2.1-2.3分式及分式的运算训练题2025-2026学年 鲁教版（五四制）八年级数学上册

2.1-2.3分式及分式的运算训练题 一、单选题 1．下列各式： 中，是分式的共有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．浓度为的盐水m公斤与浓度为的盐水n公斤混合后的溶液浓度是（    ） A． B． C． D． 3．下列分式中，一定有意义的是（　　） A． B． C． D． 4．若，则的值为（） A．1 B． C． D． 5．已知分式的值是非负数，那么的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 6．分式可变形为（    ） A． B． C． D． 7．不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 8．下列各式是最简分式的是（    ）． A． B． C． D． 9．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 10．若，则“？”表示的是（    ） A． B． C． D．8 11．有一道题目，“化简：．”甲、乙两同学的解答过程如下： 甲 乙 下列判断正确的是（   ） A．甲、乙两同学的解答都正确 B．甲、乙两同学的解答都不正确 C．只有甲同学的解答正确 D．只有乙同学的解答正确 12．若（A、B均为常数）的计算结果为，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．一项工程，甲单独干，完成需要天，乙单独干，完成需要天，若甲、乙合作，完成这项工程所需的天数是（   ） A． B． C． D． 14．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 15．设，，，则值为（   ） A． B． C． D． 16．如图，若x为正整数，则表示的值的点落在（　　） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 二、填空题 17．已知分式，当x 时，分式无意义；当x 时，分式的值为0． 18．小刚同学不小心弄污了练习本的一道题，这道题是：“化简”其中“”处被弄污了，但他知道这道题的化简结果是，则“”处的式子为 ． 19．代数式化简的结果是 ． 20．观察下列等式，根据其中的规律，猜想 （用含的代数式表示）． 21．已知，则 ． 22．计算∶ 三、解答题 23．已知分式满足表格中的信息，其中，，均为常数． 的取值 分数的值 无意义 (1)原分式中的值是　　　； (2)求出，的值． 24．计算： (1)； (2)． 25．化简： (1) (2) 26．计算 (1) (2) 27．先化简再求值：．其中从，，中任取一个合适的值． 28．阅读下面的文字，完成后面的问题． 我们知道，， (1)依照上述规律，则可列式_________，_________． (2)用含的式子表示你发现的规律：__________________． (3)求式子的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】本题主要考查分式的定义，根据分式的定义，分母中含有字母的代数式是分式；逐一检查每个表达式的分母是否含有字母即可. 【详解】解： ∵分式的定义是分母中含有字母， ∴检查每个表达式： ：分母是3，是数字，不是分式； ：分母是，是字母，是分式； ：分母是2，是数字，不是分式； ：分母是，是常数，不是字母，不是分式； ：分母是2，是数字，不是分式； ：分母是，含有字母，是分式； ∴ 是分式的有2个； 故选：A. 2．D 【分析】本题主要考查了列分式．根据溶液浓度两种浓度的盐水中的盐的总质量两种浓度的盐水总质量，把相关数值代入即可． 【详解】解：∵浓度为的盐水m公斤中含盐，浓度为的盐水n公斤中含盐， ∴混合后溶液的浓度为， 故选：D． 3．C 【分析】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分式分母不为零时，分式有意义是解题的关键．根据分式有意义的条件是分母不为零，依次需判断各选项分母是否可能为零即可． 【详解】解：选项A的分母为，当时，，分母可能为零； 选项B的分母为，当时，，分母可能为零； 选项C的分母为，因为，所以，分母恒不为零； 选项D的分母为，当时，，分母可能为零； 故选：C． 4．B 【分析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是将拆分为． 将目标表达式拆分为，然后代入已知条件计算． 【详解】∵， ∴． 故选：B． 5．B 【分析】本题考查分式值的正负性，解一元一次不等式等知识点，若对于分式（）时，说明分子、分母同号；分式（）时，分子、分母异号． 根据分式的值是非负数，分母恒为正数，因此只需分子是非负数即可． 【详解】解：∵，的值是非负数， ∴，即． ∴的取值范围是． 故选：B． 6．B 【分析】本题考查了分式的性质，分式的变形，掌握分式的性质是解题的关键． 根据分式的性质变形即可求解． 【详解】解：， 故符合的只有B选项， 故选：B． 7．D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把分子与分母同时乘以即可得到答案． 【详解】解：． 故选：D 8．A 【分析】本题主要考查最简分式的概念，掌握最简分式是指分子和分母没有公因式的分式是解题的关键． 通过逐项检查各选项的分子和分母是否能约分即可判断． 【详解】选项A：分子在实数范围内不能因式分解，与分母无公因式，因此是最简分式； 选项B：，可约分，不是最简分式； 选项C：分子，分母，有公因子2，可约分，不是最简分式； 选项D：分子，分母，有公因式，可约分，不是最简分式； 故选：A． 9．D 【分析】本题考查了分式乘除法的法则和分式的基本性质，熟练掌握分式乘除法的法则和分式的基本性质是解题的关键．根据分式乘除法的法则和分式的基本性质解答即可． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D正确， 故选：D． 10．C 【分析】本题考查分式的乘方运算，根据分式的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：； 故“？”表示的是； 故选C． 11．C 【分析】本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．甲同学直接利用平方差公式因式分解后约分，乙同学通过分子分母同乘构造平方差公式后再约分，但不能确定是否为0，甲同学的解法正确；乙同学的解法没有考虑所乘式子可能为0的情况，过程不正确． 【详解】解：∵ ， ∴ 甲同学：，过程正确； 乙同学：，但不能确定是否为0，过程不正确； ∴ 甲同学的解答正确，乙同学的解答不正确． 故选：C． 12．D 【分析】本题考查分式的运算，解二元一次方程组，掌握相关知识是解决问题的关键．将左边通分后与右边比较分子，得到关于A和B的方程，解出A和B后代入计算． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ 分子相等：， ∴ 比较系数： 解得：， ∴ ． 故选：D． 13．A 【分析】本题考查列代数式以及分式的基本运算，能够读懂题意列出分式是解题关键； 设工作总量为1，根据甲、乙单独完成的天数表示各自的工作效率，合作效率为两者之和，再求合作所需天数． 【详解】解：设工作总量为1， ∵ 甲单独完成需天， ∴ 甲的工作效率为， ∵ 乙单独完成需天， ∴ 乙的工作效率为， ∴ 甲、乙合作的工作效率为， ∴ 合作所需天数为． 故选：A． 14．C 【分析】本题考查分式的混合运算．先运算乘方，然后把除法转化为乘法，再约分即可解题． 【详解】解：， 故选：C． 15．B 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，通过取已知等式的倒数，得到关于 、、 的方程组，求和后得到它们的和，再求倒数即得所求． 【详解】解： ， ， 即 ， ， ， 即 ， ， ， 即 ， ， 即 ， 又 ， ． 故选：B． 16．B 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 先将分式化简、变形为，由为正整数知，据此可得，从而得出答案． 【详解】解： ， ∵为正整数， ， ， ， ∴表示的值的点落在段②． 故选：B． 17． 2 【分析】本题考查分式无意义以及为0的条件，掌握分式无意义以及为0的条件是解题的关键． 分式无意义：分母为0；分式是值为0：分子为0，分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：要使无意义，则，解得； 要使的值为0，则，解得； 故答案为：；． 18． 【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键． 根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】 解：根据题意得：， 又 则“”处的式子为． 故答案为：． 19．/ 【分析】本题主要考查了因式分解、约分等知识点，掌握分式的约分是解题的关键． 先对分子约分，然后再运用分式的基本性质约分即可． 【详解】解： ． 故答案为． 20． 【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据已知数列的计算公式得出其循环周期是解题的关键．根据题意分别用含x的式子表示出、、、，从而得出数列的循环周期为3，据此即可得解答． 【详解】解：∵， ∴， ， ， …… ∴每3个数为一周期循环， ∵， ∴， 故答案为：． 21．/ 【分析】本题考查分式的化简求值，掌握相关知识是解题关键． 由已知条件进行通分，得到，再利用变形，进而即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 22． 【分析】本题考查了分式的混合运算，准确的计算是解决本题的关键． 通过观察，发现从第二项开始的分母均为连续整数的乘积，进而根据分式的混合运算的法则求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 23．(1) (2)， 【分析】本题主要考查分式的值和分式无意义的条件，解题的关键是根据分式的值求出字母的值及分式有意义的条件． （1）根据分式无意义的条件求解即可； （2）先根据时分式的值为0求出a的值，再根据分式的值为3求出x的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵时分式无意义，即， ∴， 故答案为：1． （2）解：当时，分式的值为0， ， 解得， ∴原分式为 ， 当分式的值为3时，即， 解得, 经检验，是该分式方程的解， ∴． 24．(1) (2) 【分析】本题考查了含乘方的分式的乘除混合运算． （1）先乘方，再利用分式的乘除混合运算法则计算即可求解； （2）分子分母先因式分解，再利用分式的乘除混合运算法则计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 25．(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本运算法则和运算顺序． （1）先通分，然后加减约分化为最简分式即可； （2）先通分化为同分母的分式加减解题即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 26．(1) (2) 【分析】本题考查了分式的化简计算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据分式的混合运算，化简计算即可； （2）根据分式的混合运算，化简计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 27．，取，原式． 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义条件，先对括号内的分式通分计算，再将除法转化为乘法，通过因式分解和约分化简，最后选取，使分式有意义的x值代入求值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ； 由原式有意义得且， ∴且， 取， 原式 ． 28．(1)； (2) (3) 【分析】本题考查数字类规律，正确找出规律是解题的关键． （1）仿照题干中的例子进行计算即可； （2）观察（1）中的式子，用表示出该规律即可 （3）根据（2）中得到的规律将所求式子展开，观察发现，第一项和最后一项除外，中间的所有项都会相互抵消，据此进行计算求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：，， 故答案为：，； （2）解：根据题干，结合（1）中的算式，可以观察得到规律为： 对于任意正整数，都有， 故答案为：； （3）解：由（2）知，， 则 ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $