特殊角值等常见结论及易错点，清晰呈现知识脉络与重难点内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，涵盖仰角俯角、坡度方向角等实际问题，如测量河宽、建筑物高度，培养数学眼光与模型意识，动态几何、跨学科问题提升推理能力与创新意识，分层测试题助力不同学生进阶，为教师精准教学提供支持。

第1章 解直角三角形（复习讲义） 一、基础目标（依据课程标准要求及考情基础考查点） 1. 能复述锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，明确各三角函数值是直角三角形中两边的比值，并能准确写出直角三角形中锐角A的sinA、cosA、tanA的表达式。 2. 会熟练记忆30°、45°、60°角的各个三角函数值，并能直接运用这些特殊角的三角函数值进行简单的计算（包括已知特殊角求其三角函数值，以及已知特殊角的三角函数值求角的度数）。 3. 理解解直角三角形的概念，能说出解直角三角形的含义是在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程。 4. 会运用直角三角形的两个锐角互余、勾股定理以及锐角三角函数等基本关系，由直角三角形中已知的两个元素（其中至少有一个是边），求出其余的三个未知元素（边或角）。 5. 能根据实际问题情境，识别并构造直角三角形模型，明确问题中的已知条件和所求未知量在直角三角形中的对应关系。 二、进阶目标（依据课程标准要求及考情重点考查点） 1. 会推导锐角三角函数之间的基本关系，如sin²A + cos²A = 1，tanA = sinA/cosA，并能运用这些关系进行三角函数值的互化和简单计算。 2. 理解并应用计算器求任意锐角的三角函数值（已知角度求函数值）和由三角函数值求锐角的度数（已知函数值求角度），能根据题目要求选择合适的精确度。 3. 能综合运用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角相关的实际问题，会准确理解这些概念，并将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中的边角关系进行求解。 4. 能综合运用解直角三角形的知识解决与方向角（如北偏东、南偏西等）相关的实际问题，能在平面图形中正确画出方向角，构造直角三角形解决问题。 5. 能综合运用解直角三角形的知识解决与坡度（坡比）、坡角相关的实际问题，理解坡度与坡角的关系（i = h/l = tanα），并能用于计算高度、水平距离或坡长。 6. 会解决涉及两个或多个直角三角形的组合图形问题，能通过作辅助线（如作高）将组合图形分解为若干个直角三角形，逐步求解未知量。 三、拓展目标（依据课程标准拓展要求及考情能力考查点） 1. 理解并应用锐角三角函数的增减性，能比较同一锐角的不同三角函数值的大小，以及不同锐角但同名三角函数值的大小（如在0°<A<90°范围内，sinA随角度增大而增大等）。 2. 能解决含非直角三角形的实际问题或几何问题，通过添加适当的辅助线（如作高）将其转化为直角三角形问题，再综合运用解直角三角形的知识求解。 3. 会在动态几何问题中，运用解直角三角形的知识建立函数关系或方程，解决与直角三角形边长、角度变化相关的探究性问题。 4. 能结合几何证明，运用解直角三角形的知识计算线段长度、角度大小或证明线段之间的数量关系，体现数形结合的思想。 5. 能运用解直角三角形的知识解决生活中的复杂实际应用问题，如测量不可到达物体的高度、宽度，或解决工程设计中的优化方案初步探讨等，提升数学建模和综合应用能力。 类别 内容 常见结论 1. 锐角三角函数定义：sinA=对边/斜边，cosA=邻边/斜边，tanA=对边/邻边 2. 特殊角三角函数值：30°、45°、60°的sin、cos、tan值 3. 解直角三角形依据：勾股定理、两锐角互余、边角关系 4. 实际应用概念：仰角、俯角、坡度（i=h/l=tanα）、方向角 易错点 1. 混淆三角函数定义（如sinA与cosA的分子分母） 2. 特殊角三角函数值记忆错误（如tan60°记为1/√3） 3. 解非直角三角形时未正确构造直角三角形 4. 实际问题中单位不统一或角度理解错误（如坡度与坡角的关系） 题型一 直接求三角函数值 【例1】如图，在中，，，，那么的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角的余弦等于锐角的邻边比斜边是解题的关键． 根据勾股定理，可得的长，根据锐角的余弦等于锐角的邻边比斜边，可得答案． 【详解】解：在中，，，，由勾股定理，得 ． 由锐角的余弦，得． 故选：C． 【变式1-1】如图所示的网格是边长为1的正方形网格，点是网格线交点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查求正弦值，根据正弦的定义构造合适的直角三角形是解题关键． 作于点，在中根据正弦的定义求解即可． 【详解】如图，作于点，则是直角三角形， 其中，，由勾股定理得，， ， 故答案为：． 【变式1-2】如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，在图2中： (1)求的长； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求角的正切值，一元一次方程的应用，平行线的性质等，熟练掌握正切的定义是解题的关键． （1）根据图1中的矩形的面积等于图2中的的面积，列出方程，解方程即可求解； （2）根据平行线的性质得出，根据正切的定义即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，图1中的矩形的面积等于图2中的的面积， 即， ∴， 解得：． （2）解：延长，交直线于点，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即． 题型二 三角函数值的关系 【例2】下列等式成立的是（    ） A．． B．． C．． D．． 【答案】D 【分析】本题主要考查特殊三角函数值、同角三角函数的关系．对于A、B选项代入相应的特殊三角函数值即可判定，对于C、D选项根据同角三角函数之间的关系即可判定． 【详解】解：A、，，则，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式2-1】如图，在中，，，垂足为．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查锐角三角函数，解题的关键是熟练掌握互余两角的三角函数间的关系． 根据，，可得，，再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断． 【详解】解：，， ，，， ，， ，故①正确； ，故②正确； 在中，， ，故③正确； ，， ，故④正确； 故答案为①②③④． 【变式2-2】如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题： ____ ；________；___． (1)观察上述等式，猜想：在中，，都有____ ； (2)如图④，在中，，，，的对边分别是a，b，c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明（1）中的猜想； (3)若，且，求的值． 【答案】(1)1，1，1 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查三角函数计算综合，涉及三角函数定义、同角三角函数关系、勾股定理及三角函数恒等变形求值，数形结合，灵活运用三角函数定义是解决问题的关键． （1）根据三角函数定义，数形结合，分别得到正弦函数值与余弦函数值，代入式子求解即可得到答案； （2）根据题意，由勾股定理及三角函数定义，得到正弦函数值与余弦函数值，代入式子求解即可得证； （3）由上述归纳及证明的结论知，结合，根据完全平方和公式恒等变形，由确定，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：1，1，1； 由上面运算结果即可猜想在中，，都有， 故答案为：1； （2）证明：在中，，，，的对边分别是，，， 由勾股定理即可得到， ， ； （3）解：， ， ， ， ． 题型三 解直角三角形 【例3】如图，中，为上一点，，，，则的长是（    ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定、勾股定理及三角函数，正确添加辅助线是解题的关键． 根据，构造直角三角形，过点作于点，过点作于点，由是等腰三角形，利用“三线合一”的性质可证明，根据相似三角形的性质建立方程组，解方程组即可． 【详解】解：过点作于点，过点作于点，如图： ， ， 设，，则 在中， ，即 在中，由勾股定理得 联立 解得：， ． 故选：D． 【变式3-1】如图，在中，，，为的中点，在线段上，且，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，分如图，取中点，得∴是中位线，然后通过相似三角形的判定与性质即可求解；如图，当与不平行时，在上取一点，使得，则，先求出，由上得是中位线，所以，所以，，证得是等边三角形，所以，，从而求得，然后代入即可求解． 【详解】解：如图，取中点， ∵为的中点， ∴是中位线， ∴， ∴， ∴； 如图，当与不平行时，在上取一点，使得，则， ∵， ∴， ∴，， 由上得是中位线， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或． 【变式3-2】在中，，为锐角且，．求的长． 【答案】4 【分析】此题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握各锐角的三角函数值及各锐角三角函数的计算公式是解题的关键． 过点A作于点H，分别在和中，利用锐角三角函数求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点H， 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 题型四 解非直角三角形 【例4】在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，过点作的垂线构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键．也考查了等腰三角形的三线合一性质． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为，设小正方形的边长为， ∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上， ∴，，， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴的值为． 故选：C． 【变式4-1】如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解非直角三角形，过点作交延长线于，先由，，得到，即可得到，设，则，，在中，利用勾股定理列方程求得，即可得到，，最后根据计算即可． 【详解】解：如图，过点作交延长线于，则， ，， ， ∵， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式4-2】在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握各锐角的三角函数值及各锐角三角函数的计算公式是解题的关键． （1）根据函数值直接得到的度数． （2）过点A作于H，根据求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出的长． 【详解】（1）解：∵为锐角且， ∴； （2）解：过点A作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 题型五 三角函数的应用——仰角、俯角问题 【例5】为测量小河的宽度，小明在河两岸，测得大楼楼顶的仰角分别为，．若大楼的高为，则的长可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形，解直角三角形分别求出的长，则可求出的长． 【详解】解：由题意得，， 在中，， 在中，， ∴， 故选：C． 【变式5-1】如图，、为两个建筑物，建筑物的高度为米，从建筑物的顶部A测得建筑物的顶部C点的俯角为，测得建筑物的底部D点的俯角为，则建筑物的高度是 米．（结果带根号形式） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，矩形的判定及性质．过点C作于F，则四边形为矩形，因此，，得到，．在中，米，在中，米，根据线段的和差求得，进而即可求解． 【详解】解：过点C作于F，如图所示： 则四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴，， ∴在中，（米）， ∴米， ∴在中，（米）， ∴（米）， ∴在矩形中，（米）． 故答案为：． 【变式5-2】2025年11月3日，用于防灾减灾、国土资源勘查、水利气象等领域的长征七号改运载火箭，在文昌航天发射场成功发射遥感四十六号卫星，火箭从地面到达点C处时，在A处测得C点的仰角，它沿铅垂线上升到达B处时，此时在A处测得B点的仰角，若千米，求的长．（结果保留根号） 【答案】千米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意可得：，然后在，利用含30度角的直角三角形的性质可得千米，再在Rt△ABD中，根据求出，即可解答． 【详解】解：由题意得：， 在中，，千米， ∴（千米）， 在中，， ∴， ∴千米， ∴（千米）， 答：的长为千米． 题型六 三角函数的应用——坡度、坡角问题 【例6】如图，河堤的横断面迎水坡的坡比是（即），河堤的高度为，则坡面的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据坡度的定义，求出，然后根据勾股定理即可解答． 【详解】解：∵河堤横断面迎水坡的坡比是， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，． 故选：C． 【变式6-1】如图，拦水坝的横断面为梯形，，坝高，背水坡的坡比，迎水坡的坡比，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，可证明四边形是矩形，则可得到，再解直角三角形求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵背水坡的坡比，迎水坡的坡比， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式6-2】学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯的位置如图所示，已知坡长，坡角为，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角为，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端处，且与地面的夹角为，、、、在同一平面上．（结果精确到．参考数据：，，，．） (1)求灯杆的高度； (2)求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握直角三角形的性质，三角函数的定义是解题的关键． （1）延长交于点，根据直角三角形的性质和正切的定义求出，，结合正切的定义求出，即可求解； （2）结合正切的定义求出，即可求解． 【详解】（1）解：延长交于点，则， 在中，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴． （2）解：在中，， ∴， ∴． 题型七 三角函数的应用——方向角问题 【例7】如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点到直线距离为（    ） A．3千米 B．千米 C．2千米 D．1千米 【答案】A 【分析】本题主要利用方向角、三角形外角性质、等角对等边的性质以及正弦函数的定义来求解，准确计算是解题的关键． 根据题意可得到，，再根据三角形外角性质得到，利用等角对等边得到，再利用正弦值求解即可． 【详解】由题意得：，，， 是的一个外角， ， ， ， 在中，（千米）． 点到直线的距离为千米． 故选：． 【变式7-1】一段东西方向的海岸线上，小明从点测得灯塔位于北偏西方向，向东走300米到达点处，测得灯塔位于北偏西方向，点到灯塔的距离为 米（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，三角形内角和定理，过点A作于D，根据题意可求出，，解求出的长，再解求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于D， 由题意得，，，米， ∴， 在中，米， 在中，米， 故答案为：． 【变式7-2】2025年重庆城市足球超级联赛（简称“渝超”）赛事正酣，小陈与爸爸作为忠实球迷，计划从社区球迷广场A出发，前往体育场D观看一场关键比赛．已知社区球迷广场A在体育场D的南偏东方向．出发前两人商定分头行动：爸爸需先前往社区球迷广场A正西方向的球迷用品店B购买助威充气棒，随后从B向正北方向前往D，小陈则先从A沿北偏西方向步行600米到达取球票点C，再从C沿南偏西方向步行至D．（参考数据：，，） (1)求的长度．（结果保留根号） (2)若小陈步行的平均速度为100米/分，小陈爸爸步行的平均速度为80米/分，不考虑购买充气棒和取票的时间，请通过计算说明谁先到达体育场D处．（结果精确到0.1） 【答案】(1)米 (2)小陈先到达体育场D处 【分析】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是理解题意； （1）由题意易得，，作于点H．然后根据三角函数可进行求解； （2）由（1）可知：，然后可得，进而问题可求解． ， 【详解】（1）解：由图可知：，， 作于点H．如图所示： 在中，， 在中，米， 答：的长度为米． （2）解：由（1）可知：， ∴． 在中，， ， 分， 分； ∵， ∴小陈先到达体育场D处． 题型八 三角函数的应用——跨学科问题 【例8】定滑轮能改变力的方向，使得施力方向转变为容易出力的方向．某班“综合与实践”小组的同学在课余时间测量“定滑轮距地面的高度”．如图，点O处放置一定滑轮，点A，B，，C，，O均在同一竖直平面内，在点B处测得定滑轮O的仰角为，小组成员站在A处，拉动绳子，使得物体移动至点处，在点处测得定滑轮O的仰角为，物体从点B移动到点处绳子收回的长度为，已知物体的高度．则定滑轮O距地面的高度（定滑轮自身高度忽略不计）为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用（仰角问题），解题的关键是通过作辅助线，利用解直角三角形求解． 过点O作交的延长线于点D，延长交于点E，，根据题意，在中，，在中，求得，利用求解，最终求解出的长度． 【详解】如解图，过点O作交的延长线于点D，延长交于点E， 根据题意，得，在中， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵绳子收回的长度为， ∴，解得， ∴， 故定滑轮O距地面的高度为． 故选：C． 【变式8-1】物理中，我们学习过“杠杆原理”，即阻力×阻力臂＝动力×动力臂．如图，小伟用撬棍撬动某个物体，动力臂，阻力臂，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力越来越 （填“大”或“小”）． 【答案】小 【分析】本题主要考查了杠杆原理以及锐角三角函数和反比例函数的增减性，熟练掌握相关知识是解决本题的关键．根据杠杆原理及的值随着α的减小而增大结合反比例函数的增减性即可求得答案． 【详解】解：∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂， ∴当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定值＞0， ∴动力随动力臂的增大而减小， ∵杠杆向下运动时α的度数越来越小，此时的值越来越大，β的度数越来越大，此时的值越来越小， ∴阻力臂越来越小，阻力不变， ∴动力×动力臂越来越小，而动力臂越来越大， ∴此时动力越来越小， 故答案为：小． 【变式8-2】某物理探究小组利用实验器材模拟室内光线反射，研究光线反射规律．如图1，为水平放置的平面镜，为光屏，一束光从点A射入，光线经过平面镜反射到光屏上形成光斑．由光的反射定理可知：．已知光屏与水平面的夹角为，点A与的距离分米，若光线与平面镜的夹角时，光线在光屏上形成的光斑为点C． (1)求点A与光斑点C的距离（结果保留根号）； (2)如图2，若光线与平面镜的夹角时，此时光线经过平面镜反射到光屏上形成光斑为点G，求光斑点C与光斑点G之间的距离（结果保留根号）． 【答案】(1)分米 (2)分米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得分米．再由直角三角形的性质即可得解． （2）过点A作，垂足为点P．解直角三角形得出分米．分米，由等腰直角三角形的性质可得分米，即可得解． 【详解】（1）解：在中，， ，分米， 分米． 根据题意，得，， 在中，， ∵分米，， 分米． 答：点A与光斑点C的距离为分米． （2）解：如图，过点A作，垂足为点P． 在中，． ，分米， 分米． 根据题意，得，， 在中，． ，分米， 分米． 在中，． ，分米， 分米． 分米． 答：光斑点C与光斑点G之间的距离为分米． 题型九 三角函数中的动点求t 【例9】如图，矩形中，，，E为边上一点，，动点P，Q同时从点C出发，点P沿着运动到点B时停止，点Q沿着折线运动到点B时停止，它们的运动速度都是，设P、Q同时出发时，的面积为，则y与t的函数关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．分类讨论：①当，即点在线段上，点在线段上；②当，即点在线段上，点在线段上时；③，即点在线段上，点在线段上时；④当，即点在线段上，且与点重合，点在线段上时；这四种情况下的函数图象，根据函数图象的性质进行判断． 【详解】解：矩形中，，， ①当，即点在线段上，点在线段上，则，此时该函数图象是开口向上的抛物线在第一象限的部分．故B选项是错误； ②当，即点在线段上，点在线段上时，，该函数图象是随增大而增大的直线的一部分，故A选项是错误； ③，即点在线段上，点在线段上时； ， 如图，过点Q作， 则，即， ∴，此时该函数图象是开口向下的抛物线，故 C 选项是错误； ④当，即点在线段上且与点重合，点在线段上时，，该函数图象是直线的一部分，故D正确； 综上所述，D正确， 故选：D． 【变式9-1】如图，在中，，，，动点从点出发沿着线段向终点运动，速度为每秒3个单位长度，过点作交直线于点，连接．设点的运动时间为秒．在运动过程中，当为等腰三角形时，的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是分类讨论点F的位置并分析腰长． 分类讨论点F在线段上与当点在线段的延长线上两种情况，当点F在线段上时，结合与相似，由此可求解；点在线段的延长线上时，由，即可求解． 【详解】解：①当点F在线段上时， ， 当为等腰三角形时，只能是， ， ， 在中，， ， 又， 在与中， ， ， ，即， ， ∵当点F恰好运动到点C时，， 即，可得， ∴，解得， ∴， ，， ， ； ②当点F在线段的延长线上时，如图， 当点E运动到点B时，有，解得， ∴， ， 当为等腰三角形时，只能是， 此时， ， ，即， 又， ， ， ， ，即， ， 综上所述，的值为秒或秒时，为等腰三角形. 故答案为：或 ． 【变式9-2】如图，在Rt中，．点从点出发沿方向向终点运动，在、边的速度分别为每秒6个单位、8个单位，同时点从点出发沿方向向终点运动，在、边的速度分别为每秒8个单位、10个单位．当P、A、Q不共线时，以、为边作平行四边形．设点的运动时间为（秒）． (1)当时，__________（用含的代数式表示）． (2)当平行四边形被线段分成两部分的面积比为时，求的值． (3)连接平行四边形的对角线，当与某边垂直时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查勾股定理，三角形的面积，锐角三角函数、平行四边形、菱形的性质等知识点，运用数形结合的方法和分类讨论的思想是解决该类试题的关键． （1）分两种情况：当时，，当时，； （2）通过面积比可推得，可得到，等量替换可得，通过， ，可求出值； （3）分三种情况：当时，当时，当时，根据解三角形及勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，； 故答案为：； （2）如图，与交于点，当平行四边形面积被分成时 即三角形的面积与四边形面积比为 故 ∴；即， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵点从点出发沿方向向终点运动，在、边的速度分别为每秒8个单位、10个单位， ∴ ∴ 解得． 当时，点P在BC上，点Q在AB上，如图所示： ∵平行四边形， ∴线段平分四边形， 不符合题意，舍去； 综上可得：； （3）∵． ∴， ①当时，连接，如图 ∴， 又∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 又∵，， ∴， 解得； ②当时，连接，与交于点，如图所示： ∴， ∴， ∵，， ∴，， 故， 解得； ③当时，连接，与交于点，如图所示： ∴四边形为菱形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 故当或或时，与某边垂直． 题型十 三角函数与相似结合 【例10】如图，中，，，且，连接，将沿方向平移至，连接，若，则的长为（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，平移的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 连接，在中，利用锐角三角函数的定义可得，再利用相似三角形的性质可得对应角相等，对应边成比例，从而利用等式的性质可得，进而可证，然后利用相似三角形的性质可得对应角相等，对应边成比例，再利用平移的性质可得，，从而利用平行线的性质可得，最后证明，从而可得，进而在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 由平移得： ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式10-1】如图，中，，为的角平分线，是的中线，、相交于点，则的值为 ． 【答案】 【分析】过作于 先证明设再用含的代数式表示 再证明 利用相似三角形的性质可得的值，从而可得答案． 【详解】解：过作于 ，为的角平分线， 是的中线， 设 故答案为：． 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形相似的判定与性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键． 【变式10-2】如图1，在中，，，．、分别是、边的中点，连接．现将绕点逆时针旋转，连接，并延长交于点． (1)如图2，点正好落在边上． ①求证：； ②求的长； (2)如图3，若恰好平分，求出的长． 【答案】(1)①见详解；② (2)的长为 【分析】（1）①运用中位线的判定得到，，结合旋转得到，在中，，如图所示，过点作于点，由解直角三角形的计算得到，由此即可求解； ②如图所示，过点作于点，则，根据解直角三角形的计算得到，列方程求解得到，运用勾股定理即可求解； （2）如图所示，设交于点，可证，运用相似三角形，解直角三角形的计算，数形结合分析，分别计算出的值即可求解． 【详解】（1）解：①证明：在中，， ∴， ∵、分别是、边的中点， ∴，， ∴， ∵旋转，点正好落在边上， ∴三点共线，，， ∴在中，， 如图所示，过点作于点， ∴，， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴； ②如图所示，过点作于点，则，， 由①的计算得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得，，即， ∴，， 在中，； （2）解：如图所示，设交于点， ∵旋转， ∴， ∴，即， 根据上述计算得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 由上述计算得到， ∴四点共圆， 设交于点，过点作于点，过点作于点， ∵平分， ∴，， ∴， ∴，， 设，则， 在中，，即， 整理得，， 解得，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，则， ∴， ∴ ∴的长为． 【点睛】本题主要考查相似三角形，解直角三角形，中位线，旋转等知识的综合运用，掌握以上知识，合理作图，正确运用解直角三角形的计算公式是解题的关键． 题型十一 三角函数与二次函数结合 【例11】如图，二次函数与轴交于、两点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点从点出发向点运动，点在上，且，则图中阴影部分面积的最小值是（　　） A． B． C．9 D． 【答案】A 【分析】先证明四边形是正方形，将绕点顺时针旋转，得到进而证得，当最短时，的面积最小，进而即可求得阴影部分的面积最小值． 【详解】解：如图， 由题意，令，解得， ∴， 令，解得， ∴， ∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴，， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， 将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴、、共线， ∴， ∵， ∴， 作的外接圆，作于， 设， ∴， ∴ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴≥， ∴ ∴， 故选：A． 【变式11-1】如图，二次函数的图像交轴于两点（在左侧），交轴于点，将绕着点逆时针旋转，其所在直线与二次函数图像交于点，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，解直角三角形，待定系数法求函数解析式，矩形的性质，等腰直角三角形的直角，勾股定理，过点作于，过点作于，于，连接，设直线与轴相交于点，利用解直角三角形求出点的坐标，进而利用待定系数法求出直线的解析式，再联立函数解析式得到二元一次方程组，解方程组即可求解，求出点的坐标是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，过点作于，于，连接，设直线与轴相交于点，则四边形为矩形， ∴，，， ∵二次函数， ∴， ∴， 把代入得，， 解得，， ∴，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴，为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 联立函数解析式得，， 解得或， ∴点坐标为， 故答案为：． 【变式11-2】如图，已知二次函数的图象交x轴于A、B两点（其中A点在B点的左侧），交y轴于点． (1)若，求这个二次函数的表达式； (2)若为的比例中项．求这个二次函数的表达式； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，以及几何图形与二次函数的结合，找到相似三角形为解题的关键． （1）根据，，可知，利用待定系数法可求出二次函数的表达式； （2）根据为的比例中项，可推出，求出B、A的坐标，利用待定系数法可求出二次函数的表达式． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴ ∴， 把，代入得到 则有 解得 ∴二次函数的表达式为． （2）∵ ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线 ∴若设点A的坐标为，则点B的坐标为， 则， ∵为的比例中项． ∴， ∵， ∴ ∴， 解得（不合题意，舍去），， ∴，， 把，代入得到 则有 ， 解得 ∴二次函数的解析式为， 题型十二 三角函数中的最值问题 【例12】如图，点E为菱形的边上一点，且，点F为对角线上一动点，若的周长最小值为6，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质、求一个角的正弦值以及两点之间线段最短等知识点，由菱形的对称性可知：点的对称点在边上，连接，作，可推出，的最小值为线段的长度，据此即可求解； 【详解】解：由菱形的对称性可知：点的对称点在边上， 连接，作于H，如图所示： 则， ∵的最小值为线段的长度， ∴，解得：； ∴， 故选：B． 【变式12-1】如图，在中，，，点在内，，，，、分别在和上，满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定性质，等边三角形的性质，解直角三角形，三角形三边关系求最值，解题的关键在于构造相似三角形进行转化．以为边作等边三角形，连接，得出，证明，推出，则，可知当点D，F，H在同一条直线时，取最小值，最小值为，即可求解． 【详解】解：如图，以为边作等边三角形，连接， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∵在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，而 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点D，F，H在同一条直线上时，取得最小值，最小值为的长，即 故答案为：． 【变式12-2】（1）如图①，中，，．点P为上动点，则长度的最小值为___________． （2）如图②，中，，，，点P为平面内一点，，于点．求长度最小值． （3）如图③，光明公司在一块四边形荒地进行观赏种植实验，经过测量发现，四边形中，米，米，．种植方案是：将四边形分成一些区域种植不同的观赏作物，其中点在上，，于点P，交于点．现决定先对区域进行种植实验，请你确定的面积是否有最小值，若有最小值，求出的面积最小值；若没有最小值，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）的面积有最小值，平方米 【分析】（1）当时，的长最小，此时，根据直角三角形斜边中线的性质即可解答； （2）如图②，以C为圆心，以1为半径画圆，则点P在上运动，过点C作于D，交于M，先根据面积法可得，由垂线段最短可得，即可解答； （3）如图③，作辅助线构建矩形和相似三角形，证明，则，根据直角三角形斜边中线的性质得：，则点P在以O为圆心，以25为半径的圆上运动，结合（2）中的结论即可解答． 【详解】解：（1），， ， ∵点P为上动点， ∴当时，的长最小，此时， ； 即长度的最小值是； 故答案为：； （2）如图②，以C为圆心，以1为半径画圆，则点P在上运动，过点C作于D，交于M， ，， ， ， ，，， ， ， ， ， ， 长度的最小值是； （3）的面积有最小值， 如图③，延长，交于点N，连接，取的中点为O，过点O作于H，交于M，连接，过点P作于T， ，， 四边形是平行四边形， ， 是矩形， ，， ，， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 是的中点， ， 点P在以O为圆心，以25为半径的圆上运动， ，，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 是的中位线， ， ， 由（2）同理得：的最小值为， 的面积有最小值，最小值（平方米）． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了垂线段最短，平行四边形和矩形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例定理，勾股定理等知识，熟练掌握垂线段最短和勾股定理是解题的关键． 题型十三 无刻度尺下的三角函数 【例13】如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，点E为的三等分点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中的边上确定一点F，连结，使； (2)在图②中的边上确定一点H，连结，使； (3)在图③中的边上确定一点M，连结，使． 【答案】(1)如图所示； (2)如图所示； (3)如图所示． 【分析】本题考查作图应用与设计作图，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握相关知识解决问题； （1）取格点，连接交于点，线段即为所求； （2）取格点，，连接交于点，连接，线段即为所求； （3）取格点，，连接交于点，连接，即可． 【详解】（1）解：如图①中，线段即为所求； （2）解：如图②中，线段即为所求； （3）解：如图③中，线段，即为所求． 【变式13-1】图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹． (1)在图①中的线段上找一点D，连接，使； (2)在图②中的线段上找一点E，连接，使； (3)在图③中的线段上找一点F，连接，使． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）取格点，连接交于点，点即为所求； （2）取的中点，连接即可 ； （3）取格点，连接并延长交于点，点即为所求； 【详解】（1）解：如图，点D即为所求； 根据图象可得， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，点E即为所求； 根据图象可得， ∴， ∴； （3）解：如图，点F即为所求； 根据图象可得， ∴， ∴． 【点睛】该题是格点作图题，考查了勾股定理，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的判定，角的正切等知识点，根据要求正确作图是解题的关键． 【变式13-2】如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，E是格点，是网格线上一点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成如下两个问题； (1)如图1，过点作，使；在上确定点，使； (2)如图2，过点作于；过点作且． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是格点作图题、全等三角形的判定与性质及正切的定义， （1）取格点，连接，根据，可证，则，可得，则；取中点，连接交于点H，则； （2）取格点G，连接交格线于点O，连接并延长交于点T，则四边形是矩形，得出；取格点N，连接并延长交格线于点P，连接，可得，，则，所以，同（1）得，则； 【详解】（1）解：如下图即为所求作： （2）解：如下图即为所求作： 基础巩固通关测 1．若，则锐角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查特殊角的三角函数值． 根据已知正弦值，即可得锐角的度数． 【详解】解：∵ ， 为锐角， ∴ ． 故选：B． 2．的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】题目主要考查特殊角的三角函数，牢记特殊角的三角函数值是解题关键． 根据，直接判断即可． 【详解】解：， 故选：D． 3．如果把的各边长都扩大到原来的4倍，那么锐角A的余弦值（    ） A．扩大到原来的4倍 B．缩小到原来的 C．没有改变 D．无法判断是否发生改变 【答案】C 【分析】本题考查了余弦的定义，分式的性质，掌握“锐角的余弦值等于的邻边与斜边的比值”是解题关键．余弦值是邻边与斜边的比值，各边长扩大相同倍数后，比值不变． 【详解】解：设原中，的邻边为b，斜边为c，则． ∵ 各边长扩大到原来的4倍， ∴ 新邻边为，新斜边为， ∴， 故锐角A的余弦值没有改变． 故选：C． 4．飞机离水平地面的高度为3千米，在飞机上测得该水平地面上的目标点的俯角为，那么此时飞机与目标点的距离为 千米．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，根据俯角的定义，构造直角三角形，利用正弦的定义即可求解飞机与目标点的距离． 【详解】解：如图所示，为飞机，飞机离地面高度为，测得目标的俯角为， 则，，， 在中，， ∴ ∴ 飞机与目标的距离为 千米； 故选：A． 5．如图，在Rt中，，于点，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数，根据锐角三角函数的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴，故C选项错误； ，故B选项错误； ，故A选项正确； ，故D选项错误； 故选A． 6． ． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算． 根据特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：0． 7．如图，已知滑坡的坡度是，滑坡的水平宽度是，则高是 m． 【答案】3 【分析】本题考查了解直角三角形的应用中的坡度问题，牢记坡度的定义是解题的关键．根据题意可得∶在中，，从而可得，进行计算即可解答． 【详解】解：滑坡的坡度是， 在中，． ， ． 故答案为：3． 8．已知∠A是锐角，且满足，则的大小为 ． 【答案】． 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 据题目所给的等式求出的值，即可求出的大小． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 9．某超市自动扶梯的坡比为．一位顾客从地面沿扶梯上行了6.5米，那么这位顾客此时离地面的高度为 米． 【答案】2.5 【分析】本题主要考查坡比及勾股定理，熟练掌握坡比及勾股定理是解题的关键；根据坡比定义，垂直高度与水平宽度之比为，设垂直高度为h米，则水平宽度为米，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：设顾客离地面的高度为h米，则水平宽度为米， 由勾股定理，得， 解得：（舍去负值）； 故答案为2.5． 10．已知是锐角，若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的知识点是特殊角的三角函数值，解题关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 由根据特殊角的锐角三角函数值可得，求出，即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 11．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含特殊角的混合运算． （1）直接利用特殊角的三角函数值代入，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． （2）直接利用特殊角的三角函数值代入，再运算乘方，乘法，最后运算加法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．计算：． 【答案】4 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，利用相关公式及性质进行正确化简各项是解题的关键．根据计算规律直接计算即可． 【详解】解： 13．如图所示，每个方格均为正方形，线段与交于点，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理和正弦函数，利用辅助线构造直角三角形即可求． 【详解】解：过点作平行于且 ． 14．如图，在中，，，，求边的长． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，过A作于D，利用锐角三角函数求得 ，，进而可求解． 【详解】解：如图，过A作于D， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 15．某小组同学对三角比展开主题研究活动，现在邀请你参加． 【问题提出】 （1）如果锐角的余弦值为，下列关于锐角的取值范围，正确的是______． A．    B．    C．    D． 【问题分析】 （2）余弦值、、的三角比分别是______、_______、____．你发现它们的分布特点是随着角度的______（选填“增大”或“减小”）而减小． 【综合运用】 （3）写出下列角度的正弦值的取值范围． ，． 【答案】（1）C；（2），，，增大；（3）， 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值和锐角三角函数中的正、余弦函数的性质，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）根据特殊角的余弦值，即可判断锐角的取值范围； （2）熟记特殊角（、、）的余弦值即可得出它们的三角比，通过观察即可得出它们的分布特点； （3）根据特殊角的正弦值和锐角正弦函数的增减性即可求解． 【详解】解：（1），，，, 又且为锐角， ； 故选C． （2）由，，可得，它们的三角比分别为 ，，；通过观察可知，它们的三角比会随角度的增大而减小； 故答案为：，，，增大； （3）由锐角正弦函数的增减性可知，锐角的正弦值会随角度的增大而增大 ，， 又，，， ，． 能力提升进阶练 1．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）在中，，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，结合已知边和的长度，计算的值，再根据特殊角的三角函数值确定的度数，即可作答． 【详解】解：∵在中，， ∴为斜边， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 2．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，点P是第一象限的点，其坐标为，且与x轴正半轴的夹角为，则的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，过P作轴于H，由P的坐标，得到，，结合勾股定理列式计算得，由锐角的正弦定义进行列式化简，即可作答． 【详解】解：过P作轴于H， ∵P的坐标是， ∴，， 则， ∴， 即的正弦值是． 故选：C． 3．（21-22九年级上·河南洛阳·期末）如图，中，，点在上，若，，则的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，余弦，相似三角形的性质和判定， 根据余弦求出，再根据勾股定理求出，然后说明，最后根据相似三角形的对应边成比例得出答案. 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， ， . 故选：B． 4．（19-20九年级上·重庆·期末）如图，一无人机在建筑物上空点P处测得建筑物底端点A的俯角比顶端点B的俯角大，已知建筑物位于水平地面上，小明从A处出发沿着走了24米后到达点C处，发现无人机正好在他的正上方．无人机，建筑物都与水平面垂直．则建筑物AB的高度为（　　）（参考数据：，，） A．米 B．米 C．25米 D．28米 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，过点B作于点D，根据题意可得，四边形是矩形，再根据锐角三角函数求出，再根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，过点B作于点D， 根据题意可知： ， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵P处测得建筑物底端点A的俯角比顶端点B的俯角大， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 即， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理，得 即， 解得． 所以建筑物的高度为25米． 故选：C． 5．（2025·青海西宁·中考真题）如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形和小正方形，连接交于点P．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求角的正切值，相似三角形的判定和性质，三线合一，全等三角形的性质，根据题意，设，，则：，三线合一，得到，进而得到，证明，得到，进而求出的数量关系，再根据正切的定义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴设，，则：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， 解得或（不合题意，舍去）； 在中，； 故选A． 6．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了求特殊角的三角函数值，求一个数的立方根． 根据特殊角的三角函数值及立方根的定义进行运算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·江西景德镇·期中）如图，为半圆O的直径，C为半圆上一点，，点P在的延长线上，且．连接交半圆于点D，过P作交的延长线于点E，则 ． 【答案】/厘米 【分析】此题考查了圆内接四边形的判定方法，圆周角定理，解直角三角形等，解题的关键是掌握以上知识点． 连接，，根据直径所对的圆周角是直角，得，确定，则P、E、D、B四点共圆，求出，在中利用三角函数即可求出． 【详解】解：如图，连接，， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， 则P、E、D、B四点共圆， ∴， ∵， ∴中，， 故答案为：． 8．（19-20九年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在矩形中，，，将它绕着点C顺时针旋转得到矩形，与交于点H．当时，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 连接，根据题意可证得为等边三角形，继而得到，再利用的正切值可求得即可求解． 【详解】连接， ， 在的垂直平分线上， ， 也在的垂直平分线上， ， 又， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 9．（18-19九年级上·广东深圳·期末）如图，在中，，，D在内部，且，，连接CD，若，则的面积为 ． 【答案】2 【分析】过A作于H，过D作于G，设，，根据勾股定理得到，得到，过D作于E，则四边形是矩形，根据矩形的性质得到，，从而推出，可证，根据全等三角形的性质得到，然后求得，设，根据勾股定理列出方程，解得，最后利用三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：过A作于H，过D作于G， ， ∴ ∵， 设，， ， ， ，， ， 过D作于E， 则， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ， 在与中， ， ， ， ，，， ， 设， ， ， ， 或（不合题意舍去）， ， ． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积的计算；证明三角形全等得出是解决问题的关键，并利用方程的思想解决问题． 10．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，，D是边上一点，将沿翻折得到使线段、相交于点F，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，翻折的性质，熟练作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点作于点，由，设，则，结合，求出，，由翻折得，设，则，，在中，利用，求解即可． 【详解】解：过点作于点， ∴， 设，则， ∴， 得， 则，， 由翻折得， 设， 则，， 在中，， 即， 解得：， 即， 故答案为：． 11．（25-26九年级上·福建莆田·期中）在中，，，． (1)求的长； (2)求的面积．（结果都保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角函数，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理． （1）根据三角函数得到，证明是等腰直角三角形，根据勾股定理计算即可； （2）根据勾股定理求出，进而求出，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点B作于点D， 在中，， ， ， 在中，， 是等腰直角三角形， ， ； （2）解：在中，， ， ， ， 的面积为． 12．（25-26九年级上·吉林长春·期中）综合与实践：如图①，这个图案是三世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，“受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图②，直线上从左至右依次有、、三点，，，，． 【观察感知】通过观察图②，可以得出与的数量关系为_____． 【类比迁移】如图③．在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点，连结，交于点． （）求证：； （）的值为_____． 【拓展延伸】在【类比迁移】的条件下，在直线上找点，使，请直接写出线段的长． 【答案】【观察感知】；【类比迁移】（）见解析，（）；【拓展延伸】或 【分析】观察感知：证明即可求解； 类比迁移：（）由得，由旋转得，进而根据判定定理“”即可求证；（）过作于点，由得，，，即得，即得到，设，则，由得，得到，即得到，解得，即得，再根据即可求解； 拓展延伸：分当点在左侧和点在右侧两种情况，分别画出图形，利用锐角三角函数的定义解答即可求解． 【详解】解：观察感知：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 类比迁移（）证明：由题可知，， ∴， 由旋转可知，， 在和中， ， ∴； （）解：如图，过作于点， ∵， ∴，，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； 拓展延伸：当点在左侧时，过作于点，如图， ∵， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在右侧时，过作的延长线于点，如图， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴， ∴； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等，正确作出辅助线并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 13．（24-25八年级下·北京·期末）中央电视塔是一座现代化的标志性建筑，其外观优美，造型独特，在观光塔上眺望，北京风景尽收眼底．一次数学活动课上，某校老师带领学生去测量电视塔的高度．如图，在点处用高的测角仪测得塔尖的仰角为，向塔的方向前进到达处，在处测得塔尖的仰角为，请你求出中央电视塔的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，，，．） 【答案】中央电视塔的高度为米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． 在中，中得出，根据，进而求得的长，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴ 在中，， ∴， ∴ ∵ ∴， 由图可知四边形是矩形，则 ∴（米）， 答：中央电视塔的高度为米． 14．（2025·四川·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线过原点，顶点为P，直线l过原点和点P． (1)求抛物线和直线l的解析式； (2)如图2，将抛物线的顶点沿射线平移，抛物线也随之移动得到抛物线，设顶点为A，其横坐标为，抛物线与抛物线交于点B． ①当时，求点B的横坐标； ②若点B的横坐标为n，请猜想并写出n与t的关系（不写推理过程）； ③如图3，若点B在第一象限内，设与y轴正半轴的夹角为，当时，求点B的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为，直线l的解析式为 (2)①点的横坐标为5；②；③点B的坐标为 【分析】（1）将代入求出值，再根据和求出直线的解析式； （2）①根据题意可得，再将代入求解即可； ②参考①思路联立解析式即可； ③设抛物线的解析式为，则可得点的坐标为，点B的坐标为，先求出的表达式，作交直线于点C，求出直线和直线的解析式并联立，进而求出，结合题意求出t的值即可． 【详解】（1）解：抛物线：过原点， 将代入抛物线解析式可得 ， 解得， 抛物线的解析式为 ， ∵抛物线的解析式为， ∴顶点的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入可得：， 解得， 直线的解析式为； （2）解：①：抛物线的顶点沿射线平移得到抛物线的顶点， 抛物线的解析式为， 当时，抛物线的解析式为， 联立抛物线与的解析式得， ， 解得， 点的坐标为； ②联立抛物线与的解析式得， ， 解得， 点的横坐标为， ∴， ∴； ③设抛物线的解析式为， 由②知点A的横坐标是点B的两倍， ∴点的坐标为，点B的横坐标为， 将代入得， ， ∴点B的坐标为， ∴ ， 作交直线于点C，过点B作轴于点D， ∵直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为，， 联立直线和直线的解析式为， 解得， ∴点C的坐标为， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴ 解得（舍去）， ∴点B的坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数交点问题、二次函数平移、二次函数点的坐标特征、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 15．（2025·山东滨州·中考真题）【背景资料】 最小覆盖圆在几何学和计算机科学中有着广泛的应用．我们把能完全覆盖某平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如线段的最小覆盖圆是以线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆是这个三角形的外接圆，直角三角形的最小覆盖圆是以斜边为直径的圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆，正方形的最小覆盖圆是以对角线为直径的圆． 【动手操作】 如图1，中，，请作出的最小覆盖圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） 【迁移运用】 正方形的边长为7，在边上截取，以为边向外作正方形． （1）如图2，连接，求的最小覆盖圆的直径； （2）将图2中的正方形绕点C逆时针旋转（如图3），经过A，D，F三点，且与边分别交于点I，L，求的最小覆盖圆的直径； （3）将正方形绕点C旋转，分别取的中点M，N，P，Q，顺次连接各中点，得到四边形（如图4）．在旋转过程中，四边形的最小覆盖圆的直径d的值是否发生变化？如果不变，请直接写出d的值；如果变化，请直接写出d的取值范围． 【答案】【动手操作】图见解析；【迁移运用】（1）；（2）；（3）变化， 【分析】动手操作：作的中垂线，再以中垂线与的交点为圆心，交点与点之间的距离为半径画圆即可； （1）延长交于点，求得为钝角，根据题意得到为的最小覆盖圆的直径，在中，利用勾股定理进行求解即可； （2）连接，根据题意，易得为锐角三角形，的外接圆为其最小覆盖圆，根据正方形的性质，得到，进而得到即为的外接圆的直径，进行求解即可； （3）连接，交于点，交于点，连接，根据三角形的中位线定理，证明四边形为平行四边形，证明，推出四边形为正方形，进而得到四边形的最小覆盖圆的直径为的长，根据正方形的性质得到，根据，求出的范围，即可得出结果． 【详解】解：动手操作：∵中，， ∴是钝角三角形， ∴的最小覆盖圆为以为直径的圆，作图如下： 迁移运用： （1）∵正方形的边长为7，正方形， ∴， ∴， ∴为钝角三角形， ∴为最小覆盖圆的直径， 延长交于点，则：， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴； （2）连接，作于点，延长交于点， 则：四边形为矩形， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， ∵，即：， ∴， ∵过点，， ∴，为的直径， 又∵， ∴为锐角三角形， ∴即为的最小覆盖圆， ∵， ∴，即：， ∴， ∴，即的最小覆盖圆的直径为； （3）变化； 连接，交于点，交于点，连接， ∵分别取的中点M，N，P，Q，顺次连接各中点，得到四边形， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵正方形，正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形为菱形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，四边形的最小覆盖圆的直径为， ∴随着的变化而变化， ∵，即， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查三角形的外接圆，圆周角定理，解直角三角形，正方形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，综合性强，难度大，属于中考压轴题，熟练掌握题干给出的信息，判断三角形和四边形的最小覆盖圆，是解题的关键． 88 / 88 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 解直角三角形（复习讲义） 一、基础目标（依据课程标准要求及考情基础考查点） 1. 能复述锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，明确各三角函数值是直角三角形中两边的比值，并能准确写出直角三角形中锐角A的sinA、cosA、tanA的表达式。 2. 会熟练记忆30°、45°、60°角的各个三角函数值，并能直接运用这些特殊角的三角函数值进行简单的计算（包括已知特殊角求其三角函数值，以及已知特殊角的三角函数值求角的度数）。 3. 理解解直角三角形的概念，能说出解直角三角形的含义是在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程。 4. 会运用直角三角形的两个锐角互余、勾股定理以及锐角三角函数等基本关系，由直角三角形中已知的两个元素（其中至少有一个是边），求出其余的三个未知元素（边或角）。 5. 能根据实际问题情境，识别并构造直角三角形模型，明确问题中的已知条件和所求未知量在直角三角形中的对应关系。 二、进阶目标（依据课程标准要求及考情重点考查点） 1. 会推导锐角三角函数之间的基本关系，如sin²A + cos²A = 1，tanA = sinA/cosA，并能运用这些关系进行三角函数值的互化和简单计算。 2. 理解并应用计算器求任意锐角的三角函数值（已知角度求函数值）和由三角函数值求锐角的度数（已知函数值求角度），能根据题目要求选择合适的精确度。 3. 能综合运用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角相关的实际问题，会准确理解这些概念，并将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中的边角关系进行求解。 4. 能综合运用解直角三角形的知识解决与方向角（如北偏东、南偏西等）相关的实际问题，能在平面图形中正确画出方向角，构造直角三角形解决问题。 5. 能综合运用解直角三角形的知识解决与坡度（坡比）、坡角相关的实际问题，理解坡度与坡角的关系（i = h/l = tanα），并能用于计算高度、水平距离或坡长。 6. 会解决涉及两个或多个直角三角形的组合图形问题，能通过作辅助线（如作高）将组合图形分解为若干个直角三角形，逐步求解未知量。 三、拓展目标（依据课程标准拓展要求及考情能力考查点） 1. 理解并应用锐角三角函数的增减性，能比较同一锐角的不同三角函数值的大小，以及不同锐角但同名三角函数值的大小（如在0°<A<90°范围内，sinA随角度增大而增大等）。 2. 能解决含非直角三角形的实际问题或几何问题，通过添加适当的辅助线（如作高）将其转化为直角三角形问题，再综合运用解直角三角形的知识求解。 3. 会在动态几何问题中，运用解直角三角形的知识建立函数关系或方程，解决与直角三角形边长、角度变化相关的探究性问题。 4. 能结合几何证明，运用解直角三角形的知识计算线段长度、角度大小或证明线段之间的数量关系，体现数形结合的思想。 5. 能运用解直角三角形的知识解决生活中的复杂实际应用问题，如测量不可到达物体的高度、宽度，或解决工程设计中的优化方案初步探讨等，提升数学建模和综合应用能力。 类别 内容 常见结论 1. 锐角三角函数定义：sinA=对边/斜边，cosA=邻边/斜边，tanA=对边/邻边 2. 特殊角三角函数值：30°、45°、60°的sin、cos、tan值 3. 解直角三角形依据：勾股定理、两锐角互余、边角关系 4. 实际应用概念：仰角、俯角、坡度（i=h/l=tanα）、方向角 易错点 1. 混淆三角函数定义（如sinA与cosA的分子分母） 2. 特殊角三角函数值记忆错误（如tan60°记为1/√3） 3. 解非直角三角形时未正确构造直角三角形 4. 实际问题中单位不统一或角度理解错误（如坡度与坡角的关系） 题型一 直接求三角函数值 【例1】如图，在中，，，，那么的值为（   ） A． B．2 C． D． 【变式1-1】如图所示的网格是边长为1的正方形网格，点是网格线交点，则 ． 【变式1-2】如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，在图2中： (1)求的长； (2)求． 题型二 三角函数值的关系 【例2】下列等式成立的是（    ） A．． B．． C．． D．． 【变式2-1】如图，在中，，，垂足为．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ． 【变式2-2】如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题： ____ ；________；___． (1)观察上述等式，猜想：在中，，都有____ ； (2)如图④，在中，，，，的对边分别是a，b，c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明（1）中的猜想； (3)若，且，求的值． 题型三 解直角三角形 【例3】如图，中，为上一点，，，，则的长是（    ） A．8 B． C． D． 【变式3-1】如图，在中，，，为的中点，在线段上，且，则 ． 【变式3-2】在中，，为锐角且，．求的长． 题型四 解非直角三角形 【例4】在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 【变式4-1】如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则 ． 【变式4-2】在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 题型五 三角函数的应用——仰角、俯角问题 【例5】为测量小河的宽度，小明在河两岸，测得大楼楼顶的仰角分别为，．若大楼的高为，则的长可表示为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，、为两个建筑物，建筑物的高度为米，从建筑物的顶部A测得建筑物的顶部C点的俯角为，测得建筑物的底部D点的俯角为，则建筑物的高度是 米．（结果带根号形式） 【变式5-2】2025年11月3日，用于防灾减灾、国土资源勘查、水利气象等领域的长征七号改运载火箭，在文昌航天发射场成功发射遥感四十六号卫星，火箭从地面到达点C处时，在A处测得C点的仰角，它沿铅垂线上升到达B处时，此时在A处测得B点的仰角，若千米，求的长．（结果保留根号） 题型六 三角函数的应用——坡度、坡角问题 【例6】如图，河堤的横断面迎水坡的坡比是（即），河堤的高度为，则坡面的长度是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，拦水坝的横断面为梯形，，坝高，背水坡的坡比，迎水坡的坡比，则的长为 ． 【变式6-2】学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯的位置如图所示，已知坡长，坡角为，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角为，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端处，且与地面的夹角为，、、、在同一平面上．（结果精确到．参考数据：，，，．） (1)求灯杆的高度； (2)求的长度． 题型七 三角函数的应用——方向角问题 【例7】如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点到直线距离为（    ） A．3千米 B．千米 C．2千米 D．1千米 【变式7-1】一段东西方向的海岸线上，小明从点测得灯塔位于北偏西方向，向东走300米到达点处，测得灯塔位于北偏西方向，点到灯塔的距离为 米（结果保留根号）． 【变式7-2】2025年重庆城市足球超级联赛（简称“渝超”）赛事正酣，小陈与爸爸作为忠实球迷，计划从社区球迷广场A出发，前往体育场D观看一场关键比赛．已知社区球迷广场A在体育场D的南偏东方向．出发前两人商定分头行动：爸爸需先前往社区球迷广场A正西方向的球迷用品店B购买助威充气棒，随后从B向正北方向前往D，小陈则先从A沿北偏西方向步行600米到达取球票点C，再从C沿南偏西方向步行至D．（参考数据：，，） (1)求的长度．（结果保留根号） (2)若小陈步行的平均速度为100米/分，小陈爸爸步行的平均速度为80米/分，不考虑购买充气棒和取票的时间，请通过计算说明谁先到达体育场D处．（结果精确到0.1） 题型八 三角函数的应用——跨学科问题 【例8】定滑轮能改变力的方向，使得施力方向转变为容易出力的方向．某班“综合与实践”小组的同学在课余时间测量“定滑轮距地面的高度”．如图，点O处放置一定滑轮，点A，B，，C，，O均在同一竖直平面内，在点B处测得定滑轮O的仰角为，小组成员站在A处，拉动绳子，使得物体移动至点处，在点处测得定滑轮O的仰角为，物体从点B移动到点处绳子收回的长度为，已知物体的高度．则定滑轮O距地面的高度（定滑轮自身高度忽略不计）为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】物理中，我们学习过“杠杆原理”，即阻力×阻力臂＝动力×动力臂．如图，小伟用撬棍撬动某个物体，动力臂，阻力臂，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力越来越 （填“大”或“小”）． 【变式8-2】某物理探究小组利用实验器材模拟室内光线反射，研究光线反射规律．如图1，为水平放置的平面镜，为光屏，一束光从点A射入，光线经过平面镜反射到光屏上形成光斑．由光的反射定理可知：．已知光屏与水平面的夹角为，点A与的距离分米，若光线与平面镜的夹角时，光线在光屏上形成的光斑为点C． (1)求点A与光斑点C的距离（结果保留根号）； (2)如图2，若光线与平面镜的夹角时，此时光线经过平面镜反射到光屏上形成光斑为点G，求光斑点C与光斑点G之间的距离（结果保留根号）． 题型九 三角函数中的动点求t 【例9】如图，矩形中，，，E为边上一点，，动点P，Q同时从点C出发，点P沿着运动到点B时停止，点Q沿着折线运动到点B时停止，它们的运动速度都是，设P、Q同时出发时，的面积为，则y与t的函数关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】如图，在中，，，，动点从点出发沿着线段向终点运动，速度为每秒3个单位长度，过点作交直线于点，连接．设点的运动时间为秒．在运动过程中，当为等腰三角形时，的值是 ． 【变式9-2】如图，在Rt中，．点从点出发沿方向向终点运动，在、边的速度分别为每秒6个单位、8个单位，同时点从点出发沿方向向终点运动，在、边的速度分别为每秒8个单位、10个单位．当P、A、Q不共线时，以、为边作平行四边形．设点的运动时间为（秒）． (1)当时，__________（用含的代数式表示）． (2)当平行四边形被线段分成两部分的面积比为时，求的值． (3)连接平行四边形的对角线，当与某边垂直时，求的值． 题型十 三角函数与相似结合 【例10】如图，中，，，且，连接，将沿方向平移至，连接，若，则的长为（　　） A．1 B． C． D．2 【变式10-1】如图，中，，为的角平分线，是的中线，、相交于点，则的值为 ． 【变式10-2】如图1，在中，，，．、分别是、边的中点，连接．现将绕点逆时针旋转，连接，并延长交于点． (1)如图2，点正好落在边上． ①求证：； ②求的长； (2)如图3，若恰好平分，求出的长． 题型十一 三角函数与二次函数结合 【例11】如图，二次函数与轴交于、两点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点从点出发向点运动，点在上，且，则图中阴影部分面积的最小值是（　　） A． B． C．9 D． 【变式11-1】如图，二次函数的图像交轴于两点（在左侧），交轴于点，将绕着点逆时针旋转，其所在直线与二次函数图像交于点，则点坐标为 ． 【变式11-2】如图，已知二次函数的图象交x轴于A、B两点（其中A点在B点的左侧），交y轴于点． (1)若，求这个二次函数的表达式； (2)若为的比例中项．求这个二次函数的表达式； 题型十二 三角函数中的最值问题 【例12】如图，点E为菱形的边上一点，且，点F为对角线上一动点，若的周长最小值为6，则（    ） A．2 B． C． D． 【变式12-1】如图，在中，，，点在内，，，，、分别在和上，满足，则的最小值为 ． 【变式12-2】（1）如图①，中，，．点P为上动点，则长度的最小值为___________． （2）如图②，中，，，，点P为平面内一点，，于点．求长度最小值． （3）如图③，光明公司在一块四边形荒地进行观赏种植实验，经过测量发现，四边形中，米，米，．种植方案是：将四边形分成一些区域种植不同的观赏作物，其中点在上，，于点P，交于点．现决定先对区域进行种植实验，请你确定的面积是否有最小值，若有最小值，求出的面积最小值；若没有最小值，请说明理由． 题型十三 无刻度尺下的三角函数 【例13】如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，点E为的三等分点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中的边上确定一点F，连结，使； (2)在图②中的边上确定一点H，连结，使； (3)在图③中的边上确定一点M，连结，使． 【变式13-1】图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹． (1)在图①中的线段上找一点D，连接，使； (2)在图②中的线段上找一点E，连接，使； (3)在图③中的线段上找一点F，连接，使． 【变式13-2】如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，E是格点，是网格线上一点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成如下两个问题； (1)如图1，过点作，使；在上确定点，使； (2)如图2，过点作于；过点作且． 基础巩固通关测 1．若，则锐角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．的值为（    ） A． B． C．1 D． 3．如果把的各边长都扩大到原来的4倍，那么锐角A的余弦值（    ） A．扩大到原来的4倍 B．缩小到原来的 C．没有改变 D．无法判断是否发生改变 4．飞机离水平地面的高度为3千米，在飞机上测得该水平地面上的目标点的俯角为，那么此时飞机与目标点的距离为 千米．（    ） A． B． C． D． 5．如图，在Rt中，，于点，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 6． ． 7．如图，已知滑坡的坡度是，滑坡的水平宽度是，则高是 m． 8．已知∠A是锐角，且满足，则的大小为 ． 9．某超市自动扶梯的坡比为．一位顾客从地面沿扶梯上行了6.5米，那么这位顾客此时离地面的高度为 米． 10．已知是锐角，若，则的值为 ． 11．计算： (1) (2) 12．计算：． 13．如图所示，每个方格均为正方形，线段与交于点，求的值． 14．如图，在中，，，，求边的长． 15．某小组同学对三角比展开主题研究活动，现在邀请你参加． 【问题提出】 （1）如果锐角的余弦值为，下列关于锐角的取值范围，正确的是______． A．    B．    C．    D． 【问题分析】 （2）余弦值、、的三角比分别是______、_______、____．你发现它们的分布特点是随着角度的______（选填“增大”或“减小”）而减小． 【综合运用】 （3）写出下列角度的正弦值的取值范围． ，． 能力提升进阶练 1．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）在中，，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，点P是第一象限的点，其坐标为，且与x轴正半轴的夹角为，则的正弦值是（    ） A． B． C． D． 3．（21-22九年级上·河南洛阳·期末）如图，中，，点在上，若，，则的长度为（　　） A． B． C． D． 4．（19-20九年级上·重庆·期末）如图，一无人机在建筑物上空点P处测得建筑物底端点A的俯角比顶端点B的俯角大，已知建筑物位于水平地面上，小明从A处出发沿着走了24米后到达点C处，发现无人机正好在他的正上方．无人机，建筑物都与水平面垂直．则建筑物AB的高度为（　　）（参考数据：，，） A．米 B．米 C．25米 D．28米 5．（2025·青海西宁·中考真题）如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形和小正方形，连接交于点P．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·期中）计算： ． 7．（25-26九年级上·江西景德镇·期中）如图，为半圆O的直径，C为半圆上一点，，点P在的延长线上，且．连接交半圆于点D，过P作交的延长线于点E，则 ． 8．（19-20九年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在矩形中，，，将它绕着点C顺时针旋转得到矩形，与交于点H．当时，则的长是 ． 9．（18-19九年级上·广东深圳·期末）如图，在中，，，D在内部，且，，连接CD，若，则的面积为 ． 10．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，，D是边上一点，将沿翻折得到使线段、相交于点F，若，，则 ． 11．（25-26九年级上·福建莆田·期中）在中，，，． (1)求的长； (2)求的面积．（结果都保留根号） 12．（25-26九年级上·吉林长春·期中）综合与实践：如图①，这个图案是三世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，“受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图②，直线上从左至右依次有、、三点，，，，． 【观察感知】通过观察图②，可以得出与的数量关系为_____． 【类比迁移】如图③．在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点，连结，交于点． （）求证：； （）的值为_____． 【拓展延伸】在【类比迁移】的条件下，在直线上找点，使，请直接写出线段的长． 13．（24-25八年级下·北京·期末）中央电视塔是一座现代化的标志性建筑，其外观优美，造型独特，在观光塔上眺望，北京风景尽收眼底．一次数学活动课上，某校老师带领学生去测量电视塔的高度．如图，在点处用高的测角仪测得塔尖的仰角为，向塔的方向前进到达处，在处测得塔尖的仰角为，请你求出中央电视塔的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，，，．） 14．（2025·四川·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线过原点，顶点为P，直线l过原点和点P． (1)求抛物线和直线l的解析式； (2)如图2，将抛物线的顶点沿射线平移，抛物线也随之移动得到抛物线，设顶点为A，其横坐标为，抛物线与抛物线交于点B． ①当时，求点B的横坐标； ②若点B的横坐标为n，请猜想并写出n与t的关系（不写推理过程）； ③如图3，若点B在第一象限内，设与y轴正半轴的夹角为，当时，求点B的坐标． 15．（2025·山东滨州·中考真题）【背景资料】 最小覆盖圆在几何学和计算机科学中有着广泛的应用．我们把能完全覆盖某平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如线段的最小覆盖圆是以线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆是这个三角形的外接圆，直角三角形的最小覆盖圆是以斜边为直径的圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆，正方形的最小覆盖圆是以对角线为直径的圆． 【动手操作】 如图1，中，，请作出的最小覆盖圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） 【迁移运用】 正方形的边长为7，在边上截取，以为边向外作正方形． （1）如图2，连接，求的最小覆盖圆的直径； （2）将图2中的正方形绕点C逆时针旋转（如图3），经过A，D，F三点，且与边分别交于点I，L，求的最小覆盖圆的直径； （3）将正方形绕点C旋转，分别取的中点M，N，P，Q，顺次连接各中点，得到四边形（如图4）．在旋转过程中，四边形的最小覆盖圆的直径d的值是否发生变化？如果不变，请直接写出d的值；如果变化，请直接写出d的取值范围． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $