专题02 等比数列与数列求和及不等式7大题型（期末真题汇编，甘肃专用）高二数学上学期

专题02 等比数列与数列求和及不等式 7大高频考点概览 考点01 等比数列及其通项公式 考点02 等比数列前n项和 考点03 等比数列性质及运用 考点04 裂项相消法求和 考点05 错位相减法求和 考点06 分组（并项）法求和 考点07 数列不等式与新定义 地 城 考点01 等比数列及其通项公式 1．(23-24高三上·宁夏银川唐徕中学·期中)已知等比数列满足，公比，则（    ） A．32 B．64 C．128 D．256 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质计算可得. 【详解】因为，公比， 所以. 故选：B 2．将一个顶角为120°的等腰三角形（含边界和内部）的底边三等分，挖去由两个等分点和上顶点构成的等边三角形，得到与原三角形相似的两个全等三角形，再对余下的所有三角形重复这一操作．如果这个操作过程无限继续下去…，最后挖剩下的就是一条“雪花”状的Koch曲线，如图所示已知最初等腰三角形的面积为1，则经过4次操作之后所得图形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知，每一次操作之后面积是上一次面积的，按照等比数列即可求得结果. 【详解】根据题意可知，每次挖去的三角形面积是被挖三角形面积的， 所以每一次操作之后所得图形的面积是上一次三角形面积的， 由此可得，第次操作之后所得图形的面积是， 即经过4次操作之后所得图形的面积是. 故选：A 3．(24-25高二上·甘肃庆阳·期末)在等比数列中，若，，则（   ） A． B． C．32 D．16 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出等比数列的公比，再结合通项求出. 【详解】设等比数列的公比为，由，，得， 所以. 故选：C 4．(22-23高二上·河北唐山·期末)已知圆O：和点，若过点P的5条弦的长度构成一个递增的等比数列，则该数列公比的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆半径，，则点P在圆内， 则过点P的弦长， 故所求公比的取值范围是，即. 故选：A 5．(24-25高二上·甘肃酒泉·期末)已知数列的首项为，前项和为，且，则（    ） A．数列是等比数列 B．是等比数列 C． D．数列的前项和为 【答案】BCD 【分析】利用递推公式，结合，即可判断选项AB，根据数列的通项公式即可判断选项C，结合对数运算求出，利用等差数列前项和公式即可判断选项D. 【详解】因为，所以， 两式相减得，，即， 令，则， 所以数列从第项起是等比数列， 则，A错， 又，C正确； 又， 所以，且， 所以是以为首项，为公比的等比数列，B正确； 且， 所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 则数列的前项和为，D正确. 故选：BCD 6．(24-25高二上·甘肃定西八校·期末)已知等比数列的前项积为，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．的公比为 C． D． 【答案】ABD 【分析】根据的定义，由可求，判断A，结合等比数列通项公式求，判断B，结合指数幂的运算性质，等差数列通项公式求，判断D，再求判断C. 【详解】因为，所以，A正确． 设公比为，因为，， 所以，B正确． ，D正确． ，C错误． 故选：ABD . 7．(21-22高二上·福建三明第一中学·月考)已知数列满足，则下列结论正确的是（    ） A．为等比数列 B．的通项公式为 C．为递增数列 D．的前n项和 【答案】AB 【分析】将给定的递推公式两边取倒数，构造等比数列，求出通项并逐项判断作答. 【详解】因数列满足，显然，， 两边取倒数得：，即有，而， 因此，数列是首项为4，公比为2的等比数列，A正确； 于是得，整理得，数列的通项公式为，B正确； 因，即数列是递减数列，C不正确； 因，则，D不正确. 故选：AB 8．已知数列中，，当时，，则的通项公式为 ． 【答案】 【分析】变形得到，故为首项为2，公比为2的等比数列，从而利用等比数列通项公式求出答案. 【详解】当时，，故， 其中，故为首项为2，公比为2的等比数列， 故，所以. 故答案为： 9．(24-25高二上·甘肃兰州神州天立学院式高中·期末)设数列满足，则的值为 . 【答案】 【分析】先利用对数的运算公式化简得递推关系式，然后构造一个等比数列，通过等比数列的通项公式来求的值. 【详解】因为 所以当时，， 即， 所以， 设，则， 且， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以. 故答案为： 10．(22-23高二上·甘肃永昌县第一高级中学·期末)等比数列的前项和，则（   ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【分析】根据所给条件表示出、、，再由等比中项的性质得到、的关系，即可得解. 【详解】因为，当时，， 当时，，故， 当时， ，从而， 由于是等比数列，故，显然且，解得， 所以． 故选：C． 地 城 考点02 等比数列前n项和 11．(24-25高二上·甘肃·期末)已知数列为等比数列，，若的前7项和为，则数列的前7项和为（   ） A． B． C． D．60 【答案】D 【分析】根据题意，设等比数列的公比为，由得到，结合等比数列的前7项和为得到，进而证明数列为等比数列，结合等比数列的前项和公式即可求解. 【详解】设等比数列的公比为，前项和为 若，则，，不符合题意，所以， 所以由得到，， 将代入得， 因为为等比数列，所以，则，所以数列也为等比数列，首项为，所以数列的前7项和为， 故选：D 12．设数列的前n项和为，已知，，若，则正整数k的值为（   ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】C 【分析】由题设有，等比数列定义求通项公式，进而有求，再由及放缩法确定范围求参数值. 【详解】，又， 所以是首项为1，公比为的等比数列， 所以， 故，令 由且，则， 由，则， 则，所以， 故，则正整数的值为2023. 故选：C 13．(19-20高二上·山东临沂罗庄区·期中)已知各项均为正数的等比数列，其前项和为，下列说法正确的是（    ） A．数列为等差数列 B．若，则 C． D．记，则数列有最大值 【答案】ABD 【分析】根据等比数列的性质逐项判断即可． 【详解】各项均为正项的等比数列，则（，）， 对于A：（常数，），所以数列为等差数列，故A正确； 对于B：， 所以，故B正确； 对于C：因为，，， 则， 又， ， 即，所以，故C错误； 对于D：， 由于，有最小值，且， 所以有最大值，故有最大值，故D正确； 故选：ABD． 14．(24-25高二上·甘肃白银靖远县第四中学·期末)记为等比数列的前项和，若，则满足不等式的的值可能为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，求出等比数列的公比及首项，进而求出其前项和，再列式解不等式即可. 【详解】设等比数列的公比为，则，又，解得， 因此， 整理得，解得，所以的值可能为5，6，7. 故选：ABC 15．(24-25高二上·甘肃兰州神州天立学院式高中·期末)设等比数列的前项和为，则使成立的的最小值为 . 【答案】7 【分析】根据等比数列通项公式基本量的计算以及等比数列求和公式即可求解. 【详解】由得：， 所以， 由得：， 由于,且n为整数，故n的最小值为7， 故答案为：7 16．(21-22高二上·陕西咸阳秦都区·期末)已知等比数列满足，，为数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等比数列通项公式可构造方程求得公比，进而得到； （2）利用等比数列求和公式可直接构造方程求得结果． 【详解】（1）设等比数列的公比为，则， 解得：， ． （2）， ， 解得：． 地 城 考点03 等比数列性质及运用 17．(23-24高二上·北京第二十四中学·期末)正项等比数列中，是方程的两根，则的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据是方程的两根，利用等比数列的性质求得，再利用对数运算求解. 【详解】解：∵是方程的两根， ∴， ∵数列为正项等比数列， ∴， ∴， 故选：A． 18．已知各项均为正数的数列为等比数列，，则（    ） A．16 B．32 C．64 D．256 【答案】C 【分析】根据已知及等比中项性质求得、，进而可得公比，最后应用等比数列的通项公式求. 【详解】由题设，且，则，又，则， 所以数列的公比，则. 故选：C. 19．(21-22高二下·江苏镇江丹阳高级中学·)已知是2与8的等比中项，则圆锥曲线的离心率等于（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由等比中项定义求得，根据的取值确定曲线是椭圆还是双曲线，然后计算离心率． 【详解】由已知，， 当时，方程为，曲线为椭圆， ，，离心率为； 当时，方程为，曲线为双曲线，，，离心率为． 故选：C． 20．(24-25高二上·甘肃临夏州高中·期末)已知等比数列为递减数列，若是方程的两个根，则公比（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】由等比数列的性质和递减数列的性质求解即可； 【详解】是方程的两个根，且等比数列为递减数列， 所以， 所以， 当时，等比数列的奇数项为正数，偶数项为负数，不符合递减数列，故舍去， 所以公比. 故选：A. 21．等比数列中，为的前n项和，若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据构成等比数列求解即可. 【详解】因为为等比数列，，设， 所以构成等比数列. 所以构成等比数列，所以，所以. 故选：A 22．(23-24高二上·浙江温州温州中学·月考)已知公差不为零的正项等差数列的前n项和为，，，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的前n项和公式以及等比中项的性质，利用基本量法即可求出，从而得出通项公式； （2）利用第（1）小问求出，再由错位相减法进行数列求和即可得出结论. 【详解】（1）依题意，设等差数列的公差为，， 因为，所以， 因为，，成等比数列，所以，即， 联立，解得或（舍去）， 所以. （2）由（1）得， 所以， 所以， 两式相减得，， 所以， 所以. 地 城 考点04 裂项相消法求和 23．(24-25高二上·甘肃庆阳·期末)在数列中，首项，时，，则数列的前项和为 . 【答案】/ 【分析】利用累乘法可求出数列的通项公式，再利用裂项求和法可求得数列的前项和. 【详解】在数列中，首项，时，， 即当时，， 所以，，，，， 上述等式全部相乘得，则， 也满足，故对任意的，， 所以，， 所以数列的前和为. 故答案为：. 24．(24-25高二上·甘肃兰州神州天立学院式高中·期末)已知等差数列的公差为，前项和为，现给出下列三个条件：①成等比数列；②；③.请你从这三个条件中任选两个解答下列问题. (1)求数列的通项公式； (2)若，且，设数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先对① ，② ，③进行等差数列基本量代入化简，再分别考虑①②，①③，②③三种情形联立求得数列通项公式； （2）利用累加法求得，再对进行裂项求和后，根据数列的单调性即可证明. 【详解】（1）由条件①得，因为成等比数列，则， 即，又，则， 由条件②得，即， 由条件③得，可得，即. 若选①②，则有，可得，则； 若选①③，则，则； 若选②③，则，可得，所以. （2）由，且， 当时，则有 又也满足，故对任意的，有， 则， 所以,， 由于对于单调递增，所以， 综上：. 25．(24-25高二上·甘肃多校·期末)已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助与的关系计算即可得； （2）借助裂项相消法计算即可得. 【详解】（1）因为，令得， 因为，所以， 两式相减得， 又满足上式，所以； （2）由（1）可得， 所以． 26．(24-25高二上·甘肃定西八校·期末)已知数列满足，当时，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据递推关系式利用裂项相消法求和可得，可得结果； （2）解法一：利用错位相减法计算可得 解法二：分情况讨论n的奇偶，再分别求出表达式. 【详解】（1）当时，， 即． 设，则，， ． 所以． 当时，也符合， 所以． （2）解法一：，① ，② ①－②得 ， 所以． 解法二：． 当为偶数时，． 当为奇数时， ． 综上， 27．已知数列满足，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）累加法计算通项公式即可； （2）利用裂项相消法计算即可. 【详解】（1）因为， 所以，，，， 累加得， 因为，所以，故； （2）， ． 28．(23-24高二上·河南商丘第二高级中学·月考)（多选）已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，则下列选项正确的是（    ） A．数列是等差数列 B．数列是等比数列 C．数列的通项公式为 D．若，则最大正整数为8 【答案】BCD 【分析】首先运用，得到数列的通项关系式，再配凑得出数列是等比数列，求得数列的通项公式后，代入分式形式，经裂项相消即可. 【详解】由，可得， 可配凑出， 所以数列是一个以为首项，为公比的等比数列，选项A错误，选项B正确； 所以，得，选项C正确； 显然， ，，……， 上式累加可得前项和为：， 不等式等价于，即，即， 其中. 所以最大正整数为8.选项D正确. 故选：BCD. 29．(24-25高二上·甘肃临夏州高中·期末)已知等比数列的各项均为正数，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前2025项和. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）设等比数列的公比为，由条件结合等比数列性质及通项公式可求，再求，由此可得数列的通项公式； （2）由（1）结合条件求，，再利用裂项相消法求结论. 【详解】（1）设等比数列的公比为，因为，所以， 则. 因为等比数列的各项均为正数，所以. 又因为，所以，解得. 所以. 所以数列的通项公式为. （2）因为， 所以， ， 所以， 故数列的前项和. 30．(24-25高二上·甘肃甘南州卓尼县柳林中学·期末)已知数列的前n项和，其中. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据计算即可求解； （2）由（1）得，结合裂项相消法求和即可. 【详解】（1）由题意知， 当时，； 当时，， 符合上式，所以，， （2）由（1）知，则， 所以， 得，. 31．(24-25高二上·甘肃定西岷县·期末)已知数列的前项和为，满足，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前20项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，由等差数列定义可知为等差数列，进而求出通项公式，利用与关系即可求； （2）结合（1）可求，利用裂项相消法即可求. 【详解】（1）∵数列的前项和为满足， ，而， 数列是首项为1，公差为1的等差数列， ，即， 当时，，显然也满足上式， . （2）由（1）知，， ， . 32．(24-25高二上·甘肃庆阳环县第一中学·期末)已知数列的前n项和.求： (1)数列的通项公式； (2)数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与的关系计算并验证首项即得； （2）先求出，利用裂项相消法即可求得. 【详解】（1）因为， 当时，， 两式相减，得， 当时，满足上式， 故数列的通项公式为. （2）由（1）知，故， 所以. 33．(21-22高二上·湖北襄阳·期末)已知数列是递增的等比数列，满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等比数列的通项公式计算基本量从而得出的通项公式； （2）由(1)可得，再由裂项相消法求和即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为q，所以有，， 联立两式解得或 又因为数列是递增的等比数列，所以，所以 数列的通项公式为； （2）∵ ， ∴ ， ∴ ． 地 城 考点05 错位相减法求和 34．已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据求出； （2）错位相减法求和得到，结合，得到. 【详解】（1）由题知，当时，，则． 又．① 当时，，② ①-②得， 所以． 当时，也适合． 综上，数列的通项公式为． （2）因为． 所以，① ，② ①-②得， 整理得， 因为．所以 35．(24-25高二上·甘肃甘南藏族合作第一中学·期末)已知数列中，，. (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)设，求的前项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）利用已知条件转化推出是以为首项，为公差的等差数列，然后求解通项公式； （2）化简，然后利用错位相减法求和求解即可． 【详解】（1）当时，， 所以，， 又，所以， 故是以为首项，为公差的等差数列， 故，所以，． （2）， 所以，， 令，① 则，② ①②得：， ，故， 所以，． 36．(24-25高二上·甘肃甘南州卓尼县柳林中学·期末)若数列满足，，数列的前项和为，且，则（   ） A． B．是等比数列 C．数列的前项和 D． 【答案】CD 【分析】依题意可得是首项为，公差为的等差数列，即可求出的通项公式，再由作差求出的通项公式，即可得到，从而判断A、B，利用分组求和法判断C，利用错位相减法判断D. 【详解】因为，，显然， 所以，又， 所以是首项为，公差为的等差数列，则， 则，则，故A错误； 由，当时，解得， 又时，，则，整理得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，则， 则，所以，所以不是等比数列，故B错误； 由， 所以数列的前项和 ，故C正确； 由，记数列的前项和为， 则， 所以， 所以， 所以，即，故D正确. 故选：CD. 37．某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折次，那么 . 【答案】 5 【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得，再根据错位相减法得结果. 【详解】（1）由对折2次共可以得到，，三种规格的图形，所以对着三次的结果有：，共4种不同规格（单位； 故对折4次可得到如下规格：，，，，，共5种不同规格； （2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为的等比数列，首项为120,第n次对折后的图形面积为，对于第n此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为种（证明从略），故得猜想， 设， 则， 两式作差得： ， 因此，. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解； （2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于结构，利用分组求和法； （4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和. 38．已知数列为等差数列，数列为等比数列，满足，，． (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）由等差数列和等比数列的基本量法求得公差和公比后可得通项公式； （2）用错位相减法求数列的和． 【详解】（1）解：设的公差为，的公比为 ，，， 联立，整理可得，解得， 所以，. （2）解：由（1）知， 则，① ，② ①-②，得 . 所以. 39．(23-24高二上·安徽滁州中学·期末)已知数列的前n项和为，，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析题意，先利用定义判定等比数列，再求通项公式即可； （2）利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）由题意得，又， 所以， 所以是首项为3，公比为3的等比数列， 故. （2）由（1）知， 则，① ，② ①与②两式相减得 ， 故. 地 城 考点06 分组（并项）法求和 40．(24-25高二上·甘肃·期末)已知数列的首项为，且满足，数列是首项为2，各项均为正数的等比数列，且是和的等差中项． (1)证明数列为等差数列，并求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）由题设中的递推关系可得，故可求证为等差数列，故可求的通项公式； （2）利用分组求和可求. 【详解】（1）由，得，否则，依次，这与题设矛盾， 而，于是， 所以数列是首项，公差为2的等差数列， 故，所以． （2）由（1）得． 设数列的公比为，则，且． 因为是和的等差中项，所以， 即，解得或（舍去）或（舍去）， 所以，所以， 所以 ． 所以． 41．(24-25高二上·甘肃定西岷县·期末)数列的前项和为，且，下列说法正确的是（    ） A．若数列为等差数列，则的公差为1 B．若数列为等差数列，则的首项为1 C． D． 【答案】ACD 【分析】利用待定系数法可求等差数列的首项和公差，即可判断A、B；利用并项求和以及等差数列前项和公式可判断C，再利用作差法可判断D. 【详解】若数列为等差数列，则可设， 所以 ， 所以解得，， 所以，所以数列的首项为0，公差为1，故A正确，B错误； 对于C， ，故C正确； 对于D， ， 因为， 即，故D正确. 故选：ACD. 42．(24-25高二上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期末)在数列中，，且 (1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析，； (2). 【分析】（1）根据已知有且，，即可证结论，应用等比数列定义写出通项公式； （2）应用分组求和及等差、等比数列的前n项和公式求. 【详解】（1）由，则且，而， 所以数列是首项为4，公比为2的等比数列，则， 所以. （2）由（1）知. 43．(24-25高二上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期末)函数称为高斯函数，表示不超过的最大整数，如．已知数列满足，且，若，则数列的前2025项和为 ． 【答案】 【分析】根据递推关系求出数列的通项公式，再分类讨论求出，即可求和. 【详解】，，整理有： ，则是常数列，于是，， 当时，时，； 当时，时，； 当时，时，； 当时，时，； 所以 故答案为： 44．(24-25高二上·甘肃酒泉·期末)已知正实数，为常数，且，无穷数列的各项均为正整数，且对任意正整数，恒成立. (1)证明：无穷数列为等比数列； (2)若，，求的通项公式及数列的前项和； (3)若，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2)， (3) 【分析】（1）根据递推公式及等比数列的定义证明即可； （2）结合（1）及所给条件得到是以为首项，为公比的等比数列，即可求出的通项公式，从而求出的通项公式，再由等差数列求和公式计算可得； （3）结合（1）求出的通项公式，再利用分组求和法计算可得. 【详解】（1）因为，所以 ， 又，正实数，为常数，且，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列； （2）因为，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则， 所以； （3）若，则是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以， 所以 . 【点睛】关键点点睛：本题关键是得到 ，从而得到为等比数列. 地 城 考点07 数列不等式与新定义 45．(24-25高二上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期末)已知数列的前项和，且． (1)证明：数列为等差数列； (2)设，记数列的前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先求出首项，再根据之间的关系，即可证明结论； （2）结合（1）可确定的表达式，利用错位相减法求出，结合数列不等式恒成立，即可求得答案. 【详解】（1）当时，，解得或， 由于，故； 由于，可得， 当时，，则， 整理得， 由于，所以，即， 故数列为首项为1，公差为1的等差数列； （2）由（1）可得， 则，故， 则， 故， 由，可得，即，即， 由于对任意恒成立，则， 故实数的取值范围为. 46．(21-22高二上·河南新郑·)已知，，若对任意恒成立，则实数的最小值是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合已知条件分离参数，然后构造新数列，通过分类讨论为奇数或偶数，求新数列的最值即可求解. 【详解】依题意，，所以，即， 所以对于恒成立， 不妨令， 当为偶数时，，当增大，增大，且， 当为奇数是，，当增大，减小，故当时，取得最大值，所以，故实数的最小值. 故选:B. 47．已知数列中，，. (1)证明数列是等比数列，并求的通项公式； (2)数列满足，设为数列的前n项和，求使恒成立的最小的整数k. 【答案】(1)证明见解析，； (2)4. 【分析】（1）利用取倒数后构造数列，结合等比数列定义推理即得，再求出通项公式. （2）由（1）求出，再利用错位相减法求和及数列不等式恒成立求得答案. 【详解】（1）在数列中，由，得，则， 所以数列是以3为公比，以为首项的等比数列， 则，解得， 所以的通项公式. （2）由（1）知， ， ， 两式相减得， 因此，由恒成立，得， 所以使恒成立的最小的整数k为4. 48．(22-23高二上·北京朝阳区·期末)已知是首项为负数，公比为q的等比数列，若对任意的正整数n，恒成立，则q的值可以是 ．（只需写出一个） 【答案】-3（答案不唯一，即可） 【分析】根据已知可推出恒成立，进而得到，. 【详解】由可得，恒成立， 因为，显然有， 又，所以，. 故答案为：-3. 49．(24-25高二上·甘肃甘南州卓尼县柳林中学·期末)若数列：满足，则数列为E数列，记. (1)写出一个满足，且的数列. (2)若，，证明：E数列是递增数列的充要条件是. (3)对任意给定的整数，是否存在首项为0的E数列，使得?如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据与和可考虑写出交替的数列； （2）先证明必要性，根据数列是递增数列，可得，进而求得．再证明充分性，因为，再累加可得，证明即可； （3） 设，则，再累加求得，再分析的奇偶，根据整除的性质，先假设存在再证明矛盾即可． 【详解】（1）是一个满足条件的数列． （2）必要性：因为数列是递增数列， 所以， 所以是首项为0，公差为3的等差数列． 所以， 充分性：由于， 故，，……，， 所以，即，当且仅当时，等号成立， 又因为，， 所以， 故，即是递增数列． 综上所述，结论成立． （3）设，则， 因为，，……，， 所以 ， 因为，所以为偶数()， 所以为偶数， 所以要使，必须使为偶数， 即4整除，即或， 当时，数列的项满足，，， 此时，有且成立， 当时，数列的项满足，，，时，亦有且成立； 当或时，不能被4整除，此时不存在数列，使得且成立． 【点睛】关键点睛：本题主要考查了数列新定义的问题，需要根据题意去绝对值分析，并根据整除的性质推理证明． 50．(24-25高二上·江苏南通海安高级中学·期中)定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项加上它的前一项所得的和都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和.已知数列是等和数列，，，则公和为 . 【答案】7 【分析】根据题意分析可知数列是以2为周期的周期数列，结合周期性分析求解. 【详解】由题意可知：（公和），则， 可得，可知数列是以2为周期的周期数列， 可得，，所以公和. 故答案为：7. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 等比数列与数列求和及不等式 7大高频考点概览 考点01 等比数列及其通项公式 考点02 等比数列前n项和 考点03 等比数列性质及运用 考点04 裂项相消法求和 考点05 错位相减法求和 考点06 分组（并项）法求和 考点07 数列不等式与新定义 地 城 考点01 等比数列及其通项公式 1．(23-24高三上·宁夏银川唐徕中学·期中)已知等比数列满足，公比，则（    ） A．32 B．64 C．128 D．256 2．将一个顶角为120°的等腰三角形（含边界和内部）的底边三等分，挖去由两个等分点和上顶点构成的等边三角形，得到与原三角形相似的两个全等三角形，再对余下的所有三角形重复这一操作．如果这个操作过程无限继续下去…，最后挖剩下的就是一条“雪花”状的Koch曲线，如图所示已知最初等腰三角形的面积为1，则经过4次操作之后所得图形的面积是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·甘肃庆阳·期末)在等比数列中，若，，则（   ） A． B． C．32 D．16 4．(22-23高二上·河北唐山·期末)已知圆O：和点，若过点P的5条弦的长度构成一个递增的等比数列，则该数列公比的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·甘肃酒泉·期末)已知数列的首项为，前项和为，且，则（    ） A．数列是等比数列 B．是等比数列 C． D．数列的前项和为 6．(24-25高二上·甘肃定西八校·期末)已知等比数列的前项积为，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．的公比为 C． D． 7．(21-22高二上·福建三明第一中学·月考)已知数列满足，则下列结论正确的是（    ） A．为等比数列 B．的通项公式为 C．为递增数列 D．的前n项和 8．已知数列中，，当时，，则的通项公式为 ． 9．(24-25高二上·甘肃兰州神州天立学院式高中·期末)设数列满足，则的值为 . 10．(22-23高二上·甘肃永昌县第一高级中学·期末)等比数列的前项和，则（   ） A． B． C．0 D． 地 城 考点02 等比数列前n项和 11．(24-25高二上·甘肃·期末)已知数列为等比数列，，若的前7项和为，则数列的前7项和为（   ） A． B． C． D．60 12．设数列的前n项和为，已知，，若，则正整数k的值为（   ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 13．(19-20高二上·山东临沂罗庄区·期中)已知各项均为正数的等比数列，其前项和为，下列说法正确的是（    ） A．数列为等差数列 B．若，则 C． D．记，则数列有最大值 14．(24-25高二上·甘肃白银靖远县第四中学·期末)记为等比数列的前项和，若，则满足不等式的的值可能为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 15．(24-25高二上·甘肃兰州神州天立学院式高中·期末)设等比数列的前项和为，则使成立的的最小值为 . 16．(21-22高二上·陕西咸阳秦都区·期末)已知等比数列满足，，为数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的值． 地 城 考点03 等比数列性质及运用 17．(23-24高二上·北京第二十四中学·期末)正项等比数列中，是方程的两根，则的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 18．已知各项均为正数的数列为等比数列，，则（    ） A．16 B．32 C．64 D．256 19．(21-22高二下·江苏镇江丹阳高级中学·)已知是2与8的等比中项，则圆锥曲线的离心率等于（    ） A． B． C．或 D．或 20．(24-25高二上·甘肃临夏州高中·期末)已知等比数列为递减数列，若是方程的两个根，则公比（    ） A． B．3 C． D． 21．等比数列中，为的前n项和，若，则（    ） A． B． C． D．1 22．(23-24高二上·浙江温州温州中学·月考)已知公差不为零的正项等差数列的前n项和为，，，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前项和. 地 城 考点04 裂项相消法求和 23．(24-25高二上·甘肃庆阳·期末)在数列中，首项，时，，则数列的前项和为 . 24．(24-25高二上·甘肃兰州神州天立学院式高中·期末)已知等差数列的公差为，前项和为，现给出下列三个条件：①成等比数列；②；③.请你从这三个条件中任选两个解答下列问题. (1)求数列的通项公式； (2)若，且，设数列的前项和为，求证：. 25．(24-25高二上·甘肃多校·期末)已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 26．(24-25高二上·甘肃定西八校·期末)已知数列满足，当时，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 27．已知数列满足，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 28．(23-24高二上·河南商丘第二高级中学·月考)（多选）已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，则下列选项正确的是（    ） A．数列是等差数列 B．数列是等比数列 C．数列的通项公式为 D．若，则最大正整数为8 29．(24-25高二上·甘肃临夏州高中·期末)已知等比数列的各项均为正数，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前2025项和. 30．(24-25高二上·甘肃甘南州卓尼县柳林中学·期末)已知数列的前n项和，其中. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 31．(24-25高二上·甘肃定西岷县·期末)已知数列的前项和为，满足，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前20项和. 32．(24-25高二上·甘肃庆阳环县第一中学·期末)已知数列的前n项和.求： (1)数列的通项公式； (2)数列的前n项和. 33．(21-22高二上·湖北襄阳·期末)已知数列是递增的等比数列，满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 地 城 考点05 错位相减法求和 34．已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：． 35．(24-25高二上·甘肃甘南藏族合作第一中学·期末)已知数列中，，. (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)设，求的前项和． 36．(24-25高二上·甘肃甘南州卓尼县柳林中学·期末)若数列满足，，数列的前项和为，且，则（   ） A． B．是等比数列 C．数列的前项和 D． 37．某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折次，那么 . 38．已知数列为等差数列，数列为等比数列，满足，，． (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前n项和． 39．(23-24高二上·安徽滁州中学·期末)已知数列的前n项和为，，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 地 城 考点06 分组（并项）法求和 40．(24-25高二上·甘肃·期末)已知数列的首项为，且满足，数列是首项为2，各项均为正数的等比数列，且是和的等差中项． (1)证明数列为等差数列，并求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 41．(24-25高二上·甘肃定西岷县·期末)数列的前项和为，且，下列说法正确的是（    ） A．若数列为等差数列，则的公差为1 B．若数列为等差数列，则的首项为1 C． D． 42．(24-25高二上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期末)在数列中，，且 (1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式； (2)求数列的前项和． 43．(24-25高二上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期末)函数称为高斯函数，表示不超过的最大整数，如．已知数列满足，且，若，则数列的前2025项和为 ． 44．(24-25高二上·甘肃酒泉·期末)已知正实数，为常数，且，无穷数列的各项均为正整数，且对任意正整数，恒成立. (1)证明：无穷数列为等比数列； (2)若，，求的通项公式及数列的前项和； (3)若，求数列的前项和. 地 城 考点07 数列不等式与新定义 45．(24-25高二上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期末)已知数列的前项和，且． (1)证明：数列为等差数列； (2)设，记数列的前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围． 46．(21-22高二上·河南新郑·)已知，，若对任意恒成立，则实数的最小值是(    ) A． B． C． D． 47．已知数列中，，. (1)证明数列是等比数列，并求的通项公式； (2)数列满足，设为数列的前n项和，求使恒成立的最小的整数k. 48．(22-23高二上·北京朝阳区·期末)已知是首项为负数，公比为q的等比数列，若对任意的正整数n，恒成立，则q的值可以是 ．（只需写出一个） 49．(24-25高二上·甘肃甘南州卓尼县柳林中学·期末)若数列：满足，则数列为E数列，记. (1)写出一个满足，且的数列. (2)若，，证明：E数列是递增数列的充要条件是. (3)对任意给定的整数，是否存在首项为0的E数列，使得?如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，请说明理由. 50．(24-25高二上·江苏南通海安高级中学·期中)定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项加上它的前一项所得的和都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和.已知数列是等和数列，，，则公和为 . 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $