2.2 用配方法、公式法、因式分解法求一元二次方程（十大题型+专项练习）2025-2026学年北师大版（2012）数学九年级上册

2.2 用配方法、公式法、因式分解法求一元二次方程 题型一 解一元二次方程——直接开平方法 1．已知方程没有实数解，你认为□代表的数字可能是（    ） A．9 B．1 C．0 D． 2．已知方程的一个根为，则 ． 3．求下列各式中的的值． (1) (2) 题型二 解一元二次方程——配方法 4．将一元二次方程化成（、为常数）的形式，则、的值分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 5．将一元二次方程配方后得到，则a的值为 ． 6．（1）解方程：（1）； （2）在数学活动课上，老师给出了如下解一元二次方程的试题“”，让同学们讨论．其中一位同学的做法如下： 解：步骤① 步骤② 步骤③ 步骤④ 步骤⑤ ，步骤⑥ 在交流过程中，该同学发现他的答案与其他同学的不一样，请帮他指出错误的步骤，并用合适的方法解该方程． 题型三 配方法的应用 7．若，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 8．将方程转化为的形式，则 ． 9．配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，学好配方法对我们学习数学有很大的帮助．所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的． 例如：已知，求，的值． 由题意，得， 即， ，， ，． 根据以上材料，解答下列各题． (1)若，求的值； (2)若，，分别表示△ABC的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． 题型四 根据判别式判断一元二次方程根的情况 10．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 11．在，，1，2，3，4六个数中随机选取一个数作为关于x的一元二次方程中的a的值，则这个一元二次方程没有实数解的概率为 ． 12．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个实数根； (2)若，是方程的两个根，且，求的值，并求出此时方程的两个根． 题型五 根据一元二次方程根的情况求参数 13．若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 14．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ． 15．已知关于x的方程． (1)若该方程有一根为2，求a的值及方程的另一根； (2)当a为何值时，方程的根仅有唯一的值？求出此时a的值． 题型六 公式法解一元二次方程 16．用公式法解方程时，得，则“□”处应填（   ） A． B． C． D． 17．若关于的方程是一元二次方程，则该一元二次方程的根是 ． 18．解方程： (1)； (2)． 题型七 因式分解法解一元二次方程 19．若一个三角形两边长分别等于一元二次方程的两个实数根，则该三角形的第三边的长可以为（   ） A．18 B．17 C．16 D．15 20．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”示意图，此图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的面积为10，，则的长为 ． 21．先化简，再求值：，其中是方程的一个根． 题型八 换元法解一元二次方程 22．已知实数满足，则的值为（   ） A．或1 B．或6 C．6 D．1 23．若x、y为实数，且，则的平方根是 ． 24．解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则原方程化为．解得，，当时，即，解得；当时，即，解得．所以，原方程的解是．请利用这种方法解方程： 题型九 解分式方程（化为一元二次） 25．将分式方程去分母，整理后得（   ） A． B． C． D． 26．分式方程的解是 ． 27．计算 (1)先化简 ，再从0，1，2中选一个恰当的x的值代入求值． (2)解方程： 题型十 一元二次方程的根与系数的关系 28．若m、n是关于方程的两个根，则的值为（    ） A．4 B． C． D． 29．已知都是质数，且，，试求 ． 30．已知关于的一元二次方程：． (1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根； (2)若△ABC是以为斜边的直角三角形，的长为5，另两边、的长是方程的两个根，求△ABC的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 用配方法、公式法、因式分解法求一元二次方程 题型一 解一元二次方程——直接开平方法 1．已知方程没有实数解，你认为□代表的数字可能是（    ） A．9 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，由于平方数具有非负性，当□为负数时，方程无实数解，熟练掌握平方数具有非负性是解此题的关键． 【详解】解：∵对于所有实数，， ∴当时，方程没有实数解， 故选：D． 2．已知方程的一个根为，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了方程的解的定义；由于方程的一个根为0，将代入方程，得到关于的方程，求解即可． 【详解】解：将代入方程， 得：简化得： 解得：或 故答案为：或． 3．求下列各式中的的值． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，立方根，准确的计算是解题的关键． （1）直接开平方法解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解： ， 解得； （2）解： ， 解得． 题型二 解一元二次方程——配方法 4．将一元二次方程化成（、为常数）的形式，则、的值分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程． 通过配方法将方程左边化为完全平方式，比较系数确定a和b的值． 【详解】解：， ， ， ， 可得，， 故选：A． 5．将一元二次方程配方后得到，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查配方法，熟练掌握配方法是解题的关键；通过配方法将方程转化为完全平方形式，比较常数项求值即可． 【详解】解：配方后得到，展开左边得，即； 与原始方程比较，得； 故答案为． 6．（1）解方程：（1）； （2）在数学活动课上，老师给出了如下解一元二次方程的试题“”，让同学们讨论．其中一位同学的做法如下： 解：步骤① 步骤② 步骤③ 步骤④ 步骤⑤ ，步骤⑥ 在交流过程中，该同学发现他的答案与其他同学的不一样，请帮他指出错误的步骤，并用合适的方法解该方程． 【答案】（1）；（2）错误的步骤是步骤①；正确解为 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程， （1）先移项，再配方加上一次项系数一半的平方，然后开方求出解； （2）先根据移项判断，再根据配方法求出解． 【详解】解：（1）移项，得， 配方，得， 即， 开方，得， ∴或， 解得； （2）第①步移项出现错误，正确解法如下： ， 移项，得， 配方，得， 即， ∴或， ∴． 题型三 配方法的应用 7．若，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了配方法的应用，由 得 ，代入 得到 ，利用配方法可得，即得，据此即可求解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ 可能取值为， 故选：． 8．将方程转化为的形式，则 ． 【答案】 【分析】根据配方法解题即可． 本题考查了配方法的应用，求代数式的值，熟练掌握配方是解题的关键． 【详解】解：， 移项，得． 配方，得，即． 又． 解得． 故， 故答案为：． 9．配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，学好配方法对我们学习数学有很大的帮助．所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的． 例如：已知，求，的值． 由题意，得， 即， ，， ，． 根据以上材料，解答下列各题． (1)若，求的值； (2)若，，分别表示△ABC的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)△ABC是等边三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查配方法的应用及三角形的分类，等边三角形的判定，熟练掌握配方法的应用及三角形的分类是解题的关键； （1）用完全平方公式对方程左边进行配方，再根据非负数和为0的性质求得x、y，再代值计算便可； （2）先将方程两边都乘以2，再把方程左边分解成几个完全平方式之和，进而根据非负数和为0的性质得出，再由此判断三角形的形状． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：△ABC是等边三角形．理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴△ABC是等边三角形． 题型四 根据判别式判断一元二次方程根的情况 10．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是通过判别式判断根的情况． 对于一元二次方程，根的判别式：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．分别计算各选项的即可判断． 【详解】解：A、，，因为，所以方程无实数根； B、，因为，所以方程无实数根； C、，因为，所以方程有两个不相等的实数根； D、，因为，所以方程有两个相等的实数根． 故选：C． 11．在，，1，2，3，4六个数中随机选取一个数作为关于x的一元二次方程中的a的值，则这个一元二次方程没有实数解的概率为 ． 【答案】 【分析】考查了概率公式及根的判别式的知识，解题的关键是确定能使得方程无解的未知数的值．首先根据根的判别式确定方程无实数解时a的值，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：当一元二次方程无实数解时，， 解得：， ∴在，，1，2，3，4这6个数中随机选取一个数作为一元二次方程中的a的值，使得一元二次方程没有实数解的a的值为3和4，一共2个， ∴在，，1，2，3，4六个数中随机选取一个数作为一元二次方程中的a的值，则这个一元二次方程没有实数解的概率为， 故答案为：． 12．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个实数根； (2)若，是方程的两个根，且，求的值，并求出此时方程的两个根． 【答案】(1)见解析 (2)，， 【分析】本题考查一元二次方程的判别式与韦达定理，运用代数推理思想，关键是通过判别式证明根的存在性，利用韦达定理列方程求参数，易错点为判别式计算或韦达定理应用时的符号错误； （1）计算判别式并证明其非负；（2）利用韦达定理列方程求，再解方程求根． 【详解】（1）证明： 无论取何值，原方程总有两个实数根； （2），即， ， 此时方程为：， ， ， 解得：，. 题型五 根据一元二次方程根的情况求参数 13．若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程无实数根的条件，判别式小于零，代入系数求解不等式． 【详解】解：∵方程 没有实数根， ∴判别式 ， ∴ ， ∴ ． 故选：A． 14．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】此题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的定义和判别式的意义，方程有两个不相等的实数根需满足二次项系数不为零且判别式大于零 【详解】方程 是一元二次方程，因此二次项系数 ，即 ， 判别式 ， 由 ，得 ，即 ， 综上， 且 ， 故答案为： 且 15．已知关于x的方程． (1)若该方程有一根为2，求a的值及方程的另一根； (2)当a为何值时，方程的根仅有唯一的值？求出此时a的值． 【答案】(1)，方程的另一根为 (2)或或 【分析】此题考查方程的解，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键． （1）将代入方程求解a，再代入原方程求另一根； （2）分方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论，当为一元二次方程时，令判别式为0求解a． 【详解】（1）解：将代入方程，得，解得． 将代入原方程，得，解得或． ∴，方程的另一根为． （2）当，即时，方程为，解得，方程有唯一根． 当时，方程为一元二次方程，令判别式，即，解得． ∴当或或时，方程的根仅有唯一的值． 题型六 公式法解一元二次方程 16．用公式法解方程时，得，则“□”处应填（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是熟记一元二次方程的求根公式．根据一元二次方程的一般形式，得到，，，根据一元二次方程的求根公式，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 故“□”处应填． 故选：A． 17．若关于的方程是一元二次方程，则该一元二次方程的根是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是根与系数的关系，根的判别式，公式法求一元二次方程，解题的关键是熟知一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程． 先根据题意可得求出k的值，再运用公式法求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴方程有两个不同的实数根， ∴ ， 解得． 故答案为：． 18．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）用配方法解方程即可； （2）用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 解得； （2）解：， ∵， ∴， ∴． 题型七 因式分解法解一元二次方程 19．若一个三角形两边长分别等于一元二次方程的两个实数根，则该三角形的第三边的长可以为（   ） A．18 B．17 C．16 D．15 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法及三角形三边关系，熟练掌握一元二次方程的解法及三角形三边关系是解题的关键． 先根据一元二次方程的解法得到这个三角形的两边长，然后再利用三角形三边关系可排除选项． 【详解】解： 则 ， 解得：， ∴这个三角形的两边的长为7和9， ∴第三边长x的范围为，即； 则该三角形的第三边的长可以为15． 故选D． 20．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”示意图，此图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的面积为10，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与弦图，一元二次方程的解法，理解题意，求得小正方形的边长是解决本题的关键．如图，标记点G，H．设，则，根据列关于a的一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：如图，标记点G，H． 由题意知，， 设，则， 大正方形的面积为10， ， ， 整理得， 解得，（负值舍去）， ． 故答案为：． 21．先化简，再求值：，其中是方程的一个根． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式、分式的化简求值，一元二次方程的根，解一元二次方程，正确计算是解题的关键． 先对的分子进行因式分解，再进行化简，然后解一元二次方程，再根据分母不为0进行舍解，最后再代入求值． 【详解】解： 或 解得或， ∵， ∴， ∵是方程的一个根， ∴， ∴原式． 题型八 换元法解一元二次方程 22．已知实数满足，则的值为（   ） A．或1 B．或6 C．6 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程． 将看做一个整体，代入求解，再根据判断即可． 【详解】， 设， ∵实数满足， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴的值为． 故选：D． 23．若x、y为实数，且，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，换元法，平方的非负性，掌握相关知识是解决问题的关键．通过换元法，设 ，将原方程转化为二次方程求解，根据非负性确定 的值，再求表达式的平方根即可． 【详解】解：设 ，则原方程化为 ，即 ． ， 得 或 ． 由于 ，故 ． ∴，其平方根为 ． 故答案为：． 24．解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则原方程化为．解得，，当时，即，解得；当时，即，解得．所以，原方程的解是．请利用这种方法解方程： 【答案】， 【分析】本题主要考查了换元法在解一元二次方程中的应用，熟练掌握换元法，进行等量替换是解题的关键． 设，将原方程化为，利用因式分解法解关于的方程，再求解即可． 【详解】解：设，则原方程可化为：， ， 解得：，， 当时，即：，解得：， 当时，即：，解得：， 综上所述，原方程的解为：，． 题型九 解分式方程（化为一元二次） 25．将分式方程去分母，整理后得（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程中的去分母化简．先确定最简公分母，方程两边同乘公分母去分母，再整理得到整式方程，最后判断选项即可． 【详解】解：由题意知，分式方程的分母分别为x和，最简公分母是各分母的乘积，即， 因此，方程两边同乘，得：， 展开合并同类项得到：， 故选：D． 26．分式方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，解题的关键是明确解分式方程的步骤和方法，要注意分式方程要检验． 按照解分式方程的步骤求出方程的解，再把解代入最简公分母检验． 【详解】解：， ， 解得：或 经检验：是增根，舍去；是原方程的根， ∴原方程的根为， 故答案为：． 27．计算 (1)先化简 ，再从0，1，2中选一个恰当的x的值代入求值． (2)解方程： 【答案】(1)； (2)，， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解分式方程等知识． （1）先把分式除法转化成乘法，约分计算，再计算异分母分式加减法，最后选择合适的数代入计算即可． （2）把分式方程化为一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵和和时，分式无意义， ∴当时，原式． （2）解： 去分母得：， 整理得：， 解得：，， 当或时，或都不为0， 经检验，或都为分式方程的解． 题型十 一元二次方程的根与系数的关系 28．若m、n是关于方程的两个根，则的值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于一元二次方程，若其两个根为，则有两根的和：；​两根的积：；解题的关键在于熟知韦达定理，并且确定好系数；确定系数，，进而求出两根之和和两根之积，再代入表达式即可． 【详解】∵，是方程的两个根， ∴， ， ∴ 故选 A． 29．已知都是质数，且，，试求 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了质数，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可分和两种情况讨论，再根据根与系数关系，以及质数即可求得的值． 【详解】解：当时，可得：； 当时，根据题意可得为方程的两个根， ∴， ∵都是质数， 则或， ∴， 故答案为：或． 30．已知关于的一元二次方程：． (1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根； (2)若△ABC是以为斜边的直角三角形，的长为5，另两边、的长是方程的两个根，求△ABC的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，勾股定理． （1）根据根的判别式证明即可； （2）设 ，，根据根与系数的关系可知，，根据勾股定理列方程求出m的值，进而根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）证明： ， ∴ 无论为何值，方程总有两个实数根； （2）解：设 ，， 则，， ∵△ABC是以为斜边的直角三角形，， ∴， ∴， 即， 解得 ， 当 时，（舍去）， 当 时，， 且两根之和，所以两根均为正数，符合题意， ∴ ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $