专题05 圆锥曲线及其标准方程6大题型（期末真题汇编，甘肃专用）高二数学上学期

专题05 圆锥曲线及其标准方程 6大高频考点概览 考点01 椭圆的定义及运用 考点02 椭圆的离心率 考点03 双曲线的定义与渐近线 考点04 双曲线的离心率 考点05 抛物线的定义及运用 考点06 圆锥曲线的标准方程 地 城 考点01 椭圆的定义及运用 1．(24-25高二上·甘肃定西八校·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为．过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长为（    ） A．4 B． C．8 D． 2．(24-25高二上·甘肃庆阳环县第一中学·期末)平面内点P到，的距离之和是8，则动点P的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·甘肃·期末)设分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，的周长为，且，则的面积为（   ） A．3 B． C．4 D． 4．(24-25高二上·甘肃定西岷县·期末)已知椭圆（）在左、右焦点分别为，，倾斜角为且过原点的直线交椭圆于，两点，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于点，，若，且，则（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高三上·江苏无锡澄宜六校·)已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，若C上存在一点P，使得，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．(19-20高二上·广东东莞·期末)我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆，，，，为顶点，，为焦点，P为椭圆上一点，下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有（    ） A． B． C．轴，且 D．四边形的内切圆过焦点， 8．(24-25高二上·广西河池十校协作体·)已知椭圆，上分别为它的左右焦点，点A，B分别为它的左右顶点，已知定点，点M是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（   ） A．存在4个点M，使得 B．直线与直线斜率乘积为定值 C．有最小值 D．的取值范围为 9．(24-25高三上·河北·调研)已知平面内点，，点为该平面内一动点，则（    ） A．，点的轨迹为椭圆 B．，点的轨迹为双曲线 C．，点的轨迹为抛物线 D．，点的轨迹为圆 10．已知椭圆的焦点分别为，，设直线l与椭圆C交于M，N两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．椭圆C的离心率为 C．直线l的方程为 D．的周长为 地 城 考点02 椭圆的离心率 11．(24-25高二上·甘肃庆阳华池县第一中学·期末)已知椭圆在左、右焦点分别为，，倾斜角为且过原点的直线交椭圆于，两点，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 12．(24-25高二上·甘肃兰州神州天立学院式高中·期末)设椭圆的左、右焦点分别为，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 13．椭圆的离心率为，则（    ） A． B． C． D．2 14．(23-24高二上·湖南岳阳平江县第一中学·月考)已知椭圆的左、右焦点分别为的上顶点为M，且，双曲线和椭圆有相同的焦点，P为与的一个公共点.若（O为坐标原点），则的离心率（    ） A． B． C． D． 15．(21-22高二下·江苏镇江丹阳高级中学·)已知是2与8的等比中项，则圆锥曲线的离心率等于（    ） A． B． C．或 D．或 16．(18-19高二上·广东湛江·期末)已知椭圆的右焦点为，过点作轴的垂线交椭圆于，两点，若，则椭圆的离心率等于（    ） A． B． C． D． 17．已知直线与椭圆C）交于A，B两点，线段AB的中点为，则C的离心率可能是（    ） A． B． C． D． 18．设椭圆的两焦点为，.若椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率e的取值范围为 . 地 城 考点03 双曲线的定义与渐近线 19．(24-25高二上·甘肃庆阳·期末)已知双曲线的右焦点为，点，点为双曲线左支上的动点，则的周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 20．(22-23高二上·山东青岛四区县·期末)若动点满足关系式，则点的轨迹是（    ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线一支 21．(21-22高二上·安徽芜湖华星学校·期末)已知双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线上一点，若的面积为，则（    ） A． B． C． D． 22．已知为双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为 . 23．(19-20高三上·浙江之江教育联盟·)若双曲线（，）的离心率为，则其渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 24．下列双曲线，焦点在轴上且渐近线方程为的是（    ） A． B． C． D． 25．(24-25高二上·甘肃白银·期末)下列双曲线，焦点在轴上且渐近线方程为的是（    ） A． B． C． D． 26．(23-24高二上·河南商丘第二高级中学·月考)（多选）已知动点在双曲线上运动，则下列结论正确的是（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为 C．焦点到渐近线的距离为1 D．动点到两渐近线的距离之积为定值 地 城 考点04 双曲线的离心率 27．(24-25高三上·吉林长春实验中学·期中)已知直线 是双曲线的一条渐近线，则 的离心率等于（    ） A． B． C． D． 28．(23-24高二上·广东部分名校·期末)已知双曲线的左､右焦点分别为.过的直线交双曲线右支于两点，且，则的离心率为（    ） A．2 B．3 C． D． 29．(24-25高二上·甘肃·期末)若双曲线的两条渐近线的夹角为，则其离心率为（   ） A． B． C．2或 D．2 30．(22-23高二下·湖南五十校教研教改共同体、三湘名校教育联盟、湖湘名校教育联合体·期末)如图，已知是双曲线的左､右焦点，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为（    ）    A． B． C． D． 31．(24-25高二上·甘肃临夏州高中·期末)临夏被誉为中国“彩陶之乡”，彩陶以造型独特，花纹别致而闻名于世.如图，一落地彩陶摆件外形为单叶旋转双曲面的形状，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.其横截面圆的最小半径为，底座和上口的半径均为，双曲线的离心率为，则该彩陶摆件的高为（    ） A． B． C． D． 32．(21-22高二上·江苏南通六校·期末)设点是双曲线上的一点，、分别是双曲线的左、右焦点，已知，且，则双曲线的离心率为 ． 33．(24-25高二上·甘肃定西岷县·期末)直线与双曲线（）相交于，两点，且，两点的横坐标之积，则双曲线的离心率为 . 34．(24-25高二上·甘肃甘南州卓尼县柳林中学·期末)双曲线的光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线一部分，如图所示，是它的一条对称轴，F是它的左焦点，光线从焦点F发出，经过镜面上点P，反射光线为，若，，则该双曲线的离心率为 . 地 城 考点05 抛物线的定义及运用 35．(24-25高二上·甘肃庆阳·期末)已知抛物线C：（）的焦点为F，M是y轴上一点，线段的延长线交C于点N，若，则（   ） A．2 B． C． D．4 36．(22-23高三·四川广安·)过抛物线的焦点F且倾斜角为锐角的直线与C交于两点A，B（横坐标分别为，，点A在第一象限），为C的准线，过点A与垂直的直线与相交于点M．若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 37．已知抛物线：的焦点为,是C上一点，，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 38．(24-25高二上·甘肃甘南州卓尼县柳林中学·期末)设为抛物线的焦点，若上的点到焦点的距离为2，则的准线方程为（   ） A． B． C． D． 39．(24-25高二上·甘肃临夏州高中·期末)已知抛物线，点是抛物线的焦点，点是抛物线上的一点，为坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的准线方程为 B．抛物线的焦点到准线的距离为 C．若，则的面积为 D．若，点在轴上，则 40．(18-19高二上·山东德州·期末)抛物线y2＝4x的焦点为F，点A(2，1)，M为抛物线上一点，且M不在直线AF上，则△MAF周长的最小值为 ． 41．已知曲线：，焦点是F，P是抛物线上任意一点，则点P到焦点F和到点的距离之和的最小值是 . 42．(24-25高三上·四川雅安等8·)已知为坐标原点，是抛物线：的焦点，，是上位于轴异侧的两点，且，，则的面积为 . 地 城 考点06 圆锥曲线的标准方程 43．(24-25高二上·甘肃兰州神州天立学院式高中·期末)已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足（若在轴上，即为），则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 44．(24-25高二上·安徽合肥一六八中学·期中)若椭圆的左焦点的坐标为，则的值为（   ） A．1 B．1或5 C．5 D．3或5 45．(24-25高二上·甘肃临夏州高中·期末)已知曲线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则曲线是椭圆 B．若，则曲线是双曲线 C．若，则曲线是椭圆，其焦点在轴上 D．若，则曲线是两条平行于轴的直线 46．(23-24高二上·宁夏银川四校·)已知曲线C的方程为，则下列说法正确的是（    ） A．存在实数，使得曲线为圆 B．若曲线C为椭圆，则 C．若曲线C为焦点在x轴上的双曲线，则 D．当曲线C是椭圆时，曲线C的焦距为定值 47．(23-24高二上·安徽阜阳第三中学·月考)已知曲线表示双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 48．(22-23高二下·陕西安康·期末)如图，这是一个落地青花瓷，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线C：的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为8，瓶高等于双曲线C的虚轴长，则该花瓶的瓶口直径为（    ）    A． B．24 C．32 D． 49．(23-24高二上·四川眉山仁寿第一中学校南校区·月考)抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 50．(24-25高二上·甘肃庆阳环县第一中学·期末)鱼腹式吊车梁中间截面大，逐步向梁的两端减小，形状像鱼腹，如图，鱼腹式吊车梁的鱼腹部分AOB是抛物线的一部分，其宽为8m，高为0.8m，根据图中的坐标系，该抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 51．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 52．(24-25高二上·辽宁辽阳·期末)已知为抛物线的焦点，为抛物线上一点．若，则点的坐标为 ，点的横坐标为 ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆锥曲线及其标准方程 6大高频考点概览 考点01 椭圆的定义及运用 考点02 椭圆的离心率 考点03 双曲线的定义与渐近线 考点04 双曲线的离心率 考点05 抛物线的定义及运用 考点06 圆锥曲线的标准方程 地 城 考点01 椭圆的定义及运用 1．(24-25高二上·甘肃定西八校·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为．过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长为（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】结合垂直平分线性质可得的周长与的周长相等，再结合椭圆的定义求的周长即可. 【详解】因为为线段的垂直平分线， 根据对称性，，， 所以的周长等于的周长， 利用椭圆的定义得到的周长为 ． 故选：C. 2．(24-25高二上·甘肃庆阳环县第一中学·期末)平面内点P到，的距离之和是8，则动点P的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义，求得，从而得解. 【详解】由题意，平面内点P到，的距离之和是8， 所以动点的轨迹为椭圆，焦点在轴上，且，即， 所以， 所以动点P的轨迹方程为. 故选：D. 3．(24-25高二上·甘肃·期末)设分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，的周长为，且，则的面积为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的性质得到，结合求得，由余弦定理求的值，得到三角形面积. 【详解】由椭圆的性质可得， 又∵，∴，又，所以，，由余弦定理可得，即， ∴，C选项正确； 故选：C 4．(24-25高二上·甘肃定西岷县·期末)已知椭圆（）在左、右焦点分别为，，倾斜角为且过原点的直线交椭圆于，两点，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对角线互相平分得四边形为矩形，利用倾斜角为可得为等边三角形，结合椭圆的定义和余弦定理可得，化简即可得离心率. 【详解】 如图所示，因为，且分别为和的中点， 所以四边形为矩形，又因为直线过原点且倾斜角为，即，， 所以为等边三角形，所以， 在中，可得，即， 所以，可得， 所以椭圆的离心率为. 故选：B. 5．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于点，，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量关系得到，根据椭圆的定义及线段间的关系求出、、，解法一，再利用三角知识求出的值，进而求得的值；解法二，再利用二级结论求出的值，进而求的值. 【详解】如图，由，得． 设，则，，由， 得，． 解法一， ，由，得， 整理得，得，（，舍去） 所以； 解法二， 如下图，直线过椭圆的右焦点， 交椭圆于点，， 椭圆的右准线方程为，根据椭圆的第二定义， 即有，， 设与轴的夹角为，则有， 于是有， 可得 ， ，可得， 同理可得，所以. 根据椭圆的焦半径倒数和公式得， 即， 整理得，得，（ ，舍去） 所以. 故选：A． 【点睛】方法点睛：与圆锥曲线焦点三角形有关的问题，常利用圆锥曲线的定义及余弦定理求解，有时需要在两个三角形中分别使用余弦定理建立关系式，求解此类问题要重视整体思想的应用，尽量减少不必要的计算． 6．(24-25高三上·江苏无锡澄宜六校·)已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，若C上存在一点P，使得，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆定义，结合椭圆的性质即可求解. 【详解】根据椭圆定义可得，又，故， 因此，故，故， 故选：D 7．(19-20高二上·广东东莞·期末)我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆，，，，为顶点，，为焦点，P为椭圆上一点，下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有（    ） A． B． C．轴，且 D．四边形的内切圆过焦点， 【答案】BD 【分析】理解“黄金椭圆”的定义，利用椭圆的定义与性质，分析各个选项，求得对应的椭圆的离心率即可得解. 【详解】对于A，因为，所以，则或（舍去）， 解得，故A错误； 对于B，若，则由射影定理可得：， 即，所以，即， 又，解得，故B正确； 对于C，因为轴，不妨设，而， 又，则斜率相等，所以，即， 所以，故C错误； 对于D，因为四边形为菱形， 则四边形的内切圆的圆心为原点， 由圆的对称性可知，圆心到直线的距离等于， 因为，所以内切圆的半径为， 所以，又， 整理得：，， 又，解得，即，故D正确. 故选：BD. 【点睛】方法点晴：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解，但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 8．(24-25高二上·广西河池十校协作体·)已知椭圆，上分别为它的左右焦点，点A，B分别为它的左右顶点，已知定点，点M是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（   ） A．存在4个点M，使得 B．直线与直线斜率乘积为定值 C．有最小值 D．的取值范围为 【答案】AD 【分析】A选项，由为圆心为直径的圆与椭圆的交点个数判断；B选项，由满足椭圆方程，代入直线与直线斜率乘积的算式中化简即可；C选项，利用椭圆定义结合基本不等式求最小值；D选项，利用数形结合和椭圆定义，求的最值，得取值范围. 【详解】对于A中，由椭圆，可得， 由，以为圆心，为直径的圆，与椭圆C有4个交点， 所以存在4个点M，使得，A选项正确； 对于B中，设，则，且，可得， 则为定值，所以B选项错误． 对于C中，由椭圆的定义，可得， 则 ， 当且仅当时，即时等号成立，所以C选项错误． 对于D中，由点N在椭圆外，设直线与椭圆相交于， 如图所示，则， 因为，且， 可知，即，当与重合时，等号成立， 所以， 所以，所以D选项正确. 故选：AD． 9．(24-25高三上·河北·调研)已知平面内点，，点为该平面内一动点，则（    ） A．，点的轨迹为椭圆 B．，点的轨迹为双曲线 C．，点的轨迹为抛物线 D．，点的轨迹为圆 【答案】AD 【分析】利用椭圆的定义判断A；利用双曲线的定义判断B；求得轨迹与轴的交点判断C；求得轨迹方程判断D. 【详解】因为平面内点，，所以， 又，所以由椭圆的定义知点的轨迹为椭圆，故A正确； 线段的长度与线段的长度的差为，则点的轨迹应为双曲线靠近点的一支，故B错误； 设点，由得， 整理得，即， 当时，，得或， 故曲线与轴有三个交点，轨迹不为抛物线，故C错误； 由，得， 整理得 ， 即轨迹是以为圆心，为半径的圆，故D正确. 故选：AD. 10．已知椭圆的焦点分别为，，设直线l与椭圆C交于M，N两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．椭圆C的离心率为 C．直线l的方程为 D．的周长为 【答案】AC 【分析】先由题意求出即可判断A；再根据离心率公式即可判断B；由点差法可以求出直线l的斜率，由直线的点斜式化简即可判断C；由焦点三角形的周长公式即可判断D. 【详解】如图所示：    根据题意，因为焦点在y轴上，所以，则，故选项A正确； 椭圆C的离心率为，故选项B不正确； 不妨设，则，， 两式相减得，变形得， 又注意到点为线段的中点，所以， 所以直线l的斜率为， 所以直线l的方程为，即，故选项C正确； 因为直线l过，所以的周长为，故选项D不正确. 故选：AC． 地 城 考点02 椭圆的离心率 11．(24-25高二上·甘肃庆阳华池县第一中学·期末)已知椭圆在左、右焦点分别为，，倾斜角为且过原点的直线交椭圆于，两点，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得四边形为矩形，进而由倾斜角可得为等边三角形，根据几何关系可得，进而可得. 【详解】如图所示，因为，且分别为和的中点， 所以四边形为矩形. 又因为直线过原点且倾斜角为60°，即，， 所以为等边三角形，所以， 在中，可得，即， 所以，可得， 所以椭圆的离心率为.    12．(24-25高二上·甘肃兰州神州天立学院式高中·期末)设椭圆的左、右焦点分别为，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据是底角为的等腰三角形，结合在直线上，把用表示出来后可求得离心率． 【详解】因为椭圆的左、右焦点分别为， 为直线上一点，是底角为的等腰三角形， 所以，，如图，， 则，， 所以， 所以，∴，∴． 故选：D． 13．椭圆的离心率为，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由椭圆的离心率公式即可求解. 【详解】由题意得，解得， 故选：A. 14．(23-24高二上·湖南岳阳平江县第一中学·月考)已知椭圆的左、右焦点分别为的上顶点为M，且，双曲线和椭圆有相同的焦点，P为与的一个公共点.若（O为坐标原点），则的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由椭圆离心率公式求得，再利用椭圆和双曲线的定义，结合勾股定理得到，从而得解. 【详解】依题意，设焦距为，椭圆的长轴长为，短轴长为，离心率为， 双曲线的长轴长为，短轴长为，离心率为， 因为，则在中，， 根据对称性，不妨设椭圆与双曲线的交点在第二象限， 因为，所以，则， 由双曲线的定义知：，由椭圆的定义知：， 则，则， 则，则，又，解得. 所以的离心率. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用共焦点的椭圆与双曲线的定义，推得两个离心率之间的关系，从而得解. 15．(21-22高二下·江苏镇江丹阳高级中学·)已知是2与8的等比中项，则圆锥曲线的离心率等于（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由等比中项定义求得，根据的取值确定曲线是椭圆还是双曲线，然后计算离心率． 【详解】由已知，， 当时，方程为，曲线为椭圆， ，，离心率为； 当时，方程为，曲线为双曲线，，，离心率为． 故选：C． 16．(18-19高二上·广东湛江·期末)已知椭圆的右焦点为，过点作轴的垂线交椭圆于，两点，若，则椭圆的离心率等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可得是等腰直角三角形，结合椭圆的几何性质列出方程，可求解椭圆的离心率． 【详解】椭圆的右焦点为，过作轴的垂线交椭圆于，两点， 由， 若，则是等腰直角三角形为坐标原点）， 可得，即，可得且， 解得． 故选：A． 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，考查了椭圆的几何性质，同时考查了垂直关系的向量表示，是基本知识的考查． 17．已知直线与椭圆C）交于A，B两点，线段AB的中点为，则C的离心率可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】设出，，代入椭圆方程，相减后得到，结合及直线斜率为，，求出离心率范围，得到答案. 【详解】设，，则， 从而，故， 由题意可得， 故，又因为， 则，从而， 因为，所以， 椭圆C的离心率， 所以椭圆离心率范围为， 故与满足要求. 故选：BD 18．设椭圆的两焦点为，.若椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率e的取值范围为 . 【答案】 【分析】设，，根据椭圆性质和余弦定理得到，利用均值不等式得到，解得答案. 【详解】设，，则，， 即， ，即，当且仅当时等号成立， 故，即，. 故答案为： 地 城 考点03 双曲线的定义与渐近线 19．(24-25高二上·甘肃庆阳·期末)已知双曲线的右焦点为，点，点为双曲线左支上的动点，则的周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的焦点坐标求出的值，设双曲线的左焦点为，利用双曲线的定义得出，利用当为线段与双曲线的交点时，的周长取最小值，求解即可. 【详解】因为双曲线的右焦点为，则， 且，可得，则，，， 所以，双曲线的标准方程为，如下图所示： 双曲线的左焦点为，且， 同理可得， 由双曲线的定义可得，所以，， 所以，的周长为， 当且仅当为线段与双曲线的交点时，等号成立， 所以，周长的最小值为. 故选：A. 20．(22-23高二上·山东青岛四区县·期末)若动点满足关系式，则点的轨迹是（    ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线一支 【答案】D 【分析】设，.由已知可得，根据双曲线的定义即可得出答案. 【详解】设，，则. 则由已知可得，，所以点的轨迹是双曲线的左支. 故选：D. 21．(21-22高二上·安徽芜湖华星学校·期末)已知双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线上一点，若的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不妨设在右支上，则，利用余弦定理及面积公式得到，从而得解. 【详解】双曲线，则、，所以，不妨设在右支上， 则，， 由余弦定理， 即， 又， ， 所以，即， 所以，又，所以， 则. 故选：C 22．已知为双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为 . 【答案】9 【分析】先由已知条件可知双曲线的两个焦点为两个圆的圆心,再利用平面几何知识把转化为双曲线上的点到两焦点之间的距离,结合双曲线的定义即可求的最大值. 【详解】 ， ，，则 故双曲线的两个焦点为，， ，也分别是两个圆的圆心，半径分别为， 所以， 则 ， 故答案为：9 23．(19-20高三上·浙江之江教育联盟·)若双曲线（，）的离心率为，则其渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由双曲线的离心率为,即可求得渐近线方程. 【详解】由题,因为,所以, 所以渐近线方程为, 故选:B 【点睛】本题考查求双曲线的渐近线方程,考查双曲线的离心率的应用. 24．下列双曲线，焦点在轴上且渐近线方程为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据各项双曲线方程确定焦点位置并写出渐近线方程，即可得答案. 【详解】由、的焦点在轴上，A、B错； 由的焦点在轴上且渐近线方程为，C对； 由的焦点在轴上且渐近线方程为，D错. 故选：C 25．(24-25高二上·甘肃白银·期末)下列双曲线，焦点在轴上且渐近线方程为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线方程判断焦点位置，并确定渐近线方程，即可判断各项正误. 【详解】由、的焦点都在轴上，A、B不符； 由、的焦点都在轴上，且渐近线分别为、，C符合，D不符. 故选：C 26．(23-24高二上·河南商丘第二高级中学·月考)（多选）已知动点在双曲线上运动，则下列结论正确的是（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为 C．焦点到渐近线的距离为1 D．动点到两渐近线的距离之积为定值 【答案】AD 【分析】根据双曲线的离心率、渐近线等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】双曲线，对应， 所以双曲线的离心率为，A选项正确. 渐近线方程为，B选项错误. 左右焦点坐标为，到渐近线的距离为： ，所以C选项错误. 设， 到渐近线的距离之积为为定值，D选项正确. 故选：AD 地 城 考点04 双曲线的离心率 27．(24-25高三上·吉林长春实验中学·期中)已知直线 是双曲线的一条渐近线，则 的离心率等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据渐近线方程可得，即可根据离心率根式求解. 【详解】的渐近线方程为，故，故， 故离心率为， 故选：B 28．(23-24高二上·广东部分名校·期末)已知双曲线的左､右焦点分别为.过的直线交双曲线右支于两点，且，则的离心率为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】设，根据双曲线定义和线段之间的倍数关系求出，，由余弦定理求出，进而得到，得到答案. 【详解】由已知可设，则， 故， 由双曲线的定义有，故，， 故， 在中，由余弦定理得 . 在中，由余弦定理得， 即， 解得， 即，故的离心率为2. 故选：A 29．(24-25高二上·甘肃·期末)若双曲线的两条渐近线的夹角为，则其离心率为（   ） A． B． C．2或 D．2 【答案】C 【分析】根据渐近线的夹角可得的值，从而可求离心率. 【详解】由题设可得渐近线的方程为， 因为两条渐近线的夹角为，故直线的倾斜角为或， 故或，故或， 故选：C. 30．(22-23高二下·湖南五十校教研教改共同体、三湘名校教育联盟、湖湘名校教育联合体·期末)如图，已知是双曲线的左､右焦点，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义和性质分析可得，进而可得，结合勾股定理运算求解. 【详解】延长与双曲线交于点， 因为，根据对称性可知， 设，则， 可得，即， 所以，则，， 即，可知， 在中，由勾股定理得， 即，解得. 故选：D.    【点睛】方法点睛：1．双曲线离心率(离心率范围)的求法 求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值； 2．焦点三角形的作用 在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来． 31．(24-25高二上·甘肃临夏州高中·期末)临夏被誉为中国“彩陶之乡”，彩陶以造型独特，花纹别致而闻名于世.如图，一落地彩陶摆件外形为单叶旋转双曲面的形状，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.其横截面圆的最小半径为，底座和上口的半径均为，双曲线的离心率为，则该彩陶摆件的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据横截面圆的最小半径得到的值，再根据离心率以及之间的关系得到双曲线的标准方程，最后将代入即可求得结果. 【详解】因为彩陶摆件横截面圆的最小半径为，所以，则， 又双曲线的离心率为，所以，即，则， 所以，可得双曲线的方程为， 将代入可得，所以该彩陶摆件的高为， 故选：D. 32．(21-22高二上·江苏南通六校·期末)设点是双曲线上的一点，、分别是双曲线的左、右焦点，已知，且，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】由双曲线的定义可求得、，利用勾股定理可得出关于、的齐次等式，进而可求得该双曲线的离心率. 【详解】由双曲线的定义可得，故， 由勾股定理可得，即，可得， 因此，该双曲线的离心率为. 故答案为：. 33．(24-25高二上·甘肃定西岷县·期末)直线与双曲线（）相交于，两点，且，两点的横坐标之积，则双曲线的离心率为 . 【答案】/ 【分析】设（），由对称性可知，由，两点的横坐标之积为解得点坐标，代入双曲线的方程，求得，进而求离心率即可. 【详解】由，两点在直线上，设（），由对称性可知， ，两点关于原点对称，所以， 由，两点的横坐标之积为，得，解得， 所以，代入双曲线方程得，解得， 所以， 所以离心率为. 故答案为：. 34．(24-25高二上·甘肃甘南州卓尼县柳林中学·期末)双曲线的光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线一部分，如图所示，是它的一条对称轴，F是它的左焦点，光线从焦点F发出，经过镜面上点P，反射光线为，若，，则该双曲线的离心率为 . 【答案】/ 【分析】设双曲线的右焦点为，依题意可得、、三点共线，根据双曲线的定义计算可得. 【详解】设双曲线的右焦点为，依题意可得、、三点共线， 因为，，所以， 所以为等腰直角三角形， 所以， 由，即 所以. 故答案为： 地 城 考点05 抛物线的定义及运用 35．(24-25高二上·甘肃庆阳·期末)已知抛物线C：（）的焦点为F，M是y轴上一点，线段的延长线交C于点N，若，则（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】A 【分析】作于D点，交y轴于A点，分析之间的关系，结合抛物线定义即可求解． 【详解】记抛物线的准线为， 如图，作于D点，交y轴于A点，则， 因为，所以为的中点， 所以， ，解得． 故选：A． 36．(22-23高三·四川广安·)过抛物线的焦点F且倾斜角为锐角的直线与C交于两点A，B（横坐标分别为，，点A在第一象限），为C的准线，过点A与垂直的直线与相交于点M．若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】由已知可求得直线的斜率为，则直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，可求出，，即可解得结果. 【详解】设直线的斜率为，倾斜角为，. 由抛物线的定义知，，又，所以为等边三角形，且轴，所以，则. ，则直线的方程为， 联立直线的方程与抛物线的方程，可得， 解得，，显然，所以，， 所以，. 故选：C. 37．已知抛物线：的焦点为,是C上一点，，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】解方程即得解. 【详解】解：由题得抛物线的准线方程为，则有，即有，解得． 故选：A 38．(24-25高二上·甘肃甘南州卓尼县柳林中学·期末)设为抛物线的焦点，若上的点到焦点的距离为2，则的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先表示出抛物线的准线方程，再根据抛物线的定义计算可得. 【详解】抛物线的准线为， 因为上的点到焦点的距离为2， 所以，解得， 所以的准线方程为. 故选：A 39．(24-25高二上·甘肃临夏州高中·期末)已知抛物线，点是抛物线的焦点，点是抛物线上的一点，为坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的准线方程为 B．抛物线的焦点到准线的距离为 C．若，则的面积为 D．若，点在轴上，则 【答案】ACD 【分析】根据抛物线的方程可得到焦点坐标以及准线方程，即可判断A，根据焦点到准线的距离为可求得B，根据抛物线的定义可求得点的横坐标，即可得到纵坐标，即可求得C，根据抛物线的定义以及中位线定理可求得D. 【详解】已知抛物线，求得， 则焦点坐标为，准线方程为，故选项A正确； 对于B，抛物线的焦点到准线的距离为，故B错误； 对于C，若，则到准线的距离为， 所以即为点的横坐标，如图所示： 根据，解得， 所以，故C正确； 对于D，，点在轴上，如图所示： 根据抛物线的定义可得，则， 即点是的中点，所以， 则，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题考查了抛物线的定义与性质，对于抛物线中三角形的面积，得到三角形的高是点的纵坐标是关键. 40．(18-19高二上·山东德州·期末)抛物线y2＝4x的焦点为F，点A(2，1)，M为抛物线上一点，且M不在直线AF上，则△MAF周长的最小值为 ． 【答案】3＋ 【分析】过M作MN垂直于抛物线的准线l，由抛物线的定义得到MF|＋|AM|＝|AM|＋|MN|，然后由A、M、N三点共线时求解. 【详解】如图所示， 过M作MN垂直于抛物线的准线l，垂足为N．易知F(1，0)， 因为△MAF的周长为|AF|＋|MF|＋|AM|， |AF|＝，|MF|＋|AM|＝|AM|＋|MN|， 所以当A、M、N三点共线时，△MAF的周长最小， 最小值为2＋1＋． 故答案为：3＋ 41．已知曲线：，焦点是F，P是抛物线上任意一点，则点P到焦点F和到点的距离之和的最小值是 . 【答案】4 【分析】求出焦点坐标，数形结合求出最值. 【详解】，焦点坐标为 由题意得：. 故点到焦点和到点的距离之和的最小值是4. 故答案为：4 42．(24-25高三上·四川雅安等8·)已知为坐标原点，是抛物线：的焦点，，是上位于轴异侧的两点，且，，则的面积为 . 【答案】/ 【分析】利用焦半径公式算出的坐标，计算直线的方程，进而证明出三点共线，最后利用计算即可. 【详解】由题意即可知：，不妨设点，且点在第一象限， 则，， 故， 所以直线的方程为：， 令得，即三点共线， 所以. 故答案为：或. 地 城 考点06 圆锥曲线的标准方程 43．(24-25高二上·甘肃兰州神州天立学院式高中·期末)已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足（若在轴上，即为），则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用相关点法求动点轨迹方程. 【详解】由题意，设，，则， 因是线段的中点， 又因为点在曲线上，即， 故，即. 故选：A 44．(24-25高二上·安徽合肥一六八中学·期中)若椭圆的左焦点的坐标为，则的值为（   ） A．1 B．1或5 C．5 D．3或5 【答案】C 【分析】根据焦点位置确定，利用关系即可求出结果. 【详解】根据左焦点的坐标为，可得，且焦点在轴上， 结合椭圆标准方程可得，故. 故选：C. 45．(24-25高二上·甘肃临夏州高中·期末)已知曲线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则曲线是椭圆 B．若，则曲线是双曲线 C．若，则曲线是椭圆，其焦点在轴上 D．若，则曲线是两条平行于轴的直线 【答案】BCD 【分析】对于A，举例判断，对于B，由双曲线的标准方程分析判断；对于C，将代入结合椭圆的标准方程判断；对于D，将代入化简变形判断. 【详解】对于A，若，则曲线表示圆，故A错误； 对于B，若，则曲线表示双曲线，B正确； 对于C，若，则可化为， 此时曲线表示焦点在轴上的椭圆，故C正确； 对于D，若，则可化为， 此时曲线表示两条平行于轴的直线，故D正确． 故选：BCD 46．(23-24高二上·宁夏银川四校·)已知曲线C的方程为，则下列说法正确的是（    ） A．存在实数，使得曲线为圆 B．若曲线C为椭圆，则 C．若曲线C为焦点在x轴上的双曲线，则 D．当曲线C是椭圆时，曲线C的焦距为定值 【答案】AC 【分析】按圆和圆锥曲线的标准方程逐项判断即可. 【详解】A正确：曲线C为圆即 ； B错误：C为椭圆 C正确：C为焦点在x轴上的双曲线， D错误：C是椭圆，此时焦距，不是定值. 故选：AC 47．(23-24高二上·安徽阜阳第三中学·月考)已知曲线表示双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线方程的性质令可得； 【详解】由题意知，，解得，所以实数的取值范围是． 故选：A． 48．(22-23高二下·陕西安康·期末)如图，这是一个落地青花瓷，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线C：的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为8，瓶高等于双曲线C的虚轴长，则该花瓶的瓶口直径为（    ）    A． B．24 C．32 D． 【答案】D 【分析】求出，设出，代入双曲线方程，求出，得到直径. 【详解】因为该花瓶横截面圆的最小直径为8，所以. 设M是双曲线C与瓶口截面的一个交点，该花瓶的瓶口半径为r，则，      所以，解得，故该花瓶的瓶口直径为. 故选：D 49．(23-24高二上·四川眉山仁寿第一中学校南校区·月考)抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将抛物线的方程化为标准方程，即可求准线方程. 【详解】抛物线方程化成标准方程为：， 所以，且抛物线开口向上， 所以抛物线准线为：. 故选：B. 50．(24-25高二上·甘肃庆阳环县第一中学·期末)鱼腹式吊车梁中间截面大，逐步向梁的两端减小，形状像鱼腹，如图，鱼腹式吊车梁的鱼腹部分AOB是抛物线的一部分，其宽为8m，高为0.8m，根据图中的坐标系，该抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，设出抛物线方程，利用待定系数法求出抛物线方程. 【详解】依题意，设该抛物线的方程为， 由点在此抛物线上，得，解得， 所以该抛物线的方程为. 故选：C 51．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案. 【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得. 故选：C. 【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题. 52．(24-25高二上·辽宁辽阳·期末)已知为抛物线的焦点，为抛物线上一点．若，则点的坐标为 ，点的横坐标为 ． 【答案】 9 【分析】由抛物线的几何性质可得焦点坐标，由焦半径公式可求的横坐标. 【详解】由题意得抛物线的焦点为．设，因为，所以． 故答案为：；. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $