第二十五章 锐角的三角比 单元测试卷 2025-2026学年 沪教版（上海）九年级数学第一学期

第二十五章《锐角的三角比》单元测试卷 一、选择题(6小题，每小题2分，共12分) 1.计算-√5tan30°-1的值为() A.0 B.-2 C.-4 D.-5 2.在△ABC中，∠C-90°，BC=2,AC=1,则sinB的值是() A.月 B.v5 5 C.3 2 D. 2 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a、b、c,下列等式中不 一定成立的是() A.a=b B.8 C.a=c.sin A D.a=c.cosB tan B 4.如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,B,C均在格点 上，则tanA的值是() 4. 5 B. 5 C.2 D. 5.光从真空射入介质发生折射现象时，入射角α的正弦值与折射角B的正弦值 的比值合叫微介质的“绝对折射室”，筒称“折射率”。村料约新射率基底， 使入射光发生折射的能力越强.如图，光从真空射入一玻璃镜片中，入射角为， 新射有为B,且a=60,0明吕，则比玻聘的折射率是() 入射光线 真空 玻璃 折射光线 A.2 B.13V5 C.135 22 24 6.图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈180°，图2是其侧面示 意图.为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自 动调整手柄D沿着AB移动，以保证太阳光线与DF始终垂直，已知支架AB长为 2.5米，且垂直于地面BC,某一时刻测得BD=1.7米，悬托架AE=DE,点E固定 在伞面上，当伞面完全张开时，大阳光线与地面的夹角设为u,当ma-时， 此时悬托架AE的长度为()米. F D a入 G 图1 图2 A.0.5 B.0.6 C.0.8 D.0.9 二、填空题(12小题，每小题2分，共24分) 7.计算：24+ 2 -2c0s60°= 8.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=55,AB=10,则∠B= 9.用计算器求锐角x(精确到1”)： (1)sinx=0.1523,x≈_；(2)c0sx=0.3712,x≈： (3)tanx=1.7320,x≈ 10.在△MBC中，若n4=l,smB=,则△MBC是 三角形. 11.已知点A(1,4、B(-2,0),那么直线AB与x轴夹角的正弦值是 12.如图，把两张宽度都是3cm的纸条交错地叠在一起，相交成角a,则重叠部 分的面积是cm2. 2 13.观察下列等式 ①sin30°=2cos60°/ 2 ②sin45°= 2 C0s=45°=V2 2 ③sin60°-V3 0s30°=V3 2 根据上述规律，计算sin2 a+sin2(90°-a)=_, 14.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，斜边上的高AD交BC于D,若BD=9, CD=4,则cos∠CAD=一· D 15.如图，在△ABC中，AB=BC=2,0A=0B,∠ABC=90°，点P从点C出发，以 1个单位长度每秒的速度沿射线CO运动，设运动时间为t,当△ABP为等腰三角形 时，点P的运动时间t为 S. P 16.构建几何图形解决代数问题体现的是数形结合思想.如图，在Rt△ABC中， LC=90°，LABC=30°，延长线段CB到点D,使BD=AB,连接AD,可得 ∠D=15°，所以LCAD=75°.利用此图形可以得出tan75°=2+√5.通过类比这种 方法，可以得出tan67.5°= D B 17.如图，4B=4C,n∠B=手，点D为Bc上一点，且cD=8c.过点D作 DELAB3交B于点E,交AC延长线于F点， CF的值为 D 18.如图，太阳能路灯目前已经成为节能环保的代名词，它是由太阳能电池组件、 部分LED灯具、控制箱和灯杆几部分构成，某校学生开展综合实践活动，测量太 阳能路灯电池板顶端点E离地面的高度.如图2，已知测角仪的高度为1.2米（即 AB1.2米)，在测量点B处安置测角仪，测得点E的仰角为45°，在与点B相距 2.2米的测量点D处安置等高的测角仪（即BD=22米），测得点E的仰角为53°（点 B,D,F在一条直线上)，求电池板顶端离地面的高度EF=米.（结果精 确到0.1米，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，√2≈1.41) 532454 C D B 图1 图2 三、解答题(7小题，共64分) 19.计算： (1)tan30tan60°+tan60° tan30° (2）tan260°-2tan245°+3tan230°. 20.如图，线段OB放置在正方形网格中，现请你分别在图1、图2、图3添画（工 具只能用直尺)射线OA,使tan∠AOB的值分别为1、2、3. B B B 图1 图2 图3 21.如图，AD是△ABC的高，若AD=6,tanC=, ,BC=12. D (I)求CD边的长； (2)求cosB的值. 22.小张同学用无人机测量教学楼AB的高度，测量方案如图：先将无人机垂直 上升至距水平地面100米的P点，测得楼顶端A的俯角为15°，再将无人机沿水 平方向飞行125米到达点Q,测得楼底端B的俯角为45°，求教学楼AB的高度（保 留4位有效数字，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27) 0 150 V450 23.在学习《解直角三角形》一章时，小明同学对互为倍数的两个锐角正切三角 比产生了浓厚的兴趣，进行了一些研究. B D 图1 (1)初步尝试：我们知道：tan60°=-，发现结论：tan2A_2tanA;(选填“=” 或“≠”) (2)实践探究：如图1，在RIA ABC中，LC=90°，AC=2,BC=1,求tanA的 值：小明想构道包含A的直角三角形：英长C4至点D,使得D4=,连 接BD,所以得到∠D=】∠A,即转化为求∠D的正切值.请按小明的思路求解 2 1 tan-4. 2 24.阅读下面的材料，先完成填空，再按要求答题： 2’c0s30=3 sin30°= ，则sin230+e0s30 ；① sin45 =2 2’c0s45s ,则sin245°+cos245°= ；② 2 sin60°= 2,则sin260°+cos2600= 2 c0s60°= ；③ …… 观察上述等式，猜想：对于任意锐角A,都有sin2A+cos2A= ④ 6 B (1)如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理证明你的猜 想 (2)已知∠A为锐角，且sm4-},求cosA的值. 25.跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，如图1是滑雪运动员在跳台上完成 动作的示意图，赛道的剖面的一部分可抽象为线段AD,AB,滑雪运动员从点D 出发，从起跳点A起跳，到点B落地，某比赛场地的实测参数如下：（如图2） ①跳台竖直高度CD=105m; ②斜坡AD长度为80m,坡角为30°（与水平面夹角）： ③斜坡AB的坡角为34°. 根据以上条件，计算斜坡AB的长度.（结果精确到1m) (参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67) 出发台D助滑 D 起跳点 空中飞行 304 0 着陆坡 349C B 图1 图2 > 参考答案 一、选择题 1. 【详解】解：-√3tan30°-1 5x 3 =-1-1 =-2 故选：B 2. 【详解】解：根据勾股定理可得：AB=√AC2+BC2=VP+22=√5， ..sinB=4C=1 5 ΓAB55 故选B. A C B 3. 【详解】解：：∠C=90°，∠A,∠B,LC所对的边分别为a、b、c, b a= tan B, 故A成立，不符合题意； 合故B不虎立，笮合题商： a=c.sin A,故C成立，不符合题意； a=c.cosB,故D成立，不符合题意； 故选B. 4. 【详解】解：如图所示，连接BD, 根据题意可知AD=V22+22=2√2，AB=V32+1P=V10,BD=VP+1P=√2， ∴.AD2+BD2=AB2=10, ∴∠ADB=90°. 在Rt△ABD中，tanA= BD 2 1 AD2√221 故选：D. D A 5. 【详解】解：.sinB+cos2B=1 ..cosB=11 :sina=sin60°- 2 3 .Sina 、2 13 …snF458 13 故选：D. 6. 【详解】解：过点E作EI⊥AD于点I, ,∠FDG=90°， ∴.∠ADE+∠BDG=90°， ,∠ABG=90°， ∴.LBGD+LBDG=90°， ∴LBGD=LADE, .GDFH, ∴.LBGD=La, .∴.∠ADE=La, 3 :tana=手， 0 .tan∠ADE=3 ∴.tan∠ADE= IE 3 D4, ,AB长为2.5米，BD=1.7米，AE=DE, A=D=4BBD=04(米)， 2 ∴.1E=0.3(米)， ∴AE=VAI2+E2=0.5(米)， 故选：A. F D a入 ⊙ G H 二、填空题 7.25+1 【详解】解： 24+V √2 -2c0s60° =D+-2对 =2W3+2-1 =25+1, 故答案为：25+1. 8.60 【详解】解：如图， B 10