5.2 导数的运算讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

本讲义聚焦导数的运算核心知识点，系统梳理基本初等函数的导数公式（含指数、对数等函数）、导数的四则运算法则（和差积商及拓展）、简单复合函数的导数，拓展导函数与原函数的奇偶性、周期性关系，构建从基础公式到综合应用的学习支架。 该资料特色在于题型设计层层递进，涵盖求导运算、切线方程等实例，结合例题与跟踪训练，培养学生数学思维中的运算能力和推理意识。通过函数切线方程求解等具体问题，帮助学生用数学语言表达导数应用，课中辅助教师系统授课，课后助力学生巩固练习，查漏补缺。

5.2 导数的运算 知识点一、基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝ax（a>0且a≠1） f(x)＝ex（a>0且a≠1） f(x)＝logax(a>0，且a≠1) 注意：（1）中学阶段研究的函数都是连续可导函数，若无特殊说明，一般不涉及函数不可导的问题。（2）基本初等函数的导数公式不要求推导，直接使用即可。 知识点二、导数的四则运算法则 1.函数的和差的导数运算法则：. 拓展：. 2.函数积的导数运算法则：. 拓展：①若c为常数，则. ②若a,b为常数，则. 3.函数商的导数运算法则：. 拓展：若c为常数，. 知识点三、简单复合函数的导数 1.复合函数的定义：一般地，对于两个函数和,如果通过中间量，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作. 2.复合函数的求导法则：一般地，对于由函数和复合而成的函数，它的导数与函数和的导数间的关系为. 知识点四、导函数与原函数的性质关系（拓展） 1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数。 证明：设是可导的奇函数，则， 两边求导的，化简可得：， 所以是偶函数.同理可证，偶函数的导数是奇函数. 2.周期函数的导数仍是周期函数。 证明：设是可导的周期函数，则， 两边对x求导得，化简可得：， 所以是是以T为周期的周期函数. 题型一：求基本初等函数的导数 例1.求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）. 解：（1）； （2）； （3）. 跟踪训练： 1.求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）. 解：（1）； （2）； （3）∵.∴. 题型二：导数的四则运算 例1.求下列函数的导数： （1）y＝x2sinx； （2）y＝lnx； （3）y. 解：（1）y′＝（x2sinx）′＝2xsinx+x2cosx； （2）y′＝（lnx）′； （3）y′＝（）′. 跟踪训练： 1.求下列函数的导数． （1）y＝x2sinx； （2）； （3）y＝2x3﹣3x2+5x﹣4． 解：（1）y＝x2sinx，则y′＝（x2sinx）′＝2xsinx+x2cosx； （2），则y′＝（lnx）′+（）′； （3）y＝2x3﹣3x2+5x﹣4，则y′＝6x2﹣6x+5． 2.求下列函数的导函数． （1）； （2）. 解：（1） ； （2）. 题型四：复合函数的导数 例1.（1）y＝ln（x2+1）． （2）. （3）f（x）＝ln（3﹣2x）+cos2x． 解：（1）y′＝[ln（x2+1）]′． （2）. （3）． 跟踪训练： 1.求下列函数的导数： （1）y=sin(2x+1)； （2）； （3）y＝xln（x+1）； （2）y＝sin22x+2x+1． 解：（1）； （2）； （3）根据题意，y＝xln（x+1）， 其导数； （4）根据题意，y＝sin2（2x）+2x+1， 其导数y′＝4sin（2x）•cos（2x）+2xln2＝2sin（4x）+2xln2． 题型五：导数的运算常见与切线有关的题型 例1.已知函数f（x）＝xlnx． （1）求这个函数的导数； （2）求这个函数的图象在点x＝e处的切线方程． 解：（1）∵f（x）＝xlnx，∴f′（x）＝lnx+1（x＞0）； （2）由（1）知，切线的斜率k＝f（e）＝lne+1＝2，点（e，e）， 代入点斜式方程得：y﹣e＝2（x﹣e），即2x﹣y﹣e＝0， ∴该函数的图象在x＝e处的切线方程为：2x﹣y﹣e＝0． 例2.已知函数f（x）＝2xlnx+2f(1)x． （1）求f(1)的值； （2）求f（x）在点（e2，f（e2））处的切线方程． 解：（1）因为f（x）＝2xlnx+2f（1）x，所以f′（x）＝2lnx+2+2f（1）， 代入x＝1得：f（1）＝2ln1+2+2f（1）＝2+2f（1），所以f（1）＝﹣2． （2）由（1）可得f（x）＝2xlnx﹣4x，则f（x）＝2lnx﹣2 所以f（e2）＝2e2lne2﹣4e2＝0，f′（e2）＝2lne2﹣2＝2， 所以切线方程为y﹣0＝2（x﹣e2），即2x﹣y﹣2e2＝0． 跟踪训练： 1.已知函数f（x）＝2xlnx． （1）求这个函数的导数； （2）求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程． 解：（1）∵f（x）＝2xlnx，∴f′（x）＝2（lnx+1）＝2lnx+2， （2）由（1）f（1）＝0，f（x）＝2lnx+2，∴k＝f（1）＝2， ∴这个函数的图象在点x＝1处的切线方程：y＝2x﹣2． 2.已知函数f（x）＝x3﹣ax2+b（a，b∈R）的图象过点（2，4），且f'（1）＝1． （1）求a，b的值； （2）求曲线y＝f（x）过点（0，﹣1）的切线方程． 解：（1）由f（x）＝x3﹣ax2+b，得f′（x）＝3x2﹣2ax， 则，解得a＝1，b＝0； （2）由（1）得，f（x）＝x3﹣x2，则f′（x）＝3x2﹣2x， 设切点坐标为（）， 则函数在切点处的切线方程为y， 把点（0，﹣1）代入，可得， 整理得：，解得x0＝1． ∴曲线y＝f（x）过点（0，﹣1）的切线方程为y＝x﹣1． 3.已知函数f（x）＝x3+a，点A（0，0）在曲线y＝f（x）上． （1）求曲线y＝f（x）在点（﹣1，﹣1）处的切线方程； （2）求曲线y＝f（x）过点E（2，0）的切线方程． 解：（1）因为f（x）＝x3+a，点A（0，0）在曲线y＝f（x）上， 所以f（0）＝0+a＝0，所以a＝0，所以f（x）＝x3，所以f′（x）＝3x2， f′（﹣1）＝3，f（﹣1）＝﹣1， 所以曲线y＝f（x）在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为y+1＝3（x+1），即为3x﹣y+2＝0； （2）令所求切线在曲线y＝f（x）上的切点为（m，m3），则f′（m）＝3m2， 所以切线方程为y﹣m3＝3m2（x﹣m）⇒3m2x﹣y﹣2m3＝0， 又E（2，0）在切线上，故6m2﹣2m3＝0⇒m＝0或m＝3， 所以切线方程为y＝0或27x﹣y﹣54＝0． 1.下列四组函数中导数相等的是（ ） A.与 B.与 C.与 D.与 解：答案选D. 2.已知函数，则（　　） A． B．1 C． D．2 解：因为函数，所以f′（x），所以f′（1）， 所以f′（1）． 故选：C． 3.曲线y＝ex+sin2x在点（0，1）处的切线方程为（　　） A．3x+2y﹣2＝0 B．2x﹣2y+1＝0 C．3x﹣y+1＝0 D．3x﹣2y+2＝0 解：因为y′＝ex+2cos2x， 所以y＝ex+sin2x在点（0，1）处的切线斜率为， 所以切线方程为y﹣1＝3×（x﹣0），即3x﹣y+1＝0． 故选：C． 4.曲线y＝sinx+cosx在处切线的倾斜角为（　　） A．0 B． C． D． 解：因为y′＝cosx﹣sinx，所以曲线在处的切线的斜率为k＝﹣1， 结合直线倾斜角范围及斜率与倾斜角关系知：切线倾斜角为． 故选：D． 5.已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值为（ ） A．-2 B． C． D． 解：∵，令x=2得，， 故选D. 6.已知函数f（x）＝﹣x3+x+1，g（x）＝e﹣2x． （1）求曲线y＝f（x）在点（1，1）的切线方程； （2）若曲线y＝f（x）在点（1，1）处的切线与曲线y＝g（x）在x＝t（t∈R）处的切线平行，求t的值． 解：（1）根据题意可得f′（x）＝﹣3x2+1， 所以f′（1）＝﹣2， 所以所求切线方程为y﹣1＝﹣2（x﹣1），即为2x+y﹣3＝0； （2）由（1）可得曲线y＝f（x）在点（1，1）的切线方程为2x+y﹣3＝0， 由g′（x）＝﹣2e﹣2x，可得曲线y＝g（x）在x＝t（t∈R）处的切线斜率为g′（t）＝﹣2e﹣2t，由题意可得﹣2e﹣2t＝﹣2，从而t＝0． 1.已知某物体的运动方程式，则当时的瞬时速度是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 解：∵，∴，故选：C. 2.已知函数f（x）＝xsinx+cosx，则的值为（ ） A． B．1 C．-1 D．0 解：，则，故选：D. 3.函数的导数为（ ） A． B． C． D． 解：. 4.已知函数f（x）的导数为，且满足，则的值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．-12 解：∵， ∴ ，∴， 所以，∴. 5.设xlnx，若，则的值为（ ） A． B． C．e D． 解：，∴，即，解得：.故答案选：C. 6.曲线在点(1,-1)处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 解：，在点（1，-1）处的切线的斜率，所以由点斜式可得直线方程为，即. 故选：A. 7.已知函数在点(1,f(1))处的切线与直线2x-y=0垂直，则a的值为（ ） A． B．1 C． D．-1 解：，由题意可知：，解得：x=.故选：C. 8.求下列函数的导函数． （1）f（x）＝﹣2x3+4x2； （2）； （3）f（x）＝x+cosx，x∈（0，1）； （4）f（x）＝﹣x2+3x﹣lnx； （5）y＝sinx； （6）． 解：（1）f（x）＝﹣2x3+4x2，所以f′（x）＝﹣6x2+8x． （2），所以f′（x）＝x2﹣2x+a． （3）f（x）＝x+cosx，x∈（0，1），所以f′（x）＝﹣sinx+1，x∈（0，1）． （4）f（x）＝﹣x2+3x﹣lnx，所以． （5）y＝sinx，所以y′＝cosx． （6），所以． 9.已知函数f（x）＝ln（2x+a）+x2，且f′（0） （1）求f（x）的解析式； （2）求曲线f（x）在x＝﹣1处的切线方程． 解：（1）函数f（x）＝ln（2x+a）+x2，的导数为 f′（x）2x，f′（0），可得， 解得a＝3， 即有f（x）＝ln（2x+3）+x2； （2）f（x）的导数为f′（x）2x， 曲线f（x）在x＝﹣1处的切线斜率为2﹣2＝0，切点为（﹣1，1）， 即有曲线f（x）在x＝﹣1处的切线方程为y＝1． 10.设． （1）求函数y＝f（x）的定义域； （2）当a＝1时，求函数y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程． 解：（1）根据题意可得f（x）的定义域为（0，+∞）； （2）当a＝1时，f（x）＝lnx﹣x﹣1，所以， 所以f（1）＝﹣2，f'（1）＝0， 所以f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+2＝0． 11.（1）求导：y＝3cosx+2x3﹣4x+3lnx； （2）求函数y＝xlnx在x＝1处的导数． 解：（1）； （2）y′＝lnx+1，∴函数y＝xlnx在x＝1处的导数为1． 12.求下列函数在给定点处的导数： （1）y＝e﹣2x+1在处的导数； （2）y＝ln（5x+2）在x＝1处的导数． 解：（1）∵y＝e﹣2x+1，∴y′＝﹣2e﹣2x+1，∴在处的导数为﹣2e0＝﹣2． （2）∵y＝ln（5x+2），∴y′，∴在x＝1处的导数为． 13.已知曲线f（x）＝x3． （1）求曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程； （2）求过点（﹣1，﹣1）且与曲线f（x）相切的直线方程． 解：（1）因为f（x）＝x3，所以f′（x）＝3x2，所以f′（1）＝3， 所以曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程为y﹣1＝3（x﹣1），即3x﹣y﹣2＝0； （2）设切点坐标为， 则切线方程为，又其过点（﹣1，﹣1）， 所以， 即，所以x0＝﹣1或， 故过点（﹣1，﹣1）且与曲线f（x）相切的直线有两条， 其方程分别是y+1＝3（x+1）和，即3x﹣y+2＝0和3x﹣4y﹣1＝0． 14.已知函数f（x）＝x3﹣3x2+bx+c在x＝0时取得极大值1． （1）求曲线y＝f（x）在点（3，f（3））处的切线方程； （2）求过点（0，2）与曲线y＝f（x）相切的直线方程． 解：（1）由f（x）＝x3﹣3x2+3bx+c，得f′（x）＝S3x2﹣6x+3b， 依题意得，，解得， 可得f（x）＝x3﹣3x2+1，f′（x）＝3x2﹣6x， 验证b＝0，c＝1时，f（x）在x＝0处取得极大值1，符合题意． ∴f（3）＝1，f′（3）＝9，即切点坐标为（3，1），切线斜率k＝9， ∴曲线y＝f（x）在（3，f（3））处的切线方程为y﹣1＝9（x﹣3），即9x﹣y﹣26＝0； （2）由（1）得：f（x）＝x3﹣3x2+1，f′（x）＝3x2﹣6x， 设切点坐标为，切线斜率， 则切线方程为， 把点（0，2）代入， 得， 整理得，解得x0＝1或． 所以切线方程为y+1＝﹣3（x﹣1）或，即3x+y﹣2＝0或15x﹣4y+8＝0． 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2 导数的运算 知识点一、基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝ax（a>0且a≠1） f(x)＝ex（a>0且a≠1） f(x)＝logax(a>0，且a≠1) 注意：（1）中学阶段研究的函数都是连续可导函数，若无特殊说明，一般不涉及函数不可导的问题。（2）基本初等函数的导数公式不要求推导，直接使用即可。 知识点二、导数的四则运算法则 1.函数的和差的导数运算法则：. 拓展：. 2.函数积的导数运算法则：. 拓展：①若c为常数，则. ②若a,b为常数，则. 3.函数商的导数运算法则：. 拓展：若c为常数，. 知识点三、简单复合函数的导数 1.复合函数的定义：一般地，对于两个函数和,如果通过中间量，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作. 2.复合函数的求导法则：一般地，对于由函数和复合而成的函数，它的导数与函数和的导数间的关系为. 知识点四、导函数与原函数的性质关系（拓展） 1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数。 证明：设是可导的奇函数，则， 两边求导的，化简可得：， 所以是偶函数.同理可证，偶函数的导数是奇函数. 2.周期函数的导数仍是周期函数。 证明：设是可导的周期函数，则， 两边对x求导得，化简可得：， 所以是是以T为周期的周期函数. 题型一：求基本初等函数的导数 例1.求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）. 跟踪训练： 1.求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）. 题型二：导数的四则运算 例1.求下列函数的导数： （1）y＝x2sinx； （2）y＝lnx； （3）y. 跟踪训练： 1.求下列函数的导数． （1）y＝x2sinx； （2）； （3）y＝2x3﹣3x2+5x﹣4． 2.求下列函数的导函数． （1）； （2）. 题型四：复合函数的导数 例1.（1）y＝ln（x2+1）． （2）. （3）f（x）＝ln（3﹣2x）+cos2x． 跟踪训练： 1.求下列函数的导数： （1）y=sin(2x+1)； （2）； （3）y＝xln（x+1）； （4）y＝sin22x+2x+1． 题型五：导数的运算常见与切线有关的题型 例1.已知函数f（x）＝xlnx． （1）求这个函数的导数； （2）求这个函数的图象在点x＝e处的切线方程． 例2.已知函数f（x）＝2xlnx+2f(1)x． （1）求f(1)的值； （2）求f（x）在点（e2，f（e2））处的切线方程． 跟踪训练： 1.已知函数f（x）＝2xlnx． （1）求这个函数的导数； （2）求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程． 2.已知函数f（x）＝x3﹣ax2+b（a，b∈R）的图象过点（2，4），且f'（1）＝1． （1）求a，b的值； （2）求曲线y＝f（x）过点（0，﹣1）的切线方程． 3.已知函数f（x）＝x3+a，点A（0，0）在曲线y＝f（x）上． （1）求曲线y＝f（x）在点（﹣1，﹣1）处的切线方程； （2）求曲线y＝f（x）过点E（2，0）的切线方程． 1.下列四组函数中导数相等的是（ ） A.与 B.与 C.与 D.与 2.已知函数，则（　　） A． B．1 C． D．2 3.曲线y＝ex+sin2x在点（0，1）处的切线方程为（　　） A．3x+2y﹣2＝0 B．2x﹣2y+1＝0 C．3x﹣y+1＝0 D．3x﹣2y+2＝0 4.曲线y＝sinx+cosx在处切线的倾斜角为（　　） A．0 B． C． D． 5.已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值为（ ） A．-2 B． C． D． 6.已知函数f（x）＝﹣x3+x+1，g（x）＝e﹣2x． （1）求曲线y＝f（x）在点（1，1）的切线方程； （2）若曲线y＝f（x）在点（1，1）处的切线与曲线y＝g（x）在x＝t（t∈R）处的切线平行，求t的值． 1.已知某物体的运动方程式，则当时的瞬时速度是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 2.已知函数f（x）＝xsinx+cosx，则的值为（ ） A． B．1 C．-1 D．0 3.函数的导数为（ ） A． B． C． D． 4.已知函数f（x）的导数为，且满足，则的值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．-12 5.设xlnx，若，则的值为（ ） A． B． C．e D． 6.曲线在点(1,-1)处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 7.已知函数在点(1,f(1))处的切线与直线2x-y=0垂直，则a的值为（ ） A． B．1 C． D．-1 8.求下列函数的导函数． （1）f（x）＝﹣2x3+4x2； （2）； （3）f（x）＝x+cosx，x∈（0，1）； （4）f（x）＝﹣x2+3x﹣lnx； （5）y＝sinx； （6）． 9.已知函数f（x）＝ln（2x+a）+x2，且f′（0） （1）求f（x）的解析式； （2）求曲线f（x）在x＝﹣1处的切线方程． 10.设． （1）求函数y＝f（x）的定义域； （2）当a＝1时，求函数y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程． 11.（1）求导：y＝3cosx+2x3﹣4x+3lnx； （2）求函数y＝xlnx在x＝1处的导数． 12.求下列函数在给定点处的导数： （1）y＝e﹣2x+1在处的导数； （2）y＝ln（5x+2）在x＝1处的导数． 13.已知曲线f（x）＝x3． （1）求曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程； （2）求过点（﹣1，﹣1）且与曲线f（x）相切的直线方程． 14.已知函数f（x）＝x3﹣3x2+bx+c在x＝0时取得极大值1． （1）求曲线y＝f（x）在点（3，f（3））处的切线方程； （2）求过点（0，2）与曲线y＝f（x）相切的直线方程． 学科网（北京）股份有限公司 $