专题02 与圆有关的面积问题（50题）（举一反三专项训练）数学沪教版九年级下册

专题02 与圆有关的面积问题（50题）（举一反三专项训练） 【沪教版】 考卷信息： 本套训练卷共50题，涉及5大类型，即利用“整体法”求面积、利用“割补法”求面积、利用“平移法”求面积、利用“旋转法”求面积、利用“等积变形法”求面积. 题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对求圆有关的面积问题的理解！ 【题型1 利用“整体法”求面积】 1．如图，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形（无阴影部分）面积之和为S1，正八边形外侧八个扇形（阴影部分）面积之和为S2，则=（ ）    A． B． C． D．1 2．如图，在边长为1的正方形构成的网络中，半径为1的⊙O的圆心在格点上，则图中阴影部分两个小扇形的面积之和为（　　） A． B． C． D． 3．如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是（　　）    A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·广东河源·期末）如图，正方形的边长是4，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积是 ．    5．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，正方形的对角线，交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点，交于点，再以点为圆心，长为半径画弧交于点，交于点．若，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）    6．（2025·内蒙古·模拟预测）如图，在中，，，是的中点，分别以，为圆心，长为半径作弧，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积是 ． 7．（2025·山东青岛·一模）如图，在边长为的正方形网格中，“状”图案（阴影部分）是由半径分别为和，圆心在格点上的两种弧围成的，则阴影部分的面积是 ． 8．（24-25九年级上·四川广元·期末）如图，将的、分别沿弦、翻折，翻折后的两段弧均经过圆心O，若的半径是3，则图中阴影部分的面积为 ． 【题型2 利用“割补法”求面积】 1．（2025·江苏·一模）如图所示，边长为1的正方形网格中，、、、、是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点，那么阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江·模拟预测）如图，C是以为直径的半圆上一点，过B，C两点作与弦相切．已知，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，正方形的边长为，以为圆心，为半径作圆弧；以为圆心，为半径作圆弧．若图中阴影部分的面积分别记为、，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·山西·一模）如图，先以正方形的边为直径画圆，然后以A为圆心，为半径画，最后以的中点E为圆心，为半径画与交于点 F，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．4 D． 5．（2025·黑龙江佳木斯·三模）如图，在扇形中，，，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交于点C，则整个阴影部分的面积为（   ）    A． B． C． D． 6．（2025·河南驻马店·三模）如图，是正方形的外接圆，以点为圆心，的长为半径在内画弧．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·山西·中考真题）如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·山西吕梁·二模）如图，与菱形的边相切于点，点，在上．若，则图中阴影部分的面积为（  ） A． B． C． D． 9．（2025·山西·模拟预测）如图，半径为2的圆形纸片上有三点，分别沿弦折叠圆形纸片，使折叠后的与都经过圆心，则，围成的阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·山西大同·三模）如图，分别以点，为圆心，的长为半径作圆，设两圆的一个交点为点P．若，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 11．（2025·河南周口·二模）如图，半圆O的直径为4，交半圆O于点C，以点A为圆心，长为半径画弧交于点D，以点B为圆心，长为半径画弧交于点E，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 12．（2025·山西吕梁·二模）如图，为半圆的直径，为的中点，将半圆绕着点顺时针旋转90°，得到半圆，点，，的对应点分别为，，，半圆的直径与半圆交于点，连接，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 13．（2025·重庆·模拟预测）如图，在中，，将绕点B顺时针旋转得到，则阴影部分面积为（　　） A． B． C． D． 14．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，正方形内接于，，分别与相切于点和点，的延长线与的延长线交于点．已知，则图中阴影部分的面积为 ． 15．（2025·河南郑州·模拟预测）如图，在扇形中，圆心角，半径，将扇形绕半径的中点顺时针旋转，得到扇形，连接，则图中阴影部分的面积为 ． 16．（2025·广东韶关·二模）如图，在等腰直角三角形中，，，以点为圆心，为半径画弧，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积是 ． 17．（2025·吉林·三模）如图，将半径为3的圆形纸片，按下列顺序折叠，若和都经过圆心O，则阴影部分图形的面积是 ． 18．（2025·吉林·模拟预测）如图，在中，，，若进行下列操作：①将绕点A顺时针旋转后得到，点B经过的路径为弧；②以点C为圆心，线段的长为半径得到弧，则图中阴影部分的面积是 （结果保留）． 19．（2025·贵州遵义·一模）如图，是的弦，，点D在上，，点C是弦上一动点（不与点A、B重合），连接并延长交于点D，连接． (1)证明：； (2)求弦的长； (3)求图中阴影部分的面积． 20．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在中，，点在边上，以为直径作的经过边上的点，连接，平分， (1)求证：是的切线； (2)，，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，交边于点，求图中，，，．围成的阴影部分的面积． 【题型3 利用“平移法”求面积】 1．（24-25九年级下·河南商丘·期中）如图，半径为的扇形中，为的中点，连接，．已知的长度为，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．如图是两个半圆，点O为大半圆的圆心，AB平行于半圆的直径且是大半圆的弦且与小半圆相切，且AB=24，则图中阴影部分的面积是 ． 3．（2025·河南·模拟预测）如图，在等边三角形中，，以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 4．（2025·甘肃陇南·二模）如图，作的任意一条直径，分别以为圆心，以的长为半径作弧，与相交于点和，顺次连接，得到六边形，若，则阴影部分的面积为 ． 5．如图1，直线与直线相交于点，在直线上取两点，且，在直线上取两点．且，以为直径作小半圆，以为直径作大半圆．连接，直线交大半圆于点．    (1)求证：； (2)求阴影部分的面积； (3)如图2，若切小半圆于点，连接，求证：也是小半圆的切线． 6.如图，扇形的圆心角，半径为如果点、是的三等分点，图中所有阴影部分的面积之和是          ． 7.如图所示，两个半圆形中，为大半圆形的圆心，长为的弦与直径平行且与小半圆形只有一个交点，那么图中阴影部分的面积等于多少 【题型4 利用“旋转法”求面积】 1．小明将直径为的半圆绕点A逆时针旋转设计了如图所示的图案，那么图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·河南郑州·二模）如图，两个半径长均为1的直角扇形的圆心分别在对方的弧上，扇形的圆心是弧的中点，且扇形绕着点旋转，半径，交于点，半径，交于点，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在中，已知，将绕点A按逆时针方向旋转后得到，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 4．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝2，将△ABC绕点A逆时针旋转30°得△ADE，则在旋转过程中BC扫过的图形面积是 ． 5．如图，将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕点A逆时针旋转，在旋转过程中，点B落在扇形BAC的弧上的点B' 处，点C的对应点为点C' ，则阴影部分的面积为 ．     6．如图，将半径为4，圆心角为120°的扇形OAB绕点B逆时针旋转60°，得到扇形O'A'B，其中点A的运动路径为，则图中阴影部分的面积和为 ． 7．如图，将半径为，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，得到扇形，则扫过的区域（即图中阴影部分）的面积为 ．      8．如图，在等边中，，点D为边的中点，将绕点D顺时针旋转，得到，是点A的旋转路径，连接，则图中阴影部分的面积为 【题型5 利用“等积变形法”求面积】 1．如图，某玩具品牌的标志由半径为的三个等圆构成，且三个等圆相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（　　）    A． B． C． D． 2．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，将弧沿弦翻折恰好过圆心点，点为弧的中点，的半径为3，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 3．如图，点A、B、C是上的点，连接，且，过点O作交于点D，连接，已知的半径为2，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·河南郑州·三模）如图，是半圆的直径，点为半圆上一点．将半圆沿翻折，点的对应点落在上，点的对应点为．若，则图中阴影部分的面积为 ． 5．如图，在边长为6的正方形中，以为直径画半圆，则阴影部分的面积是 ． 6．（2025·山东聊城·二模）半圆的直径在直尺上所对的刻度如图所示，点C在半圆上，且，连接，取的中点D，连接，则图中阴影部分的面积为 ． 7．（2025·江苏南通·中考真题）如图，与相切于点，为的直径，点在上，连接，且． (1)连接，求证：； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 与圆有关的面积问题（50题）（举一反三专项训练） 【沪教版】 考卷信息： 本套训练卷共50题，涉及5大类型，即利用“整体法”求面积、利用“割补法”求面积、利用“平移法”求面积、利用“旋转法”求面积、利用“等积变形法”求面积. 题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对求圆有关的面积问题的理解！ 【题型1 利用“整体法”求面积】 1．如图，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形（无阴影部分）面积之和为S1，正八边形外侧八个扇形（阴影部分）面积之和为S2，则=（ ）    A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】先根据正多边形的内角和公式可求正八边形的内角和，根据周角的定义可求正八边形外侧八个扇形（阴影部分）的内角和，再根据半径相等的扇形面积与圆周角成正比即可求解． 【详解】解：∵正八边形的内角和为（8-2）×180°=6×180°=1080°， 正八边形外侧八个扇形（阴影部分）的内角和为360°×8-1080°=2880°-1080°=1800°， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求，属于基础题． 2．如图，在边长为1的正方形构成的网络中，半径为1的⊙O的圆心在格点上，则图中阴影部分两个小扇形的面积之和为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据直角三角形的性质求出∠ABC+∠BAC的值，再根据扇形的面积公式进行解答即可． 【详解】∵△ABC是直角三角形， ∴∠ABC+∠BAC=90°， ∵两个阴影部分扇形的半径均为1， ∴S阴影= 故选:A． 【点睛】考查直角三角形的性质以及扇形的面积公式，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键. 3．如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把三个阴影部分拼在一起，形成一个：圆心角是135°，半径是1的扇形，然后利用扇形的面积公式求解即可. 【详解】∵AD∥BC, ∴∠CBD=∠ADB, ∴∠CBD+∠CDB=90°. ∵∠ABE=45°, ∴三个扇形的圆心角之和为：90°+45°=135°， ∴S阴影=. 故选B.    【点睛】本题考查了正方形的性质，扇形的面积公式及图形的割补方法，可利用正方形的特征，然后进行割补，拼成一个扇形，其圆心角就是三个阴影部分圆心角之和，其半径不变. 4．（24-25七年级下·广东河源·期末）如图，正方形的边长是4，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积是 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，能将阴影部分的面积进行巧妙的转化是解题的关键． 根据所给图形，先将阴影部分的面积进行转化，再进行计算即可． 【详解】解：如图所示，    ∵正方形的边长为4， ∴正方形的面积为， ∴的面积为． 又∵上方以为直径的半圆面积为：， ∴图中①②两部分的面积之和为， ∴阴影部分的面积为：． 故答案为：． 5．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，正方形的对角线，交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点，交于点，再以点为圆心，长为半径画弧交于点，交于点．若，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）    【答案】/ 【分析】先求出正方形对角线长度，进而得到扇形半径，再根据正方形面积减去两个扇形面积求出阴影部分面积．本题主要考查了正方形的性质以及扇形面积的计算，熟练掌握正方形的性质和扇形面积公式是解题的关键． 【详解】解：四边形是正方形， ， 图中阴影部分的面积为 故答案为：． 6．（2025·内蒙古·模拟预测）如图，在中，，，是的中点，分别以，为圆心，长为半径作弧，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形面积的计算，根据题意得出，再将阴影部分转化为一个圆心角为，半径为的扇形面积即可解决问题．解题的关键是掌握：扇形所在圆的半径为，圆心角为的扇形面积的计算公式为：． 【详解】解：∵在中， ， ∴， 又∵，且点是的中点， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积是． 故答案为：． 7．（2025·山东青岛·一模）如图，在边长为的正方形网格中，“状”图案（阴影部分）是由半径分别为和，圆心在格点上的两种弧围成的，则阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积公式，求其他不规则图形的面积，由图形可知，然后代入求解即可，解题关键是掌握由扇形面积公式求该不规则图形面积的求法． 【详解】解：如图， ∴ ， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·四川广元·期末）如图，将的、分别沿弦、翻折，翻折后的两段弧均经过圆心O，若的半径是3，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求不规则图形的面积、等腰三角形的性质、解直角三角形、折叠的性质等知识，将不规则图形的面积转化为扇形的面积是解题关键．连接，过点作于点，的延长线交于点，先得出，从而可得图中阴影部分的面积等于，再根据折叠的性质可得，解直角三角形可得，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，最后利用扇形的面积公式计算即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，的延长线交于点， ∵的半径是3， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积等于， 由折叠的性质得：， ∴在中，， ∴， 又∵，， ∴（等腰三角形的三线合一）， 同理可得：， ∴， ∴， 即图中阴影部分的面积为， 故答案为：． 【题型2 利用“割补法”求面积】 1．（2025·江苏·一模）如图所示，边长为1的正方形网格中，、、、、是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点，那么阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，求扇形的面积，等腰直角三角形的性质， 根据阴影部分的面积解答即可. 【详解】解：∵， ∴， 同理：. 根据勾股定理，得. 阴影部分的面积 . 故选：C. 2．（2025·浙江·模拟预测）如图，C是以为直径的半圆上一点，过B，C两点作与弦相切．已知，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设与交于点D，的圆心为O，连接，利用圆周角定理和圆的切线的性质得到经过圆心O，利用含角的直角三角形的性质和勾股定理求得，再利用阴影部分的面积解答即可得出结论． 本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，扇形与三角形的面积，直角三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，连接直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线． 【详解】解：设与交于点D，的圆心为O，连接，如图， 为半圆的直径， ， ， 过B，C两点作与弦相切， 经过圆心O， 即为直径， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积 故选：D 3．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，正方形的边长为，以为圆心，为半径作圆弧；以为圆心，为半径作圆弧．若图中阴影部分的面积分别记为、，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了扇形面积的计算，根据题意和图形，可以分别计算出和的值，然后用即可得到的值，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：如图， 由，， ∴ ， 故选：． 4．（2025·山西·一模）如图，先以正方形的边为直径画圆，然后以A为圆心，为半径画，最后以的中点E为圆心，为半径画与交于点 F，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查圆面积的计算，正方形的性质，根据圆面积，扇形面积的计算方法以及图形中各个部分面积之间的和差关系进行计算即可． 【详解】解：如图， 空白①的面积为， 空白部分②的面积， 所以阴影部分的面积 ， 故选：A． 5．（2025·黑龙江佳木斯·三模）如图，在扇形中，，，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交于点C，则整个阴影部分的面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了折叠的性质、扇形面积公式以及直角三角形的性质．首先连接，由折叠的性质，可得，，，则可得是等边三角形，继而求得的长，即可求得与的面积，又在扇形中，，半径，即可求得扇形的面积，继而求得阴影部分面积． 【详解】解：连接，    根据折叠的性质，，，， ∴， 即是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴整个阴影部分的面积为：． 故选：B． 6．（2025·河南驻马店·三模）如图，是正方形的外接圆，以点为圆心，的长为半径在内画弧．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明，，为等腰直角三角形，求出，然后根据求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是正方形的外接圆， ∴，，为等腰直角三角形， ∴是直径． ， ， ． 故选C． 【点睛】本题考查了扇形面积公式，圆周角定理，正方形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握圆的知识是解答本题的关键． 7．（2025·山西·中考真题）如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，扇形的面积，由等腰直角三角形的性质得，，进而由解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 8．（2025·山西吕梁·二模）如图，与菱形的边相切于点，点，在上．若，则图中阴影部分的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，，，．证明，得出，结合切线的性质求出，解直角三角形得出，最后再由计算即可得解． 【详解】解：如图，连接，，，，． 四边形是菱形， ，． 在和中， ， ∴， ， 点在菱形的对角线上， ． 是的切线， ． ， 即， 解得， ， ，， ，， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、扇形面积公式、解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 9．（2025·山西·模拟预测）如图，半径为2的圆形纸片上有三点，分别沿弦折叠圆形纸片，使折叠后的与都经过圆心，则，围成的阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求不规则图形的面积，解直角三角形，等边三角形的性质与判定，折叠的性质，垂径定理，在上取点关于直线的对称点，连接，连接交于点，由折叠的性质可得，则可证明和是等边三角形，垂直平分，进而可得，解直角三角形得到，则，可求出，同理可得，再根据列式求解即可． 【详解】解：如图，在上取点关于直线的对称点，连接，连接交于点． 由折叠可知． 和是等边三角形，垂直平分． ， ， 在中，， ∴， ∴， 同理可得， ， 故选：A． 10．（2025·山西大同·三模）如图，分别以点，为圆心，的长为半径作圆，设两圆的一个交点为点P．若，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图所示，连接，，过点P作交于点A，得到，证明出是等边三角形，求出，解直角三角形求出，然后根据阴影部分的面积代数求解即可． 【详解】如图所示，连接，，过点P作交于点A， 根据题意得，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积 ． 故选：A． 【点睛】此题考查了求不规则图形面积，等边三角形的性质和判定，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 11．（2025·河南周口·二模）如图，半圆O的直径为4，交半圆O于点C，以点A为圆心，长为半径画弧交于点D，以点B为圆心，长为半径画弧交于点E，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查扇形中阴影部分的面积，根据“”求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵半圆O的直径为4，交半圆O于点C， ∴，点为的中点， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：C． 12．（2025·山西吕梁·二模）如图，为半圆的直径，为的中点，将半圆绕着点顺时针旋转90°，得到半圆，点，，的对应点分别为，，，半圆的直径与半圆交于点，连接，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的性质，垂直平分线的性质，等边三角形的判定定理和性质，勾股定理，三角形和扇形的面积公式，综合应用这些知识点是解题关键． 连接，由旋转的性质得，，从而得到， 根据是的中点，求得，进而求出，的度数，再根据扇形面积公式求出扇形的面积，即可求出阴影部分的面积． 【详解】如图，连接， 由旋转的性质得，， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴，即， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴，， ∴，， ∴． 故选C． 13．（2025·重庆·模拟预测）如图，在中，，将绕点B顺时针旋转得到，则阴影部分面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在中勾股定理求出、，再根据旋转的性质即可求出，，，，再根据扇形的面积公式求出，则，问题得解．本题考查了扇形面积公式、旋转的性质、勾股定理等知识，掌握扇形的面积公式是解答本题的关键． 【详解】解：过点作于一点，如图所示： ∵，，， ∴在中，， ， 根据旋转的性质有：，，， ∴， 在中，， 则 ， 则， ∴， 故选：B． 14．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，正方形内接于，，分别与相切于点和点，的延长线与的延长线交于点．已知，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】连接，根据已知条件得到是的直径，，根据切线的性质得到，得到是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到，根据梯形和圆的面积公式即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴是的直径，， ∵分别与相切于点A和点D， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 15．（2025·河南郑州·模拟预测）如图，在扇形中，圆心角，半径，将扇形绕半径的中点顺时针旋转，得到扇形，连接，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】连接，根据题意和旋转的性质证明是等边三角形，从而证明点、、共线；设与交于点，根据扇形面积公式求出扇形的面积；过点作，交于点，由三角函数求出，根据三角形面积公式求出的面积，再根据“阴影部分的面积扇形的面积三角形的面积”计算即可． 本题考查扇形面积的计算、旋转的性质，掌握旋转的性质及扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：连接， 由题意知，， 为的中点，， ， 根据旋转的性质，得， 是等边三角形， ，， ， ， 点、、共线． 设与交于点， 则， 过点作，交于点． ， ， 阴影部分的面积为． 故答案为：． 16．（2025·广东韶关·二模）如图，在等腰直角三角形中，，，以点为圆心，为半径画弧，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，阴影部分的面积为，结合已知代入计算即可． 本题考查了阴影面积计算，扇形面积公式，适当分割表示阴影面积是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， 故, 故阴影部分的面积为 ． 故答案为：或． 17．（2025·吉林·三模）如图，将半径为3的圆形纸片，按下列顺序折叠，若和都经过圆心O，则阴影部分图形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查圆中的计算问题和扇形面积计算，解直角三角形的应用，熟练掌握公式，是解题的关键．作于点D，连接，求出，再求出弓形的面积，然后根据阴影部分的面积等于圆的面积减去2个弓形的面积，即可得出答案． 【详解】解：作于点D，延长线交于点E，连接， 则，， ∵弓形折叠后为弓形过圆心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， ∴阴影部分的面积为： ． 故答案为：． 18．（2025·吉林·模拟预测）如图，在中，，，若进行下列操作：①将绕点A顺时针旋转后得到，点B经过的路径为弧；②以点C为圆心，线段的长为半径得到弧，则图中阴影部分的面积是 （结果保留）． 【答案】 【分析】此题考查了扇形面积的计算、等腰直角三角形，熟记扇形的面积公式是解题的关键． 根据题意求出，，，，，再根据阴影部分的面积，然后即可求解； 【详解】解：∵，， ∴， 根据题意得，，，，， ∴阴影部分的面积 ； 故答案为：； 19．（2025·贵州遵义·一模）如图，是的弦，，点D在上，，点C是弦上一动点（不与点A、B重合），连接并延长交于点D，连接． (1)证明：； (2)求弦的长； (3)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了垂径定理，不规则图形的面积计算，解直角三角形，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，由等边对等角得到，，则可证明，进而证明； （2）过点O作于E，则，，由勾股定理求出的长即可得到答案； （3）求出，的度数，解直角三角形求出的长，进而得到的长，据此根据计算求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点O作于E， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； （3）解：由（1）知，， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在中，，点在边上，以为直径作的经过边上的点，连接，平分， (1)求证：是的切线； (2)，，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，交边于点，求图中，，，．围成的阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定，求不规则图形面积，角平分线的定义和等边对等角，熟知圆的相关知识是解题的关键。 （1）连接，由角平分线的定义和等边对等角可证明，则可证明，得到，据此可证明结论； （2）求出，根据题意可得扇形和扇形的面积之和等于圆心角度数为90度，半径为2的扇形面积，再根据列式计算即可。 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的半切线； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 由题意得，扇形和扇形的半径相同，且， ∴扇形和扇形的面积之和等于圆心角度数为90度，半径为2的扇形面积， ∴． 【题型3 利用“平移法”求面积】 1．（24-25九年级下·河南商丘·期中）如图，半径为的扇形中，为的中点，连接，．已知的长度为，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式及菱形的性质是解答此题的关键．证明，得出，则图中阴影部分的面积为扇形的面积，根据已知求得圆心角，进而根据扇形面积公式，即可求解． 【详解】解：如图，设交于点， ∵为的中点， ∴， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∵半径为的扇形中，的长度为，设 ∴， 解得： ∴ ∴图中阴影部分的面积为 故选：A． 2．如图是两个半圆，点O为大半圆的圆心，AB平行于半圆的直径且是大半圆的弦且与小半圆相切，且AB=24，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】72π 【详解】试题解析：将小圆向右平移，使两圆变成同心圆，如图，连OB， 过O作OC⊥AB于C点，则AC=BC=12， ∵AB是大半圆的弦且与小半圆相切， ∴OC为小圆的半径， ∴S阴影部分=S大半圆-S小半圆 故答案为 3．（2025·河南·模拟预测）如图，在等边三角形中，，以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，扇形的面积，连接，可得、、和都是等边三角形，即可得，利用割补法可得，进而根据扇形的面积公式计算即可求解，运用转化思想解答是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴和是等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴把移到，再把移到的位置，可知， ∴， 故答案为：． 4．（2025·甘肃陇南·二模）如图，作的任意一条直径，分别以为圆心，以的长为半径作弧，与相交于点和，顺次连接，得到六边形，若，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形的面积转换，等边三角形面积，将不规则图形的面积转换成规则图形的面积是解题关键．可将图中阴影部分的面积转化为两个等边三角形的面积之和，然后求解即可． 【详解】解：如图，连接， 根据题意，可知弓形与弓形面积相等，弓形与弓形面积相等， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形，同理可知为等边三角形，且两三角形全等， ∴． 故答案为：． 5．如图1，直线与直线相交于点，在直线上取两点，且，在直线上取两点．且，以为直径作小半圆，以为直径作大半圆．连接，直线交大半圆于点．    (1)求证：； (2)求阴影部分的面积； (3)如图2，若切小半圆于点，连接，求证：也是小半圆的切线． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）证明，即可得到，从而即可得证； （2）由可得阴影部分的面积，代入数据进行计算即可得到答案； （3）由切线的性质可得，设交小半圆于，连接，由直角三角形的性质可得，从而推出是等边三角形，得到，，再由等腰三角形的性质及三角形外角的定义及性质可得，过点作于点，由角平分线的性质可得，由此即可得证． 【详解】（1）证明：， ， ， ； （2）解：， 阴影部分的面积； （3）解：切小半圆于A， ， 如图，设交小半圆于，连接， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 过点作于点， ， ， 也是小半圆的切线． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、扇形面积的计算、切线的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义与性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 6.如图，扇形的圆心角，半径为如果点、是的三等分点，图中所有阴影部分的面积之和是          ． 【答案】  【分析】 由题意可知、是弧的三等分点，通过平移可把阴影部分都集中到一个小扇形中，可发现阴影部分正好是扇形的，先求出扇形的面积再求阴影部分的面积或者直接求圆心角是度，半径是的扇形的面积皆可． 此题考查扇形的面积问题，通过平移的知识把小块的阴影部分集中成一个规则的图形--扇形，再求扇形的面积即可．利用平移或割补把不规则图形变成规则图形求面积是常用的方法． 【详解】 解：， 点、是的三等分点， 故答案为： 7.如图所示，两个半圆形中，为大半圆形的圆心，长为的弦与直径平行且与小半圆形只有一个交点，那么图中阴影部分的面积等于多少 【答案】 【分析】观察图形可知阴影部分的面积等于大半圆形的面积减去小半圆形的面积，即当小半圆形在大半圆形范围内左右移动时，阴影部分面积不改变，因此我们可以通过平移，使两个半圆形圆心重合，这样就能运用已知条件求出阴影部分的面积． 【详解】解：将小半圆形向右平移，使两个半圆形的圆心重合，如图，则阴影部分的面积等于半圆环面积． 作于点易知为与小半圆的交点，连接， ． 阴影部分的面积． 【题型4 利用“旋转法”求面积】 1．小明将直径为的半圆绕点A逆时针旋转设计了如图所示的图案，那么图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据整体思想，可知，再利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵， 而根据旋转的性质可知， ∴， 而由题意可知，， 即． 故选：B． 【点睛】本题考查的是扇形面积的相关计算，根据整体思想求出表示阴影部分面积的方法，再用公式计算扇形的面积即可． 2．（2025·河南郑州·二模）如图，两个半径长均为1的直角扇形的圆心分别在对方的弧上，扇形的圆心是弧的中点，且扇形绕着点旋转，半径，交于点，半径，交于点，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了扇形的面积求法以及三角形的面积等知识，得出四边形的面积正方形的面积，是解决问题的关键． 根据扇形的面积公式求出面积，再过过点作，作，垂足分别为，然后证明，从而得到中间空白区域的面积等于以 1 为对角线的正方形的面积，从而得出阴影部分的面积． 【详解】解：连接 两扇形的面积和为：， 过点作，作，垂足分别为， 则四边形是矩形， ∵点是弧的中点， ∴平分， ∴， ∴矩形是正方形， ∵， ∴， 在与中， ， ， ∴中间空白区域面积相当于对角线是 1 的正方形面积， ∴空白区域的面积为：， ∴图中阴影部分的面积两个扇形面积 个空白区域面积， 故选：D． 3．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在中，已知，将绕点A按逆时针方向旋转后得到，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质，求扇形的面积，含直角三角形的性质，勾股定理， 先求出，再根据可得答案. 【详解】解：在中，， ∴， 根据勾股定理，得. 根据旋转得， ∴， ∴ . 故选：B. 4．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝2，将△ABC绕点A逆时针旋转30°得△ADE，则在旋转过程中BC扫过的图形面积是 ． 【答案】π 【分析】利用等腰直角三角形的性质得到AC＝AB＝2，再根据旋转的性质得∠BAD＝∠CAE＝30°，△ABC≌△ADE，根据扇形的面积公式，利用BC扫过的图形面积＝S扇形EAC+S△ABC﹣S△ADE﹣S扇形BAD＝S扇形EAC﹣S扇形BAD进行计算． 【详解】解：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AC＝AB＝2， ∵△ABC绕点A逆时针旋转30°得△ADE， ∴∠BAD＝∠CAE＝30°，△ABC≌△ADE， ∴BC扫过的图形面积＝S扇形EAC+S△ABC﹣S△ADE﹣S扇形BAD ＝S扇形EAC﹣S扇形BAD ＝﹣ ＝π． 故答案为π． 【点睛】本题考查了扇形的面积计算：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）；求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 5．如图，将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕点A逆时针旋转，在旋转过程中，点B落在扇形BAC的弧上的点B' 处，点C的对应点为点C' ，则阴影部分的面积为 ．     【答案】 【分析】连接BB’，过A作AF⊥BB’于F，根据旋转的性质得出扇形ABC和扇形AB’C’的面积相等，AB＝AB’＝BC＝BB’＝2，求出△ABB’是等边三角形，求出∠ABF＝60°，解直角三角形求出BF和AF，再根据阴影部分的面积S＝S扇形ABC−（S扇形ABB’−S△ABB’）求出答案即可． 【详解】解：连接BB’，过A作AF⊥BB’于F，则∠AFB＝90°，如图， ∵将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕点A逆时针旋转，在旋转过程中，点B落在扇形BAC的弧上的点B' 处，点C的对应点为点C' ， ∴扇形ABC和扇形AB’C’的面积相等，AB＝AB’＝BC＝BB’＝2， ∴△ABB’是等边三角形， ∴∠ABF＝60°， ∴∠BAF＝30°， ∴BF＝AB＝×2＝1，由勾股定理得：AF＝， ∴阴影部分的面积S＝S扇形ABC−（S扇形ABB’−S△ABB’） ＝ ＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键，注意：如果扇形的圆心角为n°，扇形的半径为r，那么扇形的面积S＝． 6．如图，将半径为4，圆心角为120°的扇形OAB绕点B逆时针旋转60°，得到扇形O'A'B，其中点A的运动路径为，则图中阴影部分的面积和为 ． 【答案】/ 【分析】连接，，根据旋转，结合等边三角形的判定，得出为等边三角形，得出，，再证明为等边三角形，从而证明四边形为菱形，证明从而可得答案． 【详解】解：连接，， 如图所示： 根据旋转可知， ∵， ∴为等边三角形， ，， ∵， ∴， ， ∴为等边三角形， ， ， 四边形为菱形， ， 记菱形的对角线的交点为H，且 四边形为菱形， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握扇形面积公式，看出图中是解本题的关键． 7．如图，将半径为，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，得到扇形，则扫过的区域（即图中阴影部分）的面积为 ．      【答案】 【分析】结合已知条件及旋转性质，根据面积的和差可得，然后利用扇形面积公式计算即可． 【详解】∵，， ∴为等边三角形， ∴， 由旋转性质可得，，， 则， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了扇形的面积及旋转性质，结合已知条件将阴影部分面积转化为扇形的面积是解题的关键． 8．如图，在等边中，，点D为边的中点，将绕点D顺时针旋转，得到，是点A的旋转路径，连接，则图中阴影部分的面积为 【答案】/ 【分析】本题考查了扇形面积，旋转性质，根据，点D为边的中点，得出，结合旋转性质，得出，结合扇形面积以及三角形面积公式进行列式，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵等边中，，点D为边的中点， ∴， ∵将绕点D顺时针旋转，得到，是点A的旋转路径，连接， ∴， 则图中阴影部分的面积为， 故答案为：． 【题型5 利用“等积变形法”求面积】 1．如图，某玩具品牌的标志由半径为的三个等圆构成，且三个等圆相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的对称性可知：图中三个阴影部分的面积相等，只要计算出一个阴影部分的面积即可，如图，连接，阴影的面积＝扇形的面积，据此即可解答. 【详解】解：根据圆的对称性可知：图中三个阴影部分的面积相等； 如图，连接，则，是等边三角形， ∴，弓形的面积相等， ∴阴影的面积＝扇形的面积， ∴图中三个阴影部分的面积之和； 故选：C.    【点睛】本题考查了不规则图形面积的计算，正确添加辅助线、掌握求解的方法是解题关键. 2．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，将弧沿弦翻折恰好过圆心点，点为弧的中点，的半径为3，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先结合题意，得出，，，则，再证明，故图中阴影部分的面积为，即可作答． 【详解】解：连接，与的交点为，连接, ∵将弧沿弦翻折恰好过圆心点， ∴， ∵点为弧的中点， ∴， ∴，，， 即， ∴， ∴， 故图中阴影部分的面积为， 故选：C． 【点睛】本题考查了求不规则的面积，解直角三角形的相关性质，扇形面积，全等三角形的判定与性质，垂径定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 3．如图，点A、B、C是上的点，连接，且，过点O作交于点D，连接，已知的半径为2，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆周角定理可得的度数，由可得，进而可得，然后根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】题考查了圆周角定理、扇形面积公式和同底等高的两个三角形的面积相等等知识，熟练掌握上述基本知识是解题的关键． 4．（2025·河南郑州·三模）如图，是半圆的直径，点为半圆上一点．将半圆沿翻折，点的对应点落在上，点的对应点为．若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查翻折的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，不规则图形的面积，根据翻折和等边三角形的判定可得是等边三角形，然后过D点作于点E，根据勾股定理求出DE长，再根据解答即可． 【详解】解：如图，连接，，，， 由翻折可知，， ∴四边形是菱形，， ∴是等边三角形， 过D点作于点E， 则，， ． 故答案为：． 5．如图，在边长为6的正方形中，以为直径画半圆，则阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE，OE，证明BE=CE，得到弓形BE的面积=弓形CE的面积，则． 【详解】解：设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE，OE，如图， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠OCE=45°， ∵OE=OC， ∴∠OEC=∠OCE=45°， ∴∠EOC=90°， ∴OE垂直平分BC， ∴BE=CE， ∴弓形BE的面积=弓形CE的面积， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求不规则图形的面积，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的性质，熟知相关知识是解题的关键． 6．（2025·山东聊城·二模）半圆的直径在直尺上所对的刻度如图所示，点C在半圆上，且，连接，取的中点D，连接，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，扇形面积公式，弧长公式，邻补角等知识点，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．取的中点O，连接，，由题意得，，可知为的中位线，则，，根据，得到，再根据扇形面积公式即可求解． 【详解】解：取的中点O，连接，， 由题意得，， ∴， ∵点D为中点， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（2025·江苏南通·中考真题）如图，与相切于点，为的直径，点在上，连接，且． (1)连接，求证：； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）利用切线性质得，再通过证明，从而推出； （2）先结合已知角度推出相关角的度数，确定为等边三角形，求出圆的半径，再根据平行线间面积关系，将阴影部分面积转化为扇形的面积进行计算． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵与相切， ∴， ∴， 在和中 ∴ ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴为等边三角形， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查圆的切线性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及扇形面积计算，熟练掌握圆的切线垂直于过切点的半径、全等三角形判定定理、等边三角形判定与性质及扇形面积公式是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $