专题16 角度的计算（计算题专项训练）数学湘教版2024七年级上册

专题16 角度的计算（计算题专项训练） 【适用版本：湘教版2024；内容预览：5类训练共50题】 训练1 钟面角的计算 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 钟面角的核心是利用“时针、分针的转速差”计算，具体指导如下： 一、核心原理（记准2个关键转速） 分针：60分钟转360°，每分钟转6°（360°÷60）； 时针：12小时转360°，每分钟转0.5°（360°÷12÷60）； 二、通用计算公式（直接套用） 设当前时间为 h时m分（h为0-11的整数，m为0-59的整数）： 1. 先算时针与12点方向的夹角：时针角度 = 0.5°×(60h + m)（h小时转化为分钟，加上m分，再乘时针转速）； 2. 再算分针与12点方向的夹角：分针角度 = 6°×m（直接用分针转速乘分钟数）； 3. 最后算两角度的差值：钟面角 = |时针角度 - 分针角度|； 4. 简化结果：钟面角取“差值”和“360°-差值”中的较小值（因为钟面角最大180°）。 方法指导 1．每一堂数学课的时间为40分钟，则在40分钟时间内分针走过的角度为　 　 ． 【分析】根据1分钟分针走过角度为6°，从而即可求出40分钟时间内分针走过的角度． 【解答】解：根据钟面角的特征可知：因为1分钟分针走过角度为6°， 40×6°＝240°， 故答案为：240°． 2．当时钟指针指向3点40分时，分针与时针的夹角是 　 　 度． 【分析】钟表的一周360°，分成12个大格，求出每个大格的度数是30°，根据时针与分诊的格数解答即可． 【解答】解：5×30°﹣30°130°． 故答案为：130． 3．钟面上1时30分时，时针与分针组成的角是 　 　 ，9时整时，时针与分针组成的角是 　 　 ． 【分析】根据时钟上一大格是30度进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：4.5×30＝135°， ∴钟面上1时30分时，时针与分针组成的角是135°， 由题意得：3×30°＝90°， ∴9时整时，时针与分针组成的角是90°， 故答案为：135°；90°． 4．如图，此时钟面上的时间是10时40分，到11时时，分针在钟面上走过的度数与时针走过的度数的差是 　 　 ． 【分析】整个圆分为 12 个大格，每个大格 30 度，分针每分钟走6°，时针每分钟走，由此解答即可． 【解答】解：根据题意可知，钟面上的时间从10时40分，到11时，分针在钟面上走过的度数为：20×6°＝120°， 时针在钟面上走过的度数为：20×0.5°＝10°， ∴分针在钟面上走过的度数与时针走过的度数的差为：120°﹣10°＝110°． 故答案为：110°． 5．小贝周六早上8：00出发去图书馆学习，经过30分钟后到达，到达时钟面上的时针与分针的夹角是　 　 ． 【分析】根据时钟面上有12个大格，每一个大格度数为，结合到达时的时间是8点30分，时钟面上的时针与分针的夹角有2.5个大格，从而得到度数为2.5×30°＝75°． 【解答】解：时钟面上每一个大格度数为， ∵贝周六早上8：00出发去图书馆学习，经过30分钟后到达，时钟面上的时针与分针的夹角有2.5个大格， ∴时钟面上的时针与分针的夹角是2.5×30°＝75°． 故答案为：75°． 6．从下午3点到6点40分，时针转了　 　 度． 【分析】先计算整时转过的角度，再计算40分时针转过的角度，两者相加即可． 【解答】解：根据题意可知，时针从下午3点到下午6点，转过的角度为：3×30＝90（度）， 从下午6点到6点40分，时针转过的角度为：40×0.5＝20（度）， 综上所述，从下午3点到6点40分，时针转过的角度为：90+20＝110（度）． 故答案为：110． 7．下午5：15是同学们的阳光体育活动时间，那5：15时的分针与时针夹角是 　 　 度． 【分析】根据钟面的特点可知5：15时分针指向数字3，时针在数字5和6之间且走了大格，再求出一大格的度数即可得到答案． 【解答】解：∵5：15时分针指向数字3，时针在数字5和6之间且走了大格， ∴5：15时的分针与时针夹角是（2）＝67.5°． 故答案为：67.5． 8．时钟上从3：10开始至少经过 　 　 分钟后分针与时针的夹角为75°． 【分析】先求出时针和分针每分钟各走多少度，分针与时针的夹角为75°时，把75°+35°＝110°看成路程，时针和分针走的每分钟走的度数看成速度，用110°除以它们的速度差即可． 【解答】解：分针每分钟走：360°÷60＝6°， 时针每分钟走360°÷（12×60°）＝0.5°， 3：10时分针与时针的夹角为5×6°×2﹣0.5°×10＝35°， （75°+35°）÷（6°﹣0.5°）＝110°÷5.5°＝20， 故答案为：20． 9．钟表在12点钟时三针重合，经过 　　 分钟秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分？ 【分析】根据钟表示意图，时针转动的速度为0.5°/分，分针为6°/分，秒针为360°/分，显然x的值大于1小于2，运用秒针分别与时针、分针所成的角相等建立等量关系求解即可． 【解答】解：设经过x分钟秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分． 6x﹣360（x﹣1）＝360（x﹣1）﹣0.5x， 解得x． ∴经过分钟秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分． 故答案为：． 10．钟面角是指时钟的时针和分针所成的角．例如：六点钟的时候，时针与分针所成钟面角为180°；七点钟的时候，时针与分针所成钟面角为150°．那么从六点钟到七点钟这一个小时内，哪些时刻时针与分针所成钟面角为100°？请写出具体时刻：　 　 ．（结果形如6点分） 【分析】设6点m分时，时针与分针所成钟面角为100°，根据时针与分针的角度差为100°，分时针与分针重合前以及重合后分别列出方程即可求解． 【解答】解：设6点m分时，时针与分针所成钟面角为100°，时针每分钟转，分针每分钟转6°，六点钟的时候，时针与分针所成钟面角为180°， 依题意得：分时针与分针重合前，0.5m+180﹣6m＝100， 解得：， 分时针与分针重合后，6m﹣（0.5m+180）＝100， 解得：， 故答案为：6点分或6点分． 训练2 度分秒的换算 度分秒是角的常用单位，三者是六十进制（1度=60分，1分=60秒），换算核心是“大单位化小单位乘60，小单位化大单位除以60”，具体方法如下： 一、核心换算关系（必记） 1° = 60′（1度等于60分）； 1′ = 60″（1分等于60秒）；1° = 3600″（1度等于3600秒） 二、换算步骤（分两种情况） 情况1：大单位→小单位（度→分→秒） 方法：度的整数部分不变，小数部分乘60得分数；分数的整数部分不变，小数部分乘60得秒数。 情况2：小单位→大单位（秒→分→度） 方法：秒数除以60得分（余数为秒）；分数除以60得度（余数为分）。 方法指导 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．把33.28°化成度、分、秒得　 　 ；108°20′42″＝　 　 度． 【分析】根据度、分、秒之间的换算关系求解． 【解答】解：33.28°＝33°+60′×0.28＝33°+16′+60″×0.8＝33°16′48″． 108°20′42″＝108°+20′+（42÷60）′＝108°+（20.7÷60）°＝108.345°． 故答案为：33°16′48″；108.345． 2．45°57′18″＝　 　 °；64°÷5+12°25′×3＝　 　 °　 　 ′　 　 ″． 【分析】利用度分秒之间的进率进行换算即可． 【解答】解：45°57′18″ ＝45°57′+18÷60′ ＝45°57.3′ ＝45°+57.3÷60° ＝45.955°， 64°÷5+12°25′×3 ＝12.8°+36°75′ ＝12°+0.8×60′+36°75′ ＝12°48′+36°75′ ＝48°123′ ＝50°3′， 故答案为：45.955；50；3；0． 3．1.16°＝　 　 ° 　 　 ′　 　 ″；45°57′18″＝　 　 ° 【分析】度、分、秒之间是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60． 【解答】解：①∵0.16°＝0.16×60′＝9.6′，0.6′＝0.6×60″＝36″， ∴1.16°＝1°9′36″； ②∵18″＝18÷60＝0.3′，57.3′＝57.3÷60＝0.955°， ∴45°57′18″＝45.955°； 故答案为：1，9，36；45.955． 4．把18°15'化成用度表示的角，应该是　 　 ；把93.52°化成用度、分、秒表示的角，应该是　 　 ． 【分析】根据1°＝60′，1′＝60″直接根据角度的转化计算即可． 【解答】解：根据角度的转化计算可知： ， ∴93.52°＝93°31′12″， 故答案为：18.25°；93°31′12″． 5．已知∠A＝30°45'，∠B＝30.45°，则∠A　 　 ∠B．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【分析】先统一单位，再比较大小即可求解． 【解答】解：∵∠A＝30°45'＝30.75°，∠B＝30.45°， 30.75°＞30.45°， ∴∠A＞∠B． 故答案为：＞． 6．计算： （1）89°35'+20°25'（结果用度、分、秒表示）． （2）123°24'﹣60°36'（结果用度表示）． 【分析】（1）根据度分秒的进制进行计算，即可解答； （2）根据度分秒的进制进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）89°35'+20°25' ＝109°60′ ＝110°； （2）123°24'﹣60°36' ＝123.4°﹣60.6° ＝62.8°． 7．计算： （1）131°28′﹣32′15″； （2）58°38′27″+47°42′40″． 【分析】（1）根据度分秒的计算方法进行计算即可； （2）根据度分秒的计算方法进行计算即可． 【解答】解：（1）原式＝130°55′45″ （2）58°38′27′+47°42′40″＝106°21′7″ 8．计算： ①180°﹣18°15'×6； ②90°﹣（78°36'﹣13°10'÷4）． 【分析】①先计算乘法，再计算减法即可； ②先计算除法和括号内的减法，再计算减法即可． 【解答】解：①180°﹣18°15'×6 ＝180°﹣109°30' ＝70°30'； ②90°﹣（78°36'﹣13°10'÷4） ＝90°﹣（78°36'﹣3°17'30″） ＝90°﹣75°18'30″ ＝14°41'30″． 9．计算： （1）35°45′+23°29′﹣53°17′ （2）67°31′+48°39′﹣21°17′×5 【分析】（1）度、分、秒分别相加减得结论； （2）先算乘法，再算加减． 【解答】解：（1）35°45′+23°29′﹣53°17′ ＝58°74′﹣53°17′ ＝5°57′； （2）67°31′+48°39′﹣21°17′×5 ＝67°31′+48°39′﹣106°25′ ＝115°70′﹣106°25′ ＝9°45′． 10．计算题： ①47°17'34″﹣29°38'53″； ②23°35'×3﹣107°43'÷6． 【分析】①根据度分秒的进制进行计算即可解答； ②根据度分秒的进制进行计算即可解答． 【解答】解：①47°17'34″﹣29°38'53″ ＝46°76′94″﹣29°38'53″ ＝17°38′41″； ②23°35'×3﹣107°43'÷6 ＝70°45′﹣102°342′60″÷6 ＝70°45′﹣17°57'10″ ＝69°104′60″﹣17°57'10″ ＝52°47′50″． 训练3 角的和差计算（含单角平分线） 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．如图，已知OB是∠AOC内的一条射线，∠AOB＝5∠BOC＝120°，OM平分∠AOC，求∠BOM的度数． 【分析】根据题意先求得∠AOC，再由角平分线的定义可得∠COM，最后由∠BOM＝∠COM﹣∠BOC即可得到答案． 【解答】解：∵∠AOB＝5∠BOC＝120°， ∴， ∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC， ∴∠AOC＝120°+24°＝144°， ∵OM是∠AOC的平分线， ∴， ∴∠BOM＝∠COM﹣∠BOC＝72°﹣24°＝48°． 2．如图，O为直线DA上一点，∠AOB＝130°，OE是∠AOB的平分线，∠FOB＝90°． （1）求∠DOB的度数． （2）求∠AOF和∠FOE的度数． 【分析】（1）根据平角的定义求解即可； （2）先求出∠AOF的度数，再由角平分线的定义求出∠AOE的度数，最后根据角的和差关系可得答案． 【解答】解：（1）∵∠AOB＝130°，∠DOB+∠AOB＝180°， ∴∠DOB＝180°﹣∠AOB＝180°﹣130°＝50°． （2）∵∠BOF＝90°，∠AOB＝130°， ∴∠AOF＝∠AOB﹣∠BOF＝130°﹣90°＝40°， ∵OE平分∠AOB， ∴． ∴∠FOE＝∠AOE﹣∠AOF＝65°﹣40°＝25°． 3．如图，O是直线CE上一点，以O为顶点作∠AOB＝90°，且OA，OB位于直线CE两侧，OB平分∠COD． （1）当∠AOC＝60°时，求∠DOE的度数； （2）请你猜想∠AOC和∠DOE的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）根据互余，可求出∠BOC，再根据角平分线，求出∠BOD，最后根据补角的意义求出∠DOE； （2）由特殊到一般，利用等量代换得出结论． 【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝60°， ∴∠BOC＝90°﹣60°＝30°， ∵OB平分∠COD， ∴∠BOC＝∠BOD＝30°， ∴∠DOE＝180°﹣30°﹣30°＝120°； （2）∠DOE＝2∠AOC， 理由如下：∵∠AOB＝90°， ∴∠BOC＝90°﹣∠AOC， ∵OB平分∠COD， ∴∠BOC＝∠BOD＝90°﹣∠AOC， ∴∠DOE＝180°﹣2∠BOC＝180°﹣2（90°﹣∠AOC）＝2∠AOC． 4．如图，OC是∠AOB的平分线，∠COD＝20°． （1）若∠AOD＝40°，求∠AOB的度数． （2）若∠BOD＝3∠AOD，求∠AOB的度数． 【分析】（1）先求出∠AOC的度数，然后根据角平分线的定义求出∠AOB，于是得到结论； （2）设∠AOD＝x，则∠BOD＝3x，根据角平分线的定义和角的倍分即可得到结论． 【解答】解：（1）由条件可知∠AOC＝∠COD+∠AOD＝20°+40°＝60°， ∵OC是∠AOB的平分线， ∴∠AOB＝2∠AOC＝120°； （2）设∠AOD＝x，则∠BOD＝3x， ∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝4x， 由角平分线可知， ∴2x﹣x＝20°， 解得x＝20°， ∴∠BOD＝3x＝60°， ∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝80°． 5．如图，∠COD＝20°，，OB平分∠AOC． （1）求∠AOD的度数； （2）若射线OE在∠AOB的内部，∠DOE＝4∠AOE，试说明OB是∠DOE的平分线． 【分析】（1）由∠COD的度数及∠COD∠COB，可求出∠COB的度数，结合OB平分∠AOC，可求出∠AOC的度数，再结合∠AOD＝∠AOC﹣∠COD，即可求出∠AOD的度数； （2）由∠DOE＝4∠AOE及∠AOD的度数，可求出∠AOE及∠DOE的度数，由∠COD，∠COB的度数，结合∠BOD＝∠COB﹣∠COD，可求出∠BOD的度数，结合40°80°，可得出∠BOD∠DOE，进而可得出OB是∠DOE的平分线． 【解答】解：（1）∵∠COD＝20°，∠COD∠COB， ∴∠COB＝3∠COD＝3×20°＝60°， ∵OB平分∠AOC， ∴∠AOC＝2∠COB＝2×60°＝120°， ∴∠AOD＝∠AOC﹣∠COD＝120°﹣20°＝100°； （2）∵∠DOE＝4∠AOE，∠AOD＝∠DOE+∠AOE＝4∠AOE+∠AOE＝5∠AOE＝100°， ∴∠AOE∠AOD100°＝20°， ∴∠DOE＝4∠AOE＝4×20°＝80°， ∵∠COD＝20°，∠COB＝60°， ∴∠BOD＝∠COB﹣∠COD＝60°﹣20°＝40°80°， ∴∠BOD∠DOE， ∴OB是∠DOE的平分线． 6．如图，已知∠AOB＝114°，OC是∠AOB的平分线，OE在∠BOC内． （1）若，求∠BOE的度数； （2）若∠AOE﹣∠BOE＝52°，求∠AOE的度数． 【分析】（1）先由角平分线的定义求出∠AOC＝∠BOC∠AOB＝57°，再由∠COE∠BOC得∠COE＝19°，进而根据∠BOE＝∠BOC﹣∠COE可得出答案； （2）先由∠AOB＝114°得∠AOE+∠BOE＝114°，则∠BOE＝114°﹣∠AOE，再由∠AOE﹣∠BOE＝52°得∠AOE﹣（114°﹣∠AOE）＝52°，由此可求出∠AOE的度数． 【解答】解：（1）∵∠AOB＝114°，OC是∠AOB的平分线， ∴∠AOC＝∠BOC∠AOB114°＝57°， ∴∠COE∠BOC57°＝19°， ∴∠BOE＝∠BOC﹣∠COE＝57°﹣19°＝38°； （2）∵∠AOB＝114°， ∴∠AOE+∠BOE＝114°， 即∠BOE＝114°﹣∠AOE， 又∵∠AOE﹣∠BOE＝52°， ∴∠AOE﹣（114°﹣∠AOE）＝52°， ∴∠AOE＝83°． 7．如图，已知点O是直线AB上的一点，∠COE＝90°，OF是∠AOE的平分线，点C与点E、F在直线AB的两侧． （1）若∠BOE＝140°，求∠COF的度数； （2）若∠BOE＝2α°，求∠COF的度数． 【分析】（1）由点O是直线AB上的一点，∠BOE＝140°，求得∠AOE＝40°，由OF是∠AOE的平分线，求得∠EOF＝∠AOF＝20°，而∠COE＝90°，则∠COF＝∠COE﹣∠EOF＝70°． （2）因为∠BOE＝2α°，所以∠AOE＝180°﹣2α°，则∠EOF∠AOE＝90°﹣α°，求得∠COF＝∠COE﹣∠EOF＝α°． 【解答】解：（1）∵点O是直线AB上的一点，∠BOE＝140°， ∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝40°， ∵OF是∠AOE的平分线， ∴∠EOF＝∠AOF∠AOE＝20°， ∵∠COE＝90°， ∴∠COF＝∠COE﹣∠EOF＝70°， ∴∠COF的度数是70°． （2）∵∠BOE＝2α°， ∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝180°﹣2α°， ∴∠EOF∠AOE＝90°﹣α°， ∴∠COF＝∠COE﹣∠EOF＝90°﹣（90°﹣α°）＝α°， ∴∠COF的度数是α°． 8．已知点O为直线AB上一点，将直角三角尺MON按如图所示的方式放置，且直角顶点在点O处，在∠MON内部作射线OC，且OC恰好平分∠BOM． （1）若∠CON＝28°，求∠COB的度数； （2）若∠NOC：∠BON＝1：2，求∠NOC的度数． 【分析】（1）根据直角三角形得∠MON＝90°，求得∠MOC＝62°，然后根据角平分线的性质即可求解； （2）根据比例关系设∠NOC为x，则∠BON＝2x，求得∠BOC＝3x，然后根据角平分线的性质即可求解； 【解答】解：（1）∵∠CON＝28°，∠MON＝90°， ∴∠MOC＝∠MON﹣∠CON＝62°， ∵OC平分∠BOM， ∴∠COB＝∠MOC＝62°（角平分线的定义）； （2）∵∠NOC：∠BON＝1：2， 设∠NOC为x， 则∠BON＝2x， ∴∠BOC＝∠NOC+∠BON＝3x， ∵OC平分∠MOB， ∴∠MOC＝∠BOC＝3x， ∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝4x＝90°， 解得：x＝22.5°， 即∠NOC＝22.5°． 9．如图，已知点O为直线AB上一点，OD平分∠BOC，∠DOE＝90°． （1）若∠BOC＝40°，求∠AOE的度数； （2）若∠COD＝2∠EOF，则∠AOF与∠DOF是否相等？请说明理由． 【分析】（1）根据角平分线的定义，平角的定义进行计算即可； （2）根据图形中角的和差关系进行计算即可． 【解答】解：（1）∵OD平分∠BOC，∠BOC＝40°， ∴∠BOD＝∠COD∠BOC＝20°， 又∵∠DOE＝90°， ∴∠AOE＝180°﹣20°﹣90°＝70°； （2）∠AOF＝∠DOF，理由： 由于∠COD＝2∠EOF，可设∠EOF＝x，则∠COD＝2x， ∵OD平分∠BOC， ∴∠BOD＝∠COD＝2x， ∵∠DOE＝90°， ∴∠DOF＝∠DOE﹣∠EOF＝90°﹣x， ∵∠AOF＝∠AOE+∠EOF ＝180°﹣90°﹣2x+x ＝90°﹣x， ∴∠DOF＝∠AOF． 10．点O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC． （1）如图1，若∠DOE＝25°，求∠AOC的度数； （2）将图1中的∠COD绕点O按顺时针方向旋转至图2所示位置．探究∠DOE与∠AOC的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． 【分析】（1）根据题意可得∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝65°；因为OE平分∠BOC，所以∠COE＝∠BOE＝65°，则∠AOC＝180°﹣∠COE﹣∠BOE＝50°； （2）根据题意可得，∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣∠COE，∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣2∠COE，因此∠AOC＝2∠DOE． 【解答】解：（1）∵∠DOE＝25°，∠COD是直角， ∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝65°； ∵OE平分∠BOC， ∴∠COE＝∠BOE＝65°， ∴∠AOC＝180°﹣∠COE﹣∠BOE＝50°； （2）根据题意得，∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣∠COE， ∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣2∠COE， 因此，∠AOC＝2∠DOE． 训练4 角的和差计算（含双角平分线） 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．如图所示，OE是∠AOD的平分线，OC是∠BOD的平分线． （1）如果∠AOE＝45°，∠BOD＝40°，那么∠COE是多少度？ （2）如果∠AOB＝130°，∠COD＝20°，那么∠BOE是多少度？ 【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠DOE、∠COD的度数，即可求出∠COE的度数； （2）根据角平分线的定义求出∠BOD的度数，结合∠AOB＝130°即可求出∠DOA的度数，于是求出∠DOE的度数，即可求出∠BOE的度数． 【解答】解：（1）∵OE是∠AOD的平分线， ∴∠AOE＝∠DOE， ∵∠AOE＝45°， ∴∠DOE＝45°， ∵OC是∠BOD的平分线， ∴， ∵∠BOD＝40°， ∴∠COD＝20°， ∴∠COE＝∠DOE+∠COD＝45°+20°＝65°， 答：∠COE是65度； （2）∵OC是∠BOD的平分线， ∴∠BOC＝∠COD， ∵∠COD＝20°， ∴∠BOC＝20°， ∴∠BOD＝40°， ∵∠AOB＝130°， ∴∠DOA＝∠AOB﹣∠BOD＝130°﹣40°＝90°， ∵OE是∠AOD的平分线， ∴∠DOE， ∴∠BOE＝∠BOD+∠DOE＝40°+45°＝85°， 答：∠BOE是85度． 2．如图，直线AB经过点O，OA平分∠COD，OB平分∠MON，若∠AON＝150°，∠COD＝120°． （1）求∠MON的度数； （2）求∠COM的度数． 【分析】（1）根据邻补角得到∠BON＝180°﹣150°＝30°，根据角平分线得到∠MON＝2∠BON＝60°； （2）根据角平分线得到，∠MOB＝∠BON＝30°，利用平角定义即可得到∠COM＝180°﹣∠AOC﹣∠MOB＝180°﹣60°﹣30°＝90°． 【解答】解：（1）∵∠AON＝150°， ∴∠BON＝180°﹣150°＝30°． ∵OB平分∠MON， ∴∠MON＝2∠BON＝2×30°＝60°； （2）∵OA平分∠COD，∠COD＝120°， ∴∠AOC∠COD＝120°60°， ∵OB平分∠MON， ∴∠MOB＝∠BON＝30°， ∴∠COM＝180°﹣∠AOC﹣∠MOB＝180°﹣60°﹣30°＝90°． 3．如图，OD平分∠AOB，OE平分∠BOC，∠COD＝20°，∠AOB＝140°，求∠DOE的度数． 【分析】首先根据OD平分∠AOB，求出∠AOD、∠BOC的度数是多少；然后求出∠COE的度数，即可求出∠DOE的度数是多少． 【解答】解：∵OD平分∠AOB，∠AOB＝140°， ∴∠AOD∠AOB＝70°， ∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOD﹣∠COD＝50°， ∴∠COE∠BOC＝25°， ∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝45°． 4．如图，OM平分∠AOB，ON平分∠AOC，∠AOM：∠MOC＝1：7，∠AOM＝20°，求∠BOC的度数． 【分析】根据题意，由∠AOM：∠MOC＝1：7，∠AOM＝20°，可得∠MOC＝7∠AOM＝7×20°＝140°，再根据OM平分∠AOB，由角平分线的定义可得：∠BOM＝∠AOM＝20°，最后根据∠BOC＝∠MOC﹣∠BOM进行计算即可得出答案． 【解答】解：∵∠AOM：∠MOC＝1：7，∠AOM＝20°， ∴∠MOC＝7∠AOM＝7×20°＝140°， 又∵OM平分∠AOB， ∴∠BOM＝∠AOM＝20°， ∴∠BOC＝∠MOC﹣∠BOM ＝140°﹣20° ＝120°． 5．如图，点A，O，B在同一条直线上，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC． （1）若∠BOD＝160°，求∠BOE的度数． （2）若∠COE比∠COD多60°，求∠COE的度数． 【分析】（1）由已知条件和观察图形，利用角平分线的性质求出∠DOE的度数，再求∠BOE的度数； （2）由已知条件和观察图形，利用角平分线的性质求出∠DOE的度数，再根据∠COE比∠COD多60°求∠COE的度数． 【解答】解：（1）如图，因为OD是∠AOC的平分线， 所以∠COD∠AOC， 又因为OE是∠BOC的平分线， 所以∠COE∠BOC． 所以∠DOE＝∠COD+∠COE（∠AOC+∠BOC）∠AOB＝90°， 因为∠BOD＝160°， 所以∠BOE＝∠BOD﹣∠DOE＝160°﹣90°＝70°． （2）由（1）可知，∠DOE＝90°． 因为∠COE比∠COD多60°， 所以∠COE﹣∠COD＝60°，① 因为∠COE+∠COD＝90°，② ①+②，得2∠COE＝150°， 所以∠COE＝75°． 6．如图，点P在直线AB上，∠CPD＝90°． （1）如图1，若∠CPD在直线AB上方，∠APC＝50°，求∠BPD的度数； （2）如图2，若PC在直线AB上方，PD在直线AB下方，过点P分别作∠APC的平分线PE，∠BPD的平分线PF．求∠EPF的度数． 【分析】（1）利用平角是180°得∠APC+∠CPD+∠BPD＝180°，即可求得∠BPD的度数； （2）利用角的和差关系分别表示∠EPC，∠FPC，然后求和即可． 【解答】解：（1）∵∠APC+∠CPD+∠BPD＝180°， ∠APC＝50°，∠CPD＝90°， ∴∠BPD＝180°﹣∠APC﹣∠CPD＝180°﹣50°﹣90°＝40°， 即∠BPD的度数为40°； （2）∵∠CPD＝90°， ∴∠BPC＝∠CPD﹣∠BPD＝90°﹣∠BPD， ∵∠APC+∠BPC＝180°， ∴∠APC＝180°﹣∠BPC＝180°﹣（90°﹣∠BPD）＝90°+∠BPD， ∵PE平分∠APC， ∴∠EPC∠APC（90°+∠BPD）， ∵PF平分∠BPD， ∴∠DPF∠BPD， ∴∠FPC＝∠CPD﹣∠DPF＝90°∠BPD， ∵∠EPF＝∠EPC+∠FPC， ∴∠EPF（90°+∠BPD）+90°∠BPD＝135°， 即∠EPF的度数为135°． 7．如图，已知OE平分∠AOC，OF平分∠BOC （1）若∠AOB是直角，∠BOC＝60°，求∠EOF的度数． （2）若∠AOC＝x°，∠EOF＝y°，∠BOC＝60°，请用含x的代数式来表示y．（直接写出结果就行）． 【分析】（1）由∠AOB是直角、∠BOC＝60°知∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝150°，根据OE平分∠AOC、OF平分∠BOC求得∠EOC、∠COF度数，由∠EOF＝∠EOC﹣∠COF可得答案； （2）由∠AOC＝x°，、OE平分∠AOC 知∠EOC∠AOCx°，由OF平分∠BOC、∠BOC＝60°知∠COF∠BOC＝30°，根据∠EOF＝∠EOC﹣∠COF可得答案． 【解答】解：（1）∵∠AOB是直角，∠BOC＝60°， ∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+60°＝150°， ∵OE平分∠AOC， ∴∠EOC∠AOC＝75°， ∵OF平分∠BOC， ∴∠COF∠BOC＝30°， ∴∠EOF＝∠EOC﹣∠COF＝75°﹣30°＝45°； （2）∵∠AOC＝x°，OE平分∠AOC， ∴∠EOC∠AOCx°， ∵OF平分∠BOC，∠BOC＝60°， ∴∠COF∠BOC＝30°， ∴∠EOF＝∠EOC﹣∠COFx°﹣30°，即yx﹣30． 8．如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线． （1）如图1，当∠AOB是直角，∠BOC＝60°时，求∠MON的度数是多少？ （2）如图2，当∠AOB＝α，∠BOC＝60°时，尝试发现∠MON与α的数量关系． （3）如图3，当∠AOB＝α，∠BOC＝β时，猜想：∠MON与α、β有数量关系吗？直接写出结论即可． 【分析】（1）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可； （2）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可； （3）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可． 【解答】解：（1）如图1，∵∠AOB＝90°，∠BOC＝60°， ∴∠AOC＝90°+60°＝150°， ∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC， ∴∠MOC∠AOC＝75°，∠NOC∠BOC＝30°， ∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝75°﹣30°＝45°． （2）如图2，∠MONα， 理由是：∵∠AOB＝α，∠BOC＝60°， ∴∠AOC＝α+60°， ∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC， ∴∠MOC∠AOCα+30°，∠NOC∠BOC＝30°， ∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOCα． （3）如图3，∠MONα，与β的大小无关． 理由：∵∠AOB＝α，∠BOC＝β， ∴∠AOC＝α+β． ∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线， ∴∠MOC∠AOC（α+β）， ∠NOC∠BOCβ， ∴∠AON＝∠AOC﹣∠NOC＝α+ββ＝αβ． ∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC （α+β）βα， 即∠MONα． 9．点O是直线AB上一点，线段OC绕点O旋转，OD平分∠BOC，过点O作OE⊥OD（OE在OD的右侧），OF平分∠COE． （1）如图1，若OC⊥AB，求∠DOF的度数； （2）如图2，若∠DOF＝α，求∠BOE的度数． 【分析】（1）根据题意及角平分线的定义即可解答； （2）根据题意及角平分线的定义，进行角的等量代换即可解答 【解答】解：（1）∵OC⊥AB， ∴∠AOC＝∠BOC＝90°， ∵OD平分∠BOC， ∴∠COD＝∠BOD＝45°， ∵OE⊥OD， ∴∠DOE＝90°， ∴∠COE＝∠DOE+∠COD＝135°， ∵OF平分∠COE， ∴∠COF＝∠FOE＝67.5°， ∴∠DOF＝∠COF﹣∠COD＝67.5°﹣45°＝22.5°； （2）∵∠DOF＝α， ∵OE⊥OD， ∴∠DOE＝90°， ∴∠EOF＝∠DOE﹣∠DOF＝90°﹣α， ∵OF平分∠COE， ∴∠COF＝∠FOE＝90°﹣α， ∴∠COE＝180°﹣2α， ∵OD平分∠BOC， ∴∠COD＝∠BOD＝∠COF﹣∠DOF＝90°﹣2α， ∴∠BOE＝∠DOE﹣∠BOD＝2α． 10．已知∠AOB+∠BOC＝180°，OD平分∠BOC． （1）如图1，若∠AOB＝70°，则∠BOC＝ 　110°　 °，∠AOD＝ 　125°　 °； （2）如图2，若∠AOB＝150°，求∠AOD的度数； （3）若∠AOB＝m°（90＜m＜180），OE平分∠AOB，求出∠DOE的度数．（用含m的代数式表示） 【分析】（1）根据∠AOB+∠BOC＝180°，∠AOB＝70°可得∠BOC的度数；再根据角平分线的定义得∠BOD＝55°，进而根据∠AOD＝∠AOB+∠BOD可得∠AOD的度数； （2）根据题意画出图形，先求出∠BOC＝30°，再根据角平分线的定义求出∠BOD＝15°，进而根据∠AOD＝∠AOB+∠BOD可得∠AOD的度数； （3）分两种情况进行讨论：①当OC在∠AOB的外部时，先求出∠BOC＝180°﹣m°，再根据角平分线的定义求出∠BOD＝90°m°，∠BOEm°，再根据∠DOE＝∠BOD+∠BOE即可得出∠DOE的度数；②当OC在∠AOB的内部时，先求出∠BOC＝180°﹣m°，再根据角平分线定义得∠BOD＝90°m°，∠BOEm°，然后根据∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD可得出∠DOE的度数，综上所述即可得出答案． 【解答】解：（1）∵∠AOB+∠BOC＝180°，∠AOB＝70°， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOB＝180°﹣70°＝110°； ∵OD平分∠BOC， ∴∠BOD∠BOC110°＝55°， ∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝70°+55°＝125°； （2）分两种情况讨论如下： ①当OC在OB的左侧时，如图2所示： ∵∠AOB+∠BOC＝180°，∠AOB＝150°， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOB＝180°﹣150°＝30°， ∵OD平分∠BOC， ∴∠BOD∠BOC30°＝15°， ∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝150°+15°＝165°； ②当OC在OB的右侧时，如图3所示： ∵∠AOB+∠BOC＝180°，∠AOB＝150°， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOB＝180°﹣150°＝30°， ∵OD平分∠BOC， ∴∠BOD∠BOC＝15°， ∴∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD＝150°﹣15°＝135°， 综上所述：∠AOD的度数为165°或135°； （3）依题意有以下两种情况： ①当OC在∠AOB的外部时，如图4所示： ∵∠AOB+∠BOC＝180°，∠AOB＝m°（90＜m＜180）， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOB＝180°﹣m°， ∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOB， ∴∠BOD∠BOC（180°﹣m°）＝90°m°，∠BOEAOBm°， ∴∠DOE＝∠BOD+∠BOE＝90°m°m°＝90°． ②当OC在∠AOB的内部时，如图5所示： ∵∠AOB+∠BOC＝180°，∠AOB＝m°（90＜m＜180）， ∴∠BOC＝180°﹣m°， ∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOB， ∴∠BOD∠BOC＝90°m°，∠BOE∠AOBm°， ∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BODm°﹣（90°m°）＝（m﹣90）°， 综上所述：∠DOE的度数为90°或（m﹣90）°． 训练5 角的和差计算（含余角和补角） 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．已知一个角的余角等于这个角的补角的，试求这个角的度数． 【分析】利用题中的“一个角的余角等于这个角的补角的”作为相等关系列方程求解． 【解答】解：设这个角是x，则90°﹣x（180°﹣x）， 解得x＝60°． 答：这个角的度数为60°． 2．已知一个锐角的补角比这个角的余角的3倍大30°，求这个角的度数． 【分析】根据余角、补角的定义即可解答． 【解答】解：设这个锐角等于x°． 根据题意，得180﹣x＝3（90﹣x）+30． 解得x＝60． 答：这个锐角的度数是60°． 3．如图，∠AOC与∠BOC互为补角，∠BOC与∠BOD互为余角，OE平分∠AOC且∠BOC＝4∠BOD．求∠BOE的度数． 【分析】先根据已知条件和互为余角的定义，求出∠BOC，再根据互为补角的定义，求出∠AOC，然后根据角平分线的定义求出∠COE，最后根据∠BOE＝∠BOC+∠COE，求出答案即可． 【解答】解：∵∠BOC与∠BOD互为余角， ∴∠BOC+∠BOD＝90°， 又∠BOC＝4∠BOD， ∴； ∵∠AOC与∠BOC互为补角， ∴∠AOC+∠BOC＝180°， ∵∠BOC＝72°， ∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝108°， ∵OE平分∠AOC， ∴， ∴∠BOE＝∠BOC+∠COE＝126°． 4．如图所示，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线． （1）如果∠AOB＝32°，∠COE与∠BOC互余，求∠BOD． （2）如果∠AOD与∠BOE互补，求∠BOD． 【分析】（1）由角平分线的定义可得∠BOC＝∠AOB＝32°，∠COE＝58°，再由角平分线的定义可得∠COD＝29°，最后根据角的和差即可解答； （2）由∠AOD与∠BOE互补，可得∠AOD+∠BOE＝180°，结合角平分线的定义可得3∠BOC+3∠COD＝180°，进一步即可解答． 【解答】解：（1）由条件可知∠BOC＝∠AOB＝32°， ∵∠COE与∠BOC互余， ∴∠COE＝90°﹣∠BOC＝58°． ∵OD是∠COE的平分线， ∴， ∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝32°+29°＝61°． （2）由条件可知∠AOD+∠BOE＝180°， ∴∠AOB+∠BOC+∠COD+∠BOC+∠COD+∠DOE＝180°， ∵OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线， ∴，， ∴3∠BOC+3∠COD＝180°， ∴∠BOC+∠COD＝60°， ∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝60°． 5．如图，已知点O为直线AB上一点，∠AOC＝60°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOE． （1）求∠EOF的度数； （2）若点D在直线AB下方且∠AOD与∠AOC互余，求∠DOF的度数． 【分析】（1）先由角平分线得∠AOE＝30°，算出∠BOE＝150°，再用角平分线得∠EOF＝75°； （2）由互余得∠AOD＝30°，结合（1）中角的度数，算出∠DOF＝135°． 【解答】解：（1）∵OE平分∠AOC，∠AOC＝60°， ∴， ∵点O在直线AB上，∠AOC＝60°， ∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣30°＝150°， 又∵OF平分∠BOE， ∴75°； （2）∵∠AOD与∠AOC互余， ∴∠AOD+∠AOC＝90°， 已知∠AOC＝60°，则∠AOD＝90°﹣∠AOC＝90°﹣60°＝30°， 由（1）知∠AOE＝30°， ∴∠DOE＝∠AOD+∠AOE＝30°+30°＝60°， 又∵∠EOF＝75°， ∴∠DOF＝∠DOE+∠EOF＝60°+75°＝135°． 6．如图，点O是直线AB上的一点，∠AOE＝∠FOD＝90°，OB平分∠COD． （1）试说明∠AOF＝∠EOD； （2）求∠EOC+∠AOF的度数． 【分析】（1）由∠AOE＝∠FOD，得到∠AOF+∠EOF＝∠EOD+∠EOF，即可证明； （2）由角平分线定义，余角的性质，即可求解． 【解答】（1）证明：∵∠AOE＝∠FOD， ∴∠AOF+∠EOF＝∠EOD+∠EOF， ∴∠AOF＝∠EOD； （2）解：∵OB平分∠COD， ∴∠BOC＝∠DOB， ∵∠AOE＝90°， ∴∠BOE＝90°， ∴∠BOD+∠DOE＝∠EOF+∠DOE＝90°， ∴∠BOD＝∠EOF， ∴∠BOC＝∠EOF， ∵∠EOC＝∠EOB+∠BOC， ∴∠EOC＝∠EOB+∠EOF， ∴∠EOC+∠AOF＝∠EOB+∠EOF+∠AOF， ＝∠EOB+∠AOE＝90°+90°＝180°． 7．如图，∠AOB＝42°，OB是∠AOC的角平分线，∠DOE：∠COD＝2：1． （1）若∠DOE＝30°，求∠BOD的度数； （2）若∠AOD∠+BOD＝180°，求∠COE的度数． 【分析】（1）根据OB是∠AOC的角平分线，可得∠BOC＝∠AOB＝42°，进而求解∠COD的度数，进而求解； （2）根据∠DOE：∠COD＝2：1，设∠COD＝x°，则∠DOE＝2x°，根据题意列方程求解即可． 【解答】解：（1）∵OB是∠AOC的角平分线，∠AOB＝42°， ∴∠BOC＝∠AOB＝42°， ∵∠DOE：∠COD＝2：1， ∴∠COD∠DOE， ∵∠DOE＝30°， ∴∠COD＝15°， ∴∠BOD＝∠COD+∠BOC＝15°+42°＝57°； （2）∵∠DOE：∠COD＝2：1， ∴设∠COD＝x°，则∠DOE＝2x°， ∵∠AOB＝∠BOC＝42°， ∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝（42+x）°， ∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝（84+x）°， ∵∠AOD+∠BOD＝180°， ∴84+x+42+x＝180， ∴x＝27， ∴∠COD＝27°，∠DOE＝54°， ∴∠COE＝∠COD+∠DOE＝27°+54°＝81°． 8．如图，OC，OD，OE是∠AOB内三条射线，OE平分∠DOA，OC平分∠AOB． （1）已知∠BOD＝80°，∠AOE＝25°，求∠COD的度数； （2）若∠BOD与∠EOC互余，求∠EOC的度数． 【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠DOA的度数，即可求出∠AOB的度数，再根据角平分线的定义求出∠COD的度数即可； （2）根据角平分线的定义及角的和差得出∠BOD＝2∠EOC，再根据∠BOD与∠EOC互余，即可求出∠EOC的度数． 【解答】解：（1）∵OE平分∠DOA， ∴∠DOA＝∠AOE， ∵∠AOE＝25°， ∴∠DOA＝50°， ∵∠BOD＝80°， ∴∠AOB＝∠BOD+∠DOA＝80°+50°＝130°， ∵OC平分∠AOB， ∴∠BOC， ∴∠COD＝∠BOD﹣∠BOC＝80°﹣65°＝15°； （2）∵OE平分∠DOA， ∴∠AOE， ∵OC平分∠AOB， ∴∠AOC， ∴∠EOC＝∠AOC﹣∠AOE ， 即∠BOD＝2∠EOC， ∵∠BOD与∠EOC互余， ∴∠BOD+∠EOC＝90°， 即2∠EOC+∠EOC＝90°， ∴∠EOC＝30°． 9．如图，点O是直线AB上一点，∠BOC与∠AOE互为余角，OD是∠BOC的平分线． （1）求∠COE的度数； （2）若∠AOE＝48°，求∠DOE的度数； （3）若∠AOE：∠EOD＝5：11，求∠BOC的度数 【分析】（1）由∠BOC与∠AOE互为余角得∠BOC+∠AOE＝90°，进而可求出∠COE的度数； （2）由余角的定义求出∠BOC＝90°﹣∠AOE＝42°，再由角平分线的定义求出，进而可求出∠DOE的度数； （3）设∠BOC的度数为2x°，则∠AOE＝（90﹣2x）°，∠EOD＝（90+x）°，然后根据∠AOE：∠EOD＝5：11列方程求解即可． 【解答】解：（1）∵点O是直线AB上一点， ∴∠AOB＝180°， ∵∠BOC与∠AOE互余， ∴∠BOC+∠AOE＝90°， ∴∠COE＝∠AOB﹣（∠BOC+∠AOE）＝180°﹣90°＝90°； （2）∵∠BOC与∠AOE互余，∠AOE＝48°， ∴∠BOC＝90°﹣∠AOE＝42°， 又∵OD是∠BOC的平分线， ∴， ∴∠DOE＝∠DOC+∠COE＝21°+90°＝111°， （3）设∠BOC＝2x°，则∠AOE＝（90﹣2x）°，∠EOD＝（90+x）°， ∵∠AOE：∠EOD＝5：11， ∴（90﹣2x）：（90+x）＝5：11， 解得x＝20， ∴∠BOC＝40°． 10．小明利用一块含30°的三角尺COD进行数学探究活动： 如图，O为直线AB上一点，将一三角尺COD的直角顶点放在点O处，OE平分∠BOC． （1）初步探究：如图①，若∠AOC＝40°，求∠DOB和∠DOE的度数； （2）深化研究：如图②，若OF平分∠BOD，直接写出∠EOF的度数． 【分析】（1）先求出∠BOC＝140°，进而得∠DOB＝50°，根据OE平分∠BOC得∠BOE＝70°，再根据∠DOE＝∠BOE﹣∠DOB即可得出答案； （2）设∠AOC＝α，则∠BOC＝180°﹣α，∠DOB＝90°﹣α，由OE平分∠BOC得∠BOE，进而得∠DOE，再由OF平分∠BOD得∠DOF，然后根据∠EOF＝∠DOE+∠DOF即可得出答案． 【解答】解：（1）∵点O为直线AB上一点， ∴∠AOC+∠BOC＝180°， ∵∠AOC＝40°， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝140°， ∵∠COD＝90°， ∴∠DOB＝∠BOC﹣∠COD＝50°， ∵OE平分∠BOC， ∴∠BOE∠BOC140°＝70°， ∴∠DOE＝∠BOE﹣∠DOB＝70°﹣50°＝20°； （2）设∠AOC＝α， ∵点O为直线AB上一点， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣α， ∵OE平分∠BOC， ∴∠BOE∠BOC（180°﹣α）， ∵∠COD＝90°， ∴∠DOB＝∠BOC﹣∠COD＝180°﹣α﹣90°＝90°﹣α， ∴∠DOE＝∠BOE﹣∠DOB（90°﹣α）， ∵OF平分∠BOD， ∴∠DOF∠DOB（90°﹣α）， ∴∠EOF＝∠DOE+∠DOF45°． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 角度的计算（计算题专项训练） 【适用版本：湘教版2024；内容预览：5类训练共50题】 训练1 钟面角的计算 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 钟面角的核心是利用“时针、分针的转速差”计算，具体指导如下： 一、核心原理（记准2个关键转速） 分针：60分钟转360°，每分钟转6°（360°÷60）； 时针：12小时转360°，每分钟转0.5°（360°÷12÷60）； 二、通用计算公式（直接套用） 设当前时间为 h时m分（h为0-11的整数，m为0-59的整数）： 1. 先算时针与12点方向的夹角：时针角度 = 0.5°×(60h + m)（h小时转化为分钟，加上m分，再乘时针转速）； 2. 再算分针与12点方向的夹角：分针角度 = 6°×m（直接用分针转速乘分钟数）； 3. 最后算两角度的差值：钟面角 = |时针角度 - 分针角度|； 4. 简化结果：钟面角取“差值”和“360°-差值”中的较小值（因为钟面角最大180°）。 方法指导 1．每一堂数学课的时间为40分钟，则在40分钟时间内分针走过的角度为　 　 ． 2．当时钟指针指向3点40分时，分针与时针的夹角是 　 　 度． 3．钟面上1时30分时，时针与分针组成的角是 　 　 ，9时整时，时针与分针组成的角是 　 　 ． 4．如图，此时钟面上的时间是10时40分，到11时时，分针在钟面上走过的度数与时针走过的度数的差是 　 　 ． 5．小贝周六早上8：00出发去图书馆学习，经过30分钟后到达，到达时钟面上的时针与分针的夹角是　 　 ． 6．从下午3点到6点40分，时针转了　 　 度． 7．下午5：15是同学们的阳光体育活动时间，那5：15时的分针与时针夹角是 　 　 度． 8．时钟上从3：10开始至少经过 　 　 分钟后分针与时针的夹角为75°． 9．钟表在12点钟时三针重合，经过 　　 分钟秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分？ 10．钟面角是指时钟的时针和分针所成的角．例如：六点钟的时候，时针与分针所成钟面角为180°；七点钟的时候，时针与分针所成钟面角为150°．那么从六点钟到七点钟这一个小时内，哪些时刻时针与分针所成钟面角为100°？请写出具体时刻：　 　 ．（结果形如6点分） 训练2 度分秒的换算 度分秒是角的常用单位，三者是六十进制（1度=60分，1分=60秒），换算核心是“大单位化小单位乘60，小单位化大单位除以60”，具体方法如下： 一、核心换算关系（必记） 1° = 60′（1度等于60分）； 1′ = 60″（1分等于60秒）；1° = 3600″（1度等于3600秒） 二、换算步骤（分两种情况） 情况1：大单位→小单位（度→分→秒） 方法：度的整数部分不变，小数部分乘60得分数；分数的整数部分不变，小数部分乘60得秒数。 情况2：小单位→大单位（秒→分→度） 方法：秒数除以60得分（余数为秒）；分数除以60得度（余数为分）。 方法指导 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．把33.28°化成度、分、秒得　 　 ；108°20′42″＝　 　 度． 2．45°57′18″＝　 　 °；64°÷5+12°25′×3＝　 　 °　 　 ′　 　 ″． 3．1.16°＝　 　 ° 　 　 ′　 　 ″；45°57′18″＝　 　 ° 4．把18°15'化成用度表示的角，应该是　 　 ；把93.52°化成用度、分、秒表示的角，应该是　 　 ． 5．已知∠A＝30°45'，∠B＝30.45°，则∠A　 　 ∠B．（填“＞”、“＜”或“＝”） 6．计算： （1）89°35'+20°25'（结果用度、分、秒表示）． （2）123°24'﹣60°36'（结果用度表示）． 7．计算： （1）131°28′﹣32′15″； （2）58°38′27″+47°42′40″． 8．计算： ①180°﹣18°15'×6； ②90°﹣（78°36'﹣13°10'÷4）． 9．计算： （1）35°45′+23°29′﹣53°17′ （2）67°31′+48°39′﹣21°17′×5 10．计算题： ①47°17'34″﹣29°38'53″； ②23°35'×3﹣107°43'÷6． 训练3 角的和差计算（含单角平分线） 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．如图，已知OB是∠AOC内的一条射线，∠AOB＝5∠BOC＝120°，OM平分∠AOC，求∠BOM的度数． 2．如图，O为直线DA上一点，∠AOB＝130°，OE是∠AOB的平分线，∠FOB＝90°． （1）求∠DOB的度数． （2）求∠AOF和∠FOE的度数． 3．如图，O是直线CE上一点，以O为顶点作∠AOB＝90°，且OA，OB位于直线CE两侧，OB平分∠COD． （1）当∠AOC＝60°时，求∠DOE的度数； （2）请你猜想∠AOC和∠DOE的数量关系，并说明理由． 4．如图，OC是∠AOB的平分线，∠COD＝20°． （1）若∠AOD＝40°，求∠AOB的度数． （2）若∠BOD＝3∠AOD，求∠AOB的度数． 5．如图，∠COD＝20°，，OB平分∠AOC． （1）求∠AOD的度数； （2）若射线OE在∠AOB的内部，∠DOE＝4∠AOE，试说明OB是∠DOE的平分线． 6．如图，已知∠AOB＝114°，OC是∠AOB的平分线，OE在∠BOC内． （1）若，求∠BOE的度数； （2）若∠AOE﹣∠BOE＝52°，求∠AOE的度数． 7．如图，已知点O是直线AB上的一点，∠COE＝90°，OF是∠AOE的平分线，点C与点E、F在直线AB的两侧． （1）若∠BOE＝140°，求∠COF的度数； （2）若∠BOE＝2α°，求∠COF的度数． 8．已知点O为直线AB上一点，将直角三角尺MON按如图所示的方式放置，且直角顶点在点O处，在∠MON内部作射线OC，且OC恰好平分∠BOM． （1）若∠CON＝28°，求∠COB的度数； （2）若∠NOC：∠BON＝1：2，求∠NOC的度数． 9．如图，已知点O为直线AB上一点，OD平分∠BOC，∠DOE＝90°． （1）若∠BOC＝40°，求∠AOE的度数； （2）若∠COD＝2∠EOF，则∠AOF与∠DOF是否相等？请说明理由． 10．点O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC． （1）如图1，若∠DOE＝25°，求∠AOC的度数； （2）将图1中的∠COD绕点O按顺时针方向旋转至图2所示位置．探究∠DOE与∠AOC的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． 训练4 角的和差计算（含双角平分线） 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．如图所示，OE是∠AOD的平分线，OC是∠BOD的平分线． （1）如果∠AOE＝45°，∠BOD＝40°，那么∠COE是多少度？ （2）如果∠AOB＝130°，∠COD＝20°，那么∠BOE是多少度？ 2．如图，直线AB经过点O，OA平分∠COD，OB平分∠MON，若∠AON＝150°，∠COD＝120°． （1）求∠MON的度数； （2）求∠COM的度数． 3．如图，OD平分∠AOB，OE平分∠BOC，∠COD＝20°，∠AOB＝140°，求∠DOE的度数． 4．如图，OM平分∠AOB，ON平分∠AOC，∠AOM：∠MOC＝1：7，∠AOM＝20°，求∠BOC的度数． 5．如图，点A，O，B在同一条直线上，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC． （1）若∠BOD＝160°，求∠BOE的度数． （2）若∠COE比∠COD多60°，求∠COE的度数． 6．如图，点P在直线AB上，∠CPD＝90°． （1）如图1，若∠CPD在直线AB上方，∠APC＝50°，求∠BPD的度数； （2）如图2，若PC在直线AB上方，PD在直线AB下方，过点P分别作∠APC的平分线PE，∠BPD的平分线PF．求∠EPF的度数． 7．如图，已知OE平分∠AOC，OF平分∠BOC （1）若∠AOB是直角，∠BOC＝60°，求∠EOF的度数． （2）若∠AOC＝x°，∠EOF＝y°，∠BOC＝60°，请用含x的代数式来表示y．（直接写出结果就行）． 8．如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线． （1）如图1，当∠AOB是直角，∠BOC＝60°时，求∠MON的度数是多少？ （2）如图2，当∠AOB＝α，∠BOC＝60°时，尝试发现∠MON与α的数量关系． （3）如图3，当∠AOB＝α，∠BOC＝β时，猜想：∠MON与α、β有数量关系吗？直接写出结论即可． 9．点O是直线AB上一点，线段OC绕点O旋转，OD平分∠BOC，过点O作OE⊥OD（OE在OD的右侧），OF平分∠COE． （1）如图1，若OC⊥AB，求∠DOF的度数； （2）如图2，若∠DOF＝α，求∠BOE的度数． 10．已知∠AOB+∠BOC＝180°，OD平分∠BOC． （1）如图1，若∠AOB＝70°，则∠BOC＝ 　 　 °，∠AOD＝ 　 　 °； （2）如图2，若∠AOB＝150°，求∠AOD的度数； （3）若∠AOB＝m°（90＜m＜180），OE平分∠AOB，求出∠DOE的度数．（用含m的代数式表示） 训练5 角的和差计算（含余角和补角） 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．已知一个角的余角等于这个角的补角的，试求这个角的度数． 2．已知一个锐角的补角比这个角的余角的3倍大30°，求这个角的度数． 3．如图，∠AOC与∠BOC互为补角，∠BOC与∠BOD互为余角，OE平分∠AOC且∠BOC＝4∠BOD．求∠BOE的度数． 4．如图所示，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线． （1）如果∠AOB＝32°，∠COE与∠BOC互余，求∠BOD． （2）如果∠AOD与∠BOE互补，求∠BOD． 5．如图，已知点O为直线AB上一点，∠AOC＝60°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOE． （1）求∠EOF的度数； （2）若点D在直线AB下方且∠AOD与∠AOC互余，求∠DOF的度数． 6．如图，点O是直线AB上的一点，∠AOE＝∠FOD＝90°，OB平分∠COD． （1）试说明∠AOF＝∠EOD； （2）求∠EOC+∠AOF的度数． 7．如图，∠AOB＝42°，OB是∠AOC的角平分线，∠DOE：∠COD＝2：1． （1）若∠DOE＝30°，求∠BOD的度数； （2）若∠AOD∠+BOD＝180°，求∠COE的度数． 8．如图，OC，OD，OE是∠AOB内三条射线，OE平分∠DOA，OC平分∠AOB． （1）已知∠BOD＝80°，∠AOE＝25°，求∠COD的度数； （2）若∠BOD与∠EOC互余，求∠EOC的度数． 9．如图，点O是直线AB上一点，∠BOC与∠AOE互为余角，OD是∠BOC的平分线． （1）求∠COE的度数； （2）若∠AOE＝48°，求∠DOE的度数； （3）若∠AOE：∠EOD＝5：11，求∠BOC的度数 10．小明利用一块含30°的三角尺COD进行数学探究活动： 如图，O为直线AB上一点，将一三角尺COD的直角顶点放在点O处，OE平分∠BOC． （1）初步探究：如图①，若∠AOC＝40°，求∠DOB和∠DOE的度数； （2）深化研究：如图②，若OF平分∠BOD，直接写出∠EOF的度数． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $