专题14 三角函数与解三角形综合题 【基础提升练+综合重点练】-2026届高三数学一轮复习专项训练（上海专用）

2026届高三数学一轮复习专项训练（综合重点练） 专题14 三角函数与解三角形 题型01：解三角形 1．（2021•上海）已知、、为的三个内角，、、是其三条边，，． （1）若，求、； （2）若，求． 【分析】（1）由已知利用正弦定理即可求解的值；利用余弦定理即可求解的值． （2）根据已知利用两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式可求得，，的值，进而根据正弦定理可得的值． 【解答】解：（1）因为，可得， 又，可得， 由于，可得． （2）因为， 可得， 又， 可解得，，或，， 因为，可得，，可得为钝角， 若，，可得，可得， 可得为钝角，这与为钝角矛盾，舍去， 所以，由正弦定理，可得． 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 2．（2023•上海）在中，角、、所对应的边分别为、、，其中． （1）若，，求边长； （2）若，，求的面积． 【分析】（1）由已知结合和差角公式及正弦定理进行化简可求，，，然后结合锐角三角函数即可求解； （2）由已知结合正弦定理先求出，进而可求，再由正弦定理求出，结合三角形面积公式可求． 【解答】解：（1），且， ， ， ，，， ， ； （2）， 则， ， ， ， 为锐角， ，，， ， ， ． 【点评】本题主要考查了和差角公式，正弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题． 3.（2025七宝中学高三三模）在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角； （2）若，边上的高为，求边． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合正弦定理、余弦定理求得，由此求得. （2）结合三角形的面积公式、余弦定理求得. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以由正弦定理得， 所以由余弦定理得， 因为，所以. 【小问2详解】 由三角形面积公式得， ， 所以，即， 由余弦定理得， 将代入上式得， 解得或（舍），所以边. 4. （2024上海市曹杨第二中学高三三模）在中，已知． （1）求角的大小； （2）设角、、的对边分别为、、．若，且边上的高为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可得出关于的方程，结合角的取值范围先得出的值，进而可得出角的值； （2）设，则，利用余弦定理求得，利用三角形的面积公式求出的值，即可得出的周长. 【小问1详解】 解：因为， 所以，，即. 因为，则，所以，，解得， 所以，，因此，. 【小问2详解】 解：因为，设，则， 由余弦定理可得，所以，， 因为边上的高为，则， 即，解得， 因此，的周长为. 5.已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若，且边上的中线长为，求． 【答案】（1）（2） 【解析】（1）因为，由正弦定理可得， 因为，所以， 可得，因为，所以，可得， 又因为，可得． （2）由余弦定理可得，① 又在中，，设的中点为， 在中，，可得，可得，② 由①②可得，解得． 6.（2025上海市进才中学高三5月模拟）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求； （2）若，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，根据正弦定理和余弦定理计算即可求解； （2）由（1），由题意可得，，在和中，利用余弦定理建立方程，求得，进而，再次利用余弦定理计算即可求解. 【小问1详解】 ，由正弦定理得， 得，所以， 由，得. 【小问2详解】 如图，因为，，所以，， 在中，由余弦定理得， 即； 在中，由余弦定理得， 即，① 所以，得， 由解得，代入①得，由解得. 在中，由余弦定理得. 题型02：解三角形的最值与范围 7．（2024•黄浦区校级模拟）在中，角，，的对边分别为，，，． （1）求角； （2）若为钝角三角形，且，求的取值范围． 【分析】（1）化切为弦，然后根据两角和的正弦公式化简即可求解； （2）利用正弦定理化边为角，根据辅助角公式化为，结合角的范围利用正弦函数的性质即可求解范围． 【解答】解：（1）因为， 所以， 即， 所以， 又因为，所以， 又且，所以； （2）由正弦定理，得， 所以，所以， 因为是钝角三角形，不妨设为钝角，则， 所以 ， 因为，所以， 所以， 所以的取值范围是． 【点评】本题考查利用正余弦定理和三角恒等变换知识解三角形，属于中档题． 8.（2025·黑龙江大庆·二模）已知中，角，，所对的边分别为，，， (1)求证：； (2)若，求周长的取值范围． 【解析】（1）由得， 从而， 得， 由余弦定理得，即， 由正弦定理得， 又在三角形中，， 所以． 所以，即． 所以或， 即或． 因为，，所以． （2）由得， 所以， 即，解得， 因为，由正弦定理得，所以， 由正弦定理得 ， 故的周长． 令，由（1）知，所以． 因为函数在上单调递增， 所以周长的取值范围为． 9．（2024•嘉定区二模）在中，角、、的对边分别为、、，． （1）求角，并计算的值； （2）若，且是锐角三角形，求的最大值． 【分析】（1）由已知结合二倍角公式进行化简可求，进而可求； （2）由已知锐角三角形可先求出的范围，然后结合正弦定理可表示，然后结合和差角公式及辅助角公式进行化简，再由正弦函数的性质即可求解． 【解答】解：（1）因为且为三角形内角， 所以或， 当时，， 当时，； （2）由题意结合（1）得， 所以，解得，， 因为， 由正弦定理得，， 所以，， 所以 ，，， 则，，， 故当时，取得最大值． 【点评】本题主要考查了二倍角公式，和差角公式及辅助角公式的应用，还考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题． 10.在中，角的对边分别为若 (1)求； (2)若是锐角三角形，，求面积的取值范围. 【解析】（1）由， 可知， 由正弦定理得， 故， 则， 因为，所以， 则，则， 故，得或，， 结合，可得. （2）由正弦定理可得， 故， 因为为锐角三角形，故，解得， 则，所以， 故面积的取值范围是. 11.（松江2023二模）在锐角中，内角、、所对边分别为、、，且． （1）求角； （2）求的最大值． 解：（1）由结合正弦定理可得：,……2分 因为△ABC为锐角三角形，所以 ……4分 故. ……6分 （2）结合(1)的结论有： ……8分 ……9分 （或者） ……11分 由可得：， 当时，， ……13分 即的最大值是. ……14分 题型03：三角恒等变换 三角函数图像与性质 12. （2025上海市崇明区高三三模）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 1 0 （1）请在答题卷上将上表处的数据补充完整，并直接写出函数的解析式； （2）设，求函数的值域； 【答案】（1）补充表格见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）由表得，解方程组即可得，进一步可据此完成表格； （2）由题意结合二倍角公式、诱导公式以及辅助角公式先化简的表达式，进一步通过整体换元法即可求解. 【小问1详解】 由题意，解得， 所以函数的解析式为， 令时，解得，当时，， 将表中处的数据补充完整如下表： 0 0 1 0 0 【小问2详解】若， 则 ， 因为，所以， 进而， 所以函数的值域为. 13．（2024•浦东新区校级模拟）设函数，其中，已知． （Ⅰ）求； （Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在，上的最小值． 【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化函数为正弦型函数，根据求出的值； （Ⅱ）写出解析式，利用平移法则写出的解析式，求出，时的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）函数 ， 又， ，， 解得， 又， ； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，， 将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象； 再将得到的图象向左平移个单位，得到的图象， 函数； 当，时，，， ，， 当时，取得最小值是． 【点评】本题考查了三角恒等变换与正弦型函数在闭区间上的最值问题，是中档题． 14．（23-24高三上·上海松江·期中）设函数． (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)当时，的最小值为2，求函数的最大值及对应的的值． 【答案】(1)，增区间为，. (2)最大值为6，且，. 【分析】（1）应用二倍角正余弦公式、辅助角公式可得，结合正弦函数的性质求最小正周期、递增区间. （2）根据的最值求参数m，由正弦函数的性质求的最大值及对应自变量. 【解析】（1）， ∴的最小正周期， 令，，可得，， ∴的单调递增区间，. （2）由的最小值为2，即，可得， ∴，故其最大值为6， 此时，，即，. 15. （2025上海市育才中学高三三模）已知. （1）求方程的解集； （2）求函数在上的单调增区间. 【答案】（1） （2）和 【解析】 【分析】（1）化简得到，取，解得答案. （2）取，解不等式，取和得到单调增区间. 【小问1详解】 ， 取，则，解得. 故方程的解集为. 【小问2详解】 取，解得， 当时，满足条件；当时，满足条件； 综上所述：单调增区间是和 16．（2024·上海·模拟预测）已知函数． (1)求函数的在上单调递减区间； (2)若函数在区间上有且只有两个零点，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用二倍角公式及和差角公式化简函数解析式，再求出相位的范围，并借助正弦函数的性质求出递减区间. （2）由的取值范围求出的范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，解得即可. 【解析】（1）依题意， ， 当时，，由，得， 所以函数的在上的单调递减区间为. （2）当时，，又函数在区间上有且只有两个零点， 即函数在只有两个零点， 因此，解得， 所以的取值范围为. 17．（2023·上海宝山·二模）已知函数． (1)求函数的最小正周期和单调区间； (2)若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)最小正周期；单调递增区间为；单调递减区间为. (2) 【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式化简函数解析式，用周期公式求周期，整体代入法求函数单调区间； （2）由区间内函数的单调性和函数值的变化范围求解实数的取值范围． 【解析】（1）， 则函数的最小正周期； 令，解得 ， 可得函数的单调递增区间为· 令 ，解得 ， 可得因数的单调递减区间为 ； （2）由（1）可知，时，在上单调递增，在上单调递减， 当，，由增大到1， 当，，由1减小到， 若关于的方程在上有两个不同的实数解，则实数的取值范围为 题型04：解三角形与三角函数 18.（2025杨浦区高三5月质量检测） 已知，函数的部分图像如图所示，图中最高点，最低点． （1）求函数的解析式； （2）若的内角所对的边分别为，若，，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由点确定周期，可得，再由即可求解的值，从而得函数解析式； （2）由确定，得到，再结合正弦定理、三角恒等变换、正弦型函数的性质即可得的取值范围，由三角形面积公式得面积的取值范围． 【小问1详解】 因为图像经过，， 所以得周期，由得，. 又得，， 又因为， 所以，所以． 【小问2详解】 因为，又， 结合图像对称性可知：，则， 又，由正弦定理得：， 则， 所以 ， 由，，可得， 所以，则， 故， 于是可得的面积为， 故面积的取值范围为. 19．（2024•松江区二模）设，函数图像的两条相邻对称轴之间的距离为． （1）求函数的解析式； （2）在中，设角、及所对边的边长分别为、及，若，，，求角． 【分析】（1）先对函数化简，然后由函数图像相邻两条对称轴之间的距离为，可求周期，进而可求，即可求解函数解析式； （2）先由已知求出，结合正弦定理求出，然后结合三角形内角和即可求解． 【解答】解： ， 因为函数的图像相邻两条对称轴之间的距离为， 所以， 所以，得， 所以； （2）由，得， 所以， 因为，则， 所以，解得， 因为，， 由正弦定理得 ，得， 因为，所以， 所以，． 【点评】本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式在三角化简中的应用，还考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题． 20．（2024•青浦区二模）对于函数，其中，． （1）求函数的单调增区间； （2）在锐角三角形中，若（A），，求的面积． 【分析】（1）先对恒等变换，再结合正弦函数的性质，即可求解； （2）根据已知条件，先求出，再结合平面向量的数量积运算，以及三角形的面积公式，即可求解． 【解答】解：（1） ， 由，得， 故函数的单调增区间是． （2）， 则， 在锐角三角形中， 则， 故，即，所以， 又，所以，， 故的面积． 【点评】本题主要考查三角函数中的恒等变换应用，属于中档题． 题型05：平面向量与三角函数 21.（2024学年宜川中学高三模拟）设函数，其中向量，，，. （1）求函数的最大值及相应的值； （2）将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的. 【答案】（1）最大值为，，； （2）. 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的坐标运算及三角恒等变换化简函数式得，根据正弦型函数的性质求最大值及其对应自变量； （2）设，根据图象平移得，由余弦函数的奇偶性列方程求得，（），，再由向量模长的最小值，即可得结果. 【小问1详解】 ， 故函数的最大值为，相应的值为，； 【小问2详解】 设，则平移后的函数为， 为奇函数，故，，得，， 于是，当时，最小，此时. 22.（2021秋•徐汇区期末）已知向量，，，，且． （1）求函数f（x）在x∈[0，π]上的单调递减区间； （2）已知△ABC的三个内角分别为A、B、C，其对应边分别为a、b、c，若有，，求△ABC面积的最大值． 【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的性质及其运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系．版权所有 【专题】函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；解三角形；数学运算． 【分析】（1）根据平面向量垂直时数量积为0，求出f（x）的解析式，再求f（x）在x∈[0，π]上的单调递减区间； （2）由题意求出A的值，再利用余弦定理和基本不等式求出△ABC面积的最大值． 【解答】解：（1）向量，，，，且． 所以，即， 所以， 令，k∈Z， 解得，k∈Z； k =0时，求得函数在，上的单调递减区间是，； （2）△ABC中，， 所以，所以， 又，所以，， 所以，解得， 又， 由余弦定理得， 当且仅当时取“=”，所以， 所以△ABC面积的最大值为． 【点评】本题考查了平面向量的数量积，三角函数的二倍角公式以及余弦定理的应用问题，是中档题． 23.（2024·上海静安·一模）已知向量，且. (1)求及； (2)记，求函数的最小值. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示和向量模的坐标运算即可； （2）根据（1）中结果代入计算得，再根据二次函数性质即可得到答案. 【详解】（1）由题意得， 由于 则 ， 因为，所以. （2）， 因为，则，则当，即时，该函数取得最小值. 24. （2025上海市金山中学高三三模）已知，函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）在中，若，且面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用三角恒等变换化简，进而利用正弦函数的单调性求解； （2）由可求角，进而由可求的值，从而利用余弦定理求出的值. 【小问1详解】 由题意，， ∴ . 由，可得， 所以单调递增区间为. 【小问2详解】 由，得， 因为，所以，所以，即. 因为，所以，得. 又，所以， 即， 所以 即． 题型06：三角函数与数列 25.（23-24高三上·上海嘉定·期中）已知函数. (1)求的最大值及取得最大值时的值； (2)在中，内角所对应的边为，若，成等差数列，且，求的值. 【答案】(1)时，最大值 (2) 【分析】（1）化简函数，结合三角函数的性质，即可求解； （2）由，求得，再题意得到和，结合余弦定理，即可求得的值. 【解析】（1）解：由函数 ， 当时，即，此时函数取得最大值. （2）解：由函数， 因为，即，即， 又因为，可得，可得，解得， 因为成等差数列，可得， 又因为，可得，所以， 又由余弦定理可得， 即，所以. 26.（24-25高三下·上海·阶段练习）已知函数. (1)求函数的单调减区间； (2)如果函数在上的零点从小到大排列后构成数列，求的前12项和. 【详解】（1）. 令 得. 因此，函数的减区间是. （2）函数的最小正周期为， 当时，， 令，即， 故或，解得或， 所以函数在上的零点分别为，. 所以数列是以为首项，为公差的等差数列； 数列是以为首项，为公差的等差数列， 则 所以的前12项和为. 27．（2016·上海·二模）已知函数（，）的周期为，图象的一个对称中心为，将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象. （1）求函数与的解析式； （2）求证：存在，使得，，能按照某种顺序成等差数列. 【答案】（1）；；（2）证明见解析 【分析】（1）由周期公式可得，，再由对称中心可得值，可得解析式，由函数图象变换和诱导公式化简可得； （2）当时，问题转化为方程在内是否有解，由函数零点的存在性定理可得. 【解析】解：（1）函数的周期为，， ， 又曲线的一个对称中心为，， ，可得，， 将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得的图象， 再将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象， 由诱导公式化简可得； （2）当时，，， ， 问题转化为方程在内是否有解. 设，， ，，且函数的图象连续不断， 函数在内存在零点， 即存在，使得，，能按照某种顺序成等差数列. 【点睛】本题考查三角函数图象变换，第二个问题转化为方程在内是否有解是解决问题的关键，属中档题. 题型07：解三角形的实际应用 28．（2022·上海·高考真题）如图，矩形ABCD区域内，D处有一棵古树，为保护古树，以D为圆心，DA为半径划定圆D作为保护区域，已知m，m，点E为AB上的动点，点F为CD上的动点，满足EF与圆D相切. (1)若∠ADE，求EF的长； (2)当点E在AB的什么位置时，梯形FEBC的面积有最大值，最大面积为多少？ （长度精确到0.1m，面积精确到0.01m²） 【答案】(1)23.3m (2)当时，梯形FEBC的面积有最大值,最大值为 【分析】（1）设EF与圆D相切于对点，连接，则，，在直角和直角中分别求出,从而得出答案. （2）先求出梯形的面积的最小值，从而得出梯形FEBC的面积的最大值. (1)设EF与圆D相切于对点，连接，则， 则，所以直角与直角全等 所以 在直角中， 在直角中， (2) 设,，则， 所以梯形的面积为 当且当，即时取得等号，此时 即当时，梯形的面积取得最小值 则此时梯形FEBC的面积有最大值 所以当时，梯形FEBC的面积有最大值,最大值为 29. 一根长为的铁棒欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽． （1）设，试将表示为的函数； （2）求的最小值，并说明此最小值的实际意义． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【详解】试题分析：（1）写出，，化简即可；（2）设，换元，此时，判断单调性并求最值. 试题解析： （1），．　　　　 ，． （2）设，，则， 所以，，此时． 任取、，且，， 因为、，且，所以，， 故，即在时是减函数，所以 最小值的实际意义是：在拐弯时，铁棒的长度不能超过 ，否则，铁棒无法通过．也就说，能够通过这个直角走廊的铁棒的最大长度为 ． 点睛：单调性定义法证明时，作差后一定要变形到位，一般为几个因式相乘的形式，然后判断差的正负作出结论. 30．（2021·上海浦东新·一模）某水产养殖户承包一片靠岸水域.如图，、为直线岸线，米，米，，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧，过弧上一点按线段和修建养殖网箱，已知. (1)求岸线上点与点之间的直线距离； (2)如果线段上的网箱每米可获得40元的经济收益，线段上的网箱每米可获得30元的经济收益.记，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少？（精确到元） 【答案】(1)米(2)55076元 【分析】（1）由余弦定理计算即可； （2）先由正弦定理计算出相关长度，再计算收益表达式，最后由辅助角公式求最值. (1) ， 岸线上点与点之间的直线距离为米. (2)△中，， ，，（）， 设两段网箱获得的经济总收益为元，则 ， 当，即时， （元） 所以两段网箱获得的经济总收益最高约为55076元. 31．（2023·上海徐汇·一模）近年来,为“加大城市公园绿地建设力度,形成布局合理的公园体系”,许多城市陆续建起众多“口袋公园”、现计划在一块边长为200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公园”、如图所示,以中点A为圆心,为半径的扇形草坪区,点在弧BC上（不与端点重合）,AB、弧BC、CA、PQ、PR、RQ为步行道,其中PQ与AB垂直,PR与AC垂直.设. (1)如果点P位于弧BC的中点,求三条步行道PQ、PR、RQ的总长度; (2)“地摊经济”对于“拉动灵活就业、增加多源收入、便利居民生活”等都有积极作用.为此街道允许在步行道PQ、PR、RQ开辟临时摊点,积极推进“地摊经济”发展,预计每年能产生的经济效益分别为每米5万元、5万元及5.9万元.则这三条步行道每年能产生的经济总效益最高为多少?（精确到1万元） 【答案】(1)(米) (2)2022万元 【分析】(1)根据图依次求出三条线段长度即可求出总长度; (2)将PQ、PR、RQ三边通过图中的关系用关于的等式表示,再记经济总效益,将进行表示,通过辅助角公式化简求出最值即可. 【解析】（1）解:由题, ,同理,故, 由于点P位于弧BC的中点,所以点P位于的角平分线上, 则, , 因为,, 所以为等边三角形, 则, 因此三条街道的总长度为（米）. （2）由图可知, , , , 在中由余弦定理可知: , 则, 设三条步行道每年能产生的经济总效益,则 , 当即时取最大值, 最大值为. 答:三条步行道每年能产生的经济总效益最高约为2022万元. 32．（2023·上海·高三专题练习）如图，在扇形AOB中，点C为上一点，D，E分别为线段OA，OB上的点，且CD⊥OA，CE⊥OB，． (1)求∠AOB的大小； (2)若扇形的半径为30，求△CDE面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中利用正弦定理进行角化边转化，再结合余弦定理及同角的三角函数关系式得到关于的一元二次方程，进而得到，可知和互补，可求得； （2）连接，设（），利用锐角三角函数可得到和，结合三角形面积公式，利用三角恒等变换化简，由三角函数的图像及其值域即可求解. （1） 在中，由正弦定理得：，又由余弦定理得：，化简得：， 即， 解得：，（舍去），，则， 又，，，所以. （2） 连接，可得，设（），则， 在中，，在中，， 所以的面积 ， 即（）， 因为，所以，则当时，即为中点时， 的面积取得最大值. 1. （2024青浦区高三三次学业监测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角B的大小； （2）若的面积为，请判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）是等边三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化化简得出正切，结合范围求角； （2）应用面积公式计算得出，再结合余弦定理得出边长即可判断. 【小问1详解】 由正弦定理可得, 因为，所以，,所以. 【小问2详解】 , 所以, 由余弦定理，得, 即，解得, 所以是等边三角形. 2．（2022·上海长宁·统考二模）在中，角的对边分别为． (1)若，求 (2)若， 的面积，求外接圆半径的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理与余弦定理化简即可 （2）根据三角形的面积公式可得，再根据基本不等式可得，再根据正弦定理求解即可 【解析】（1）因为，由正弦定理，，所以，因为，所以 （2）由已知，，所以，                                 所以     因为 所以（当时取等号）          所以 所以的最小值为（当时取得） 3．（2022秋·上海浦东新·高三上海师大附中校考阶段练习）已知等腰三角形ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，c(c＋b)＝(a＋b)(a－b)． (1)求A和b； (2)若点E，F分别是线段BC(含端点)上的动点，且BF＞BE，在运动过程中始终有，求△EAF面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结论，结合，可求得；利用余弦定理结合即可求得A,从而求得b. （2）利用（1）中的结论，分别在三角形和三角形中利用正弦定理，结合三角形面积公式，即可解出答案. （1） 由正弦定理得：即： (R为三角形ABC的外接圆半径)， 故 ， 由 得： ， 则 ，因为 ，故 ； 由等腰三角形ABC可得 ，故 ； （2） 由（1）知： ， 由点E，F分别是线段BC(含端点)上的动点，且BF>BE，在运动过程中始终有 ， 知点在点的左边,如图： 设 ，不变，可知, 在中，由正弦定理可得， ， 在中，由正弦定理可得， ， 故 ，， ， 三角形的面积的最小值为，此时． 4．（2022春·上海虹口·高三上海市复兴高级中学校考阶段练习）已知以角B为钝角的的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，，且. (1)求角B的大小； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用，结合正弦定理，求出，为钝角，所以. （2）化简，由（1）知，，，即可确定的取值范围， （1） 因为，所以，得：，由正弦定理化简得：，所以，为钝角，所以. （2） 因为， 由（1）知，，，，故的取值范围是. 5.（2022·上海奉贤区致远高级中学高三阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． (1)求的值； (2)若，求的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先由平方关系求出，再根据正弦定理即可解出； （2）根据余弦定理的推论以及可解出，即可由三角形面积公式求出面积． （1） 由于， ，则．因为， 由正弦定理知，则． （2） 因为，由余弦定理，得， 即，解得，而，， 所以的面积． 6．（2022·上海市进才中学高三期中）在中，记（角的单位是弧度制），的面积为S，且，. (1)求的取值范围； (2)就（1）中的取值范围，求函数的最大值、最小值. 【答案】(1)； (2)；. 【分析】（1）利用三角形的面积公式，根据已知中的条件，确定出的表达式，再根据是三角形中的一个内角，即可求出的取值范围； （2）结合（1）的结论，利用降幂公式和辅助角公式，将函数转化成正弦型函数的形式，再利用整体代换法求其最值. 【解析】（1）（1），， ，， 即，又，由正切函数图象知： 的取值范围为： （2） ， ， . 7.（24-25高三下·河南焦作·阶段练习）已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． (1)若在上单调递增，求c的取值范围； (2)若，，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简为的形式，再根据正弦函数的单调性可求出的取值范围， （2）利用小问1的结论，代入计算，根据的范围求出，利用余弦定理，结合基本不等式可以得到的最大值. 【详解】（1）． 当时，，因为在上单调递增， 所以，所以， 可得c的取值范围为． （2），，，， 是三角形内角，，所以，得， 由余弦定理：； 即 ，可得，，当且仅当时等号成立，取得最大值． 8.（2021秋•青浦区期末）已知，． （1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间； （2）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（A）＝﹣，a＝3，求BC边上的高的最大值． 【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．版权所有 【专题】转化思想；转化法；三角函数的图象与性质． 【分析】（1）利用三角函数公式化简f（x），即可求解f（x）的最小正周期及单调递增区间 【解答】解：（1）由 化简可得：，即， ∴f（x）的最小正周期． 由，k∈Z 得，k∈Z ∴f（x）的增区间是，k∈Z． （2）由，得， ∵ ∴ ∴∴ 由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bccosA，则9＝b2+c2﹣bc≥bc 即bc≤9（当且仅当b＝c取等号） 设BC边上的高为h， 则得 ∴ 即h的最大值为． 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质以及余弦定理，基本不等式的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键． 9.（24-25高三上·上海·期中）平面向量，，函数． (1)若，求的值域； (2)在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，，求的面积． 【详解】（1）因为， 所以 ， 由，可得，解得， 所以函数的值域为. （2）因为，所以，所以， 因为，所以，所以，即， 因为，所以， 整理得，解得或(舍去）， 所以的面积为. 10.（2025上海市徐汇中学高三三模）已知向量，.设. （1）求函数的最小正周期； （2）在中，角、、所对的边分别为、、.若，，三角形的面积为，求边的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用数量积的坐标公式及二倍角公式、辅助角公式化简函数，利用最小正周期公式求解即可； （2）根据求出角A，结合条件及三角形面积公式求出c，利用余弦定理即可求解a. 【小问1详解】 由题意， ， 因此函数的最小正周期为； 【小问2详解】 由得， 因为，所以，解得， 因为，所以, 由余弦定理解得, 所以. 11.（24-25高三下·上海虹口·期中）已知函数的表达式为，. (1)解不等式：； (2)若存在实数，使得，，成等比数列，求实数的最小值. 【详解】（1）由已知代入可得不等式：， 根据对数函数的单调性可得：且， 则且， 解得： （2）由已知可得： 则 令， 因为，所以，即， 则， 此时在上单调递增，则， 要使得等式，则， 故的最小值为. 12．（2022·上海市复兴高级中学高三开学考试）如图，矩形是一个历史文物展览厅的俯视图，点在边上，在梯形内展示文物，游客只能在区域内参观，在上点处安装可旋转的监控摄像头，为监控角，其中在线段上(含端点)，经测量知：米，米，，记(弧度)，监控可视区的面积为S． (1)求线段的长度关于的函数关系式，并写出的取值范围；（参考数据 (2)求S与的函数关系式，并求S的最小值． 【答案】(1)，，； (2)，最小值为. 【分析】（1）利用正弦定理表达出段的长度关于的函数关系式，并结合图形求出的取值范围； （2）在第一问的基础上，利用三角形面积公式表达出S与的函数关系式，并用整体法求解面积的最小值. 【解析】（1）由题意得：，，， 则， 在中，由正弦定理可得：， 即，所以； 因为，， 所以， ， 在中，由正弦定理可知：， 即， 解得：， 当点与点重合时，取得最小值，最小值为0， 当点与点重合时，取得最大值，如图，， 所以， 此时， 所以. （2）由面积公式可得： ， 因为，所以， 则当时，取得最大值，最大值为， 此时取得最小值，最小值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三数学一轮复习专项训练（综合重点练） 专题14 三角函数与解三角形综合题 题型01：解三角形 1．（2021•上海）已知、、为的三个内角，、、是其三条边，，． （1）若，求、； （2）若，求． 2．（2023•上海）在中，角、、所对应的边分别为、、，其中． （1）若，，求边长； （2）若，，求的面积． 3.（2025七宝中学高三三模）在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角； （2）若，边上的高为，求边． 4. （2024上海市曹杨第二中学高三三模）在中，已知． （1）求角的大小； （2）设角、、的对边分别为、、．若，且边上的高为，求的周长． 5.已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若，且边上的中线长为，求． 6.（2025上海市进才中学高三5月模拟）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求； （2）若，，求. 题型02：解三角形的最值与范围 7．（2024•黄浦区校级模拟）在中，角，，的对边分别为，，，． （1）求角； （2）若为钝角三角形，且，求的取值范围． 8.（2025·黑龙江大庆·二模）已知中，角，，所对的边分别为，，， (1)求证：； (2)若，求周长的取值范围． 9．（2024•嘉定区二模）在中，角、、的对边分别为、、，． （1）求角，并计算的值； （2）若，且是锐角三角形，求的最大值． 10.在中，角的对边分别为若 (1)求；(2)若是锐角三角形，，求面积的取值范围. 11.（松江2023二模）在锐角中，内角、、所对边分别为、、，且． （1）求角； （2）求的最大值． 题型03：三角恒等变换 三角函数图像与性质 12. （2025上海市崇明区高三三模）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 1 0 （1）请在答题卷上将上表处的数据补充完整，并直接写出函数的解析式； （2）设，求函数的值域； 13．（2024•浦东新区校级模拟）设函数，其中，已知． （Ⅰ）求； （Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在，上的最小值． 14．（23-24高三上·上海松江·期中）设函数． (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)当时，的最小值为2，求函数的最大值及对应的的值． 15. （2025上海市育才中学高三三模）已知. （1）求方程的解集； （2）求函数在上的单调增区间. 16．（2024·上海·模拟预测）已知函数． (1)求函数的在上单调递减区间； (2)若函数在区间上有且只有两个零点，求m的取值范围． 17．（2023·上海宝山·二模）已知函数． (1)求函数的最小正周期和单调区间； (2)若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 题型04：解三角形与三角函数 18.（2025杨浦区高三5月质量检测） 已知，函数的部分图像如图所示，图中最高点，最低点． （1）求函数的解析式； （2）若的内角所对的边分别为，若，，求面积的取值范围． 19．（2024•松江区二模）设，函数图像的两条相邻对称轴之间的距离为． （1）求函数的解析式； （2）在中，设角、及所对边的边长分别为、及，若，，，求角． 20．（2024•青浦区二模）对于函数，其中，． （1）求函数的单调增区间； （2）在锐角三角形中，若（A），，求的面积． 题型05：平面向量与三角函数 21.（2024学年宜川中学高三模拟）设函数，其中向量，，，. （1）求函数的最大值及相应的值； （2）将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的. 22.（2021秋•徐汇区期末）已知向量，，，，且． （1）求函数f（x）在x∈[0，π]上的单调递减区间； （2）已知△ABC的三个内角分别为A、B、C，其对应边分别为a、b、c，若有，，求△ABC面积的最大值． 23.（2024·上海静安·一模）已知向量，且. (1)求及； (2)记，求函数的最小值. 24. （2025上海市金山中学高三三模）已知，函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）在中，若，且面积为，求． 题型06：三角函数与数列 25.（23-24高三上·上海嘉定·期中）已知函数. (1)求的最大值及取得最大值时的值； (2)在中，内角所对应的边为，若，成等差数列，且，求的值. 26.（24-25高三下·上海·阶段练习）已知函数. (1)求函数的单调减区间； (2)如果函数在上的零点从小到大排列后构成数列，求的前12项和. 27．（2016·上海·二模）已知函数（，）的周期为，图象的一个对称中心为，将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象. （1）求函数与的解析式； （2）求证：存在，使得，，能按照某种顺序成等差数列. 题型07：解三角形的实际应用 28．（2022·上海·高考真题）如图，矩形ABCD区域内，D处有一棵古树，为保护古树，以D为圆心，DA为半径划定圆D作为保护区域，已知m，m，点E为AB上的动点，点F为CD上的动点，满足EF与圆D相切. (1)若∠ADE，求EF的长； (2)当点E在AB的什么位置时，梯形FEBC的面积有最大值，最大面积为多少？ （长度精确到0.1m，面积精确到0.01m²） 29. 一根长为的铁棒欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽． （1）设，试将表示为的函数； （2）求的最小值，并说明此最小值的实际意义． 30．（2021·上海浦东新·一模）某水产养殖户承包一片靠岸水域.如图，、为直线岸线，米，米，，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧，过弧上一点按线段和修建养殖网箱，已知. (1)求岸线上点与点之间的直线距离； (2)如果线段上的网箱每米可获得40元的经济收益，线段上的网箱每米可获得30元的经济收益.记，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少？（精确到元） 31．（2023·上海徐汇·一模）近年来,为“加大城市公园绿地建设力度,形成布局合理的公园体系”,许多城市陆续建起众多“口袋公园”、现计划在一块边长为200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公园”、如图所示,以中点A为圆心,为半径的扇形草坪区,点在弧BC上（不与端点重合）,AB、弧BC、CA、PQ、PR、RQ为步行道,其中PQ与AB垂直,PR与AC垂直.设. (1)如果点P位于弧BC的中点,求三条步行道PQ、PR、RQ的总长度; (2)“地摊经济”对于“拉动灵活就业、增加多源收入、便利居民生活”等都有积极作用.为此街道允许在步行道PQ、PR、RQ开辟临时摊点,积极推进“地摊经济”发展,预计每年能产生的经济效益分别为每米5万元、5万元及5.9万元.则这三条步行道每年能产生的经济总效益最高为多少?（精确到1万元） 32．（2023·上海·高三专题练习）如图，在扇形AOB中，点C为上一点，D，E分别为线段OA，OB上的点，且CD⊥OA，CE⊥OB，． (1)求∠AOB的大小； (2)若扇形的半径为30，求△CDE面积的最大值． 1. （2024青浦区高三三次学业监测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角B的大小； （2）若的面积为，请判断的形状，并说明理由． 2．（2022·上海长宁·统考二模）在中，角的对边分别为． (1)若，求 (2)若， 的面积，求外接圆半径的最小值． 3．（2022秋·上海浦东新·高三上海师大附中校考阶段练习）已知等腰三角形ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，c(c＋b)＝(a＋b)(a－b)． (1)求A和b； (2)若点E，F分别是线段BC(含端点)上的动点，且BF＞BE，在运动过程中始终有，求△EAF面积的最小值． 4．（2022春·上海虹口·高三上海市复兴高级中学校考阶段练习）已知以角B为钝角的的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，，且. (1)求角B的大小； (2)求的取值范围. 5.（2022·上海奉贤区致远高级中学高三阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． (1)求的值； (2)若，求的面积． 6．（2022·上海市进才中学高三期中）在中，记（角的单位是弧度制），的面积为S，且，. (1)求的取值范围； (2)就（1）中的取值范围，求函数的最大值、最小值. 7.（24-25高三下·河南焦作·阶段练习）已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． (1)若在上单调递增，求c的取值范围； (2)若，，求的最大值． 8.（2021秋•青浦区期末）已知，． （1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间； （2）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（A）＝﹣，a＝3，求BC边上的高的最大值． 9.（24-25高三上·上海·期中）平面向量，，函数． (1)若，求的值域； (2)在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，，求的面积． 10.（2025上海市徐汇中学高三三模）已知向量，.设. （1）求函数的最小正周期； （2）在中，角、、所对的边分别为、、.若，，三角形的面积为，求边的长. 11.（24-25高三下·上海虹口·期中）已知函数的表达式为，. (1)解不等式：； (2)若存在实数，使得，，成等比数列，求实数的最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $