专题03 直线及其方程4大题型（期末真题汇编，甘肃专用）高二数学上学期

专题03 直线及其方程 4大高频考点概览 考点01 直线一般式方程 考点02 直线其他形式方程 考点03 直线倾斜角与斜率 考点04 点到直线距离公式及运用 地 城 考点01 直线一般式方程 1．(21-22高二上·云南玉溪新平县第一中学·期末)已知直线：，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．若直线，则 C．点到直线的距离是1 D．过与直线平行的直线方程是 【答案】D 【分析】求解直线的倾斜角判断A；利用直线的斜率乘积判断B；点到直线的距离判断C；求解直线方程判断D． 【详解】直线，直线的斜率为：，所以直线的倾斜角为：，所以A不正确； 直线的斜率为：，两条直线不垂直，所以B不正确； 点到直线的距离是：，所以C不正确； 过与直线平行的直线方程是，正确，所以D正确； 故选：D． 2．(24-25高二上·甘肃临夏州高中·期末)过点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出与已知直线平行的直线方程，再代入点即可求出； 【详解】设与直线平行的直线方程为， 因为点在直线上，所以， 所以与直线平行的直线方程为. 故选：C. 3．(24-25高二上·甘肃庆阳·期末)直线l：的一个方向向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线的斜率，可得的一个方向向量，再确定共线向量得答案. 【详解】直线：的斜率为，因此的一个方向向量为， 而向量，则是直线的一个方向向量，B是； 其余选项所给向量与向量都不共线，ACD不是. 故选：B 4．(24-25高二上·甘肃甘南州卓尼县柳林中学·期末)对于直线：与圆：，下列说法正确的是（   ） A．过定点 B．的半径为9 C．与相交 D．被截得的弦长最小值为 【答案】ACD 【分析】由直线过定点即可判断AC，将圆的方程化为标准式即可判断B，由直线与点和圆心的连线垂直时，被截得的弦长最小，代入计算，即可判断D. 【详解】对于A，直线：可变形为， 由可得，所以直线过定点，故A正确； 对于B，圆：的标准式为， 则圆心，半径为，故B错误； 对于C，将点代入圆的标准式可得， 所以点在圆内，则直线与圆相交，故C正确； 对于D，当直线与点和圆心的连线垂直时，被截得的弦长最小， 且点和圆心的距离， 则弦长最小值为，故D正确； 故选：ACD 5．(22-23高二下·山东济南·期末)已知直线与圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线l恒过定点 B．圆M的圆心坐标为 C．存在实数k，使得直线l与圆M相切 D．若，直线l被圆M截得的弦长为2 【答案】AB 【分析】A选项，将直线方程变形后得到，求出恒过的定点；B选项，将圆的一般式化为标准式方程，得到圆心坐标；C选项，令圆心到直线l的距离等于半径，列出方程，结合根的判别式判断出结论；D选项，当时，求出圆心在直线l上，故直线l被圆M截得的弦长为直径4，D错误. 【详解】变形为，故恒过定点，A正确； 变形为，圆心坐标为，B正确； 令圆心到直线的距离， 整理得：，由可得，方程无解， 故不存在实数k，使得直线l与圆M相切，C错误； 若，直线方程为，圆心在直线上， 故直线l被圆M截得的弦长为直径4，D错误. 故选：AB 6．(22-23高二上·甘肃永昌县第一高级中学·期末)直线l过点，若l的斜率为3，则直线l的一般式方程为 ． 【答案】 【分析】写出点斜式方程，化为一般式方程. 【详解】由直线的点斜式可得，方程为，化为一般式方程为. 故答案为： 7．(21-22高二·课时2.4.2圆的方程（02）圆的一般方程-·)已知直线l1经过点A(－3，0)，B(3，2)，直线l2经过点B，且l1⊥l2. （1）分别求直线l1，l2的方程； （2）设直线l2与直线y=8x的交点为C，求△ABC的外接圆的标准方程. 【答案】（1）x－3y+3=0，3x+y－11=0；（2）(x+1)2+(y－4)2=20. 【分析】（1）由题利用直线的两点式及直线的关系即得； （2）由题可求点C，再利用几何法即求. 【详解】（1）因为直线l1经过点A(－3，0)，B(3，2)，所以=， 所以l1的方程为x－3y+3=0. 因为l1⊥l2， 所以设直线l2的方程为3x+y+c=0， 因为点B(3，2)在直线l2上， 所以c=－11， 所以直线l2的方程为3x+y－11=0. （3）由 得即C(1，8)， 所以|AC|=4，|BC|=2，又|AB|=2， 所以|AB|2+|BC|2=|AC|2，所以△ABC是以AC为斜边的直角三角形， 又AC的中点为(－1，4)， 所以Rt△ABC的外接圆的圆心为(－1，4)，半径为2， 所以△ABC的外接圆的标准方程为(x+1)2+(y－4)2=20. 8．(24-25高二上·甘肃定西八校·期末)已知的顶点，边上的高所在直线的方程为，角的平分线所在直线的方程为． (1)求直线的方程； (2)求直线的方程． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据垂直直线的斜率关系由边上的高的方程求直线的斜率，再由点斜式求结论； （2）联立直线与直线的方程求点的坐标，求点关于的对称点的坐标，由此可得直线的斜率，利用点斜式求结论. 【详解】（1）因为边上的高所在直线的方程为， 所以直线的斜率为，直线的斜率为， 所以直线的方程为，即． （2）联立，解得，即． 设点关于直线对称的点为， 所以， 解得，即． 直线的斜率为， 所以直线的方程为，整理得． 9．(24-25高二上·甘肃酒泉·期末)已知直线过点. (1)若直线与直线垂直，求的方程； (2)若直线在两坐标轴上的截距之和为零，求直线的方程； (3)若直线与圆相切，求的方程. 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）设直线为，代入点的坐标，求出的值，即可得解； （2）分直线的截距均为与均不为两种情况讨论，利用待定系数法计算可得； （3）首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再分斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出切线方程. 【详解】（1）设直线的方程为，则，解得， 所以直线的方程为； （2）若直线的截距均为，则设直线的方程为， 所以，解得，所以直线的方程为，即； 若直线的截距均不为，则设直线的方程为， 所以，解得，所以直线的方程为，即； 综上可得直线的方程为或； （3）圆，即，则圆心为，半径； 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得，所以直线的方程为， 综上可得直线的方程为或.    10．(23-24高二上·陕西西安西北工业大学附属中学·期中)已知圆：，直线：. (1)证明：直线恒过定点，且直线与圆恒交于两点； (2)求直线被圆截得的弦长最小时的方程. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）分离参数，即可列方程组求解， （2）根据圆的弦长公式，结合垂直关系满足的斜率关系即可求解. 【详解】（1）证明：直线：化为， 则，解得， 所以直线恒过定点， 圆心，又因， 所以点在圆内， 所以不论取什么实数，直线与圆恒交于两点； （2）当直线所过的定点为弦的中点，即时， 最短弦长为， ，所以，故直线方程为， 所以直线的方程为. 11．(24-25高二上·重庆杨家坪中学·月考)已知直线，椭圆. (1)求证：对于任意实数，直线过定点，并求出点坐标； (2)当时，求直线被椭圆截得的弦长. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）整理直线方程，建立方程组，可得答案； （2）联立直线方程与椭圆方程，写出韦达定理，利用弦长公式，可得答案. 【详解】（1）因为，整理可得， 由，解得， 此时，不管取何值，必成立. 所以直线必过定点. （2）当时，直线的方程为， 设直线与椭圆的交点为， 由，消去得：， ，， . 12．(21-22高二上·湖北云梦县黄香高级中学·期末)设直线和直线的交点为. (1)若直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与直线关于点对称，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立方程求得，根据垂直关系设出直线的方程，将点代入计算即可求解； （2）法一：根据平行关系设出直线的方程，然后利用到两条直线的距离相等列式求解即可； 法二，设直线上任意一点，利用对称性求得点关于点对称的点，将坐标代入已知直线方程，化简即可求解. 【详解】（1）由得交点， 由直线与直线垂直，则可设直线的方程为， 又直线过点，代入得，则， 所以直线的方程为； （2）法一：由题意可得直线与直线平行， 则可设直线方程为：， 由直线与直线关于点对称，得到两条直线的距离相等， 即，得（舍）或，所以直线的方程为. 法二：设直线上任意一点，则点关于点对称的点为， 且点在直线上，得， 化简得直线的方程为. 地 城 考点02 直线其他形式方程 13．已知直线的一个方向向量为，且经过点，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由方向向量得斜率，由点斜式化为一般式即可. 【详解】由题意得直线的一个方向向量为，所以其斜率为， 又它经过点，所以直线的方程为，即. 故选：B. 14．(23-24高二上·甘肃白银靖远县第四中学·期末)若直线过点且与斜率为4的直线垂直，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线垂直的斜率关系求出斜率，然后可得直线方程. 【详解】因为直线与斜率为4的直线垂直， 所以直线的斜率为， 又直线过点， 所以直线的方程为，即． 故选：A 15．中，，，，则边上的高所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设边上的高所在的直线为，求出直线l的斜率，代入点斜式方程，整理即可得出答案. 【详解】设边上的高所在的直线为， 由已知可得，，所以直线l的斜率. 又过，所以的方程为， 整理可得，. 故选：A. 16．(24-25高二上·甘肃白银靖远县第四中学·期末)过点且斜率为2的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点斜式求得直线的方程，求得直线与坐标轴的交点坐标，从而求得三角形的面积. 【详解】依题意得直线的方程为，即， 则直线与坐标轴的交点分别为， 所以． 故选：B 17．(24-25高二上·甘肃临夏州高中·期末)已知直线的倾斜角为，方向向量，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】由直线倾斜角与斜率关系和方向向量与斜率关系求出即可； 【详解】由直线的倾斜角为可得直线的斜率为， 又方向向量，即，解得. 故选：D. 18．(21-22高一上·陕西宝鸡陇县中学·期末)已知直线过点. (1)若直线在轴上的截距为3，求直线的方程； (2)若直线与直线平行，且两条平行线间的距离为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据直线上的两点求出斜率，即可得出答案； （2）设出直线的方程，代入点的坐标，求出方程.根据两条平行直线之间的距离公式，列出方程，即可得出答案. 【详解】（1）由条件可知，直线过点和， 所以直线的斜率 所以所求直线的方程为，即 （2）设所求的直线的方程为 则有，得，即直线的方程为 ∵与直线间的距离为， ∴，整理可得. 又，∴ 19．(24-25高二上·福建宁德福鼎第一中学·月考)求适合下列条件的直线方程： (1)经过点，其方向向量也是直线的法向量． (2)经过点，和两条坐标轴正半轴围成的三角形的面积为4． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出直线的斜率，利用点斜式即可求出直线方程； （2）利用截距式方程结合题意即可求出直线方程. 【详解】（1）直线的斜率为， 其法向量所在直线的斜率为， 所求直线方程为，即. （2）设直线方程为， 则，解得， 所求直线方程为， 即. 20．(20-21高二上·上海建平中学·期中)直线过点且与轴、轴正半轴分别交于、两点. （1）若直线的斜率为，求△的面积； （2）若△的面积满足，求直线的斜率的取值范围； （3）如图，若点分向量所成的比的值为2，过点作平行于轴的直线交轴于点，动点、分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标. 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析，定点. 【解析】（1）根据直线的点斜式方程得直线的方程，进而得、，故△的面积为； （2）根据题意设直线的方程为：，进而得、，进而得，△的面积，再结合解不等式即可得答案； （3）根据题意结合（2）得，设，，故直线的一般式方程为：，再根据得，进而得直线的式方程为：，再根据直线系方程即可得答案. 【详解】解：（1）因为直线的斜率为， 所以直线的方程为：， 整理得：， 所以直线与轴、轴正半轴的交点为、， 故△的面积为. （2）根据题意，直线的斜率存在且， 所以直线的方程为：， 整理得： 所以直线与轴、轴正半轴的交点为、， 所以，解得 ， 所以△的面积， 由于△的面积满足， 所以，整理得：， 解不等式得：， 故直线的斜率的取值范围. （3）由（2）知、， 由于点分向量所成的比的值为2， 所以，由于， 所以，即. 所以、，， 故设，， 所以直线的一般式方程为：， 由于直角梯形的面积为， 直线平分直角梯形的面积， 所以直角梯形的面积为， 所以，即， 所以直线的式方程为：， 整理得：， 所以直线过直线与直线的交点， 所以直线过定点. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线的方程的综合应用，考查运算求解能力，属于中档题.解题的过程中需要注意的关键点在于第（2）问应先设出过点的直线的斜率，进而利用斜率表示三角形的面积，再根据解不等式；（3）设出设，，根据面积关系求得，进而根据直线系方程求解. 21．(22-23高二上·福建厦门双十中学·期中)已知圆O：与x轴交于A，B两点，动点P与点A的距离是它与点B距离的倍． (1)求点P的轨迹方程； (2)过点B作倾斜角为45°直线l交点P的轨迹于M，N两点，求弦长． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）求出A，B两点的坐标，设出，根据题意列出方程，化简后得到结果，注意分两种情况进行求解； （2）在第一问的基础上，分与两种情况，得到直线方程，联立相应的P的轨迹方程，利用弦长公式进行求解. 【详解】（1）由题意得：不妨设，， 则，平方得：， 化简得：， 若， 则，平方得：， 整理得：， 综上：点P的轨迹方程为或； （2）不妨设，故直线，即， 联立与得：， 设，则， 则， 同理，当时，故直线，即， 联立与得：， 设，则， 则， 综上：. 地 城 考点03 直线倾斜角与斜率 22．(24-25高二上·甘肃·期末)直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出直线的斜率，进而得到倾斜角. 【详解】的斜率为， 又倾斜角，故直线倾斜角为. 故选：B 23．(24-25高二上·甘肃定西八校·期末)已知直线经过点，，则的倾斜角为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【分析】根据倾斜角的定义可求答案. 【详解】因为直线经过，，所以直线为轴， 所以直线的倾斜角为0． 故选：C. 24．(24-25高二上·甘肃庆阳环县第一中学·期末)直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直线的一般式方程化为斜截式方程，从而可得直线斜率与倾斜角. 【详解】由直线方程，即， 设倾斜角为， 则，则. 故选：D. 25．(24-25高二上·安徽合肥一六八中学·期中)若直线与直线平行，则直线与之间的距离为 . 【答案】 【分析】利用两直线平行求参数，根据两平行线间的距离公式可得结果. 【详解】由与平行，得，解得， 故两直线方程分别为，所以直线与之间的距离为. 故答案为：. 26．(24-25高二上·甘肃·期末)已知直线和直线，则直线平行的充分不必要条件可以是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】AC 【分析】求出直线平行的充要条件，再由充分不必要条件的定义即可得答案. 【详解】解：当直线平行时， 则有，解得或，经检验此时两直线平行， 所以直线平行的充要条件为或， 由充分不必要条件的定义可知A，C满足题意. 故选：AC． 27．(24-25高二上·甘肃甘南州卓尼县柳林中学·期末)直线：的倾斜角为（   ） A．0° B．30° C．45° D．60° 【答案】D 【分析】先根据直线一般式求斜率再根据斜率求出倾斜角. 【详解】直线：的斜率为， 设倾斜角为，所以， 所以. 故选：D. 28．(23-24高二下·安徽部分普通高中·)若直线与平行，则（   ） A． B．2 C．－5 D．－5或2 【答案】C 【分析】利用两直线平行的性质列方程求出的值，再检验两直线是否重合即可. 【详解】因为直线与平行， 所以，解得或， 当时，，重合，不符合题意，所以舍去．所以． 故选：C． 29．(22-23高二上·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)直线，则是 的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据直线平行的判定求参数，结合充分、必要性定义判断条件间的关系. 【详解】若 ，则，可得或， 时，，即两直线平行，符合； 时，，即两直线重合，不符. 所以，即是 的充要条件. 故选：C 30．(18-19高二上·湖北沙中学·期末)直线的倾斜角范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，设直线的倾斜角为，根据直线方程，求得，即可求解. 【详解】由题意，设直线的倾斜角为 直线的斜率为， 即，又由，所以， 故选B. 【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线的斜率与倾斜角的关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 31．(21-22高二上·安徽合肥第六中学、第八中学、168中学等校·期末)已知直线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】先分别求出两条直线的斜率，再利用两直线垂直斜率之积为，即可求出. 【详解】由已知得直线与直线的斜率分别为、， ∵直线与直线垂直， ∴，解得， 故选：. 32．(22-23高二上·山东潍坊·期末)已知两点，，且直线AB的倾斜角为，则a的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】因直线AB的倾斜角为，则A，B两点横坐标相等. 【详解】因直线AB的倾斜角为，则直线AB的斜率不存在， 则A，B两点横坐标相等，故. 故选：D 33．(21-22高二上·甘肃金昌永昌县第一高级中学·期末)“”是“直线和直线垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】因为直线和直线垂直，所以或，再根据充分必要条件的定义判断得解. 【详解】因为“直线和直线垂直， 所以或. 当时，直线和直线垂直； 当直线和直线垂直时，不一定成立. 所以是直线和直线垂直的充分不必要条件， 故选：A． 地 城 考点04 点到直线距离公式及运用 34．(24-25高二上·甘肃·期末)在平面直角坐标系xOy中，若记动点P为，若点P在直线上，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】作点O关于直线的对称点C，则．点P到y轴的距离为，故可视为直线上的点到y轴的距离和到的距离之和． 【详解】如图： 作点O关于直线的对称点C，则． 设，则有解得所以． 已知第一象限内的点，则， 而，，所以点P到y轴的距离为， 所以可视为直线上的点到y轴的距离和到的距离之和． 过P作轴，显然有， 当且仅当C，P，D三点共线时，和有最小值． 过点C作轴，则即为最小值， 此时P的位置即为CH与直线的交点． 因为，所以的最小值为4． 故选：B. 35．(24-25高二上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期末)拋物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线、双曲线方程确定焦点坐标、渐近线方程，再由点线距离公式求距离. 【详解】由题设，双曲线的渐近线为， 所以焦点到双曲线的渐近线的距离. 故选：A 36．(24-25高二上·甘肃庆阳华池县第一中学·期末)圆的圆心到直线的距离为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出圆心坐标，再求点到线的距离. 【详解】圆圆心坐标为， 点到直线的距离. 故选：B 37．(24-25高二上·甘肃临夏州高中·期末)圆与圆相交，则公共弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由两圆相减得到公共弦方程，再由几何法求出弦长即可； 【详解】圆即， 两圆方程相减可得公共弦方程为， 圆心到公共弦的距离为， 所以公共弦长为. 故选：B. 38．(24-25高二上·山东青岛第二中学·期中)若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．[3，5] 【答案】C 【分析】利用平行线间距离公式根据圆上满足题意的点的个数即可求得结果. 【详解】如图所示： 设与直线l行且与直线l之间的距离为1的直线方程为， 则，解得或， 圆心到直线的距离为， 圆到直线的距离为， 由图可知，圆与直线相交，与直线相离， 所以，即. 故选：C 39．(23-24高二上·吉林白山·期末)已知圆与圆相交于两点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出公共弦所在的直线方程以及公共弦长，利用面积公式计算即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆即，则圆心为，半径， 所以，则，所以两圆相交； 联立,相减可得直线：， 所以到直线的距离为， 利用圆与直线相交可得：， 所以. 故选：A. 40．已知圆，直线，直线被圆截得的弦长最短时，的方程为 . 【答案】 【分析】由直线方程可知过定点，要使直线被圆截得的弦长最短，只需圆心与定点距离即为点线距离，结合点线距离、两点距离公式列方程求值，进而写出的方程. 【详解】由可得， 由解得， 所以直线过定点， 由可知，圆心为，半径为5， 所以要使直线被圆截得的弦长最短，则圆心与定点距离即为点线距离， 所以，解得， 所以的方程为，整理得. 故答案为： 41．(23-24高二上·广东佛山顺德区勒流中学、均安中学、龙江中学等十五校·)已知直线与圆相交于两点，则 . 【答案】4 【分析】利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再用直线与圆相交的弦长公式即得. 【详解】设圆心到直线的距离为，因为，所以. 故答案为：4. 42．(23-24高二上·广东广州铁一中学、广州外国语学校、广大附中·期末)已知圆上有且仅有两个点到直线的距离为1，则实数的值可能取值为（    ） A． B． C． D．6 【答案】BC 【分析】因为所有到直线的距离为1的点都在两条件与已知直线平行的直线上，则可数形结合将问题转化为圆与两条直线有且仅有两个公共点的问题. 【详解】圆方程可化为， 的圆心，半径为， 则圆心到直线的距离， 平面内，若点到直线的距离为1， 则点在与直线平行且距离为的两条直线上， 如图，要使圆上有且仅有两个点到直线的距离为1， 则两平行直线与圆有且仅有两个公共点，则，解得， 即，解得. 故选：BC. 43．(23-24高二上·陕西西安莲湖区·期末)若直线与圆相离，则过点的直线与椭圆的交点个数是（    ） A．0或1 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】由直线与圆相离得，则点在椭圆的内部，由此即可得解. 【详解】由题意直线与圆相离，所以圆心到直线的距离，即， 而，即点在椭圆的内部， 所以过点的直线与椭圆的交点个数是2. 故选：D. 44．(23-24高二上·吉林四平·期中)已知抛物线C：的焦点为F，点P是抛物线C上的一点，，过点P作y轴的垂线，垂足为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由抛物线定义，，解出，代入抛物线方程，可求，再由两点间距离公式可求. 【详解】由抛物线C：，得焦点，设， 所以，由， 解得，所以， 所以. 故选：D.    45．已知双曲线的一条渐近线方程为，且焦点到渐近线的距离为1． (1)求双曲线的方程； (2)若双曲线的右顶点为，，过坐标原点的直线与交于E，F两点，与直线AB交于点，且点E，M都在第一象限，的面积是面积的倍，求直线的斜率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先表示出双曲线的渐近线方程，依题意可得，由点到直线的距离公式求出，再由求出、，即可得到双曲线方程； （2）设，，，，由题意可知，，联立直线与的方程求出，联立直线与双曲线的方程求出，依题意可得，即可求出. 【详解】（1）双曲线的渐近线为，又一条渐近线方程为， 所以， 又焦点到渐近线的距离为1，即，所以， 又，所以，，则双曲线的方程为； （2）由（1）可得，， 则直线的方程为， 设，，，，由题意可知，， 由的面积是面积的倍，可得，即， 所以， 由，消去，可得，解得， 由，消去，可得，解得， 由，可得，解得或（舍去）， 当时，，符合题意， 所以直线的斜率为. 46．(24-25高二上·山西运城·期中)在平面直角坐标系中，直线与的交点是圆C的圆心，直线与圆C相切． (1)求圆C的标准方程； (2)若过点的直线l与圆C有且只有一个公共点，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）联立方程组求出圆的圆心的坐标，利用点到直线的距离公式求出圆的半径，得解； （2）由题可得直线与圆相切，分直线斜率不存在和存在讨论求解. 【详解】（1）联立方程，解得 所以圆的圆心的坐标为， 又由圆与直线相切，可得圆的半径为， 可得圆的标准方程为； （2）由直线与圆有且只有一个公共点，可得直线与圆相切， ①若直线斜率不存在，此时直线方程为：，与圆相切，合题意； ②当直线斜率存在时，设，即， 根据圆心到切线距离等于半径可得，得， 所以此时直线的方程为， 综上，直线的方程为或． 47．(16-17高二下·湖北宜昌七校教学协作体·期末)已知直线圆：. (1)求直线与圆的交点的坐标； (2)求的面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）联立直线与圆的方程即得； （2）由题可得的长度，然后利用点到直线的距离公式及三角形面积公式即得. 【详解】（1）由，可得， 所以或， ∴当时，，当时，， 所以直线与圆的交点的坐标为； （2）由（1）可知， 又点到直线的距离为， ∴的面积为. 48．(24-25高二上·安徽蚌埠固镇县毛钽厂实验中学·月考)已知圆，直线． (1)求证：直线恒过定点； (2)当时，求直线被圆截得的弦长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）直线方程写成，即可求解定点； （2）首先求点到直线的距离，再代入弦长公式，即可求解. 【详解】（1）直线方程可化为， 由可得， 所以直线恒过定点． （2）化为， 圆心，半径． 当时，直线． 圆心到直线的距离． 所以直线被圆截得的弦长为． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 直线及其方程 4大高频考点概览 考点01 直线一般式方程 考点02 直线其他形式方程 考点03 直线倾斜角与斜率 考点04 点到直线距离公式及运用 地 城 考点01 直线一般式方程 1．(21-22高二上·云南玉溪新平县第一中学·期末)已知直线：，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．若直线，则 C．点到直线的距离是1 D．过与直线平行的直线方程是 2．(24-25高二上·甘肃临夏州高中·期末)过点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·甘肃庆阳·期末)直线l：的一个方向向量为（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·甘肃甘南州卓尼县柳林中学·期末)对于直线：与圆：，下列说法正确的是（   ） A．过定点 B．的半径为9 C．与相交 D．被截得的弦长最小值为 5．(22-23高二下·山东济南·期末)已知直线与圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线l恒过定点 B．圆M的圆心坐标为 C．存在实数k，使得直线l与圆M相切 D．若，直线l被圆M截得的弦长为2 6．(22-23高二上·甘肃永昌县第一高级中学·期末)直线l过点，若l的斜率为3，则直线l的一般式方程为 ． 7．(21-22高二·课时2.4.2圆的方程（02）圆的一般方程-·)已知直线l1经过点A(－3，0)，B(3，2)，直线l2经过点B，且l1⊥l2. （1）分别求直线l1，l2的方程； （2）设直线l2与直线y=8x的交点为C，求△ABC的外接圆的标准方程. 8．(24-25高二上·甘肃定西八校·期末)已知的顶点，边上的高所在直线的方程为，角的平分线所在直线的方程为． (1)求直线的方程； (2)求直线的方程． 9．(24-25高二上·甘肃酒泉·期末)已知直线过点. (1)若直线与直线垂直，求的方程； (2)若直线在两坐标轴上的截距之和为零，求直线的方程； (3)若直线与圆相切，求的方程. 10．(23-24高二上·陕西西安西北工业大学附属中学·期中)已知圆：，直线：. (1)证明：直线恒过定点，且直线与圆恒交于两点； (2)求直线被圆截得的弦长最小时的方程. 11．(24-25高二上·重庆杨家坪中学·月考)已知直线，椭圆. (1)求证：对于任意实数，直线过定点，并求出点坐标； (2)当时，求直线被椭圆截得的弦长. 12．(21-22高二上·湖北云梦县黄香高级中学·期末)设直线和直线的交点为. (1)若直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与直线关于点对称，求直线的方程. 地 城 考点02 直线其他形式方程 13．已知直线的一个方向向量为，且经过点，则的方程为（    ） A． B． C． D． 14．(23-24高二上·甘肃白银靖远县第四中学·期末)若直线过点且与斜率为4的直线垂直，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 15．中，，，，则边上的高所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 16．(24-25高二上·甘肃白银靖远县第四中学·期末)过点且斜率为2的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 17．(24-25高二上·甘肃临夏州高中·期末)已知直线的倾斜角为，方向向量，则（    ） A． B． C．1 D．2 18．(21-22高一上·陕西宝鸡陇县中学·期末)已知直线过点. (1)若直线在轴上的截距为3，求直线的方程； (2)若直线与直线平行，且两条平行线间的距离为，求. 19．(24-25高二上·福建宁德福鼎第一中学·月考)求适合下列条件的直线方程： (1)经过点，其方向向量也是直线的法向量． (2)经过点，和两条坐标轴正半轴围成的三角形的面积为4． 20．(20-21高二上·上海建平中学·期中)直线过点且与轴、轴正半轴分别交于、两点. （1）若直线的斜率为，求△的面积； （2）若△的面积满足，求直线的斜率的取值范围； （3）如图，若点分向量所成的比的值为2，过点作平行于轴的直线交轴于点，动点、分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标. 21．(22-23高二上·福建厦门双十中学·期中)已知圆O：与x轴交于A，B两点，动点P与点A的距离是它与点B距离的倍． (1)求点P的轨迹方程； (2)过点B作倾斜角为45°直线l交点P的轨迹于M，N两点，求弦长． 地 城 考点03 直线倾斜角与斜率 22．(24-25高二上·甘肃·期末)直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 23．