专题14 二元一次方程组（计算题专项训练）数学湘教版2024七年级上册

专题14 二元一次方程组（计算题专项训练） 【适用版本：湘教版2024；内容预览：5类训练共50题】 训练1 用指定方法解二元一次方程组 解二元一次方程组的核心是“消元”（消去一个未知数，转化为一元一次方程），代入法和加减法是两种常用消元方法，具体指导如下： 一、代入消元法（适合有“系数为1或-1的未知数”的方程组） 1. 选方程，变形式：选择含未知数系数为1或-1的方程，变形为“x = ...”或“y = ...”的形式； 2. 代进去，消元：将变形后的式子代入另一个方程，替换对应的未知数，得到一元一次方程； 3. 解一元，求数值：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4. 代回算，得答案：将求出的未知数的值代回变形后的式子，求出另一个未知数的值，最后写解。 二、加减消元法（适合“两个方程中同一未知数系数相等或互为相反数”的方程组） 1. 找目标，定加减：观察两个方程，找同一未知数的系数，若相等用减法，互为相反数用加法； 2. 相加减，消元：将两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一元一次方程； 3. 解一元，求数值：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4. 代回算，得答案：将求出的未知数的值代回原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，最后写解。 方法指导 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．按要求解下列方程组． （1）（用代入法解）； （2）（用加减法解）． 2．解下列方程组： （1）（代入消元法）； （2）（加减消元法）． 3．解下列方程组： （1）用代入法解方程组：； （2）用加减法解方程组：． 4．用指定的方法解方程组 （1）（代入消元法）； （2）（加减消元法）． 5．请用指定的方法解下列方程组 （1）（代入消元法）； （2）（加减消元法）． 6．解二元一次方程组： （1）（代入法）； （2）（加减法）． 7．按要求解方程组： （1）用代入法解方程组； （2）用加减法解方程组． 8．用指定的方法解下列方程组 （1）（代入法）； （2）（加减法）． 9．解方程组： （1）用代入法解； （2）用加减法解． 10．解方程组： （1）（用代入消元法）； （2）（用加减消元法）． 训练2 选择合适的方法解二元一次方程组 解二元一次方程组的核心是“高效消元”，代入法和加减法的选择需结合方程组特点，遵循“能直接消元就不复杂变形”的原则，具体指导如下： 1. 先看是否有“系数为1或-1”的未知数→有则用代入法； 2. 再看是否有“同一未知数系数相等/互为相反数”→有则用加减法； 3. 最后看是否“系数成倍数”→是则化相等后用加减法； 4. 若以上都不满足→两种方法均可，推荐加减法（通过找最小公倍数化系数相等，消元更高效）。 方法指导 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．解方程组： （1）； （2）． 2．解二元一次方程组： （1）； （2）． 3．解下列方程组： （1）； （2）． 4．解下列方程组： （1）； （2）． 5．解方程组： （1）． （2）． 6．解方程组： （1）； （2）． 7．解方程组： （1）； （2）． 8．解下列方程组： （1）； （2）． 9．解下列方程组： （Ⅰ）； （Ⅱ）． 10．解方程组： （1）； （2）． 训练3 同解方程组 同解方程组的核心是“两个方程组的解完全相同”，解题关键是“利用同解性建立新方程组，求出参数后再解原方程组”，具体指导如下： 1. 剥离不含参数的方程，组成新方程组：从两个原方程组中，各选一个不含参数的方程（若有），组成新方程组，求出公共解（x、y的值）； 2. 代入含参数的方程，求参数值：将求出的公共解代入两个原方程组中含参数的方程，解出参数； 3. 验证并解原方程组：将参数值代入原方程组，验证解的一致性，最终写出原方程组的解。 方法指导 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．若方程组与方程组有相同的解，求a，b的值． 2．若关于x，y的方程组和方程组有相同的解． （1）求关于x，y的方程组正确的解． （2）求a，b的值． 3．已知二元一次方程组的解也是关于x，y的方程ax﹣by＝﹣4的一个解，求a+b的值． 4．若关于x，y的二元一次方程组的解与方程3x﹣y＝7的一组解相同，求a﹣2b的值． 5．已知关于x，y的方程组和有相同的解． （1）求出它们的相同解； （2）求（a+b）2025的值． 6．已知关于x，y的二元一次方程组和关于x，y的二元一次方程组的解相同，求a，b的值． 7．已知关于x，y的方程组和的解相同． （1）求方程组的解； （2）求a，b的值． 8．已知方程组与方程组的解相同，求这个解和a、b的值． 9．已知x＝n是关于x的方程的解，若是方程组的解，求k的值． 10．已知关于x，y的方程组与有相同的解． （1）请求出这个相同的解； （2）求a，b的值； （3）请判断“无论m取何值，（1）中的解都是关于x、y的方程（3+m）x+（2m+1）y＝5的解”，这句话是否正确？并说明理由． 训练4 方程组看错问题 方法指导 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 方程组看错问题的核心是“利用‘看错参数但没看错其他方程’的条件，分离出正确的解和错误的解”，具体指导如下： 1. 判断“看错的方程”和“没看错的方程”：明确同学看错了哪个方程的参数，剩余的方程就是“没看错的方程”（错误的解满足此方程）； 2. 代入错误解，求正确参数：将错误的解代入“没看错的方程”，解出该方程中正确的参数； 3. 同理求另一个正确参数：若题目中还有另一个“看错参数”的情况（如另一个同学看错了另一个方程），重复步骤1-2，求出另一个方程的正确参数； 4. 解原方程组：将求出的正确参数代入原方程组，解出原方程组的正确解。 1．在解方程组时，由于粗心，小军看错了方程组中的n，得解为，小红看错了方程组中的m，得解为；求正确的解 2．阅读下面情境：甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求出a，b的正确值，并计算a2025+b的值． 3．小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了方程②中的a，解得，小童看错了①中的b，解得． （1）求正确的a，b的值； （2）求原方程组的正确解． 4．一个星期天，小明和小文同解一个二元一次方程组小明把方程①抄错，求得的解为，小文把方程②抄错，求得的解为． （1）求a，b的值； （2）求原方程组的解． 5．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为，根据上面的信息解答： （1）求出正确的a，b的值； （2）求出原方程组的正确解，并代入代数式（x﹣y）﹣（5x﹣19y）3求值． 6．在解关于x，y的二元一次方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，求方程组的解为，乙看错了方程组中的b，求方程组的解为，甲把a看成了什么？乙把b看成了什么？求出原方程组的正确解． 7．嘉淇准备完成题目：解二元一次方程组发现系数“■”印刷不清楚． （1）他把“■”猜成5，请你解二元一次方程组； （2）妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案x与y是一对相反数．”请你通过计算说明原题中“■”是几． 8．在解关于x，y的方程组时，可以用①×3+②消去未知数x，也可以用①﹣②×6消去未知数y，求a和b的值． 9．小明、小文都到黑板上做同一道题：解二元一次方程组，小明得出的答案是，小文得出的答案是．老师讲评时指出，小明的答案是正确的，小文的错了．小文经检查后发现是把第二个方程中的c看错了，根据上述信息，请求出字母a，b，c的值． 10．已知关于x，y的二元一次方程组，甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为． （1）求a，b的值； （2）求原方程组的解； （3）直接写出关于s，t的二元一次方程组的解． 训练5 根据二元一次方程组满足的条件求值 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．已知，关于x、y二元一次方程组的解满足方程2x﹣y＝13，求a的值． 2．已知关于x，y的二元一次方程组的解x，y是一对相反数，求m的值． 3．已知关于x、y的方程组的解的和是10． （1）求出方程组的解； （2）求m的值 4．已知关于x，y的方程组． （1）若方程组的解满足3x+2y＝0，求k的值． （2）无论实数k取何值，方程x﹣2y+kx+9＝0总有一个公共解，直接写出该公共解． 5．已知关于x，y的二元一次方程组． （1）若x，y互为相反数，求m的值； （2）若x是y的2倍，求原方程组的解． 6．已知关于x、y的方程组． （1）请写出方程x+2y＝5的一组正整数解； （2）若方程组的解满足x+y＝0，求m的值； （3）不管m取任何值，方程m﹣2y+mx+9＝0总有一个公共解，请直接写出这个解． 7．已知关于x，y的方程组（m、n为实数）． （1）当m＝﹣3，n＝2时，求方程组的解； （2）当m+4n＝5时，试探究方程组的解x，y之间的关系． 8．已知实数m，n满足m+n＝4，且满足关于m，n的二元一次方程组，求k的值． 9．对于有理数x，y，定义新运算：x#y＝ax+by，x⊕y＝ax﹣by，其中a，b是常数．已知1#1＝1，3⊕2＝8． （1）求a，b的值； （2）若关于x，y的方程组的解也满足方程x+y＝3，求m的值． 10．关于x，y的方程组（n是常数）． （1）当n＝1时，直接写出第一个方程x+2y＝3的所有非负整数解； （2）当n＝1时，该方程组的解也满足x+y＝2，求m； （3）当n＝3时，如果方程组也有整数解，求整数m． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 二元一次方程组（计算题专项训练） 【适用版本：湘教版2024；内容预览：5类训练共50题】 训练1 用指定方法解二元一次方程组 解二元一次方程组的核心是“消元”（消去一个未知数，转化为一元一次方程），代入法和加减法是两种常用消元方法，具体指导如下： 一、代入消元法（适合有“系数为1或-1的未知数”的方程组） 1. 选方程，变形式：选择含未知数系数为1或-1的方程，变形为“x = ...”或“y = ...”的形式； 2. 代进去，消元：将变形后的式子代入另一个方程，替换对应的未知数，得到一元一次方程； 3. 解一元，求数值：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4. 代回算，得答案：将求出的未知数的值代回变形后的式子，求出另一个未知数的值，最后写解。 二、加减消元法（适合“两个方程中同一未知数系数相等或互为相反数”的方程组） 1. 找目标，定加减：观察两个方程，找同一未知数的系数，若相等用减法，互为相反数用加法； 2. 相加减，消元：将两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一元一次方程； 3. 解一元，求数值：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4. 代回算，得答案：将求出的未知数的值代回原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，最后写解。 方法指导 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．按要求解下列方程组． （1）（用代入法解）； （2）（用加减法解）． 【解答】解：（1）， 由①，得y＝4﹣2x③， 把③代入②，得4x﹣3（4﹣2x）＝﹣2， 解得x＝1， 把x＝1代入③，得y＝2， 所以方程组的解是； （2）， ②×2，得10x+4y＝12③， ①+③，得13x＝13， 解得x＝1， 把x＝1代入②，得y＝0.5， 所以方程组的解是． 2．解下列方程组： （1）（代入消元法）； （2）（加减消元法）． 【解答】解：（1）， 由②，得y＝2x﹣16③， 把③代入①，得3x﹣5（2x﹣16）＝3， 整理，得﹣7x＝﹣77， ∴x＝11． 把x＝11代入③，得y＝22﹣16， ∴y＝6． ∴这个方程组的解为． （2）， ①×2+②，得13x＝26， ∴x＝2． 把x＝2代入②，得14+4y＝18， ∴y＝1． ∴原方程组的解为． 3．解下列方程组： （1）用代入法解方程组：； （2）用加减法解方程组：． 【解答】解：（1）由②得：y＝10﹣2x③， 将③代入①得：3x﹣2（10﹣2x）＝8， 整理得：7x﹣20＝8， 解得：x＝4， 将x＝4代入③得：y＝10﹣8＝2， 故原方程组的解为； （2）①×3+②×2得：19x＝114， 解得：x＝6， 将x＝6代入①得：18+4y＝16， 解得：y＝﹣0.5， 故原方程组的解为． 4．用指定的方法解方程组 （1）（代入消元法）； （2）（加减消元法）． 【解答】解：（1）， 由①得：y＝2﹣x③， 将③代入②，得：3x+2（2﹣x）＝4， 解得：x＝0， 将x＝0代入③得：y＝2， ∴原方程组的解是； （2）， ①×2﹣③，得：13y＝65， 解得：y＝5， 将y＝5代入①，得：x＝2， ∴原方程组的解是． 5．请用指定的方法解下列方程组 （1）（代入消元法）； （2）（加减消元法）． 【解答】解：（1）， 由①，得b＝5a﹣11③， 把③代入②，得3a+5a﹣11＝7， 解得a， 把a代入③，得b， 故方程组的解为； （2）， ①×2﹣②×5，得29x＝203， 解得x＝7， 把x＝7代入①，得y＝﹣2， 故方程组的解为． 6．解二元一次方程组： （1）（代入法）； （2）（加减法）． 【解答】解：（1）， 方程组化简为：， 由①得：x＝8﹣y③ 把③代入②得： 3（8﹣y）﹣2y＝﹣1， 24﹣3y﹣2y＝﹣1， ﹣5y＝﹣25 y＝5， 把y＝5代入③得：x＝3， ∴方程组的解为：； （2）， 方程组化简为：， ①+②得：x＝7， 把x＝7代入①得：y＝9， ∴方程组的解为：． 7．按要求解方程组： （1）用代入法解方程组； （2）用加减法解方程组． 【解答】解：（1）， 由②得③， 把③代入①，得， 3x+16﹣2x＝18， 3x﹣2x＝18﹣16， 解得：x＝2， 把x＝2代入③， 解得：y＝3， ∴这个方程组的解是； （2）， ①×2+②得，5x＝35， 解得：x＝7； 把x＝7代入①得，7﹣2y＝5， 解得：y＝1， ∴原方程组的解为． 8．用指定的方法解下列方程组 （1）（代入法）； （2）（加减法）． 【解答】解：（1） 由②可得：y＝10﹣4x， 将y＝10﹣4x代入①：3x﹣2（10﹣4x）＝13， 解得：x＝3； 将x＝3代入②可得：12+y＝10， 解得：y＝﹣2； 故这个方程组的解为：； （2）， 由①可得：x﹣1＝6y，则x＝6y+1， 将x＝6y+1代入②可得：3（6y+1+1）﹣2y＝﹣2； 解得：； 将代入x＝6y+1， 可得x＝﹣2； 该方程组的解为：． 9．解方程组： （1）用代入法解； （2）用加减法解． 【解答】解：（1）， 由②得y＝5x﹣6③， 把③代入①，得3x+2（5x﹣6）＝14， 解得x＝2， 把x＝2代入②，得y＝4， 所以方程组的解是； （2）， ①×0.5，得0.15x﹣0.5y＝0.5③， ②﹣③，得0.05x＝18.5， 解得x＝370， 把x＝370代入①，得y＝110， 所以方程组的解是． 10．解方程组： （1）（用代入消元法）； （2）（用加减消元法）． 【解答】解：（1）， 由①，得y＝2x﹣5③， 把③代入②，得3x+4（2x﹣5）＝2， 3x+8x﹣20＝2， 解得：x＝2， 把x＝2代入①得：4﹣y＝5， 解得：y＝﹣1， 所以原方程组的解为； （2）， 整理得， ①×2﹣②×3得：﹣5y＝﹣28， 解得：， 把代入①得， 解得：， 所以原方程组的解为． 训练2 选择合适的方法解二元一次方程组 解二元一次方程组的核心是“高效消元”，代入法和加减法的选择需结合方程组特点，遵循“能直接消元就不复杂变形”的原则，具体指导如下： 1. 先看是否有“系数为1或-1”的未知数→有则用代入法； 2. 再看是否有“同一未知数系数相等/互为相反数”→有则用加减法； 3. 最后看是否“系数成倍数”→是则化相等后用加减法； 4. 若以上都不满足→两种方法均可，推荐加减法（通过找最小公倍数化系数相等，消元更高效）。 方法指导 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．解方程组： （1）； （2）． 【解答】解：（1）， ②×2，得4x﹣2y＝6③， ③+①，得7x＝14， 解得x＝2， 把x＝2代入②，得y＝1， 所以方程组的解是； （2）， 方程组可化为， ②×2，得4x+6y＝26③， ③﹣①，得4y＝15， 解得y， 把y代入②，得x， 所以原方程组的解是． 2．解二元一次方程组： （1）； （2）． 【解答】解：（1）， ①×5+②得：7x＝14， 解得x＝2， 把x＝2代入①得：2+y＝1， 解得y＝﹣1， ∴方程组的解为：； （2）， 整理②得：3x+4y＝5③， 把①代入③得：3x+x+1＝5， 解得x＝1， 把x＝1代入①得：4y＝2， 解得：y， ∴方程组的解为：． 3．解下列方程组： （1）； （2）． 【解答】解：（1），方程组整理得， ①×15+②×2，得49x＝﹣294， 解得：x＝﹣6， 把x＝﹣6代入②，得y＝1， ∴原方程组的解为； （2）， ②×2+①，得0.5x＝2.5， 解得：x＝5， 把x＝5代入②，得， ∴原方程组的解为． 4．解下列方程组： （1）； （2）． 【解答】解：（1）， ①+②，得2x＝4， 解得x＝2， 把x＝2代入①，得y＝0.5， 所以方程组的解是； （2）， 整理得， ③×2，得6x﹣2y＝16⑤， ⑤﹣④，得x＝8， 把x＝8代入③，得y＝16， 所以原方程组的解是． 5．解方程组： （1）． （2）． 【解答】解：（1）， ①×3，得6x﹣3y＝12③， ②+③，得7x＝7， 解得：x＝1， 把x＝1代入①，得2﹣y＝4， 解得：y＝﹣2， ∴方程组的解为； （2）， 整理，得， ①+②，得6x＝18， 解得：x＝3， 把x＝3代入②，得3×3﹣2y＝8， 解得：， ∴方程组的解为． 6．解方程组： （1）； （2）． 【解答】解：（1）， ①+②得：3x＝3， ∴x＝1， 把x＝1代入①得：1﹣3y＝4， ∴y＝﹣1， ∴方程组的解为． （2）， 方程①去括号，整理得：4x+5y＝﹣7③， 方程②去分母，整理得：2x+3y＝﹣3④， ④×2﹣③得：y＝1， 把y＝1代入④得x＝﹣3， ∴． 7．解方程组： （1）； （2）． 【解答】解：（1）， ①﹣②，得﹣3x＝3， 解得：x＝﹣1， 把x＝﹣1代入①，得y+1＝3， 解得：y＝2， ∴方程组的解为； （2）， 整理，得， ①×2，得8x﹣6y＝48③， ②×3，得9x﹣6y＝36④， ④﹣③，得x＝﹣12， 把x＝﹣12代入②，得3×（﹣12）﹣2y＝12， 解得：y＝﹣24， ∴方程组的解为． 8．解下列方程组： （1）； （2）． 【解答】解：（1）， ①+②，得4x＝8， 解得x＝2， 把x＝2代入②，得y＝﹣1， 所以方程组的解是； （2）， 由①，得3x+4y＝13③， ②×3，得3x﹣6y＝3④， ③﹣④，得10y＝10， 解得y＝1， 把y＝1代入②，得x＝3， 所以方程组的解是． 9．解下列方程组： （Ⅰ）； （Ⅱ）． 【解答】解：（Ⅰ）， ①×2，得4x+2y＝2③， ②+③，得7x＝﹣7， 解得x＝﹣1， 把x＝﹣1代入①，得y＝3， 所以方程组的解是； （Ⅱ）， 方程组可化为， ①﹣②，得5y＝﹣25， 解得y＝﹣5， 把y＝﹣5代入①，得x＝2， 所以方程组的解是． 10．解方程组： （1）； （2）． 【解答】解：（1）， 由②得到，4x+y＝5③， 由①×2﹣③得：5y＝15， ∴y＝3， 把y＝3代入①得：2x+9＝10， ∴， ∴； （2）原方程组变形可得： ， 由②×5+①得：46y＝46， ∴y＝1， 把y＝1代入②，得：﹣x+9＝2， x＝7， ∴． 训练3 同解方程组 同解方程组的核心是“两个方程组的解完全相同”，解题关键是“利用同解性建立新方程组，求出参数后再解原方程组”，具体指导如下： 1. 剥离不含参数的方程，组成新方程组：从两个原方程组中，各选一个不含参数的方程（若有），组成新方程组，求出公共解（x、y的值）； 2. 代入含参数的方程，求参数值：将求出的公共解代入两个原方程组中含参数的方程，解出参数； 3. 验证并解原方程组：将参数值代入原方程组，验证解的一致性，最终写出原方程组的解。 方法指导 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．若方程组与方程组有相同的解，求a，b的值． 【解答】解：解方程组，得， 把代入第二个方程组得， 解得． 即a＝3，b＝2． 2．若关于x，y的方程组和方程组有相同的解． （1）求关于x，y的方程组正确的解． （2）求a，b的值． 【解答】解：（1）， ①+②，得5x＝15， ∴x＝3． 把x＝3代入②，得6+y＝8， ∴y＝2． ∴原方程组的解为． （2）把代入方程组，得， 把a＝3+2b代入3a+2＝b，得9+6b+2＝b， ∴b． 把b代入3+2b＝a，得a． 3．已知二元一次方程组的解也是关于x，y的方程ax﹣by＝﹣4的一个解，求a+b的值． 【解答】解：， ①+②，得5x＝10， 解得x＝2， 把x＝2代入①，得y＝﹣2， 所以方程组的解是， ∵二元一次方程组的解也是关于x，y的方程ax﹣by＝﹣4的一个解， ∴2a+2b＝﹣4， ∴a+b＝﹣2． 4．若关于x，y的二元一次方程组的解与方程3x﹣y＝7的一组解相同，求a﹣2b的值． 【解答】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解与方程3x﹣y＝7的一组解相同， ∴， 解得， 将代入x+by＝a，得：3+2b＝a， ∴a﹣2b＝3． 5．已知关于x，y的方程组和有相同的解． （1）求出它们的相同解； （2）求（a+b）2025的值． 【解答】解：（1）∵关于x，y的方程组和有相同的解， ∴， 解得， ∴它们的相同解为； （2）把分别代入2ax﹣by＝4和ax+2by＝7，得： ， 解得：， ∴（a+b）2025＝[1+（﹣2）]2025＝（﹣1）2025＝﹣1． 6．已知关于x，y的二元一次方程组和关于x，y的二元一次方程组的解相同，求a，b的值． 【解答】解：∵两个方程组的解相同， ∴， 解得：， 将代入中得：， 解得：． ∴a＝1，b＝﹣3． 7．已知关于x，y的方程组和的解相同． （1）求方程组的解； （2）求a，b的值． 【解答】解：（1）由同解方程的含义可得：， ①+②，得5x＝15， 解得：x＝3， 将x＝3代入①，得3×3﹣y＝7，解得y＝2， ∴方程组的解为； （2）把x＝3，y＝2代入方程ax+y＝6和方程x+by＝0中， 可得：， 解得：． 8．已知方程组与方程组的解相同，求这个解和a、b的值． 【解答】解：由题意可得这两个方程组的解也是方程组的解， ①×2﹣②得，11y＝11， ∴y＝1， 把y＝1代入①得，x， ∴这个解为， 把代入2ax+3by＝﹣6，得a+3b＝﹣6③， 把，代入3ax﹣2by，得a﹣2b④， 解③④组成的方程组得． 9．已知x＝n是关于x的方程的解，若是方程组的解，求k的值． 【解答】解：根据题意可知，， 即2+n＝m， ∴m﹣n＝2， ∵是方程组的解， ∴， ①+②，得5n﹣5m＝5k﹣5， n﹣m＝k﹣1， ∵m﹣n＝2， ∴﹣2＝k﹣1， 解得：k＝﹣1． 10．已知关于x，y的方程组与有相同的解． （1）请求出这个相同的解； （2）求a，b的值； （3）请判断“无论m取何值，（1）中的解都是关于x、y的方程（3+m）x+（2m+1）y＝5的解”，这句话是否正确？并说明理由． 【解答】解：（1）∵关于x，y的方程组与有相同的解， ∴可得方程组， ①+②，得2x＝4， 解得：x＝2， 把x＝2代入①，得2﹣y＝3， 解得：y＝﹣1， ∴方程组的解为，即相同的解为； （2）把x＝2，y＝﹣1，代入ax+2by＝4和bx+（a﹣1）y＝3，可得方程组， ①+②，得b＝4， 把b＝4代入①，得a﹣4＝2， 解得：a＝6， ∴a，b的值分别为a＝6，b＝4； （3）这句话正确．理由如下： 把x＝2，y＝﹣1，代入方程（3+m）x+（2m+1）y＝5， 左边＝（3+m）×2+（2m+1）×（﹣1）＝6+2m﹣2m﹣1＝5，右边＝5，左边＝右边， ∴“无论m取何值，（1）中的解都是关于x，y的方程（3+m）x+（2m+1）y＝5的解”， ∴这句话正确． 训练4 方程组看错问题 方法指导 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 方程组看错问题的核心是“利用‘看错参数但没看错其他方程’的条件，分离出正确的解和错误的解”，具体指导如下： 1. 判断“看错的方程”和“没看错的方程”：明确同学看错了哪个方程的参数，剩余的方程就是“没看错的方程”（错误的解满足此方程）； 2. 代入错误解，求正确参数：将错误的解代入“没看错的方程”，解出该方程中正确的参数； 3. 同理求另一个正确参数：若题目中还有另一个“看错参数”的情况（如另一个同学看错了另一个方程），重复步骤1-2，求出另一个方程的正确参数； 4. 解原方程组：将求出的正确参数代入原方程组，解出原方程组的正确解。 1．在解方程组时，由于粗心，小军看错了方程组中的n，得解为，小红看错了方程组中的m，得解为；求正确的解 【解答】解：∵小军看错了方程组中的n， ∴把代入mx+2y＝6，得， 解得m＝2， ∵小红看错了方程组中的m， ∴把代入2x+ny＝8，得2×（﹣2）+n×4＝8， 解得n＝3， ∴原方程组为， ②﹣①得，y＝2， 把y＝2代入①，得2x+4＝6， 解得x＝1， ∴原方程组的解为． 2．阅读下面情境：甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求出a，b的正确值，并计算a2025+b的值． 【解答】解：将代入方程组中的4x﹣by＝﹣2得：﹣12+b＝﹣2，解得b＝10， 将代入方程组中的ax+5y＝15得：5a+20＝15，解得a＝﹣1， 当a＝﹣1，b＝10时，a2025+b＝﹣1+10＝9． 3．小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了方程②中的a，解得，小童看错了①中的b，解得． （1）求正确的a，b的值； （2）求原方程组的正确解． 【解答】解：（1）根据题意，可得， 整理得：， 解得：； （2）将a，b代入原方程组，得， 由②可得y＝2x﹣17③， 将③代入①，可得x﹣3（2x﹣17）＝1， 解得：x＝10， 把x＝10代入③，解得：y＝3． 故原方程组的正确解是． 4．一个星期天，小明和小文同解一个二元一次方程组小明把方程①抄错，求得的解为，小文把方程②抄错，求得的解为． （1）求a，b的值； （2）求原方程组的解． 【解答】解：（1）由题意得：， ②﹣①得：2﹣（﹣b）＝12﹣3，即b＝3， 把b＝3代入①得﹣3+3a＝3， 解得a＝2， ∴a，b的值分别为2，3； （2）把代入原方程组为：， ①×3﹣②×2得9y﹣4y＝36﹣6， 解得y＝6； 把代入y＝6①得，2x+3×6＝12， 解得x＝﹣3， ∴． 5．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为，根据上面的信息解答： （1）求出正确的a，b的值； （2）求出原方程组的正确解，并代入代数式（x﹣y）﹣（5x﹣19y）3求值． 【解答】解：（1）把代入①， 可得：5a+3＝﹣2， ∴a＝﹣1； 把代入②， 可得：2+b＝7， ∴b＝5； （2）由（1）可得原方程组为， ①×2得：﹣2x+6y＝﹣4③， ③+②得：y＝3， 把y＝3代入①得：﹣x+3×3＝﹣2， ∴x＝11， ∴， ∴（x﹣y）﹣（5x﹣19y）3 ＝（11﹣3）﹣（5×11﹣19×3）3 ＝8+8 ＝16． 6．在解关于x，y的二元一次方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，求方程组的解为，乙看错了方程组中的b，求方程组的解为，甲把a看成了什么？乙把b看成了什么？求出原方程组的正确解． 【解答】解：将x＝1，y＝6代入第一个方程得：a+6＝10，解得：a＝4；代入第二个方程得：1+6b＝7，解得：b＝1， 将x＝﹣1，y＝12代入第一个方程得：﹣a+12＝10，解得：a＝2；代入第二个方程得：12b﹣1＝7，解得：b． 所以，甲把a看成了4，乙把b看成了． 方程组为：， ①﹣②得：x＝3， 将x＝3代入②得：y＝4， 则方程组的解为：． 7．嘉淇准备完成题目：解二元一次方程组发现系数“■”印刷不清楚． （1）他把“■”猜成5，请你解二元一次方程组； （2）妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案x与y是一对相反数．”请你通过计算说明原题中“■”是几． 【解答】解：（1）， 由①得x＝6+2y③， 把③式代入②中，得y， 把y代入③，得x， ∴； （2）， ②﹣①得y＝﹣2， 把y＝﹣2代入②得x＝2， 把x＝2，y＝﹣2代入■x+y＝4， 得■＝3． 8．在解关于x，y的方程组时，可以用①×3+②消去未知数x，也可以用①﹣②×6消去未知数y，求a和b的值． 【解答】解：∵用①×3+②得： ∴3（a﹣1）+2b＝0， ∵可以用①﹣②×6可得， ∴3b+6（a+1）＝0， 联立， 解得：； 故a＝﹣7，b＝12． 9．小明、小文都到黑板上做同一道题：解二元一次方程组，小明得出的答案是，小文得出的答案是．老师讲评时指出，小明的答案是正确的，小文的错了．小文经检查后发现是把第二个方程中的c看错了，根据上述信息，请求出字母a，b，c的值． 【解答】解：把x＝3，y＝﹣2代入方程组，得， ∴3c＝8﹣14， 解得：c＝﹣6． 把x＝﹣2，y＝2代入方程ax+by＝2，得﹣2a+2b＝2， 联立方程组，得， ①+②，得a＝4， 把a＝4代入①，得3×4﹣2b＝2， 解得：b＝5， ∴a＝4，b＝5，c＝﹣6． 10．已知关于x，y的二元一次方程组，甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为． （1）求a，b的值； （2）求原方程组的解； （3）直接写出关于s，t的二元一次方程组的解． 【解答】解：（1）将代入②得：2+3b＝5， 解得b＝1； 将代入①得：6a﹣16＝2， 解得a＝3， ∴a＝3，b＝1； （2）， ②×4+①得：11x＝22， 解得x＝2， 把x＝2代入②得：2×2+y＝5， 解得y＝1， ∴原方程组的解为； （3）由（2）可知， ①+②得2s＝3， 解得s， 把s代入①得：t＝2， 解得：t， ∴方程组的解为． 训练5 根据二元一次方程组满足的条件求值 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．已知，关于x、y二元一次方程组的解满足方程2x﹣y＝13，求a的值． 【解答】解：由题意可得， 解得， 将代入2x﹣3y＝7a﹣9，得10+9＝7a﹣9， 解得a＝4． 2．已知关于x，y的二元一次方程组的解x，y是一对相反数，求m的值． 【解答】解：， ①+②，得4x+4y＝3m+3，即， ∵x，y是相反数， ∴x+y＝0， ∴， 解得：m＝﹣1． 3．已知关于x、y的方程组的解的和是10． （1）求出方程组的解； （2）求m的值 【解答】解：（1）∵关于x、y的方程组的解的和是10， ∴x+y＝10． ∴新方程组的解也是方程3mx+2y＝6m的解． ， ①﹣②，得x＝﹣2， 把x＝﹣2代入②，得y＝12． ∴方程组的解为． （2）把代入3mx+2y＝6m，得﹣6m+24＝6m， ∴12m＝24． ∴m＝2． 4．已知关于x，y的方程组． （1）若方程组的解满足3x+2y＝0，求k的值． （2）无论实数k取何值，方程x﹣2y+kx+9＝0总有一个公共解，直接写出该公共解． 【解答】解：（1）联立x+3y＝7与3x+2y＝0，得： ， 解得 ， 把 代入方程x﹣2y+kx+9＝0中，得： ﹣2﹣6﹣2k+9＝0， 解得 （2）由题意可得：y的取值与k无关， ∴x＝0，即方程x﹣2y+kx+9＝0化为﹣2y+9＝0，解得 无论实数k取何值，方程x﹣2y+kx+9＝0总有一个公共解，该公共解为． 5．已知关于x，y的二元一次方程组． （1）若x，y互为相反数，求m的值； （2）若x是y的2倍，求原方程组的解． 【解答】解：∵x，y互为相反数， ∴x+y＝0， ∴3m+3＝0， ∴m＝﹣1； （2）∵x是y的2倍， ∴x＝2y． ∴原方程组变为：， ∴m+1＝5﹣m， ∴m＝2． ∴原方程组就是， ∴原方程组的解为． 6．已知关于x、y的方程组． （1）请写出方程x+2y＝5的一组正整数解； （2）若方程组的解满足x+y＝0，求m的值； （3）不管m取任何值，方程m﹣2y+mx+9＝0总有一个公共解，请直接写出这个解． 【解答】解：（1）根据题意，令x＝1， 把x＝1代入x+2y＝5得，1+2y＝5， 解得：y＝2， ∴方程x+2y＝5的一组正整数解是； （2）根据题意，联立x+2y＝5和x+y＝0得， ， 解得：， 把代入m﹣2y+mx+9＝0得， m﹣2×5﹣5m+9＝0， 解得：； （3）m﹣2y+mx+9＝0整理得， （1+x）m﹣2y+9＝0， 根据题意得， 解得：， ∴这个固定不变的解为． 7．已知关于x，y的方程组（m、n为实数）． （1）当m＝﹣3，n＝2时，求方程组的解； （2）当m+4n＝5时，试探究方程组的解x，y之间的关系． 【解答】解：（1）当m＝﹣3，n＝2时，则原方程组为， ①+②得：x＝﹣4， 将x＝﹣4代入①解得：y＝﹣4， ∴； （2）， ①+②得，3x＝3m﹣6n+9， ∴x＝m﹣2n+3③， ①×2﹣②得，3y＝6m+2﹣8+6n， ∴y＝2m+2n﹣2④， ④﹣③得，y﹣x＝m+4n﹣5， ∵m+4n＝5， ∴y﹣x＝0， ∴x＝y． 8．已知实数m，n满足m+n＝4，且满足关于m，n的二元一次方程组，求k的值． 【解答】解：， ①+②，可得：5（m+n）＝7k+6， ∵m+n＝4， ∴7k+6＝5×4＝20， 解得：k＝2． 答：k的值是2． 9．对于有理数x，y，定义新运算：x#y＝ax+by，x⊕y＝ax﹣by，其中a，b是常数．已知1#1＝1，3⊕2＝8． （1）求a，b的值； （2）若关于x，y的方程组的解也满足方程x+y＝3，求m的值． 【解答】解：（1）由定义新运算：x#y＝ax+by，x⊕y＝ax﹣by可得， 解得：； （2）由定义新运算：x#y＝ax+by，x⊕y＝ax﹣by可得， 解得：， 由条件可知m+1+3m﹣2＝3， 4m＝4， 解得m＝1． 10．关于x，y的方程组（n是常数）． （1）当n＝1时，直接写出第一个方程x+2y＝3的所有非负整数解； （2）当n＝1时，该方程组的解也满足x+y＝2，求m； （3）当n＝3时，如果方程组也有整数解，求整数m． 【解答】解：（1）当n＝1时，方程组可化为， ∵x+2y＝3， ∴当x＝1时，y＝1； 当x＝3时，y＝0； ∴方程x+2y＝3的所有非负整数解为：； （2）∵当n＝1时，该方程组的解也满足x+y＝2， ∴， ①﹣②得：y＝1， 把y＝1代入②得： x＝1， ∴方程组的解为：， 把代入x﹣2y+mx＝﹣5得： 1﹣2+m＝﹣5， ﹣1+m＝﹣5， m＝﹣4； （3）当n＝3时，原方程组化为：， ②×2得：2x﹣4y＝﹣10﹣2mx③， ①+③得：5x＝﹣5﹣2mx， 5x+2mx＝﹣5， （5+2m）x＝﹣5， ∵方程组也有整数解， ∴5+2m＝±1或±5， 当5+2m＝1时，m＝﹣2，方程组的解为：； 当5+2m＝﹣1时，m＝﹣3，方程组的解为：； 当5+2m＝5时，m＝0，方程组的解为：； 当5+2m＝﹣5时，m＝﹣5，方程组的解为：； ∴m＝﹣2或m＝0． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $