1.6利用三角函数测高课时作业 2024—-2025学年北师大版数学九年级下册

1.6利用三角函数测高 一、单选题（共7题） 1．在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角，图中是俯角的角是（   ） A． B． C． D． 2．河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡比为，则的长为（   ） A．6米 B．米 C．米 D．米 3．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市大力开展植树造林活动．如图，若在坡比为的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水离）为，那么斜坡上相邻两树间的坡面距离为（   ） A． B． C． D． 4．如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，且，，三点在同一条直线上．若树高米，则点，之间的距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．16米 5．如图，等边ABC的边长为3，点D在边AC上，AD＝，线段PQ在边BA上运动，PQ＝，则四边形PCDQ面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．两建筑物的水平距离为米，从A点测得点的俯角为，测得点的俯角为，则较低建筑物的高为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 7．2022年北京冬季奥运会日益临近，国家跳台滑雪中心建设已初具规模，国家跳台滑雪中心的赛道线剖面因与中国传统吉祥饰物“如意”的形曲线契合，被形象地称为“雪如意”．“雪如意”的剖面示意图如图：跳台由顶部的顶峰平台、中部的大跳台腾空起点、赛道、底部的看台区组成．为有效进行工程施工监测，现在处设置了监测标志旗（标志旗高度忽略不计），赛道可近似视作坡度为的一段坡面，通过高程测量仪测得点、点的海拔高度差（即）是160米，从顶峰平台点俯视处的标志旗，俯角约为37°．由处释放的遥控无人机竖直上升到与平台水平位置后，遥感测得之间距离为152米，若图中各点均在同一平面，则赛道长度约为（ ）米．（参考数据：，，） A．116.2 B．118.4 C．119.6 D．121.2 二、填空题（共6题） 8．已知一坡面的坡度，那么这个坡角等于 ． 9．小宸想利用测量知识测算湖中小山的高度．他站在湖边看台上，清晰地看到小山倒映在平静的湖水中，如图所示．他在点O处测得小山顶端的仰角为，小山顶端A在水中倒影的俯角为，已知点O到湖面的距离，A，B，三点共线，，则小山的高度为 m．（光线的折射忽略不计，结果保留根号） 10．2024年11月30日第一届河南省科技运动会在郑州举行，某参赛小组制作的“水火箭”成功发射，已知当“水火箭”上升到点时，位于地面的点到点的距离为米，仰角为，则此时“水火箭”距地面的高度可表示为 米． 11．如图，某防洪指挥部发现长江边一处坝高10米，背水坡的坡角为的防洪大堤（横断面为梯形）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡的坡度，则加固后坝底增加的宽度 ． 12．某小组同学为测楼高自制了仰角测量仪，观测者的观测视线与水平线夹角如图1所示，此时观测视线与水平线的夹角为 ，若观测者与楼的距离为（如图2），则可测算长为 m．（结果精确到）       13．如图，在平地和在山坡上树木的株距（相邻两棵树之间的水平距离）均为，已知山坡的坡度为，则山坡上相邻两棵树之间的坡面距离为 ． 三、解答题（共3题） 14．热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼楼底的俯角为，热气球与楼的水平距离为，这栋楼有多高（，结果取整数）？ 15．如图，小明家马路对面的商业楼外墙上有一个大型显示屏，小明在自己家楼顶处测得显示屏顶端的仰角为，后退10米到达处测得显示屏底端处的仰角为，已知商业楼的底端与小明家楼底端之间的距离为50米，求显示屏AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 16．如图，两座建筑物的水平距离为，从A点测得D点的俯角为，测得C点的俯角为，求这两座建筑物的高度（结果保留小数点后一位）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《1.6利用三角函数测高》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C C C B C D C 1．C 【分析】根据俯角的定义解答即可．本题考查了仰角，俯角，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，是俯角的是． 故选：C． 2．C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理，由坡度的概念可得米，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：∵堤高米，迎水坡的坡比为， ∴， ∴米， ∴米， 故选：C． 3．C 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，由坡比为，株距（相邻两树间的水平距离）为，则上升的高度为米，根据勾股定理即可求解，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键． 【详解】∵坡比为，株距（相邻两树间的水平距离）为， ∴铅直高度为米， 由勾股定理得，斜坡上相邻两树间的坡面距离为， 故选：C． 4．B 【分析】此题考查了三角函数的应用，根据直角三角形的边的关系，建立三角函数模型是解题的关键． 首先根据得到，然后利用得到，利用即可求解． 【详解】解：由题意得：，， 在中，， ， 在中，， ， ， 米， 故选：B． 5．C 【分析】设BP=x（x≥0），过P作PE⊥BC于E点，过Q作QF⊥AC于F点，过C作CH⊥AB于H点，利用正弦三角函数求得S△PBC ，S△ADQ，当两三角形的面积和最小时，四边形的面积最大，根据x≥0即可判断； 【详解】解：如图，过P作PE⊥BC于E点，过Q作QF⊥AC于F点，过C作CH⊥AB于H点，设BP=x（x≥0），则AQ=3--x=-x， ∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=60°， ∴，，， ∴S△PBC=， S△ADQ， S△ABC=， S△PBC+S△ADQ=≥（x=0时，有最小值）， ∴四边形PCDQ面积≤-=， 故选： C． 【点睛】，本题考查了正弦三角函数，等边三角形的性质，根据面积关系正确作出辅助线是解题关键． 6．D 【分析】本题考查了解直角三角形——仰角、俯角问题．作于点，分别在和中，利用三角函数即可表示出与的长，根据即可求解． 【详解】解：如图，作于点， ， 四边形是矩形， ， 在中，， ， ， 同理：． 米， 故选：D． 7．C 【分析】如图，由题意得： 由 求解 再在中，可得 设 则 由勾股定理可得 从而有 再解方程可得答案． 【详解】解：如图，由题意得： 在中， 在中， 设 则 经检验：符合题意， 故选： 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握构建直角三角形，利用锐角三角函数解决实际问题是解题的关键． 8．30 【分析】本题考查了坡度的计算，特殊角的三角函数值的计算，理解坡度的含义，掌握特殊角的三角函数的计算是解题的关键． 根据坡度坡面的垂直高度和水平宽度的比值，即坡角的正切值，其中是斜坡与水平面之间的夹角，由此即可求解． 【详解】解：设坡角为， ∴， ∴, 故答案为： ． 9．/ 【分析】A本题考查解直角三角形，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键，过点O作于点E，设，则，，根据列方程解出即可． 【详解】解：如图，过点O作于点E， 则，设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 10． 【分析】本题考查解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题关键，根据锐角的正弦函数的定义即可求解． 【详解】解：由题意得： ∴千米 故答案为：． 11．米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数关系是解题的关键．过点作于点，过点作于点．解，，得出，根据即可求解． 【详解】解：过点作于点，过点作于点． 依题意：（米），（米） 在中，， （米） 在中， （米） （米） 故答案为：米． 12． 60 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 根据图1得到观测视线与水平线的夹角为，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：由图1知，观测视线与水平线的夹角为， 在中，，，， ， 答：长约为， 故答案为：60；． 13． 【分析】本题考查坡度的计算，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 利用坡度求出竖直高度，然后利用勾股定理解题即可． 【详解】解：山坡的坡度为，， ， 在中，， 故答案为：． 14．这栋楼有米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点作于点，根据题意得出 ，解得出，根据，代入数据即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 依题意可得， ∴，， ∴， ∴． 答：这栋楼有米． 15．6.4米 【分析】延长，交于点，则，解，求出的长，解，求出的长，进而求出的长． 【详解】延长，交于点，则， 由题意：，，米，米， 由于四边形是矩形， ∴米， 在中，， ∴米， ∵米， ∴米， 在中，， ∵， ∴， ∴(米)． 答：显示屏的高度约为米． 【点睛】本题考查的是利用锐角三角函数知识解直角三角形，构造合适的直角三角形求出相应的线段是解本题的关键． 16．两座建筑物的高度分别为，． 【分析】本题考查解直角三角形的应用，首先构造直角三角形，再借助角边关系、三角函数的定义解题，难度一般．首先分析图形：根据题意构造直角三角形，根据锐角的正切函数，即可求解． 【详解】解：过点D作交于， 则四边形为矩形， ∴，， 在中，， ∴； 在中，， ∴； 则． ∴为，为． 即两座建筑物的高度分别为，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$