(24-25高二上·甘肃定西八校·期末)已知直线经过点，，则的倾斜角为（    ） A． B． C．0 D． 24．(24-25高二上·甘肃庆阳环县第一中学·期末)直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 25．(24-25高二上·安徽合肥一六八中学·期中)若直线与直线平行，则直线与之间的距离为 . 26．(24-25高二上·甘肃·期末)已知直线和直线，则直线平行的充分不必要条件可以是（   ） A． B．或 C． D． 27．(24-25高二上·甘肃甘南州卓尼县柳林中学·期末)直线：的倾斜角为（   ） A．0° B．30° C．45° D．60° 28．(23-24高二下·安徽部分普通高中·)若直线与平行，则（   ） A． B．2 C．－5 D．－5或2 29．(22-23高二上·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)直线，则是 的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 30．(18-19高二上·湖北沙中学·期末)直线的倾斜角范围是 A． B． C． D． 31．(21-22高二上·安徽合肥第六中学、第八中学、168中学等校·期末)已知直线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D．3 32．(22-23高二上·山东潍坊·期末)已知两点，，且直线AB的倾斜角为，则a的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 33．(21-22高二上·甘肃金昌永昌县第一高级中学·期末)“”是“直线和直线垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 地 城 考点04 点到直线距离公式及运用 34．(24-25高二上·甘肃·期末)在平面直角坐标系xOy中，若记动点P为，若点P在直线上，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 35．(24-25高二上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期末)拋物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（    ） A． B． C． D． 36．(24-25高二上·甘肃庆阳华池县第一中学·期末)圆的圆心到直线的距离为（    ） A．2 B． C． D． 37．(24-25高二上·甘肃临夏州高中·期末)圆与圆相交，则公共弦长为（    ） A． B． C． D． 38．(24-25高二上·山东青岛第二中学·期中)若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．[3，5] 39．(23-24高二上·吉林白山·期末)已知圆与圆相交于两点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 40．已知圆，直线，直线被圆截得的弦长最短时，的方程为 . 41．(23-24高二上·广东佛山顺德区勒流中学、均安中学、龙江中学等十五校·)已知直线与圆相交于两点，则 . 42．(23-24高二上·广东广州铁一中学、广州外国语学校、广大附中·期末)已知圆上有且仅有两个点到直线的距离为1，则实数的值可能取值为（    ） A． B． C． D．6 43．(23-24高二上·陕西西安莲湖区·期末)若直线与圆相离，则过点的直线与椭圆的交点个数是（    ） A．0或1 B．0 C．1 D．2 44．(23-24高二上·吉林四平·期中)已知抛物线C：的焦点为F，点P是抛物线C上的一点，，过点P作y轴的垂线，垂足为，则（    ） A． B． C． D． 45．已知双曲线的一条渐近线方程为，且焦点到渐近线的距离为1． (1)求双曲线的方程； (2)若双曲线的右顶点为，，过坐标原点的直线与交于E，F两点，与直线AB交于点，且点E，M都在第一象限，的面积是面积的倍，求直线的斜率． 46．(24-25高二上·山西运城·期中)在平面直角坐标系中，直线与的交点是圆C的圆心，直线与圆C相切． (1)求圆C的标准方程； (2)若过点的直线l与圆C有且只有一个公共点，求直线l的方程． 47．(16-17高二下·湖北宜昌七校教学协作体·期末)已知直线圆：. (1)求直线与圆的交点的坐标； (2)求的面积. 48．(24-25高二上·安徽蚌埠固镇县毛钽厂实验中学·月考)已知圆，直线． (1)求证：直线恒过定点； (2)当时，求直线被圆截得的弦长． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $