专题04 圆及其方程5大题型（期末真题汇编，甘肃专用）高二数学上学期

专题04 圆及其方程 5大高频考点概览 考点01 圆的一般方程与标准方程 考点02 直线与圆的位置关系 考点03 圆的切线及切线长 考点04 圆的弦长与弦心距 考点05 圆与圆的位置关系 地 城 考点01 圆的一般方程与标准方程 1．(21-22高二上·四川广安代中学校·月考)圆C：x2＋y2－4x＋2y－4＝0的，圆心坐标和半径分别是（   ） A．（－2，1），9 B．（－2，1），3 C．（2，－1），9 D．（2，－1），3 2．(24-25高二上·辽宁辽阳·期末)已知，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·山东青岛第二中学·期中)已知直线与轴和轴分别交于，两点，且，动点满足，则当，变化时，点到点的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·甘肃白银靖远县第四中学·期末)设曲线关于直线对称的曲线为，曲线的焦点为，则下列关于曲线的说法正确的是（    ） A．曲线的方程为 B．以曲线的焦点为圆心，且过其顶点的圆的方程为 C．若直线与曲线恰有一个公共点，则 D．从曲线上一点向准线作垂线，垂足为，若，则的面积为 5．(21-22高二上·江苏无锡·期末)关于曲线：，下列说法正确的是（    ） A．曲线围成图形的面积为 B．曲线所表示的图形有且仅有条对称轴 C．曲线所表示的图形是中心对称图形 D．曲线是以为圆心，为半径的圆 6．(24-25高二上·甘肃甘南州卓尼县柳林中学·期末)若的顶点，的坐标分别是，，顶点在圆上运动，则的重心的轨迹方程为 . 7．(24-25高二上·甘肃临夏州高中·期末)已知圆过三点，则圆的标准方程为 .过圆上的一点的圆的切线方程为 （填一般式方程）. 8．(21-22高二·课时2.4.2圆的方程（02）圆的一般方程-·)已知直线l1经过点A(－3，0)，B(3，2)，直线l2经过点B，且l1⊥l2. （1）分别求直线l1，l2的方程； （2）设直线l2与直线y=8x的交点为C，求△ABC的外接圆的标准方程. 9．已知圆的方程，从0，3，4，5，6，7，8，9，10这九个数中选出3个不同的数，分别作圆心的横坐标、纵坐标和圆的半径．问： （1）可以作多少个不同的圆？ （2）经过原点的圆有多少个？ （3）圆心在直线上的圆有多少个？ 地 城 考点02 直线与圆的位置关系 10．已知圆：与抛物线的准线相切，则（    ） A． B． C．2 D．8 11．(18-19高二上·安徽宿州十三所重点中学·期中)已知为圆C:上任意一点，则的最大值为（   ） A．2 B． C． D．0 12．(24-25高二上·甘肃·期末)已知点为圆上两点，若，且，则（   ） A．1 B． C． D． 13．(24-25高二上·甘肃定西八校·期末)已知圆，直线，下列结论正确的是（    ） A．若直线与圆相切，则 B．若，则圆上到直线的距离为的点恰有2个 C．若圆上存在点，直线上存在点，使得，则的取值范围为 D．已知，，为圆上异于的一点，若，则的最大值为 14．(23-24高二上·吉林普通高中G6教考联盟·期末)已知圆：，直线：（），则（    ） A．直线l恒过定点 B．当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 C．直线与圆有两个交点 D．圆与圆恰有三条公切线 15．已知直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 ． 16．(24-25高二上·山西运城·期中)在平面直角坐标系中，直线与的交点是圆C的圆心，直线与圆C相切． (1)求圆C的标准方程； (2)若过点的直线l与圆C有且只有一个公共点，求直线l的方程． 17．(16-17高二下·湖北宜昌七校教学协作体·期末)已知直线圆：. (1)求直线与圆的交点的坐标； (2)求的面积. 18．(24-25高二上·甘肃·期末)已知圆，圆． (1)若两圆公共弦所在直线的方程为，求的值； (2)若圆与直线相交于两点，且，求的值． 地 城 考点03 圆的切线及切线长 19．(23-24高二上·北京铁路第二中学·期中)过点作圆的切线，切点为，则切线段长为（    ） A． B．3 C． D． 20．(22-23高二上·湖南岳阳教研联盟·期中)经过向圆作切线，切线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 21．(23-24高二上·江苏南通崇川区、通州区·期中)已知点P在圆C：上，直线l：与x轴、y轴分别交于A，B两点，则（    ） A．点P到直线l的距离大于1 B．点P到直线l的距离小于7 C．当∠PAB最大时， D．以BC为直径的圆与圆C的公共弦所在直线的方程为 22．(23-24高二上·福建南平南平一中·月考)已知点在圆上，点，当最大时，则线段的长度为 ． 23．(24-25高二上·甘肃酒泉·期末)已知直线过点. (1)若直线与直线垂直，求的方程； (2)若直线在两坐标轴上的截距之和为零，求直线的方程； (3)若直线与圆相切，求的方程. 24．(24-25高二上·甘肃·期末)如图，圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为． （1）若，求切线所在直线方程； （2）求的最小值； （3）若两条切线与轴分别交于两点，求的最小值． 地 城 考点04 圆的弦长与弦心距 25．(24-25高二上·甘肃白银靖远县第四中学·期末)已知双曲线的离心率为，直线过双曲线的右焦点且与双曲线交于两点，双曲线的左焦点满足，则直线被圆所截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 26．(24-25高二上·甘肃临夏州高中·期末)已知圆的方程为，过点的2025条弦长组成一个等差数列，且过点的最短弦长和最长弦长分别为，则（    ） A．5 B．6 C．9 D．10 27．(24-25高二上·甘肃甘南州卓尼县柳林中学·期末)对于直线：与圆：，下列说法正确的是（   ） A．过定点 B．的半径为9 C．与相交 D．被截得的弦长最小值为 28．(22-23高二下·山东济南·期末)已知直线与圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线l恒过定点 B．圆M的圆心坐标为 C．存在实数k，使得直线l与圆M相切 D．若，直线l被圆M截得的弦长为2 29．已知圆，直线，直线被圆截得的弦长最短时，的方程为 . 30．(23-24高二上·广东佛山顺德区勒流中学、均安中学、龙江中学等十五校·)已知直线与圆相交于两点，则 . 31．(24-25高二上·甘肃白银靖远县第四中学·期末)双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线与双曲线交于第一象限内的点，若轴被以为直径的圆所截得的弦长为2，求该圆的方程． 32．(24-25高二上·安徽蚌埠固镇县毛钽厂实验中学·月考)已知圆，直线． (1)求证：直线恒过定点； (2)当时，求直线被圆截得的弦长． 33．(23-24高二上·陕西西安西北工业大学附属中学·期中)已知圆：，直线：. (1)证明：直线恒过定点，且直线与圆恒交于两点； (2)求直线被圆截得的弦长最小时的方程. 34．(22-23高二上·福建厦门双十中学·期中)已知圆O：与x轴交于A，B两点，动点P与点A的距离是它与点B距离的倍． (1)求点P的轨迹方程； (2)过点B作倾斜角为45°直线l交点P的轨迹于M，N两点，求弦长． 地 城 考点05 圆与圆的位置关系 35．(24-25高二上·甘肃庆阳·期末)圆与圆的公切线的条数为（   ） A． B． C． D． 36．(21-22高二上·四川资阳·期末)已知圆，圆相交于P，Q两点，其中，分别为圆和圆的圆心.则四边形的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D． 37．(24-25高二上·甘肃多校·期末)已知圆与圆内切，则（   ） A． B．±2 C． D． 38．(24-25高二上·湖北云学部分重点高中·)在平面直角坐标系中，若点到直线l的距离为1，点到直线l的距离为3，则这样的直线l有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 39．(24-25高二上·甘肃临夏州高中·期末)圆与圆相交，则公共弦长为（    ） A． B． C． D． 40．(23-24高二上·吉林白山·期末)已知圆与圆相交于两点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 41．(20-21高三上·湖北襄阳部分优质高中·)设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆M与圆O： 交于，两点，若，则下列选项正确的是（    ） A．曲线的离心率为 B．圆心到双曲线的渐近线的距离为 C．所在直线方程为 D．直线被双曲线的渐近线截得的线段长为 42．(23-24高二上·河南驻马店环际大联考“逐梦计划”·)已知圆则下列说话正确的是（    ） A．圆与直线必有两个交点 B．圆上存在4个点到直线的距离都等于1 C．圆与圆恰有三条公切线，则 D．动点在圆上，则 43．(24-25高二上·甘肃酒泉·期末)圆与圆相交于A、B两点，则两圆公共弦AB所在直线的方程为 . 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆及其方程 5大高频考点概览 考点01 圆的一般方程与标准方程 考点02 直线与圆的位置关系 考点03 圆的切线及切线长 考点04 圆的弦长与弦心距 考点05 圆与圆的位置关系 地 城 考点01 圆的一般方程与标准方程 1．(21-22高二上·四川广安代中学校·月考)圆C：x2＋y2－4x＋2y－4＝0的，圆心坐标和半径分别是（   ） A．（－2，1），9 B．（－2，1），3 C．（2，－1），9 D．（2，－1），3 【答案】D 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，可求出其圆心和半径 【详解】由，得， 所以圆的圆心，半径为3， 故选：D 2．(24-25高二上·辽宁辽阳·期末)已知，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合两点间距离公式运算求解即可. 【详解】因为，即， 则，整理可得． 故选：C. 3．(24-25高二上·山东青岛第二中学·期中)已知直线与轴和轴分别交于，两点，且，动点满足，则当，变化时，点到点的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得，两点坐标，根据得到，再结合可得到轨迹为动圆，求得该动圆圆心的方程，即可求得答案. 【详解】由，得， 由，得， 由，得，设，则，即 ， 因此点的轨迹为一动圆， 设该动圆圆心为，即有， 则 代入，整理得：， 即轨迹的圆心在圆上（除此圆与坐标轴的交点外）， 点与圆上点连线的距离加上圆C的半径即为点到点的距离的最大值， 所以最大值为. 故选：B. 4．(24-25高二上·甘肃白银靖远县第四中学·期末)设曲线关于直线对称的曲线为，曲线的焦点为，则下列关于曲线的说法正确的是（    ） A．曲线的方程为 B．以曲线的焦点为圆心，且过其顶点的圆的方程为 C．若直线与曲线恰有一个公共点，则 D．从曲线上一点向准线作垂线，垂足为，若，则的面积为 【答案】AD 【分析】根据反函数的性质，抛物线方程的性质与圆的标准方程，结合举反例以及抛物线的定义，可得答案. 【详解】易得曲线的方程为，因而选项A正确； 曲线的焦点为，故圆的半径为1，其方程为，故选项B错误； 当时，直线与抛物线也只有一个公共点，故选项C错误； 由及抛物线的性质可知，， 所以的面积为，故选项D正确． 故选：AD. 5．(21-22高二上·江苏无锡·期末)关于曲线：，下列说法正确的是（    ） A．曲线围成图形的面积为 B．曲线所表示的图形有且仅有条对称轴 C．曲线所表示的图形是中心对称图形 D．曲线是以为圆心，为半径的圆 【答案】AC 【分析】根据曲线解析式特征画出图形，逐一判断各选项即可. 【详解】曲线：如图所示： 对于A：图形在各个象限的面积相等，在第一象限中的图形，是以为圆心，为半径的圆的一半加一个直角三角形所得，，所以曲线围成图形的面积为,故A正确； 对于B，由图可知，曲线所表示的图形对称轴有轴，轴，直线，直线四条，故B错误； 对于C，由图可知，曲线所表示的图形是关于原点对称的中心对称图形，故C正确； 对于D，曲线的图形不是一个圆，故D错误. 故选：AC 6．(24-25高二上·甘肃甘南州卓尼县柳林中学·期末)若的顶点，的坐标分别是，，顶点在圆上运动，则的重心的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】设的重心的坐标是，点的坐标是，根据重心的坐标公式得到，，再由点在圆上运动，即满足圆的方程，从而求出重心的轨迹方程. 【详解】设的重心的坐标是，点的坐标是. 已知点，的坐标分别是，， 则的重心的坐标满足，. 因此有，①. 因为点在圆上运动， 所以点的坐标满足方程， 即满足方程②. 将①代入②，得. 即所求轨迹方程为. 故答案为： 7．(24-25高二上·甘肃临夏州高中·期末)已知圆过三点，则圆的标准方程为 .过圆上的一点的圆的切线方程为 （填一般式方程）. 【答案】 【分析】将点的坐标代入到圆的标准方程中即可求得方程，根据过圆上一点的圆的切线方程可求得结果. 【详解】设圆的标准方程为， 将三点代入可得， ，解得， 所以圆的标准方程为； 过圆上一点的圆的切线方程为： ，化简得：， 故答案为：；. 8．(21-22高二·课时2.4.2圆的方程（02）圆的一般方程-·)已知直线l1经过点A(－3，0)，B(3，2)，直线l2经过点B，且l1⊥l2. （1）分别求直线l1，l2的方程； （2）设直线l2与直线y=8x的交点为C，求△ABC的外接圆的标准方程. 【答案】（1）x－3y+3=0，3x+y－11=0；（2）(x+1)2+(y－4)2=20. 【分析】（1）由题利用直线的两点式及直线的关系即得； （2）由题可求点C，再利用几何法即求. 【详解】（1）因为直线l1经过点A(－3，0)，B(3，2)，所以=， 所以l1的方程为x－3y+3=0. 因为l1⊥l2， 所以设直线l2的方程为3x+y+c=0， 因为点B(3，2)在直线l2上， 所以c=－11， 所以直线l2的方程为3x+y－11=0. （3）由 得即C(1，8)， 所以|AC|=4，|BC|=2，又|AB|=2， 所以|AB|2+|BC|2=|AC|2，所以△ABC是以AC为斜边的直角三角形， 又AC的中点为(－1，4)， 所以Rt△ABC的外接圆的圆心为(－1，4)，半径为2， 所以△ABC的外接圆的标准方程为(x+1)2+(y－4)2=20. 9．已知圆的方程，从0，3，4，5，6，7，8，9，10这九个数中选出3个不同的数，分别作圆心的横坐标、纵坐标和圆的半径．问： （1）可以作多少个不同的圆？ （2）经过原点的圆有多少个？ （3）圆心在直线上的圆有多少个？ 【答案】(1)448；(2)4；(3)38. 【分析】(1)由题意利用乘法原理结合排列数公式可得满足题意的圆的个数； (2)由题意首先确定满足该条件的a，b，r，然后求解满足题意的圆的个数即可； (3)首先确定圆心满足的条件，然后结合排列数公式和分步加法计数原理可得满足题意的圆的个数. 【详解】(1)可分两步完成：第一步，先选r，因r>0，则r有种选法，第二步再选a，b，在剩余8个数中任取2个，有种选法， 所以由分步计数原理可得有个不同的圆. (2)圆经过原点，a、b、r满足， 满足该条件的a，b，r共有3，4，5与6，8，10两组，考虑a、b的顺序，有种情况， 所以符合题意的圆有. (3)圆心在直线x+y−10=0上，即满足a+b=10，则满足条件的a、b有三组：0，10；3，7；4，6. 当a、b取10、0时，r有7种情况， 当a、b取3、7；4、6时，r不可取0，有6种情况， 考虑a、b的顺序，有种情况， 所以满足题意的圆共有个. 【点睛】本题主要考查圆的方程及其应用，分类加法计数原理与分步乘法计数原理，排列数公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 地 城 考点02 直线与圆的位置关系 10．已知圆：与抛物线的准线相切，则（    ） A． B． C．2 D．8 【答案】C 【分析】根据抛物线方程求出其准线方程，根据圆：与抛物线的准线相切，列式计算，即可求得答案. 【详解】∵抛物线的准线方程为， 又圆：与该抛物线的准线相切，圆心为，半径为， ∴圆心到准线的距离，∴， 故选：C. 11．(18-19高二上·安徽宿州十三所重点中学·期中)已知为圆C:上任意一点，则的最大值为（   ） A．2 B． C． D．0 【答案】C 【分析】首先确定圆的圆心和半径，然后结合斜率的几何意义求解的最大值即可. 【详解】圆的方程即：，圆心坐标为，半径为， 代数式表示圆上的点与定点连线的斜率， 设过点的直线方程为，与圆的方程联立可得： ， 考虑临界条件，令可得： ，则的最大值为. 本题选择C选项. 【点睛】本题主要考查等价转化的数学思想，直线与圆的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12．(24-25高二上·甘肃·期末)已知点为圆上两点，若，且，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据弦长及面积求出圆心到直线的距离为，再由勾股定理求得半径. 【详解】因为，设圆心到直线的距离为，则， 所以，所以． 故选：C． 13．(24-25高二上·甘肃定西八校·期末)已知圆，直线，下列结论正确的是（    ） A．若直线与圆相切，则 B．若，则圆上到直线的距离为的点恰有2个 C．若圆上存在点，直线上存在点，使得，则的取值范围为 D．已知，，为圆上异于的一点，若，则的最大值为 【答案】BCD 【分析】由直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，列方程求判断A，求时圆心到直线的距离，由此判断B，在直线与圆的不同位置关系下，转化条件列不等式求的范围，判断C，设，利用表示，结合余弦函数及二次函数性质求的最值，判断D. 【详解】圆的圆心的坐标为，半径为，圆心到直线的距离， 因为直线与圆相切，所以，解得 ，A错误． 当时，圆心到直线的距离，， 故圆上到直线的距离为的点恰有个，B正确． 当直线与圆相交或相切时，满足圆上存在点，直线上存在点，使得． 当直线与圆相离时，与圆相切时，最大， 要满足题意，只需，即， ，解得，C正确． 根据圆的对称性，不妨令在轴右侧， 设的中点为且，． 要使最大，只需保证在轴上方，即，如下图， ． 当时，与轴垂直时，取最大值，为，D正确． 故选：BCD. 14．(23-24高二上·吉林普通高中G6教考联盟·期末)已知圆：，直线：（），则（    ） A．直线l恒过定点 B．当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 C．直线与圆有两个交点 D．圆与圆恰有三条公切线 【答案】ACD 【分析】A，将直线变形，即可得到直线过的定点；B，结合点到直线的距离公式，可得到结果；C，由定点在圆内，即可判断；D，利用圆心距与两圆半径之间的关系即可判断. 【详解】对于A，直线 ，所以， 令，解得，所以直线恒过定点，故A正确； 对于B，当时，直线为：， 则圆心到直线的距离为，， 所以圆上只有2个点到直线的距离为，故B错误； 对于C，因为直线过定点，所以， 所以定点在圆内，则直线与圆有两个交点，故C正确； 对于D，由圆的方程可得，， 所以圆心为，半径为， 此时两圆圆心距为， 所以两圆的位置关系为外切，则两圆恰有三条公切线，故D正确. 故选：ACD. 15．已知直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先分和两种情况去绝对值，两边平方后，可得曲线方程，再利用数形结合，求直线斜率的取值范围. 【详解】当时，曲线即， 两边平方，整理得， 表示以为圆心，半径的圆的右半圆； 当时，曲线即， 两边平方，整理得， 表示以为圆心，半径的圆的左半圆， 直线表示经过定点、斜率为的直线， 因此，直线与曲线有两个不同的交点， 就是直线与两个半圆组成的图形有两个交点， 当直线与右半圆有两个交点时，记点， 可得圆心到直线的距离小于半径，且直线的斜率小于或等于的斜率， 且，解得； 当直线与左半圆有两个交点时，由对称性可得；    综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 16．(24-25高二上·山西运城·期中)在平面直角坐标系中，直线与的交点是圆C的圆心，直线与圆C相切． (1)求圆C的标准方程； (2)若过点的直线l与圆C有且只有一个公共点，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）联立方程组求出圆的圆心的坐标，利用点到直线的距离公式求出圆的半径，得解； （2）由题可得直线与圆相切，分直线斜率不存在和存在讨论求解. 【详解】（1）联立方程，解得 所以圆的圆心的坐标为， 又由圆与直线相切，可得圆的半径为， 可得圆的标准方程为； （2）由直线与圆有且只有一个公共点，可得直线与圆相切， ①若直线斜率不存在，此时直线方程为：，与圆相切，合题意； ②当直线斜率存在时，设，即， 根据圆心到切线距离等于半径可得，得， 所以此时直线的方程为， 综上，直线的方程为或． 17．(16-17高二下·湖北宜昌七校教学协作体·期末)已知直线圆：. (1)求直线与圆的交点的坐标； (2)求的面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）联立直线与圆的方程即得； （2）由题可得的长度，然后利用点到直线的距离公式及三角形面积公式即得. 【详解】（1）由，可得， 所以或， ∴当时，，当时，， 所以直线与圆的交点的坐标为； （2）由（1）可知， 又点到直线的距离为， ∴的面积为. 18．(24-25高二上·甘肃·期末)已知圆，圆． (1)若两圆公共弦所在直线的方程为，求的值； (2)若圆与直线相交于两点，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据圆所满足的条件得到不等式，得到，两圆相减得，根据公共弦方程，得到，求出答案； （2）由求出圆心到直线的距离，进而由点到直线距离公式得到方程，求出. 【详解】（1）由题意，得，解得． ，， 两式相减得． 又两圆公共弦所在直线的方程为，即， 所以，即，满足，故； （2）圆化为标准方程：．设圆的半径为． 在中，取的中点，连接，如图． 因为，所以． 又因为为圆心到直线的距离，所以， 所以，解得． 地 城 考点03 圆的切线及切线长 19．(23-24高二上·北京铁路第二中学·期中)过点作圆的切线，切点为，则切线段长为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据相切，由勾股定理即可求解. 【详解】设圆心为半径为， 所以, 故， 故选：C 20．(22-23高二上·湖南岳阳教研联盟·期中)经过向圆作切线，切线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据切线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式求得正确答案. 【详解】（1）当切线的斜率不存在时，直线是圆的切线； （2）当切线斜率存在时，设切线方程为， 由到切线距离为得， 此时切线方程为即. 故选：C 21．(23-24高二上·江苏南通崇川区、通州区·期中)已知点P在圆C：上，直线l：与x轴、y轴分别交于A，B两点，则（    ） A．点P到直线l的距离大于1 B．点P到直线l的距离小于7 C．当∠PAB最大时， D．以BC为直径的圆与圆C的公共弦所在直线的方程为 【答案】BCD 【分析】利用圆心到直线的距离确定圆上的点到直线距离的最大值和最小值判断AB，利用切线长判断C，由两圆方程相减得公共弦所在直线方程判断D． 【详解】由已知圆心为，半径为4，圆心到直线的距离为 ，直线与圆相交，因此点P到直线l的距离为0，A错； 点P到直线l的距离最大距离为，B正确； 由已知， 当与圆相切时，最大，为过点的切线长，C正确； 以为直径的圆的方程为，即， 圆方程与此方程相减得，即为公共弦所在直线方程，D正确， 故选：BCD． 22．(23-24高二上·福建南平南平一中·月考)已知点在圆上，点，当最大时，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】找到当最大时P点所在的位置，再结合勾股定理可得结果. 【详解】设圆的圆心为，半径为4， 如下图所示：当 最大时，与圆M相切， 连接，可知，,, 由勾股定理可得, 故答案为：. 23．(24-25高二上·甘肃酒泉·期末)已知直线过点. (1)若直线与直线垂直，求的方程； (2)若直线在两坐标轴上的截距之和为零，求直线的方程； (3)若直线与圆相切，求的方程. 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）设直线为，代入点的坐标，求出的值，即可得解； （2）分直线的截距均为与均不为两种情况讨论，利用待定系数法计算可得； （3）首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再分斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出切线方程. 【详解】（1）设直线的方程为，则，解得， 所以直线的方程为； （2）若直线的截距均为，则设直线的方程为， 所以，解得，所以直线的方程为，即； 若直线的截距均不为，则设直线的方程为， 所以，解得，所以直线的方程为，即； 综上可得直线的方程为或； （3）圆，即，则圆心为，半径； 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得，所以直线的方程为， 综上可得直线的方程为或.    24．(18-19高一下·江苏无锡江阴四校·期中)如图，圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为． （1）若，求切线所在直线方程； （2）求的最小值； （3）若两条切线与轴分别交于两点，求的最小值． 【答案】（1），；（2）（3） 【分析】（1）设切线方程，利用圆心到切线距离等于半径求得斜率即可得解； （2）连接交于，利用，结合正余弦可得最值； （3）利用（1）的方法，得到的二次方程，结合根与系数关系，用含的式子表示去表示，可得最值． 【详解】（1）由题意，切线斜率存在，可设切线方程为，即， 则圆心到切线的距离，解得或， 故所求切线方程为，； （2）连接交于点， 设，则， 在中， ， ∵，∴，∴，∴； （3）设切线方程为，即，的斜率为， 故圆心到切线的距离，得， ∴， ， 在切线方程中令可得， 故， ∴，此时，故的最小值为． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的综合应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系的判定与应用，合理根据直线与圆的位置关系，列出相应的方程是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题综合性强，属于中档试题． 地 城 考点04 圆的弦长与弦心距 25．(24-25高二上·甘肃白银靖远县第四中学·期末)已知双曲线的离心率为，直线过双曲线的右焦点且与双曲线交于两点，双曲线的左焦点满足，则直线被圆所截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的焦点以及离心率求得，从而求得双曲线的方程，利用双曲线的定义建立等量关系式，求得原点到直线的距离，进而求得弦长. 【详解】由已知得，则，，由离心率为，可得， 所以，所以双曲线． 设的中点为，根据，得到． 由知直线与双曲线交于两支，不妨设点在左支上，点在右支上，则，所以． 设到的距离为，则，① 又， 所以，② 由①②可得．设圆的圆心到直线的距离为，则，所以直线被圆所截得的弦长为． 故选：B 【点睛】方法点睛： 对于双曲线问题，要熟练掌握双曲线的基本性质，如焦点坐标、离心率、双曲线的定义等，利用这些性质建立方程或等式求解未知量. 在解决直线与双曲线相交以及直线与圆相交的问题时，常常结合向量的垂直关系、勾股定理等知识进行分析和计算. 求直线被圆所截得的弦长，关键是求出圆心到直线的距离，然后利用弦长公式进行计算. 26．(24-25高二上·甘肃临夏州高中·期末)已知圆的方程为，过点的2025条弦长组成一个等差数列，且过点的最短弦长和最长弦长分别为，则（    ） A．5 B．6 C．9 D．10 【答案】C 【分析】分别确定过点的最短弦长和最长弦长，再由弦长公式求出弦长，然后由等差中项的性质计算即可； 【详解】由题意知的圆心为，半径， 又可得点在圆内， 所以过点的最短弦长是与过点的直径垂直的弦长，， 由弦长公式可得， 过点的最长弦长为直径，所以， 又过点的2025条弦长组成一个等差数列， 所以，所以. 故选：C. 27．(24-25高二上·甘肃甘南州卓尼县柳林中学·期末)对于直线：与圆：，下列说法正确的是（   ） A．过定点 B．的半径为9 C．与相交 D．被截得的弦长最小值为 【答案】ACD 【分析】由直线过定点即可判断AC，将圆的方程化为标准式即可判断B，由直线与点和圆心的连线垂直时，被截得的弦长最小，代入计算，即可判断D. 【详解】对于A，直线：可变形为， 由可得，所以直线过定点，故A正确； 对于B，圆：的标准式为， 则圆心，半径为，故B错误； 对于C，将点代入圆的标准式可得， 所以点在圆内，则直线与圆相交，故C正确； 对于D，当直线与点和圆心的连线垂直时，被截得的弦长最小， 且点和圆心的距离， 则弦长最小值为，故D正确； 故选：ACD 28．(22-23高二下·山东济南·期末)已知直线与圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线l恒过定点 B．圆M的圆心坐标为 C．存在实数k，使得直线l与圆M相切 D．若，直线l被圆M截得的弦长为2 【答案】AB 【分析】A选项，将直线方程变形后得到，求出恒过的定点；B选项，将圆的一般式化为标准式方程，得到圆心坐标；C选项，令圆心到直线l的距离等于半径，列出方程，结合根的判别式判断出结论；D选项，当时，求出圆心在直线l上，故直线l被圆M截得的弦长为直径4，D错误. 【详解】变形为，故恒过定点，A正确； 变形为，圆心坐标为，B正确； 令圆心到直线的距离， 整理得：，由可得，方程无解， 故不存在实数k，使得直线l与圆M相切，C错误； 若，直线方程为，圆心在直线上， 故直线l被圆M截得的弦长为直径4，D错误. 故选：AB 29．已知圆，直线，直线被圆截得的弦长最短时，的方程为 . 【答案】 【分析】由直线方程可知过定点，要使直线被圆截得的弦长最短，只需圆心与定点距离即为点线距离，结合点线距离、两点距离公式列方程求值，进而写出的方程. 【详解】由可得， 由解得， 所以直线过定点， 由可知，圆心为，半径为5， 所以要使直线被圆截得的弦长最短，则圆心与定点距离即为点线距离， 所以，解得， 所以的方程为，整理得. 故答案为： 30．(23-24高二上·广东佛山顺德区勒流中学、均安中学、龙江中学等十五校·)已知直线与圆相交于两点，则 . 【答案】4 【分析】利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再用直线与圆相交的弦长公式即得. 【详解】设圆心到直线的距离为，因为，所以. 故答案为：4. 31．(24-25高二上·甘肃白银靖远县第四中学·期末)双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线与双曲线交于第一象限内的点，若轴被以为直径的圆所截得的弦长为2，求该圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据渐近线方程得出，再将点代入方程即可得到结果. （2）由轴被以为直径的圆所截得的弦长为2，求出B点坐标，即可求出半径进而得到圆的方程. 【详解】（1）由点在双曲线上，得① 由渐近线方程，得②， 解①②得，所以双曲线的标准方程为 （2）设的中点为，过作轴，垂足为． 依题意得，即，因为，所以， 所以（为点的横坐标），得， 代入双曲线的方程，得，所以，所以． 所以以为直径的圆的圆心为， 半径， 故所求圆的方程为． 32．(24-25高二上·安徽蚌埠固镇县毛钽厂实验中学·月考)已知圆，直线． (1)求证：直线恒过定点； (2)当时，求直线被圆截得的弦长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）直线方程写成，即可求解定点； （2）首先求点到直线的距离，再代入弦长公式，即可求解. 【详解】（1）直线方程可化为， 由可得， 所以直线恒过定点． （2）化为， 圆心，半径． 当时，直线． 圆心到直线的距离． 所以直线被圆截得的弦长为． 33．(23-24高二上·陕西西安西北工业大学附属中学·期中)已知圆：，直线：. (1)证明：直线恒过定点，且直线与圆恒交于两点； (2)求直线被圆截得的弦长最小时的方程. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）分离参数，即可列方程组求解， （2）根据圆的弦长公式，结合垂直关系满足的斜率关系即可求解. 【详解】（1）证明：直线：化为， 则，解得， 所以直线恒过定点， 圆心，又因， 所以点在圆内， 所以不论取什么实数，直线与圆恒交于两点； （2）当直线所过的定点为弦的中点，即时， 最短弦长为， ，所以，故直线方程为， 所以直线的方程为. 34．(22-23高二上·福建厦门双十中学·期中)已知圆O：与x轴交于A，B两点，动点P与点A的距离是它与点B距离的倍． (1)求点P的轨迹方程； (2)过点B作倾斜角为45°直线l交点P的轨迹于M，N两点，求弦长． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）求出A，B两点的坐标，设出，根据题意列出方程，化简后得到结果，注意分两种情况进行求解； （2）在第一问的基础上，分与两种情况，得到直线方程，联立相应的P的轨迹方程，利用弦长公式进行求解. 【详解】（1）由题意得：不妨设，， 则，平方得：， 化简得：， 若， 则，平方得：， 整理得：， 综上：点P的轨迹方程为或； （2）不妨设，故直线，即， 联立与得：， 设，则， 则， 同理，当时，故直线，即， 联立与得：， 设，则， 则， 综上：. 地 城 考点05 圆与圆的位置关系 35．(24-25高二上·甘肃庆阳·期末)圆与圆的公切线的条数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断两圆的位置关系，即可得出结论. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为，故两圆外切， 因此，两圆的公切线条数为. 故选：B. 36．(21-22高二上·四川资阳·期末)已知圆，圆相交于P，Q两点，其中，分别为圆和圆的圆心.则四边形的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D． 【答案】A 【分析】求得，由此求得四边形的面积. 【详解】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为， 所以， 由、两式相减并化简得， 即直线的方程为， 到直线的距离为， 所以， 所以四边形的面积为. 故选：A 37．(24-25高二上·甘肃多校·期末)已知圆与圆内切，则（   ） A． B．±2 C． D． 【答案】C 【分析】利用两圆内切的定义表达式即可求得. 【详解】由圆与圆内切，可得，即，． 故选：C 38．(24-25高二上·湖北云学部分重点高中·)在平面直角坐标系中，若点到直线l的距离为1，点到直线l的距离为3，则这样的直线l有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】易知直线与圆，圆均相切，判断两圆位置关系，进而确定公切线条数. 【详解】与原点距离为的点的集合是以为圆心，为半径的圆，即； 与点距离为的点的集合是以为圆心，为半径的圆，即； 因为圆心距， 所以圆与圆外切，这两圆共有条公切线， 所以适合条件的直线共有条， 故选：C. 39．(24-25高二上·甘肃临夏州高中·期末)圆与圆相交，则公共弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由两圆相减得到公共弦方程，再由几何法求出弦长即可； 【详解】圆即， 两圆方程相减可得公共弦方程为， 圆心到公共弦的距离为， 所以公共弦长为. 故选：B. 40．(23-24高二上·吉林白山·期末)已知圆与圆相交于两点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出公共弦所在的直线方程以及公共弦长，利用面积公式计算即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆即，则圆心为，半径， 所以，则，所以两圆相交； 联立,相减可得直线：， 所以到直线的距离为， 利用圆与直线相交可得：， 所以. 故选：A. 41．(20-21高三上·湖北襄阳部分优质高中·)设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆M与圆O： 交于，两点，若，则下列选项正确的是（    ） A．曲线的离心率为 B．圆心到双曲线的渐近线的距离为 C．所在直线方程为 D．直线被双曲线的渐近线截得的线段长为 【答案】ACD 【解析】先根据题意写出圆M的方程，与圆O联立，结合得到a，c的关系，即得到离心率、渐近线和所在直线的方程，判断AC正确，再利用点到直线的距离公式计算B错误，联立渐近线和直线，计算D正确即可. 【详解】依题意，以为直径的圆M：，与圆O： 联立得， ，故由知，垂直x轴，也是圆M的一条直径，过圆心，即，故，即，故A正确； 由知，双曲线的渐近线为， 圆心 到双曲线的渐近线的距离为，故B错误； ，垂直x轴，故所在直线方程为，故C正确； 由代入双曲线的渐近线得，故截得的线段长为，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛： 本题的解题关键在于联立两圆的方程得到双曲线中a，b，c的关系，才能结合离心率公式和距离公式等突破难点. 42．(23-24高二上·河南驻马店环际大联考“逐梦计划”·)已知圆则下列说话正确的是（    ） A．圆与直线必有两个交点 B．圆上存在4个点到直线的距离都等于1 C．圆与圆恰有三条公切线，则 D．动点在圆上，则 【答案】ABCD 【分析】根据直线过定点，得到定点在圆内，进而即可A；圆心到直线的距离为，即可得到有4个点满足进而即可B；根据条件可知两圆外切，进而即可判断C；令，可得表示为直线截距的2倍，再根据直线与圆相切时，直线的截距取得最值，进而即可判断D正确. 【详解】对于A，由，则，即直线过定点， 又，则定点在圆内，所以圆与直线必有两个交点，故A正确； 对于B，由圆的圆心到直线的距离为， 又圆的半径为3，则到直线的距离为1的两条直线都与圆相交，所以存在4个点满足，故B正确；    对于C，圆化简得到， 因为两圆有三条公切线，所以两圆外切，即，解得，故C正确； 对于D，令，则，则表示为直线截距的2倍， 又动点在圆上，则当直线与圆相切时，直线的截距取得最值， 则，解得，所以，故D正确．    故选：ABCD． 43．(24-25高二上·甘肃酒泉·期末)圆与圆相交于A、B两点，则两圆公共弦AB所在直线的方程为 . 【答案】 【分析】两圆方程作差即可得到公共弦方程. 【详解】圆，即，圆心为，半径； 圆，即，圆心为，半径， 又，所以，所以两圆相交， 则两圆方程作差得到，即公共弦所在直线的方程为. 故答案为： 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $